5.4 函数的奇偶性 课件（共83张PPT）

(共83张PPT)
第5章
函数概念与性质
5 . 4
函数的奇偶性
在我们的日常生活中，可以观察到许多对称现象：美丽的蝴蝶，盛开的花朵，六角形的雪花晶体，有倒影的山水景色·····
观察函数f(x)＝x2和f(x)＝－ (x≠0)的图象(图5－4－1)，我们发现，函数 f(x)＝x2 的图象关于 y 轴对称，而函数
f(x)＝－ 的图象关于原点对称.
● 怎样用数量关系来刻画函数图象的这种对称性
对于函数 f(x)＝x2，当自变量取一对相反数时，它们的函数值相等.
例如， f(－2)＝4＝f(2)，
f(－1)＝1＝f(1)，
f(－)＝＝f().
实际上，对于函数f(x)＝x2定义域 R 内任意一个x，都有f(－x)＝x3＝f(x). 这时我们称函数 f(x)＝x2为偶函数.
对于函数 f(x)＝－ (x≠0)，当自变量取一对相反数时，它们的函数值也互为相反数.
例如， f(－2)＝＝－f(2)，
f(－1)＝1＝ －f(1)，
f(－)＝3＝－f().
实际上，对于函数 f(x)＝－定义域{x∣x∈R，x≠0)内任意个x，都有 f(－x)＝＝－f(x).
这时我们称函数 f(x)＝－ (x≠0)为奇函数.
函数的奇偶性
(1) 奇偶性：
奇偶性 偶函数 奇函数
条件 设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有－x∈A
前提 f(－x) ＝_______ f(－x) ＝ ________
结论 函数y＝f(x)是偶函数 函数y＝f(x)是奇函数
图象特点 关于______对称 关于_______对称
f(x)
－f(x)
y轴
原点
(2) 本质：奇偶性是函数对称性的表示方法.
(3) 应用：
奇偶性是函数的“整体”性质，只有对其定义域内的每一个x，都有 f(－x) ＝－f(x)(或f(－x)＝f(x))，才能说 f(x)是奇(偶)函数.
【思考】
具有奇偶性的函数，其定义域有何特点
提示：定义域关于原点对称.
例 1
判定下列函数是否为偶函数或奇函数：
(1) f(x)＝x2－1；
解：函数 f(x)＝x2－1的定义域是 R .
因为对于任意的x∈R，都有－x∈R，
且 f(－x)＝(－x)2－1＝ x2－1＝f(x)，
所以函数 f(x)＝－1是偶函数.
(2) f(x)＝2x；
解：函数 f(x)＝2x 的定义域是 R .
因为对于任意的 x∈R，都有－x∈R，
且 f(－x)＝ 2(－x) ＝－2x＝－f(x)，
所以函数 f(x)＝2x 是奇函数.
(3) f(x) ＝2∣x∣；
解：函数 f(x)＝2∣x∣的定义域是 R .
因为对于任意的 x∈R，都有－x∈R，
且 f(－x)＝ 2∣－x∣＝2∣x∣＝f(x)，
所以函数 f(x)＝2∣x∣ 是偶函数.
(4) f(x)＝(x－1)2.
解：函数 f(x)＝(x－1)2 的定义域是 R .
因为f(1) ＝ 0，f(－1)＝4， ，
所以 f(1)≠f(－1)，f(1)≠－f(－1).
因此，根据函数奇偶性定义可以知道，函数 f(x)＝(x－1)2 既不是奇函数，也不是偶函数.
例 2
判断函数 f(x)＝x3＋5 是否具有奇偶性.
解 函数 f(x)的定义域为 R.
因为对于任意的 x∈R，都有－x∈R，
且f(－x) ＝(－x)3＋5(－x)
＝－ (x3＋5x)＝－ f(x)，
所以函数 y＝f(x) 为奇函数.
【基础小测】
1. 辨析记忆(对的打“ ”，错的打“ ”)
(1) 对于函数 y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数. (　　)
(2) 若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数. (　　)
(3) 奇函数的图象一定过 (0，0). (　　)



2. 下列图象表示的函数具有奇偶性的是 (　　)
B
解析：B选项的图象关于y轴对称，是偶函数，其余选项都不具有奇偶性.
解析
3. 下列函数为奇函数的是 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. y＝∣x∣ B. y＝3－x
C. y＝ D. y＝－x2＋14
C
解析：A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数.
解析
【跟踪训练】
1.设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝x2－x，
则 f(1) ＝( ).
A. － B. － C. D.
A
解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，
所以 f(1)＝－f(－1)＝－ .
解析
2.设f(x)是定义在R上的一个函数，则函数F(x)＝f(x)－f(－x)
在R上一定 (　　 )
A. 是奇函数
B. 是偶函数
C. 既是奇函数又是偶函数
D. 既不是奇函数又不是偶函数
A
解析：F(－x) ＝f(－x) －f(x)
＝－ [f(x)－f(－x)]
＝－F(x)，
符合奇函数的定义.
解析
解析：由题图知 f(1)＝，f(2)＝，
又f(x)为奇函数，
所以f(－2)＋f(－1)＝－f(2)－f(1)＝ －－＝－2.
3. 如图，给出奇函数 y＝f(x) 的局部图象，则 f(－2)＋f(－1)的值为 (　　)
A.1 B.0
C. －2 D.2
C
解析
4. 已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上
是增函数. 若f(－3)＝0，则 ＜0的解集为
_______________________.
{x∣－3＜x＜0或x＞3}
解析：因为f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0) 上是增函数，所以f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，
所以f(3) ＝f(－3) ＝0.
当x＞0时，f(x)＜0，解得x＞3；
当x＜0时，f(x)＞0，解得－3＜x＜0.
解析
5. 已知函数 f(x)＝是定义在(－1，1)上的奇函数，
则常数 m，n 的值分别为____________.
0，0
解析：由题意知 f(0)＝0，故得 m＝0. 由 f(x) 是奇函数知
f(－x) ＝－f(x)，即＝
所以 x2－nx＋1＝x2＋nx＋1，所以n＝0.
解析
探 究
具有奇偶性的函数，其定义域具有怎样的特点
练 习
1. 函数 f(x)＝ ( ).
A. 是奇函数但不是偶函数
B. 是偶函数但不是奇函数
C. 既是奇函数又是偶函数
D. 既不是奇函数也不是偶函数
B
2. 函数 f(x) ＝ x2＋2x 的图象是否关于某条直线对称
它是否为偶函数
解 f(x)＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，
由二次函数的性质可知，函数 f(x)＝x2＋2x 的图象关于直线 x＝－1 对称，
∵偶函数的图象关于 y 轴对称
∴函数 f(x)＝x2＋2x 不是偶函数.
3. 已知函数 f(x) 在 y 轴右边的图象如图所示.
(1)若f(x)是偶函数，试画出函数f(x)在y轴左边的图象；
(2)若 f(x)是奇函数，试画出函数 f(x) 在 y 轴左边的图象.
4. 对于定义在 R 上的函数 f(x)，下列判断是否正确
(1) 若 f(x) 是偶函数，则 f(－2)＝f(2)；
解 若 f(x) 是偶函数，则对任意实数x都有 f(－x)＝f(x)，
所以，f(－2)＝f(2)成立，该判断正确；
(2) 若 f(－2)＝f(2)，则函数 f(x) 是偶函数；
解 若 f(－2)＝f(2)，
但是不一定有对任意实数x都有f(－x)＝f(x)成立，
不满足偶函数的定义，该判断错误；
(3) 若 f(－2)≠f(2)，则函数 f(x)不是偶函数；
解 若 f(－2)≠f(2)，
则对任意实数 x 都有 f(－x)＝f(x) 不成立，
根据偶函数的定义可知，f(x)不是偶函数该判断正确；
(4) 若 f(－2)＝f(2)，则函数 f(x)不是奇函数.
解 若取 f(x)＝x3－4x，
满足 f(－2)＝f(2)，
但 f(x)是奇函数，该判断错误.
5. 证明函数 f(x)＝x3－x 在 R 上是奇函数.
证明：∵f(x)＝x3－x，定义域为R，
∴f(－x)＝(－x)3－ (－x)
＝－x3＋x
＝－(x3－x)＝－f(x)，
∴函数 f(x)＝x3－x在R上是奇函数.
6. 判断下列函数的奇偶性：
(1) f(x)＝x＋；
解 ∵f(x)＝x＋的定义域为：(－∞，0) ∪(0，＋∞)，
定义域关于原点对称，
又∵f(－x) ＝－x＋＝－(x＋) ＝ －f(x)，
∴ f(x)＝x＋为奇函数.
(2) f(x)＝；
解 ∵f(x)＝的定义域为：(－∞，0)∪(0，＋∞)，
定义域关于原点对称，
又∵f(－x)＝ ＝＝ f(x)，
∴ f(x)＝ 为偶函数.
(3) f(x)＝ 2∣x∣－3.
解 ∵ f(x)＝2∣x∣－3 的定义域为R，
其定义域关于原点对称，
又∵ f(－x)＝2∣－x∣－3＝2∣x∣－3＝f(x)，
∴ f(x)＝2∣x∣－3 为偶函数.
7. 求证：
(1) f(x)＝∣x＋3∣＋∣x－3∣是 R 上的偶函数；
解 ∵ f(x)＝∣x＋3∣＋∣x－3∣的定义域为R，
∴ f(－x) ＝∣－x＋3∣＋∣－x－3∣
＝∣x－3∣＋∣x＋3∣＝f(x)，
∴函数 f(x) 为偶函数；
(2) g(x)＝∣x＋3∣－∣x－3∣是 R 上的奇函数；
解 ∵g(x)＝∣x＋3∣－∣x－3∣的定义域为R，
∴g(－x) ＝∣－x＋3∣－∣－x－3∣
＝∣x－3∣－∣x＋3∣＝－g(x).
∴ 函数g(x)为奇函数.
习题 5.4
感受·理解
1. 下列函数哪些是奇函数 哪些是偶函数 哪些既不是奇
函数也不是偶函数
(1) f(x)＝2x2－7；
(2) f(x)＝x3＋5x；
(3) f(x)＝5x－3.
(1) f(x)＝2x2－7；
解 f(x)＝2x2－7的定义域为(－∞，＋∞)，
定义域关于原点对称，
∵f(－x)＝2(－x)2－7＝2x－7＝f(x)，
∴函数 f(x)＝2x2－7 是偶函数.
(2) f(x)＝x3＋5x；
解 f(x)＝x3＋5x 的定义域为(－∞，＋∞)，
定义域关于原点对称，
∵f(－x)＝(－x)5＋5(－x) ＝－x3－5x＝－f(x)，
∴函数 f(x)＝x3＋5x 是奇函数.
(3) f(x)＝5x－3.
解 f(x)＝5x－3 的定义域为(－∞，＋∞)，
f(－x)＝5·(－x)－3＝－5x－3，
－f(x) ＝－5x＋3，
∴f(－x)≠f(x)，f(－x)≠－f(x)，
∴f(x)＝5x－3既不是奇函数也不是偶函数.
2. 已知函数 f(x)＝x2－2∣x∣－1，试判断函数 f(x) 的奇
偶性，并画出函数的图象.
解 函数 f(x)＝ x2－2∣x∣－1的定义域为R，
关于原点对称，
∵ f(－x)＝(－x)2－2∣x∣－1＝x2－2∣x∣－1＝f(x)，
∴函数 f(x)＝x2－2∣x∣－1 是偶函数函数.
函数 f(x)＝ x2－2∣x∣－1 ＝
＝
x2－2x－1，x≥0，
x2＋2x－1，x＜0，
(x－1)2－2，x≥0，
(x＋1)2－2 ，x＜0，
先作出函数 y＝(x－1)2－2，x≥0 的图象，
然后作它关于y轴的对称图象，合起来即得f(x)的图象，
如图所示：
3. 证明函数 f(x) ＝ x3＋ 的图象关于原点对称.
解 函数 f(x)＝x3＋ 的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，
关于原点对称，
∵f(－x)＝(－x)3＋＝－x3－＝－f(x).
∴函数 f(x)＝x3＋是奇函数，
∴函数 f(x)＝x3＋的图象关于原点对称.
4. 证明函数 g(x)＝∣x∣＋x2 的图象关于 y 轴对称.
解 由题意，g(x)＝∣x∣＋x2 的定义域为R，
关于原点对称，
且g(－x)＝∣－x∣＋(－x)2＝∣x∣＋(x)2＝g(x)，
∴g(x)＝∣x∣＋x2为偶函数，图象关于y轴对称.
思考·运用
5. 设 m 为实数，函数f(x)＝x2＋mx＋1是函数，求m的值.
解 ∵函数f(x)的定义域是R关于原点对称，
又∵f(x)是偶函数，
∴f(－x)＝(－x)2－mx＋1＝x2＋mx＋1＝f(x)恒成立，
∴2mx＝0 恒成立，
∵x∈R，
∴m＝0.
6. 已知函数 f(x)＝ax3－bx＋1，a，b∈R，且f(－2)＝－1，
求 f(2) 的值.
解 ∵ f(x)＝ax3－bx＋1，
∴ f(－2)＝a(－2)3－b(－2)＋1
＝－8a＋2b＋1＝－1，
解得：8a－2b＝2.
∴f(2)＝a·23－2b＋1 ＝ 8a－2b＋1＝2＋1＝3.
7. 已知函数 y ＝ f(x) 是 R 上的奇函数，且当 x＞0 时，
f(x) ＝ 1，求函数 y ＝ f(x) 的表达式.
解 设 x＜0，则－x＞0，f(－x)＝1.
而函数 y＝f(x) 是R上奇函数
则 f(－x)＝－f(x)＝1即 f(x)＝－1
∴当x＜0时，f(x)＝－1.
根据函数 y＝f(x) 是 R 上奇函数则f(－0)＝－f(0)＝f(0)
即 f(0)＝0，
综上所述函数 y＝f(x) 的表达式是
f(x) ＝
1，(x＞0)，
0，(x＝0)，
－1，(x＜0).
8. 已知函数 f(x) 的定义域为R.
(1) 求证：函数 g(x)＝f(x)＋f(－x)为R上的偶函数；
解 ∵函数 f(x) 的定域为R，
∴函数 g(x)＝f(x)＋f(－x) 的定义域为R，
即函数 g(x) 的定义域关于原点对称，
又∵g(－x)＝f(－x)＋f[－(－x)]＝f(－x) ＋f(x)＝g(x)，
∴函数 g(x)＝f(x)＋f(－x)是在R上的偶数；
(2) 求证：函数 h(x)＝f(x)－f(－x)为 R 上的函数；
解 ∵数 f(x) 的定域为R，
∴函数 h(x)＝f(x)－f(－x)的定义域为R，
即函数 h(x) 的定义域关于原点对称，
又∵h(－x)＝f(－x) －f[－(－x)]
＝f(－x)－f(x)＝－h(x)，
∴ 函数h(x)＝f(－x)－f(x)是在R上的奇数；
(3) 试判断：定义在 R 上的函数 f(x) 能否表示为一个函数
和一个偶函数的和.
解 ∵函数 f(x) 的定义域为R，
令G(x)＝， H(x)＝ ，
则G(x)＋H(x)＝ ＋ ＝ f(x)，
由(1)知 G(x)＝ 是偶函数，
由(2)知 H(x)＝ 是奇函数，
且 f(x)＝G(x)＋H(x)，
即定义在R上的函数f(x)能表示为一个奇函数和一个偶函数的和.
探究·拓展
9. 设a为给定实数，函数 f(x) 的定义域为 A.
(1) 若对于任意 x∈A，都有 f(a－x)－f(a＋x)＝0，问：
此函数的图象一定具有怎样的对称性 说明理由.
解 对于任意的 x∈A，都有 f(a－x) －f(a＋x)＝0，
则函数 y＝f(x)图象关于直线 x＝a对称.
理由如下：
设函数 y＝f(x)图象上任意一点P(x0，y0)，则y0＝f(x0)，
且P关于直线 x＝a 的对称点为P′(2a－x0，y0)，
由f(a－x)＝f(a＋x)，用x－a取代上式中的x，
得f(2a－x)＝f(x)则，f(2a－x0)＝f(x0)＝y0，
故P′(2a－x0，y0) 在函数 y＝f(x) 的图象上，
所以函数 y＝f(x) 的图象关于直线 x＝a 对称.
(2) 若对于任意 x∈A，都有 f(a－x)＋f(a＋x)＝0，问：
此数的图象一定具有怎样的对称性 说明理由.
解 对于任意的 x∈A， 都有f(a－x)＋f(a＋x)＝0，
则函数 y＝f(x)图象关于点 (a，0) 对称.
理由如下：
设函数 y＝f(x) 图象上任意一点 P1(x1，y1)，则y1＝f(x1).
且P1关于点 (a，0) 的对称点为P1′(2a－x1，－y1)，
由f(a－x)＋f(a＋x)＝0，用x－a取代上式中的x，
得f(2a－x)＝－f(x)，则f(2a－x1)＝－f(x1)＝－y1，
故P′(2a－x1，－1) 在函数 y＝f(x) 图象上，
∴函数 y＝f(x) 图象关于点(a，0)对称.
链 接
映射的概念
我们已经知道，函数是建立在两个非空数集之间的一种对应关系：对于集合 A中的每一个实数 x ，在集合 B中都有唯一的实数 y 和它对应. 是否存在两个普通集合之间的类似的对应关系呢
例如，坐标平面内的所有点组成的集合为 A，所有的有序数对组成的集合为
B＝ {(x，y)∣x∈R，y∈R}.
让每一点与其坐标对应，则 A 中的每一个元素(点)，在 B 中都有唯一的元素(有序数对)与之对应.
一般地，设 A，B 是两个非空集合，如果按某种对应关系 f，对于A 中的每一个元素，在 B中都有唯一的元素与之对应，那么这样的对应称为从集合 A 到集合 B 的映射(mapping)，记为
f：A→B
例
如图所示的对应中：
根据映射的定义，可以知道图中，(4)的对应是从 A到B 的映射(1)(2)(3)的对应不是从 A到B 的映射.
请思考：
1. 假定某高中每个班级都有 45 位同学，每个班级学生按 1~45进行编号，全校学生的姓名都不相同. 设集合 A＝{x∣x为某高中的学生的姓名)，B＝{x∣1≤x≤45，x∈N}，f：每个学生姓名对应学生的编号；g： 每个编号对应学生的姓名. 问：f是否为从A到B的映射 g是否为从B到A的映射
2. 设A＝B＝{a，b，c，d，e，···，x，y，z}(元素为 26
个英文字母)，作映射 f：A→B为
并称 A 中字母拼成的文字为明文，相应的 B中对应字母拼成的文字为密文.
(1) mathematics 的密文是什么
(2) 试破译密文 ju jt gvooz.
3. 如图，小明同学在学习
映射时，找到了生活中的一
个实例—纽扣对应，你能再
举一些生活中与映射有关的
例子吗
4.映射与函数有什么区别与联系
问题与探究
f(x)＋g(x)，f(x)g(x) 和 f(g(x))的单调性
我们知道，函数 f(x)＝x2与 g(x)＝2x 在R上都是增函数，那么，函数 f(x)＋g(x)即 x3＋2x 在R上是否仍是增函数 能说明理由吗
一般地，设函数 f(x)，g(x)的定义域均为 A，尝试探究：
(1) 若函数 f(x)，g(x) 都是增函数,试判别函数 f(x)＋g(x) 在定义域 A 上的单调性，并说明理由.又若 f(x)，g(x) 都是减函数，结果如何呢 试说明理由.
(2) 函数 f(x)，g(x) 都是增函数或都是减函数，判别函数 f(x)g(x) 在定义域 A 上的单调性.
总结上述探究(1)(2)，你能得到哪些结论 并继续探究，将你探究的结果填入下表中(用“增函数”“减函数” “不能确定”填空)：
f(x) g(x) f(x)＋g(x) f(x)＋g(x)
增函数 增函数 增函数 不能确定
增函数 减函数 不能确定 不能确定
减函数 增函数 不能确定 不能确定
减函数 减函数 减函数 不能确定
我们知道，定义在 R 上的函数 f(x)＝2x 与定义在非负实数集上的函数 g(x)＝x2 都是增函数，那么函数 f(g(x))是否仍为增函数 说明理由.
一般地，设函数 f(x) 的定义域为 F，g(x)的定义域为 G，且g(x)的值域为 F 的子集.
(1) 若 f(x)，g(x) 都是增函数，试判别 f(g(x))的单调性；
(2)若 f(x)是增函数，g(x)是减函数，试判别f(g(x))的单调性.
总结上述探究(1)(2)，你能得到哪些结论 并继续探究，将你探究的结果填入下表中(用“增函数”“减函数” “不能确定”填空)：
f(x) g(x) f(g(x))
增函数 增函数 增函数
增函数 减函数 减函数
减函数 增函数 减函数
减函数 减函数 增函数
阅 读
函数概念的形成与发展
1637 年，法国数学家笛卡儿(R.Descartes，1596-1650)在《几何学》中第一次提到“未知和未定的量”，涉及了变量，同时也引入函数的思想.1692年，德国数学家莱布尼茨(G.Leibniz，1646-1716)最早使用“函数”这个词，他用“函数”表示随着曲线的变化而改变的几何量，如切线和点的纵坐标等.
1718 年，瑞士数学家约翰·伯努利( J . Bernoulli，1667
—1748)给出函数新的解释：“由变量 x 和常量用任何方式构成的量都可以叫作 x 的函数，”
1755 年，瑞士数学家欧拉(L.Euler，1707—1783)给出了函数的如下定义：“如果某些变量，以这样一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随之而改变，那么将前面的变量称为后面变量的函数.”
在函数概念形成的早期阶段，由于接触到的函数都是解析式形式，于是多数人认为函数一定能用解析式表示，他们很难理解不能用解析式表示的函数.
随着微积分等数学领域研究的深入，人们对函数的本质理解也不断加深. 1837 年，德国数学家狄利克雷( P . G . Dirichlet，1805—1859) 认为：“如果对于 x 的每一个值，y 总有一个完全确定的值与之对应，
那么y是工的函数.”此外，他还给出了“狄利克雷函数”：
1， x 为有理数，
y＝D(x) ＝
0， x 为无理数.
自此，人们对函数的本质有了深刻的理解.“变量y是x的函数”意味着：只要有一个法则存在，使得这个函数定义域中的每一个值x，有一个确定的y值和它对应，而不管这个法则是公式、图象、表格还是其他形式.
19 世纪 70 年代后，集合概念的出现使函数概念又得到进一步的发展. 人们用集合和对应的语言来定义函数概念，可以更深入地理解函数本质.
1859 年，我国清朝数学家李善兰 (1811－1882) 将 function 一词译成“函数”，并给出定义：“凡此变数中函彼变数，则此为彼之函数.”这里的“函”，是包含的意思.在国外的数学书上，习惯将函数(即对应关系)记为 f，而在国内的数学书上，通常将函数写为 f(x).
写 作
收集函数概念的形成与发展的历史资料，撰写小论文，论述函数发展的过程、重要的结果，函数发展中的重要人物、事件及其对人类文明的贡献.
本课结束
This lesson is over
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