6.1 幂函数 课件（共61张PPT）

(共61张PPT)
第6章
幂函数指数函数和对数函数
6 . 1
幂函数
试考察下列问题：
(1) 正方体的边长为x，体积为 y，则 y＝x3.
(2) 若某放射性物质每经过 1 年,其剩留量是原来的x倍，则质量为 1的这种物质经过 100 年后，其剩留量应为 C＝x100.
(3) 如果某人驾车在 t s 内行进了1km，那么该车的平均速度为 v＝t－1 km/s.
● 函数 y＝x3，C＝x100，v＝t－1具有什么共同特征
这些函数的表达式是一个指数幂的形式，底数是自变量，指数是常数，这样的函数称为幂函数.
一、幂函数的概念
一般地，我们把形如 __________ 的函数称为幂函数，其中 ______ 是自变量，________是常数.
y＝xα
x
α
下面我们结合第 5 章讨论的函数的基本内容，如函数的定义域值域、图象、单调性、奇偶性等，来认识一些幂函数的性质.
二、常见幂函数的图象与性质
解析式 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x
图象
定义域 R R R _______ _______
值域 R _______ R _______ _______
奇偶性 ___函数 ___函数 ___函数 ___函数 _______
函数
{x|x≠0}
[0，+∞)
[0，+∞)
{y|y≠0}
[0，+∞)
奇
偶
奇
奇
非奇非偶
解析式 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x
增区间 __ ________ __ 无 ________
减区间 无 ________ 无 ________ ________ 无
定点 ______
R
[0，+∞)
R
[0，+∞)
(－∞，0)
(－∞，0)，
(0，+∞)
(1，1)
(1) 本质：
幂函数的图象是函数的图形表示，幂函数的性质是根据函数图象总结得到的.
(2) 应用：①求定义域；
②求值域；
③比较大小；
④求单调区间.
【思考】
在区间(0，＋∞)上，幂函数有怎样的单调性
提示：幂函数在区间(0，＋∞)上，当α＞0时，y＝xα 是增函数；当 α＜0 时，y＝xα 是减函数.
例 1
写出下列函数的定义域，并分别指出它们的奇偶性：
解：函数 y＝x3 的定义城是 R .
因为对任意的x∈R，－x∈R，
且都有(－x)3＝(－1)3x3＝－x3，
所以由奇函数的定义知，函数 y＝x3 是奇函数.
(1) y＝x3；
(2) y＝x ；
解：函数y＝x 即 y＝，其定义域是[0，＋∞).
因为当x∈(0，＋∞)时， －x (0，＋∞)，
所以由奇函数、偶函数的定义可知，
函数 y＝x 既不是函数，也不是偶函数.
(3) y＝x－2.
解：由函数 y＝x－2 即 y＝ 可知 x≠0，
所以此函数的定义城是(－∞ ，0)∪(0，＋∞).
因为对任意的 x∈R，x≠0，都有－x∈R，－x≠0，
且(－x)－2 ＝(－1)－2·x－2＝－2，
所以由偶函数的定义知，函数 y＝x－2是偶函数.
思 考
函数 y＝x3，y＝x ，y＝x－2的单调性如何
在同一坐标系内画出幂函数y＝x2，y＝x3，y＝x 的图象，如图6-1-1所示
观察图象，可以发现这 3 个函数有如下共同特性：
(1) 函数的图象都过点(0，0)和(1，1)；
(2) 在第一象限内，函数的图象随 x 的增大而上升，函数在区间[0，＋∞)上是增函数.
一般地，对于函数 y＝xα，当α＞0 时，也具有上述两条性质.
例 2
试比较下列各组数的大小：
(1) 1.13，0.893；
解：因为函数 y＝x3 在区间[0，＋∞)上是增函数，
又1.1＞0.89，
所以 1.13＞0.893.
(2) 2.1 ，2 ，1.8 ；
解：因为函数 y＝x 在区间[0，＋∞)上是增函数，
又 2.1＞2＞1.8，
所以 2.1 ＞2 ＞1.8 .
(3) ()1.3，1.3 .
解：因为函数 y＝x1.3在区间[0，＋∞)上是增函数，
又 1＝11.3， ＜1，所以()1.3＜11.3＝1.
因为函数，y＝x 在区间[0，＋∞)上是增函数，
又1 ＝1，3＞1，
所以 3 ＞1 ＝1. 于是()1.3＜1＜3 .
在同一坐标系内画出幂函数 y＝x－1，y＝x－3，y＝x 的图象，如图 6-1-2 所示.
－
观察图象，可以发现，这 3 个函数有如下共同特性：
(1) 函数的图象都过点(1，1)；
(2) 在第一象限内，函数的图象随 的增大而下降函数在区间(0，＋∞)上是减函数.
一般地，对于函数 y＝xα，当α＜0时，也具有上述两条性质.
1. 辨析记忆(对的打“ ”，错的打“ ”)
(1)幂函数的图象必过点(0，0)和(1，1). (　　)
(2)幂函数的图象都不过第二、四象限. (　　)
(3) y＝x 与y＝x 定义域相同. (　　)
【基础小测】



2.下列函数中不是幂函数的是 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. y＝ B. y＝x3
C. y＝3x D. y＝x－1
C
解析：只有y＝3x不符合幂函数y＝xα的形式.
解析
3. 已知幂函数 f(x)＝(m－3)x－m在(0，＋∞)上为增函数，则实数m的值为(　　)
A. B.±2 C.2 D. －2
D
解析：由于 f(x) 为幂函数，所以 m2－3＝1，m＝±2，
当m＝2时， f(x)＝x－2 在(0，＋∞)上为减函数，
不符合题意，
当m＝－2时，f(x)＝x2 在(0，＋∞)上为增函数，
符合题意.
解析
【跟踪训练】
1. 下列函数是幂函数的是 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. y＝ B. y＝x5
C. y＝5x D. y＝(x＋1)3
B
解析：函数y＝ 和y＝5x是正比例函数，不是幂函数；
函数y＝(x＋1)3的底数不是自变量x，不是幂函数；
函数 y＝x5是幂函数.
解析
2. 幂函数f(x)的图象过点(3，)，则 f(8)＝(　　).
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
C
解析
解析：设幂函数f(x)＝xα(α为常数)，由函数的图象过点(3，)，
可得 ＝3α，所以α＝，则幂函数 f(x)＝x ，
所以f(8)＝8 ＝ 4.
3. 判断大小：2.3 ________2.4 . (填“＞”或“＜”)
＜
解析
解析：因为 y＝x 为[0，+∞)上的增函数，
且2.3＜2.4，所以 2.3 ＜ 2.4 .
4. 已知幂函数 f(x)＝xm2＋m＋1(m∈N*)的图象经过点(2，8).
(1) 试确定m的值；
(2) 求满足条件f(2－a)＞f(a－1)的实数a的取值范围.
解 由题得 2 m2＋m＋1＝8 m＝1或m＝－2(舍).
解 由题得f(x)＝x3，f(x)在R上为增函数，
由f(2－a)＞f(a－1)可得2－a＞a－1 a＜.
信息技术
GeoGebra(简称 GGB)是一款用于大中小学数学教与学的免费开源软件，主界面包括代数区、绘图区、3D 绘图区、表格区等.代数区除了可以进行数值计算，还可以进行符号运算(如因式分解、求方程的根等)；绘图区可以作出各种平面几何图形或函数的图象；3D 绘图区能够作出空间三维图形；表格区具有类似 Excel 的功能，可以像Excel 那样进行操作.
用GGB作函数 y＝xa 的图象，可以直接在“输入”框中键入“y＝x^a”后，确认“创建滑动条：a”. 拖动滑动条就能直观地观察函数 y＝xa 的图象变化情况(图 6-1-3).
练 习
1. 分别写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性：
(1) y＝x4；
解 令 f(x)＝x4，它的定义域为R，关于原点对称，
f(－x)＝(－x)4＝x4＝f(x)，
所以函数 y＝x4为偶函数；
(2) y＝x ；
解 y＝x ＝，它的定义域为[0，＋∞ )，
不关于原点对称，
所以函数 y＝x 既不是奇函数也不是偶函数；
(3) y＝x－3；
解 令 f(x) ＝x－3＝，
它的定义域为 (－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，
f(－x)＝＝－ ＝－f(x)，
所以函数y＝x－3为奇函数；
(4) y＝x .
解 令 f(x)＝x ＝，它的定义域为R，
关于原点对称，
f(－x)＝ ＝＝ f(x)，
所以函数 y＝x 为偶函数.
2. 已知幂函数 y＝ 的图象过点(2，)，试求出这个函
数的解析式.
解 由已知图象过点 (2，) 得：2α＝＝2 ，
∴ α＝，
∴ y＝x ，(x≥0).
3. 画出函数 y＝x 的图象，并指出其单调区间.
解：函数图象如图，单调递增区间为(－∞，＋∞).
4. 试比较下列各组数中两个数的大小：
(1) 2.2 ，2.3 ；
解：由幂函数的性质，
y＝xa (x＞1，0＜a＜1) 单调递增，
故2.2 ＜2.3 .
(2) ()－2，()－2；
解：由幂函数的性质，
y＝xa (0＜x＜1，a＜0) 单调递减，
故()－2＜ ()－2 .
(3) 1.2 ，1.3 ；
－
－
解：由幂函数的性质，
y＝xa (x＞1，a＜0) 单调递减，
故1.2 ＜1.3 .
－
－
(4) 0.25，0.35.
解：由幂函数的性质，
y＝xa (0＜x＜1，a＞0) 单调递增，
故(0.2)5＜ (0.3)5.
习题 6.1
感受·理解
1. 分别写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性：
(1) y＝x5；
解 令 f(x)＝x5，则 f(x) 的定义域为R，
且 f(－x)＝(－x)5＝－x5＝－f(x)，
∴ f(x)是奇函数；
(2) y＝x ；
解 令 f(x)＝x ＝，则 f(x) 的定义域为[0，＋∞)，
∵[0，＋∞) 不关于原点对称，
∴ f(x) 是非奇非偶函数；
(3) y＝x ；
－
解 令 f(x)＝x ＝，则 f(x) 的定义域为
{x∣x≠0，x∈R}，关于原点对称，
且 f(－x)＝ ＝ ＝x ＝ f(x)，
∴ f(x) 是偶函数；
－
－
(4) y＝x .
－
解 令 f(x)＝x ＝，则 f(x) 的定义域为(0，＋∞)，
∵ (0，＋∞) 不关于原点对称，
∴ f(x) 是非奇非偶函数.
－
2. 比较下列各组数中两个数的大小：
(1) 5.23 ，5.24 ；
解 ∵y＝x 在 [0，＋∞) 内是增函数，
5.23＜5.24，
∴ 5.23 ＜5.24 .
(2) 0.26－1 ，0.27－1；
解 ∵y＝x－1 在 [0，＋∞) 内是减函数，
0.26＜0.27，
∴ 0.26－1 ＜0.27－1 .
(3) 1.4 ，1.7 ；
－
－
解 ∵y＝x 在 [0，＋∞) 内是减函数，
1.4＜1.7，
∴ 1.4 ＞1.7 .
－
－
－
(4) (－0.72)3，(－0.75)3.
解 ∵y＝x3 在 R 内是增函数，
－0.72＞－0.75，
∴ (－0.72)3 ＞(－0.75)3.
3. 画出函数 y＝x 的图象，并指出其奇偶性、单调性.
解 函数图象如图. 函数是偶函数，在 [0，＋∞) 上为增函数，在(－∞，0] 上为减函数.
4. 在同一坐标系内画出下列函数的图象，并加以比较：
(1) y＝x ，y＝x ；
解 y＝x 在定义区间[0，＋∞)上是增函数，
y＝x 在定义区间(－∞，＋∞)上是增函数和奇函数，
它们图象都过点(1，1)，在区间(0，1)上，y＝x 的图象在 y＝x 的图象上方；
在区间(1，＋∞)上，y＝x 的图象在 y＝x 的图象下方；
(2) y＝x－1，y＝x－2.
解 y＝x－1 在区间 (－∞，0) 和(0，＋∞) 上是减函数，且图象过点(1，1)，
函数的图象在第一象限和第三象限，函数是奇函数；
y＝x－2 在区间(－∞，0) 上是增函数，在(0，＋∞) 上是减函数，
图象过点(1，1)，且图象在第一象限和第二象限函数是偶函数；
在区间 (0，1) 上，y＝x－2 的图象在 y＝x－1的图象上方；
在区间(1，＋∞)上，y＝x－2 的图象在y＝x－1的图象下方；
5. 证明：幂函数 y＝ 在区间 [0，＋∞) 上是增函数.
解 任取 x1，x2∈[0，＋∞)，且x1＜x2；
则y1－y2＝－＝＝，
∵x1，x2∈[0，＋∞)，且 x1＜x2，
∴x1－x2＜0， ＋＞0，
∴y1－y2＜0，即y1＜y2.
∴ 幂函数y＝在区间[0，＋∞)上是增函数.
思考·运用
6. 汽车在隧道内行驶时，安全车距 d (单位：)正比于车
速 (单位：km/h)的平方与车身长(单位：m)的积，且
安全车距不得小于半个车身长. 假定车身长约为4 m，
车速为60 m/h，安全车距为 14.4 个车身长，试写出d
与v之间的函数关系式.
解 设车身长为 l m，
由安全车距 d 正比于车速v的平方与车身长的积，且安全车距不得小于半个车身长得：
d＝kv2l，d≥ ，
将l＝4，v＝60，d＝14.4l，代入得：4×14.4＝k·602×4，
解得 k＝＝0.004.
所以 d＝0.004lv2≥ .
所以 v2≥＝125，
所以 v≥5 (km/h)，
所以，d＝0.004lv2(v≥5).
7. 已知函数f(x)＝，对于任意的 x1，x2∈[0，＋∞)，试
比较 与f() 的大小.
解 对任意的 x1，x2∈ [0，＋∞)，
[]2＝()2＝，
[f()]2 ＝ .
[]2－[f()]2＝ － ＝ － ＝ －≤0，
则 []2 ≤[f()]2
而 f()≥0， ≥0，
故对任意的 x1，x2∈[0，＋∞)， f()≥ .
本课结束
This lesson is over
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