5.3 函数的单调性 课件（共84张PPT）

(共84张PPT)
第5章
函数概念与性质
5 . 3
函数的单调性
在 5.1节开头的第三个问题中，气温是关于时间 t 的函数，记为＝f(t).观察这个气温变化图(如图 5-3-1)，说出气温在哪些时段内是逐渐升高的，在哪些时段内是逐渐下降的.
● 怎样用数学语言刻画上述某一时段内“随着时间的增加气温逐渐升高”这一特征
由图可知，从4时到14 时这一时间段内，图象是上升趋势，气温逐渐升高.
对于这段图象上的任意两点 P(t1，1)，Q(t2，2)，当t1＜ t2时，都有1＜2 .
类似地，对于区间(14，24)内任意两个值t1，t2，当t1＜t2 时，都有1 ＞2 .
一、函数的单调性
函数 增函数 减函数
图示
(1) 定义
函数 增函数 减函数
条件 设函数 y＝f(x) 的定义域为A，区间 I A.如果对于区间 I 内的任意两个值x1，x2，当x1＜x2时,
都有___________ 都有___________
结论 (1)y＝f(x)在区间I上是___________ (2)I称为y＝f(x)的增区间 (1)y＝f(x)在区间I上是____________
(2)I称为y＝f(x)的减区间
f(x1)＜f(x2)
f(x1)＞f(x2)
增函数
减函数
(2)本质：
函数的单调性反映的是两个变量的对应变换规律，定量地刻画了函数在区间上图象的变化趋势,是函数诸多性质中最核心、最本质的性质.
(3)应用：证明函数的单调性、比较大小、解不等式、
求参数范围等.
【思考】
函数单调性的定义中，能否将“任意”改为“存在”
提示：不能，
一些特殊的值满足并不能说明函数的单调性.
二、单调性与单调区间
如果函数 y＝f(x) 在区间 I 上是增函数或减函数，那么称函数 y＝f(x) 在区间 I 上具有单调性.
增区间和减区间统称为单调区间.
【思考】
函数 y＝f(x) 在定义域内的每一个区间 D1，D2，…上都单调递减，那么函数在定义域上是减函数吗 你能举例说明吗
提示：不是.如函数 y＝ 在(－∞，0)，(0， ＋∞)上都单调递减，但在定义域上不具有单调性.
例 1
画出下列函数图象，并写出单调区间：
(1) y＝－x2＋2；
解：函数图象如图，
增区间为(－∞ ，0]，
减区间为[0，＋∞).
(2) y＝ (x≠0).
解：函数图象如图，
(－∞，0)和(0，＋∞)
是两个减区间.
例 2
证明：
函数 f(x)＝－－1在区间(－∞，0)上是增函数.
证明 设 x1，x2 为区间(－∞，0)上的任意两个值，
且 x1＜x2，则 x1－x2＜0，x1x2＞0.
因为 f(x1)－f(x2) ＝(－－1)－(－－1)
＝ － ＝.
所以 f(x1) － f(x2) ＜ 0，
即 f(x1) ＜ f(x2).
故 f(x)＝－－1在区间(－∞ ，0) 上是增函数.
记 y2－y1＝ y，x2－x1＝ x，那么函数的单调性与 的符号有什么关系
【基础小测】
1. 辨析记忆(对的打“ ”，错的打“ ”)
(1) 函数f(x)＝x2，因为－1＜2，且f(－1)＜f(2)，则函数
是增函数. (　　)
(2) 函数f(x)＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减函数. (　 )
(3) 函数f(x)在某一区间D上要么是增函数要么是减函数.
(　　)



2. 函数 y＝f(x) 的图象如图所示，其减区间是 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A.[－4，4]
B.[－4，－3]∪[1，4]
C.[－3，1]
D.[－4，－3]，[1，4]
D
解析：由图象知函数在[－4，－3]以及[1，4]上是减函数，则对应的减区间为[－4，－3]，[1，4].
解析
3. 若函数 f(x)＝(2k－1)x＋1 是减函数，则实数 k 的取值
范围是______________.
(－∞，)
解析：由题意知，2k－1＜0，解得 k＜ .
解析
【课堂检测·素养达标】
1. 函数 y＝∣x∣－1的减区间为 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. (0，＋∞) B.(－∞，0)
C. (－∞，－1) D.(－1，＋∞)
B
解析：当x≥0时，y＝∣x∣－1＝x－1，此时函数为增函数，
当x＜0时，y＝∣x∣－1＝－x－1，此时函数为减函数，
即函数的减区间为(－∞，0).
解析
2. 函数 y＝f(x) 的图象如图所示，则 f(x)的减区间是 (　　)
A. (0，1) B. (－∞，1)
C. (，2) D. (－∞，3)
A
解析：由图象可知减区间为(0，1).
解析
3. 函数 y＝在 (0，＋∞) 上是增函数，则 k 的取值
范围是 (　　)
A. k≥1 B. k≤1 C. k＞1 D. k＜1
D
解析：k－1＞0时，由y＝可知，在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，不合题意；
当k－1＜0时，由y＝可知，在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数，故k＜1.
解析
4. 若 f(x) 是减函数，且 f(3x－2)＜f(3)，则 x 的取值范围
是________________.
( ，＋∞)
解析：函数的定义域为R. 由条件可知，3x－2＞3，
解得 x＞ .
解析
解析：函数 f(x) ＝2x2－3∣x∣＝
的图象如图所示，故它的增区间为[－，0]，[，＋∞) .
2x2－3，x≥0，
2x2＋3，x＜0.
5. 函数 f(x) ＝2x2－3∣x∣的增区间是
_______________________.
[－，0]，[，＋∞)
解析
在图中，我们从图象上看出 14 时的气温为全天的最高气温，它表示在0~24 时，气温于14 时达到最大值.从中可以看出，图象在这一点的位置最高.
在图中，可以看出对于任意的 x∈R，都有
f(x)＜2＝f(0).
三、函数的最大值和最小值
(1) 定义：
条件 设y＝f(x)的定义域为A，如果存在 x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有
前提 f(x)≤f(x0) f(x)≥f(x0)
结论 称f(x0)为y＝f(x)的最大值，记为ymax＝f(x0) 称f(x0)为y＝f(x)的最小值，记为_________
ymin＝f(x0)
(2)本质：
函数图象上最高点的纵坐标即为最大值；最低点的纵坐标即为最小值.
(3)应用：
求函数的值域，参数的范围，解决实际问题.
【思考】
函数 f(x)＝－x2 的定义域为R，存在实数1，对于任意x∈R，都有f(x)≤1.那么1是函数 f(x)＝－x2的最大值吗 为什么
提示：不是.
因为不存在 x0∈R，使得 f(x0) ＝－x02＝1.
例 3
图5-3-4 为函数 y＝f(x)，x∈[－4，7]的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间.
解 观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是 (3，3)，最低的点是(－1.5，－2).
因此，当x＝3时，函数y＝f(x)取得最大值，即ymax＝3；当x＝－1.5时，函数y＝f(x)取得最小值，即ymin＝－2.
函数的增区间为[－1.5，3]，[5，6]；
减区间为[－ 4，－1.5]，[3，5]，[6，7].
例 4
求下列函数的最小值：
(1) y＝x2－2x；
解：因为 y＝x2－2x ＝ (x－1)2－1＞－1，
且当x＝1时 y＝－1.
所以函数在 x＝1时取得最小值－1，
即 ymin＝－1.
(2) y＝，x∈[1，3].
解 因为对于任意实数 x∈ [1，3]，都有≥ ，
且当 x＝3 时＝.
所以函数在 x＝3 时取得最小值，即 ymin＝.
思 考
例 4中的两个函数有无最大值
例 5
已知函数y＝f(x)的定义域是[a，b]，a＜c＜b. 在区间[a，c] 上，f(x)单调递增；在区间[c，b] 上，f(x)单调递减，试证明 f(x) 在 x＝c 时取得最大值.
证明 因为在区间[a，c] 上，f(a)单调递增，
所以对于任意 x∈ [a，c]，都有 f(x) ＜ f(c).
又因为在区间[c，b] 上，f(x)单调递减，
所以对于任意 x∈[c，b]，都有 f(x)≤f(c).
因此，对于任意 x∈[a，b]都有 f(x)≤f(c)，即f(x)在 x＝c 时取得最大值.
【基础小测】
1. 辨析记忆(对的打“ ”，错的打“ ”)
(1)任何函数都有最大值、最小值. (　　)
(2)如果一个函数有最大值，那么最大值是唯一的. (　　)
(3)如果一个函数f(x)在区间[a，b]上单调递减，那么函数的最大值是f(b). (　　)



2. 函数 f(x)＝x2－3x(∣x∣＜1) (　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A.有最大值，但无最小值
B.有最大值，也有最小值
C.无最大值，但有最小值
D.既无最大值，也无最小值
D
解析：f(x)＝x2－3x是开口向上的抛物线，其对称轴方程为x＝，则函数f(x)在(－1，1)上单调递减，所以函数f(x)＝x2 －3x(|x|＜1)既无最大值，也无最小值.
解析
3. 函数 y＝ 在区间[2，6]上的最大值、最小值分别是
(　　)
A.1， B. ，1 C. ， D. ，
A
解析：因为 y＝ 在区间[2，6]上单调递减，
所以当 x＝2 时取最大值 y＝1；
当 x＝6 时取最小值 y＝ .
解析
【跟踪训练】
1. 函数 y＝ 在 [2，3] 上的最小值为 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1 B. C. D. －
B
解析：y＝ 在 [2，3] 上为减函数，
所以 x＝3 时取最小值为.
解析
2. 函数f(x)的图象如图，则其最大值、最小值分别为
(　　)
A. f()， f(－) B. f(0)，f()
C. f(－) ，f(0) D. f(0)，f(3)
B
解析：观察函数图象，f(x)的最大值、最小值分别为f(0)， f().
解析
解析：函数 y＝ 的图象如图：
由图象可得函数的最大值是4.
x＋3，(x≤1)，
－x＋5，(x＞1)，
3. 函数 y＝ 的最大值是(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
x＋3，(x≤1)，
－x＋5，(x＞1)，
B
解析
4.当0≤x≤2时，a＜－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是 (　　)
A.(－∞，1] B.(－∞，0]
C.(－∞，0) D.(0，＋∞)
C
解析：令 f(x)＝－x2＋2x，则 f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1.
又因为x∈[0，2]，所以f(x)min＝f(0)＝f(2)＝0.所以a＜0.
解析
5. 函数 f(x)＝在[1，b](b＞1)上的最小值是 ，则
b＝______.
4
解析：因为 f(x) 在 [1，b] 上为减函数，所以 f(x) 在 [1，b] 上的最小值为 f(b)＝＝，所以b＝4.
解析
练 习
1. 判断函数f(x)＝x2－1在(0，＋∞)上是增函数还是减函数.
增函数
证明 在(0， ＋∞)上任取两个不相等的实数 x1，x2，
且设 x1 ＜x2；
则 f(x1)－f(x2)＝(x12－1)－(x22－1)＝x12－x22
＝(x1＋x2)(x1－ x2)，
∵0＜x1＜x2，∴ x1－x2＜0，x1＋x2＞0，
∴ f(x1)－f(x2)＜0，∴ f(x1) ＜ f(x2).
∴函数 f(x)＝x2－1在(0，＋∞)上是增函数.
2. 画出函数 f(x)＝∣x＋1∣的图象，并根据图象写出f(x)
的单调区间.
解 函数 f(x)＝∣x＋1∣＝ ，
函数图象如下图所示，
由图象可知，函数 f(x) 的单调递增区间为[－1， ＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1].
x＋1，x≥－1
－x－1，x＜－1
3. 判断函数 f(x)＝－x2＋2x 在(－∞ ，0)上是增函数还是
减函数.
函数 f(x)＝－x2＋2 在(－∞，0)上是增函数.
证明如下：设在(－∞，0) 上任意取 x1，x2，且x1＜x2，
∴ f(x1)－f(x2)＝(－x12＋2x1)－(－x22＋2x2)
＝(x22－x12)＋(2x1－2x2)
＝(x2－x1)(x1＋x2)＋(2x1－2x2)
＝(x2－x1)(x1＋x2－2)，
∵ x1＜x2＜0，
∴ x2－x1＞0，x1＋x2＜0，
∴ x1＋x2－2＜0，
∴(x2－x1)(x1＋x2－2)＜0，
∴f(x1)－f(x2)＜0，
∴f(x1)＜f(x2)，
∴函数 f(x)＝－x2＋2x 在 (－∞，0) 上是增函数.
4. 求函数 f(x)＝－x2＋2x 在[0，10]上的最大值和最小值.
解 f(x)＝－x2＋2x－1＋1＝－ (x－1)2＋1，
对称轴x＝1，
∴函数f(x)在[0，1)递增，在(1，10]递减，
∴f(x)max＝1，f(x)min＝f(10) ＝－80.
5. 函数y＝在区间(－2，－1]上有最大值吗 有最小值吗
解 由题意可得：y′＝－＜0，
∴当x∈(－2，－1]时，函数 y＝ 在区间(－2，－1]上单调递减，
∴ y不存在最大值；x＝－1时，y取得最小值，ymin＝－1，
∴ y＝在区间(－2，1]上无最大值，最小值为－1.
6. 证明：函数f(x)＝－2x＋1是减函数.
解 由题，f(x)＝－2x＋1，x ∈ R，
因为f′(x)＝－2＜ 0，
所以函数 f(x)＝－2x＋1为减函数.
7. 下图分别为函数 y＝f(x) 和 y＝g(x) 的图象，试写出函
数 y＝f(x) 和 y＝g(x) 的增区间.
解
根据函数单调性的定义，函数在单调递增区间上图像呈上升趋势，由函数图像可得：
函数 y＝f(x) 的单调增区间是[1，4) 和[4，6]；
函数 y＝g(x) 的单调增区间是[－，0]和[，3π].
8. 判断下列说法是否正确：
(1) 若定义在 R 上的函数 f(x) 满足 f(2)＞ f(1)，则数f(x)
是 R 上的增函数；
解 若函数f(x)在R上为增函数，则对于任意的 x1，x2∈R 且x1 ＜x2，则 f(x1)＜f(x2) 一定成立，
若f(2)＞f(1)成立，f(2)＞f(0)不一定成立，函数f(x)在R上不一定是增函数，(1)错误；
(2) 若定义在 R 上的函数 f(x) 满 f(2)＞f(1)，则函数 f(x)
在 R 上不是减函数；
解 若函数f(x)在R上为减函数，则对于任意的x1，x2∈R 且x1 ＜x2，则f(x1)＞f(x2) 一定成立，所以，f(2)＜f(1)一定成立，
所以，若 f(2)＞f(1)，函数f(x)在R上一定不是减函数，(2)正确；
(3) 若定义在 R 上的函数f(x)在区间(－∞ ，0] 上单调递增，
在区间[0，＋∞) 上也单调递增，则函数 f(x)在 R 上是
增函数；
解 若定义在R上的函数f(x)在区间(－∞ ，0]上是增函数，
在区间[0，＋∞)上也是增函数，则满足对于任意的 x1，x2∈R且x1＜x2，则f(x1)＜f(x2)成立，
所以，函数f(x)在R上是增函数，(3)正确；
(4) 若定义在 R 上的函数 f(x)在区间(－∞ ，0] 上单调递增，
在区间(0，＋∞)上也单调递增，则函数 f(x) 在 R 上是
增函数.
解 设函数 f(x)＝ ，是定义在R上的函数，且f(x)在区间(－∞ ，0]上是增函数，在区间(0，＋∞)上也是增函数，而－1＜1，但 f(－1)＝f(1)，不符合增函数的定义，所以，函数f(x)在R上是不是增函数，(4)错误.
－x＋1，x≤0
x－1，x＞0
习题 5.3
感受·理解
1. 已知 k，b 是常数，填写下表：
函数 y＝kx＋b y＝
k＞0 k＜0 k＞0 k＜0
单调区间 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) (－∞，0)，(0，＋∞) (－∞，0)，(0，＋∞)
单 调 性 单调增函数 单调减函数 在每个区间内单调递减 在每个区间内单调递增
2. 指出下列函数的单调区间：
(1) y＝1－3x；
解 ∵k＝－3＜0.
∴y＝1－3x 在(－∞，＋∞)单调递减；
解 函数 y＝＋2的定义域为(－∞ ，0)∪(0，＋∞)，
∴y＝ 在(－∞，0)，(0，＋∞)单调递减，
∴函数 y＝ ＋2 在(－∞，0)，(0，＋∞)单调递减；
(2) y＝ ＋2
(3) y＝x2＋1；
解 函数 y＝x2＋1定义域为R，
∵ y＝x2在(－∞，0) 单调递减，
在(0，＋∞)单调递增，
∴ y＝x2＋1在(－∞，0) 单调递减，
在(0，＋∞)单调递增；
(4) y＝－x2＋x－1.
解 ∵y＝－x2＋x－1的定义域为R，
函数图象的对称轴为 x＝，图象开口向下，
∴函数 y＝－x2＋x－1 在(－∞，)单调递增，
在(，＋∞)单调递减.
3. 画出下列函数的图象，指出函数的单调区间，并求出
函数的最大值或最小值：
(1) f(x) ＝－x2－1；
解 函数图象如图(1)，增区间为(－∞，0]，减区间为[0， ＋∞)，最大值为－1，无最小值.
(2) f(x)＝ x2－2x－1，x∈[－1，1]；
解 函数图象如图(2)，减区间为[－1，1]，
最大值为 2，最小值为 －2.
(3) f(x) ＝ x∣x∣；
解 f(x) ＝ 函数图象如图(3)，
增区间为(－∞，＋∞)，
既无最大值，也无最小值.
x2，x≥0，
－ x2，x＜0，
(4) f(x)＝－2；
解 函数图象如图(4)，
减区间为[0，＋∞)，
最大值为 ，无最小值.
(5) f(x)＝
x－2，x≥0，
－x－2，x＜0；
解 函数图象如图(5)，增区间为[0，＋∞)，
减区间为(－∞ ，0]，
无最大值，最小值为－2.
(6) f(x)＝
x2＋2x－1，x∈[0，＋∞)
－x2＋2x－1，x∈[－∞，0).
解 函数图象如图(6)，
增区间为(－∞，＋∞)，
既无最大值，也无最小值.
4. 设 a 为实数，已知函数 y＝f(x) 在定义域 R 上是减函数，
f(a＋1) ＞f(2a)，求 a 的取值范围.
解 由题意可知，f(x)在R上是减函数.
∴ f(a＋1)＞f(2a)，
∴ a＋1＜2a，
解得 a＞1.
5. 证明：
(1) 函数 f(x)＝－2x2＋3 在区间(－∞，0]上是增函数；
解 设 x1，x2∈(－∞ ，0]，且 x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝－2x12＋2x22
＝ 2(x2＋x1)(x2－x1)，
∵ x1，x2∈(－∞，0]，且 x1＜x2，
∴ x1＋x2＜0，x2－x1＞0，
∴ 2(x2＋x1)(x2－x1)＜0，
即 f(x1)－f(x2)＜0，
即 f(x1)＜f(x2)，
∴ f(x) 在区间 (－∞，0] 上是增函数.
(2) 函数 f(x)＝－x＋1 在区间(－∞，0]上是减函数；
解 设 x1，x2∈(－∞，0]，且 x1＜x2，
则 f(x1)－f(x2) ＝－x13＋x23 ＝(x2－x1)(x22＋x1x2＋x12)，
∵ x1＜x2≤0，∴x2－x1＞0，
x22＋x1x2＋x12 ＝(x2＋x1)2＋x12＞0
∴ f(x1)－f(x2)＞0，即 f(x1)＞f(x2)，
∴ f(x)在区间(－∞，0]上是减函数.
(3) 函数 f(x)＝2－ 在区间(－∞ ，0)和(0， ＋∞) 上都是
增函数.
解 设 x1＜x2＜0，则 f(x1)－f(x2) ＝－＋＝，
∵x1＜x2＜ 0，
∴ x1－x2＜0， x1x2 ＞0，
∴ f(x1)＜f(x2)，
∴ f(x)在区间(－∞，0)上是增函数，
设 0＜x1＜x2 则 f(x1)－f(x2) ＝－＋＝，
∵ 0＜x1＜x2
∴ x1－x2＜0， x1x2＞0.
∴ f(x1) ＜ f(x2)
则 f(x) 在区间 (0，＋∞) 上是增函数.
思考·运用
6. 证明：函数 f(x)＝2x3－在区间(0，＋∞)上是增函数.
证明：任取 0＜x1＜x2，
则 x1－x2＜0，x1x2＞0.
因为 f(x1)－f(x2)＝2x13－－(2x23－ )
＝2(x13－x23)＋
＝2(x1－x2)(x12＋x1x2＋x22)＋，
＝(x1－x2)[2(x12＋x1x2＋x22) ＋ ].
所以 f(x1)－f(x2)＜0，所以 f(x1)＜f(x1)，
故 f(x)＝2x3－ 在区间 (0，＋∞) 上是增函数.
7. 已知函数 f(x)＝x＋，x∈(0，＋∞)
(1) 求证：f(x)在区间(0，1]上单调递减，在区间[1，＋∞)
上单调递增；
证明：∵ f(x)＝x＋，
∴ f′(x)＝1－＝ ，
∴当 x∈(0，1) 时， f′(x)＜ 0，
当 x∈(1， ＋∞) 时， f′(x) ＞0，
∴ f(x)在区间(0，1]上是单调减函数，在区间[1， ＋∞) 上是单调增函数；
(2) 试求函数 f(x) 的最大值或最小值.
证明： 由 (1) 知，f(x)有最小值，无最大值；
fmin(x)＝f(1)＝1＋1＝2.
探究·拓展
8. 利用技术工具 (如计算器或计算机) 画函数
f(x)＝x3－3x＋1的图象并求函数的单调区间.
函数 f(x)＝x3－3x＋1图象如下：
因为 f(x)＝x3－3x＋1，
所以 f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1).
由 f′(x)＞0得x＞1或x＜－1，
所以 f(x)＝x3－3x＋1的单调递增区间为
(－8，－1)，(1，＋∞)，
由f′(x)＜0得－1＜x＜1，
所以f(x)＝x3－3x＋1的单调递增区间为(－1，1).
本课结束
This lesson is over
THANKS!