6.2 指数函数 课件（共102张PPT）

(共102张PPT)
第6章
幂函数指数函数和对数函数
6 . 2
指数函数
试考察下列问题：
(1) 在 4.1节研究细胞分裂时，得到函数 y＝2x.
(2) 在4.2.2节的例10 中，得到函数y＝0.999 879x.
(3) 庄子曰：“一尺之捶，日取其半，万世不竭” (“捶”同“棰”). 设经过的天数为 x (天)，木棰剩余的长度为 y (尺)，则有 y＝()x.
●函数 y＝2x，y＝0.999 879x，y＝()x具有什么共同特征
这些函数的表达式都是指数幂形式，底数为常数，指数为自变量，这样的函数称为指数函数.
庄子，战国中期著名的思想家、哲学家和文学家，是道家学派的主要代表人物之一，主要著作有《庄子》.
一、指数函数
一般地，
函数
y＝ax (a＞0，a≠1)
叫作指数函数(exponential function)，它的定义域是 R .
【思考】
当指数函数的底数 a＝0，a＝1，a＜0时，对自变量 x的取值有何影响
提示：(1) 如果a＝0，当x＞0时，ax恒等于0，没有研究的必要；当x≤0时，ax无意义.
(2) 如果a＜0，例如y＝(－4)x，这时对于x＝，，该函数无意义.
(3) 如果 a＝1，则 y＝1x 是一个常量，没有研究的价值.
为了避免上述各种情况，所以规定 a＞0，且a≠1.
在图6-2-1中，我们同时画出了指数函数 y＝10x，y＝2x和 y＝()x 的图象. 观察图6-2-1，通过研究函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等，我们可以发现指数函数的性质如表 6-2-1 所示.
二、指数函数 y＝ax(a＞0，a≠1)的图象与性质
a＞1 0＜a＜1
图象
a＞1 0＜a＜1
性质 (1) 定义域：________
(2) 值域： ______________
(3) 图象过定点_________，图象在 x 轴上方
(4)在(－∞，＋∞) 上是增函数； 当x＞0时，y＞1； 当x＜0时，0＜y＜1. 在(－∞，＋∞)上是减函数；
当x＞0时，0＜y＜1；
当x＜0时，y＞1.
R
(0，＋∞)
(0，1)
注意：
在同一坐标系中有多个指数函数图象时，图象的相对位置与底数的大小有如下关系：
① 在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小：
② 在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小，即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大.这一性质可通过令x＝1时，y的取值去理解.
探 究
(1) 在画图过程中，你还发现了指数函数的其他性质吗
(2) 函数 y＝2x与 y＝()x的图象有怎样的关系 你能得到更般的结论吗
例 1
比较下列各组数中两个数的大小：
(1) 1.52.5，1.53.2；
解：考察指数函数 y＝1.5x.
因为 1.5＞1，
所以 y＝1.5x在 R 上是增函数.
又因为2.5＜3.2，所以 1.52.5＜1.53.2.
(2) 0.5－1.2，0.5－1.5；
解：考察指数函数 y＝0.5x.
因为 0＜0.5＜1，
所以 y＝0.5x在 R 上是减函数.
又因为 －1.2＞－1.5，
所以 0.5－1.2＜0.5－1.5.
(3) 1.50.3 ，0.81.2.
解：考察指数函数 y＝1.5x.
因为 1.5＞1，
所以 y＝1.5x在 R 上是增函数.
又因为0.3＞0，所以 1.50.3＞1.50＞1.
同理 0.81.2＜0.80＝1，
故 1.50.3 ＞ 0.81.2.
例 2
(1) 已知 3x≥30.5，求实数 的取值范围；
解：因为 3 ＞ 1.
所以 指数函数 y＝3x 在 R 上是增函数，
由 3x≥30.5 可得 x≥0.5.
故的取值范围为区间 [0.5，＋∞).
(2) 已知 0.2x＜25，求实数 x的取值范围.
解 因为 0＜0.2x＜1，
所以指数函数 y＝0.2x 在 R 上是减函数，
因为 25 ＝()－2 ＝ 0.2－2，
所以 0.2x ＜ 0.2－2.
由此可得 x＞－2.
故 x 的取值范围为区间(－2，＋∞).
例 3
(1) y＝2x－2； (2) y＝2x＋2.
说明下列函数的图象与指数函数 y＝2x 的图象的关系并画出它们的示意图：
解 比较函数 y＝2x与函数 y＝2x－2，y＝2x＋2的取值关系，
列表如表 6-2-2 所示.
一般地，因为函数 y＝2x－2中x＝a＋2对应的y值与函数 y＝2x 中 x＝a 对应的 y 值相等，所以将指数函数y＝2x 的图象向平移2个单位长度，就得到函数 y＝2x－2 的图象.
同样地，因为函数 y＝2x＋2 中 x＝a－2 对应的y值与函数 y＝2x 中 x＝a 对应的 y 值相等，所以将指数函数y＝2x的图象向左平移2个单位长度，就得到函数y＝2x＋2的图象.
这些函数的图象如图 6-2-2 所示.
思 考
函数 y＝ax＋h与函数 y＝ax (a＞0，a≠1，h≠0) 的图象之间有怎样的关系
【基础小测】
1. 辨析记忆(对的打“ ”，错的打“ ”)
(1) y＝x6 是指数函数. (　　)
(2) 指数函数的图象都在x轴的上方. (　 　)
(3) 若指数函数 y＝ax 是减函数，则0＜a＜1. (　 　)



2. 若函数 f(x)＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. a＝1或a＝2 B. a＝1
C. a＝2 D. a＞0且a≠1
C
解析
a2－3a＋3＝1，
解析：由指数函数的定义得 解得a＝2.
a＞0且a≠1，
3. 已知函数 f(x)＝3x－()x，则 f(x) (　　)
A. 是奇函数，且在R上是增函数
B. 是偶函数，且在R上是增函数
C. 是奇函数，且在R上是减函数
D. 是偶函数，且在R上是减函数
A
4. 函数 y＝的定义域是 (　　)
A. (－∞，0) B. (－∞，0]
C. [0，＋∞) D. (0，＋∞)
C
解析：由2x－1≥0得2x≥1，即 x≥0，
所以函数的定义域为[0，＋∞).
解析
解析：由已知得 解得
所以 f(x) ＝ ()x＋3，
所以 f(－2) ＝()－2＋3＝4＋3＝7.
a＝，
b＝3，
a－1 ＋b＝5，
a0＋b＝4，
5. 已知函数 f(x)＝ax＋b(a＞0，且a≠1)经过点(－1，5)，
(0，4)，则 f(－2)的值为__________.
7
解析
【跟踪训练】
1. 函数 y＝(a－2)2ax 是指数函数，则 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. a＝1或a＝3 　 B. a＝1
C. a＝3　　　　　 D. a＞0且a≠1
C
解析
(a－2)2＝1，
解析：由指数函数定义知 解得 a＝3.
a＞0，且a≠1
2. 当x＞0时，指数函数(a－1)x＜1 恒成立，则实数 a 的
取值范围是 (　　)
A. (2，＋∞) B. (1，2)
C. (1，＋∞) D. R
B
解析：因为当 x＞0 时，(a－1)x＜1恒成立，
所以0＜a－1＜1，即1＜a＜2.
解析
3. 函数 f(x) ＝()x 在区间 [－2，2] 上的最小值是 (　　)
A. 　 B. － C. 4　 D. －4
A
解析：函数 f(x)＝()x 在定义域R上单调递减，
所以 f(x) 在区间[－2，2]上的最小值是f(2)＝()2＝ .
解析
4. 已知 a＝30.2，b＝0.2－3，c＝(－3)0.2，则 a，b，c 的大
小关系为 (　　)
A. a＞b＞c B. b＞a＞c
C. c＞a＞b D. b＞c＞a
B
解析：c ＜0，b＝53＞3，1＜a＜3，所以 b＞a＞c.
解析
5. 已知函数 f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)的图象经过点(2，4)，
则a＝________，若 a2x＋1＜a3x－1，则x的取值范围是
____________.
2
x＞2
解析：因为 f(x) 的图象经过点(2，4)，
所以 a2＝4，解得a＝2，
若a2x＋1＜a3x－1，即22x＋1＜23x－1，
故 2x＋1＜3x－1，解得x＞2.
解析
练 习
1. 下列各数中，哪些大于 1，哪些小于 1
() ， () ， () ，(0.16)0.2.
－
－
() ＞ ()0＝1；
() ＞ ()0＝1；
－
() ＜ ()0＝1；
－
(0.16)0.2 ＜ (0.16)0＝1.
2. 指出下列函数的单调性：
(1) y＝5x；
解 ∵ y＝5x ，x∈R，
∴根据指数函数的性质，5 ＞ 1，
则函数在R上单调递增.
(2) y＝()x；
解 ∵ y＝()x ，x∈R，
∴根据指数函数的性质， 0＜＜1，
则函数在R上单调递增.
(3) y＝0.5x；
解 ∵ y＝0.5x，x∈R.
∴ 根据指数函数的性质0＜0.5＜1，
则函数在R上单调递减.
(4) y＝－2x.
解 ∵ y＝－2x，x∈R.
∴ y′＝－2xln2＜0 在 R 上恒成立.
则函数在 R 上单调递减.
3. 设 a 为实数如果指数函数 f(x)＝(a－1)x是 R 上的减函
数，那么 a 的取值范围是( ).
A. a＜2 B. a＞2
C. 1＜a＜2 D. 0＜a＜1
C
4. 比较下列各组数中两个值的大小关系：
(1) 3.10.5 ，3.12.3 ；
(2) ()－1.5， ()－1.8；
解 ∵ y＝3.1x 在 R 上单调递增，0.5＜2.3，
∴ 3.10.5＜3.12.3.
解 ∵ y＝()x 在 R 上单调递增， －1.5＞－1.8，
∴ ()－1.5＞ ()－1.8 .
(4) ()－0.3， ()－0.24；
(3) 0.62，0.63；
解 ∵ y＝0.6x 在 R 上单调递减，2＜3，
∴ 0.62 ＜ 0.6 3.
解 ∵ y＝()x 在 R 上单调递增， －0.3＜－0.24，
∴ ()－0.3＞ ()－0.24 .
(5) 0.53.2，1.32.1；
(6) 2.3－2.5，0.2－0.1.
解 ∵ 0.53.2＜ 0.50＝1，1.32.1＞1.30＝1，
∴ 0.53.2 ＜ 1.32.1.
解 ∵ 2.3－2.5＜ 2.30＝1，0.2－0.1＞0.20＝1，
∴ 2.3－2.5 ＜ 0.2－0.1.
5. 分别根据下列条件确定正数 a 与 1 的大小关系：
(1) a ＜ a ；
解 ∵ ＜，且 a ＜ a ，
∴ 函数 y＝ax 公在 R 上是增函数，故 a＞1.
(2) a ＞ a ；
解 ∵ ＞，且 a ＞ a ，
∴ 函数 y＝ax 公在 R 上是增函数，故 a＞1.
(3) a ＞ a ；
－
(4) a－0.5 ＜a －0.6.
解 ∵ －＜，且 a ＜ a ，
∴ 函数 y＝ax 公在 R 上是减函数，故 0＜a＜1.
－
解 ∵ －0.5＞－0.6，且 a－0.5＜ a－0.6 ，
∴ 函数 y＝ax 公在 R 上是减函数，故 0＜a＜1.
6. 分别求满下列条件的实数 x 的取值范围：
(1) 2x ＞ 8；
解 ∵ 2x＞8，即2x＞23，
∴ x＞3，
∴满足 2x＞8 的实数 x 的取值范围是(3，＋∞).
(2) 3x ＜ ；
解 ∵ 3x ＜ ，即3x ＜ 3－3，
∴ x ＜ －3，
∴满足 3x＜ 的实数 x 的取值范围是(－∞，－3).
(3) ()x＞；
解 ∵ ()x ＞ ，即 ()x＞2 ＝ () ，
∴ x ＜ －，
∴满足 ()x＞ 的实数 x 的取值范围是(－∞，－).
(4) 5x ＜ 0.2.
解 ∵ 5x＜0.2，即 5x＜ ＝ 5－1，
∴ x ＜－3，
∴满足 5x＜0.2 的实数 x 的取值范围是(－∞ ，－1).
7. 函数 y＝2－x 的图象为 ( ).
A
例 4
某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年，这种物质剩留的质量是原来的 84%.写出这种物质的剩留量关于时间的函数关系式.
解 设该物质最初的质量是 1，经过年剩留量是y.
经过1年，剩留量 y＝1×0.84＝0.841；
经过 2年，剩留量 y＝0.84×0.84＝0842；
......
一般地，经过 x 年，剩留量 y＝0.84x(x＞0，x∈N*).
例 5
某种储蓄按复利计算利息，若本金为 a 元，每期利率为r，设存期是 x (x∈N*)，本利和(本金加上利息)为 y 元.
(1)写出本利和 y 随存期 x 变化的函数关系式；
(2)已知存入本金 1000 元，每期利率为 2.25%，试计算 5 期后的本利和.
(1) 写出本利和 y 随存期 x 变化的函数关系式；
解 已知本金为a元，利率为r，则1期后的本利和为
y＝a－ar ＝a(1＋r)，
2 期后的本利和为y＝a(1＋r) ＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2，
3 期后的本利和为y＝a(1＋r)3，......
x 期后的本利和为y＝a(1＋r)x，x∈N*，
即本利和y随存期x变化的函数关系式为
y＝a(1＋r)x，x∈N*.
(2) 已知存入本金 1000 元，每期利率为 2.25%，试计算 5 期后的本利和.
解 将 a＝1000(元)，r＝2.25%，x＝5 代入上式，
得 y ＝1000×(1＋2.25%)5
＝ 1000×1.02255 ≈ 1117.68(元)，
即5期后的本利和约为 1117.68 元.
思 考
在例 5 中，请借助计算器解答下列问题：
(1) 第几期后的本利和超过本金的1.5倍
(2) 要使 10 期后的本利和翻一番，利率应为多少 (精确到 0.001)
例 6
2000~2002 年，我国国内生产总值年平均增长7.8%. 按照这个增长速度，画出从 2000 年开始我国年国内生产总值随时间变化的图象，并通过图象观察到 2016 年我国年国内生产总值约为 2000 年的多少倍 (结果取整数).
解 设 2000 年我国年国内生产总值是 1，x 年后我国年国内生产总值为 y .
因为国内生产总值年平均增长 7.8%，
所以从 2001 年开始，每年的国内生产总值是上一年的 1.078 倍，
则经过1年，y＝1×1.078 ＝1.078；
经过2年，y＝1.078×1.078＝ 1.0782；
经过3年，y＝1.0782×1.078＝1.0783；······
一般地，经过x年，我国年国内生产总值y＝1.078x，
x ∈N*.
画出指数函数 y＝1.078x 的图象，如图 6-2-3 所示从图象上看出，当x＝16 时，y≈3.
答 到2016 年我国国内生产总值约为 2000 年的3倍.
练 习
1. 已知 2016 年我国国内生产总值为a，设以后每年的年
平均增长率为 b，试写出 x 年后国内生产总值 y 和 x
之间的函数关系式：
解 因为2016年国内生产总值为a，以后每年的年平均增长率为b，
2017年为第一年，
则一年后，国内生产总值为：a ＋ab＝a(1＋b)，
二年后，国内生产总值为：
a(1＋)＋a(1＋b)b＝a(1＋b)2，
三年后，国内生产总值为：
a(1＋b)2＋a(1＋b)2b＝a(1＋b)3，
······
则x年后，国内生产总值：
y＝a(1＋b)x (x∈N*)
2. 某种产品的年销售量为 10 000 件，由于其他新产品的
出现，估计该产品的市场需求每年下降 10%. 写出x年
后，年销售量 y (单位：件) 和 x (单位：年) 之间的函
数关系式.
解 1年后销售量为： a－a·15% ＝a(1－15%)；
2年后销售量为：
a(1－15%) －a(1－15%)·15%＝a(1－15%)2；
3年后销售量为：
a(1－15%)2－a(1－15%)2·15%＝a(1－15%)3；
······
x年后销售量为：y＝a(1－15%)x ＝a·0.85x(x∈N*).
3. 某人向银行贷款 10 万元做生意，约定按利率 7% 的复
利计算利息，写出x年后，需要还款总数 y (单位：万
元) 和 x (单位：年) 之间的函数关系式，并用计算器计
算 5 年后的还款总额.
解 由题意可得，
一年后还款总额为：10＋10×7%＝10× (1＋7%)，
二年后还款总额为：
10× (1＋7%)＋10× (1＋7%) ×7%＝10× (1＋7%)2，
三年后还款总额为：
10×(1＋7%)2＋10×(1＋7%)2×7%＝10×(1＋7%)3，
······
又因为x年后，需要还款总额为y，
所以 y＝10×(1＋7%) ＝10×1.07x( x∈N*).
当x＝5时，y＝10×1.075≈14.03.
即5年后的还款总额约为14.03万元
习题 6.2
感受·理解
1. 某种细胞分裂时，由 1个分裂成 2 个，2个分裂成 4 个
·····依此类推，写出这样的一个细胞分裂 x 次后，得
到的细胞个数 y 与分裂次数 之间的函数关系式.
解 由题意知该函数模型为指数函数，
设 y＝ax (a＞0，a≠1)；
∴当x＝1时，y＝2，
∴ a＝2，∴y＝2x(x∈N*).
2. 用清水漂洗衣服，每次能洗去污垢的. 设洗前衣服上
的污垢量为 1，写出衣服上存留的污垢量 y 与漂洗次
数 x 之间的函数关系式. 若要使存留的污垢不超过原
有的 1%，至少要漂洗几次
解 由条件知，每次存留的污垢是上一次存留污垢的，
故存留污垢 y 与漂洗次数 a 的函数关系式为：
y＝()x (x∈N*).
若 y≤1%，则 ()x≤1%，
由()3 ＞1%，且()4＜1%知，x≥4.
故至少要漂洗4次.
3. 比较下列各组数中两个数的大小：
(1) 1.7m，1.7m＋l；
解 1.7m，1.7m＋1可看作函数 y＝1.7x 的两个函数值，
由于1.7＞1，所以函数 y＝1.7x 在R上单调递增，
由于m＜m＋1，所以1.7m＜1.7m＋1.
(2) 0.8－0.1，0.8－0.2；
解 0.8－0.1，0.8－0.2可看作函数 y＝0.8x 的两个数值，
由于0.8＜1，所以函数 y＝0.8x在R上单调递减，
由于－0.1＞－0.2，所以0.8－0.1＜0.8－0.2.
(3) 0.9m，0.9m－1；
解 0.9m，0.9m－1 可看作函数 y＝0.9x 的两个函数值，
由于0.9＜1，所以函数 y＝0.9x 在R上单调递减，
由于m＞m－1，所以 0.9m＜0.9m－1.
(4) 0.6181.9，0.6181.8.
解 0.6181.9，0.6181.8可看作函数 y＝0.618x 的两个数值，
由于0.618＜1，所以函数 y＝0.618x在R上单调递减，
由于1.9＞1.8，所以0.6181.9 ＜ 0.6181.8.
4. 分别把下列各题中的 3 个数按从小到大的顺序用不等
号连接起来：
(1) 22.1，21.9，0.32.1；
解 22.1＞1，21.9＞1，0.32.1＜1，
又 y＝2x 在 R 上单调递增，
2.1＞1.9，22.1＞21.9，
因此 0.32.1＜21.9＜22.1.
(2) 22.5，2.50，()2.5；
(3) 0.80.8，0.80.9，1.20.8；
解 22.5＞1，2.50＝1，()2.5＜1，因此 22.5＜2.50＜()2.5.
解 0.80.8＜1，0.80.9＜1，1.20.8＞1，
又y＝0.8x在R上单调递减，0.8＜0.9，则0.80.9＜0.80.8，
因此 0.80.9 ＜0.80.8 ＜1.20.8.
(4) () ，() ，() .
－
－
－
解 () ＝() ＞1， () ＝() ＜1， () ＞1，
又y＝()x在R上单调递增， ＜ ，则() ＜ () ，
因此 () ＜() ＜() .
－
－
－
－
5. 设 m，n 为实数，已知下列不等式成立，试比较 m，n
的大小：
(1) 2m ＜ 2n；
解 ∵ 2＞1.
∴ y＝2x 在R上是单调增函数，
∵ 2m＜2n.
∴m＜n；
(2) 0.2m ＜ 0.2n；
解 ∵0＜0.2＜1，
∴y＝0.2x 在R上是单调减函数，
又∵0.2m＜0.2n.
∴m＞n；
(3) am＜an (0＜a＜1).
解 ∵0＜a＜1.
∴y＝ax 在R上是单调减函数，
又∵ am＜an
∴m＞n.
6. 设 a 为实数，a＞0，a≠1.已知下列不等式成立，求 a
的取值范围：
(1) a3＜ a2；
解：∵ a3＜a2，
∴函数y＝ax 在 R 上是减函数，∴0＜a＜1.
(2) a0.8＜ a0.5；
解：∵ a0.8＜a0.5，
∴函数y＝ax 在 R 上是减函数，∴0＜a＜1.
(3) a－2 ＞ a－3；
解：∵ a－2＞a－3，
∴函数y＝ax 在 R 上是增函数，∴a＞1.
(4) am ＞ an (m＞n).
解：∵ am＞an，
∴函数y＝ax 在 R 上是增函数，∴a＞1.
7. 解下列方程：
(1) 2x＝；
解 由2x＝，可得2x＝2 ，
由指数函数是单调函数可得 x＝.
综上所述，结论是：方程 2x＝ 的解是 x＝.
(2) 4x＝8；
解 由4x＝8，可得(22) x＝23，即 22x＝23，
由指数函数是单调函数可得 2x＝3.
解得 x＝.
(3) 2x＝3x.
解 由2x＝3x，可得 ＝1，即()x＝1，
即 ()x ＝ ()0 ，
由指数函数是单调函数可得 x＝0.
8. 求满足下列条件的实数 x 的取值范围：
(1) 3x＜ 9；
(2) 2x ＞ ；
解 由3x＜9，得3x＜32. ∴x＜2；
解 由2x＞，得 2x＞2－3. ∴x＞－3；
(3) ()x ＞；
(4) 3x ＞7x .
解 由()x ＞，得3－x＞3 . ∴ －x＞ 则 x＜－；
解 由3x＞7x，根据幂函数的性质，可得 x＜0.
9. 设 f(x)＝3x，求证：
(1) f(x)f(y) ＝ f(x＋y)；
解 ∵ f(x) ＝3x.
∴左边＝3x·3y＝3x＋y，右边＝3x＋y，
即左边＝右边，
∴原式得证.
(2) f(x)÷f(y) ＝ f(x－y).
解 ∵ f(x)＝3x，
∴左边＝＝3x－y，右边＝ 3x－y，
即左边＝右边，
∴ 原式得证.
10. (1) 一电子元件厂去年生产某种规格的电子元件 a 个，
计划从今年开始的m年内，每年生产此种规格电子
元件的产量比上一年增长 p%，试写出此种规格电子
元件的年产量随年数变化的函数关系式；
解 设从今年开始的第x年的电子元件的产量为y，去年电子元件的产量为a个，今年是第一年，
第一年电子元件的产量为：a＋ap% ＝ a(1＋p%)；
第二年电子元件的产量为：
a(1＋p%)＋a(1＋p%)p% ＝ a(1＋p%)2
第三年电子元件的产量为：
a(1＋p%)2＋a(1＋p%)p%＝a(1＋p%)3
······
所以 y＝a(1＋p%)x (0＜x＜m，x∈N)；
(2) 一电子元件厂去年生产某种规格电子元件的成本是 a
元/个，计划从今年开始的 m 年内，每年生产此种规
格电子元件的单件成本比上一年下降 p%，试写出此
种规格电子元件的单件成本随年数变化的函数关系式.
解 设从今年开始的第x年的电子元件的单件成本为y，
去年电子元件的成本是a元/个，今年是第一年，
第一年电子元件的单件成本为：a－ap%＝a(1－p%).0
第二年电子元件的单件成本为：
a(1－p%)－a(1－p%)p% ＝ a(1－p%)2
第三年电子元件的单件成本为：
a(1－p%)2－a(1－p%)p% ＝ a(1－p%)3
所以 y＝a(1－p%)x (0＜x≤m，x∈N)
11. 设 a，k 为实数，a＞0，a≠1. 试根据如图所示的函数
y＝ka－x的图象，求 k 和 a 的值.
解 函数 y＝ka－x 的图象过点(0，8)和点(3，1)，
代入得 ，解得 .
8＝ka0
1＝ka－3
k＝8
a＝2
12. 设 a，b 为实数，a＞0，a≠1. 已知函数 y＝ax＋b的图
象如图所示，求 a，b 的取值范围.
解 ∵函数 y＝ax＋b 在R上单调递增，
∴a＞1.
∴ a的取值范围是(1，＋∞)；
∵当x＝0时，y＝a0＋b＝1＋b＜0.
∴b＜－1，
∴b的取值范围是(－∞，－1)
∴a的取值范围是(1，＋∞)；b的取值范围是(－∞,－1).
思考·运用
13. 设 a 为实数，已知函数 f(x)＝a＋ (x∈R)是奇数，
求 a 的值.
解 由题意函数 f(x)的定义域为R，
所以 f(0)＝a＋＝ a＋＝0，解得a＝－ ，
经检验，当a＝－时， f(x)＝－＋是奇函数，
故a的值为－.
14. 已知函数 f(x)＝ ，试讨论函数 f(x) 的单调性.
解 ∵ f(x)＝1－，设x1，x2∈R，x1＜x2，得2x1 ＜2x2，
f(x1)－f(x2)＝ －＝ ，
∴f(x1)＜f(x2)，
故函数 f(x) 是增函数.
15. 已知 y＝f(x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x＜0 时，
f(x)＝1＋2x，你能画出此函数的图象吗
解 先在坐标系中画出函数 y＝2x的图像，再向上平移1个单位，取 y 轴左侧部分再作出关于原点的对称图形，所得图像就是函数 y＝f(x) 的图像(包括原点)，如图所示.
16. 有些家用电器(如冰箱等)使用了氟化物，氟化物的释
放破坏了大气上层的臭氧层，使臭氧含量 Q 呈指数
函数型变化，在氟化物排放量维持某种水平时，具
有关系式Q＝Q0e－0.0025t，其中Q0是臭氧的初始量.
(1) 随时间 t 的增加，臭氧的含量是增加还是减少
(2) 试估计多少年以后将会有一半的臭氧消失.
(用计算器计算)
(1) 随时间 t 的增加，臭氧的含量是增加还是减少
解 对于函数Q＝Q0e－0.0025t1，显然 Q＞0，
任取 t1＞t2，则 t2－t1＜0，
则 ＝ ＝e－0.0025(t1－t2) ＝e0.0025(t2－t1)，
∵ t2－ t1＜0，∴ ＝e0.0025(t2－t1) ＜e0 ＝1，∴Q1＜Q2，
因此随着时间t的增加，臭氧的含量是减少的.
(2) 试估计多少年以后将会有一半的臭氧消失.
(用计算器计算)
解：令＝e－0.0025t＝，
解得－0.0025t＝ln≈－0.6931，
从而 t≈277.
∴估计277年以后将会有一半臭氧消失.
探究·拓展
17. 已知函数 f(x)＝2x，对于任意的 x1，x2∈R，试比较
与f()的大小关系.
解 ∵ f(x)＝2x，
∴ ＝ ，f() ＝2 ，
则 －f() ＝ －2
≥ －2 ＝2 －2 ＝0.
当且仅当2x1＝2x2 时等号成立，即 x1＝x2 时等号成立.
当 x1＝x2时， ＝ f()；
当 x1≠x2时， ＞ f().
本课结束
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