7.3 三角函数的图象和性质 课件（共227张PPT）

(共227张PPT)
第7章
三角函数
7 . 3
三角函数的图象和性质
三角函数是刻画圆周运动的数学模型，那么，“周而复始”的基本特征必定蕴含在三角函数的性质之中.
● 三角函数具有哪些性质
7 . 3 . 1
三角函数的周期性
由单位圆中的三角函数线可知，正弦、余弦函数值的变化是现出周期现象. 每当角增加(或减少)2，所得角的终边与原来角的终边相同，故两角的正弦、余弦函数值也分别相同，即有
sin(2π＋x) ＝sin x，cos(2π－x) ＝ cos x .
正弦函数和余弦函数所具有的这种性质称为周期性.
● 如何用数学语言刻画函数的周期性
一、函数的周期性
(1) 周期函数：
若记f(x)＝sinx，则对于任意x∈R，都有f(x＋2π)＝f(x).
设函数 y＝f(x)的定义域为A.
如果存在一个非零常数T，使得对于任意的 x∈A，都有 x＋T∈A，并且 f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫作周期函数，非零常数T叫作这个函数的周期.
易知 2π 是正弦函数和余弦函数的周期，且 4π，6π，
···以及－2π，－4π，···都是正弦函数和余弦函数的周期，即每一个常数 2k (k∈Z且k≠0) 都是这两个函数的周期.
思 考
一个周期函数的周期有多少个 周期函数的图象具有什么特征
(2) 最小正周期：
如果在周期函数 f(x) 的所有周期中存在一个最小的_________，那么这个最小的正数就叫作 f(x) 的最小正周期.
正数
(3)本质：
函数值随着自变量的取值周期性出现相同的函数值.
(4)应用：
函数的周期性是函数的重要性质,是高考中常见的考查知识点，在生活中也有很多的应用.
例如，2π 是正弦函数的所有周期中的最小正数 (同学们可从单位圆中正弦线的变化特征看出这一结论，其证明见本节后“链接”)，所以 2π 是正弦函数的最小正周期；同样地，2π 也是余弦函数的最小正周期.
因此，正弦函数和余弦函数都是周期函数，2k (k∈Z 且 k≠0) 都是它们的周期，它们的最小正周期都是 2π.
通过观察正切线不难发现，正切函数 y＝tan x 也是周期函数，并日最小正周期是π .
今后本书中所说的周期，如果不加特别说明，一般都是指函数的最小正周期.
【思考】
周期函数都有最小正周期吗
提示：周期函数不一定存在最小正周期. 例如，对于常数函数 f(x)＝c (c为常数，x∈R)，所有非零实数T都是它的周期，而最小正周期是不存在的，所以常数函数没有最小正周期.
例 1
已知作周期性运动的钟摆的高度 h (单位：mm) 与时间 t (单位：s) 之间的函数关系如图 7-3-1 所示：
(1) 求该函数的周期；
解 由图象可知，该函数的周期为 1.5 s.
(2) 求 t＝10 s 时钟摆的高度.
解 设 h＝f(t)，由函数 f(t) 的周期为 1.5 s，
可知f(10)＝f(1＋6×1.5)
＝f(1)
＝20.
所以 t＝10s 时钟摆的高度为 20 mm.
例 2
求函数 f(x) ＝cos 2x 的周期.
解 设 f(x) 周期为 T ，则 f(x＋T) ＝f(x)，即 cos 2(x＋T) ＝cos2x 对任意实数 x 都成立. 也就是 cos(u＋2T)＝cosu 对任意实数 u 都成立，其中u＝2x.
由 y＝cos u 的周期为2π，可知使得 cos(u＋2T)＝cosu对任意实数u都成立的2T的最小正值为 2π，可知2T＝2π，即T＝π.
所以 f(x)＝cos 2x 的周期为 π.
二、正、余弦函数的周期
一般地，
函数 y＝Asin(ωx＋φ)及 y＝Acos(ωx＋φ) (其中A，ω，φ为常数，且 A≠0，ω＞0) 的周期为________.
函数 y＝Atan(ωx＋φ) (其中A，ω， φ为常数，且 A≠0，ω＞0) 的周期为________.
例如，对于函数 g(x) ＝ 2sin(x－)，可直接由 T＝ 求得 g(x) 的周期为 4π.
若函数 y＝f(x) 的周期为 T，则函数 y＝Af(ωx＋φ) 的周期为(其中A， ω， φ 为常数，且 A≠0， ω≠0).
【思考】
当函数 y＝Asin(ωx＋φ)中，ω＜0时，函数的周期是多少
提示：函数 y＝Asin(ωx＋φ) 及 y＝Acos(ωx＋φ) (其中A，ω，φ为常数，且A≠0) 的周期为 .
【基础小测】
1. 辨析记忆(对的打“ ”，错的打“ ”)
(1)若sin(＋)＝sin，则是函数y＝sinx的一个周期.
(　　)
(2)若存在正数T，使 f(x＋T) ＝－f(x)，则函数 f(x) 的周期为2T. (　　)
(3) 周期函数的周期只有唯一一个. (　　)



2. 函数 f(x)＝2sin(4x＋) 的最小正周期是 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C.π D.2π
B
解析：因为ω＝4，所以 T＝ ＝ ＝ .
解析
3. 若函数 f(x)(x∈R) 的图象如图所示.
则该函数的周期为　　 (　　)
A.1 B.2 C.2.5 D.5
B
解析：根据函数的图象知，函数的周期为2.
解析
【跟踪训练】
1. 今天是星期三，从明天算起，第167天是 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.星期一 B.星期二 C.星期三 D.星期四
B
解析：因为周期 T＝7，又167＝23×7＋6，
故第167天是星期三的前一天，星期二.
解析
2. 函数 y＝sin 4x 的最小正周期是 (　　)
A. 4π B. 2π C. π D.
D
解析： T＝ ＝ .
解析
3. 若 f(x) 是 R 上周期为 5 的奇函数，且满足 f(1)＝1，f(2)＝2，则 f(3)－f(4) ＝ (　　)
A.1 B. －1 C.3 D. －3
B
解析：因为 f(x＋5) ＝f(x)，f(－x) ＝－f(x)，
所以 f(3) ＝f(3－5) ＝f(－2) ＝－f(2) ＝－2，
所以 f(4) ＝f(4－5) ＝f(－1) ＝－f(1) ＝－1，
所以 f(3) －f(4) ＝－2＋1＝－1.
解析
4. 函数 f(x) ＝sin(－)，x∈R 的最小正周期为(　　)
A. B.π C.2π D.4π
D
解析：f(x) ＝sin(－) ＝ sin (＋2π－)
＝sin[ ＋4π)－ ] ＝ f(x＋4π).
所以 f(x) 的最小正周期为4π.
解析
5.函数 f(x) 是以 2 为周期的函数，且f(2)＝3，则 f(8)＝
____________.
3
解析：因为 f(x) 的周期为2，所以 f(x＋2) ＝f(x)，
所以 f(8)＝f(2＋3×2)＝f(2)＝3.
解析
练 习
1. 判断下列说法是否正确，并简述理由：
(1) x＝时， sin(x＋)≠sinx，则不是函数 y＝sin x
的周期；
解 正确.
由周期函数的定义易知说法正确.
(2) x＝ 时，sin (x＋) ＝sin x，则 一定是函数
y＝ sinx 的周期.
解 不正确.
由周期函数的定义知，要使非零常数 T是f(x)的周期，则需对f(x)定义域上的任意x，等式 f(x＋T)＝f(x)恒成立，而sin(x＋)＝sinx 仅对个别x成立，故不是 y＝sinx 的周期.
2. 求下列函数的周期：
(1) y＝2cos 3x；
解 ∵y＝cosx 的周期为 T＝2kπ，k∈Z且k≠0，
∴y＝2cos3x 的周期为T＝，k∈Z且k≠0，
综上所述，结论是：函数的周期是
T＝ ，k∈Z且k≠0.
(2) y＝sin ；
解 ∵y＝sinx 的周期为 T＝2kπ，k∈Z且k≠0，
∴y＝2 sin 的周期为T＝＝6kπ ， k∈Z且k≠0，
综上所述，结论是：函数的周期是
T＝ 6kπ ，k∈Z且k≠0.
3. 设k为正数，若函数f(x)＝sin(kx＋)的最小正周期为，
求 k 的值.
解：∵ k＞0，
∴函数 f(x)＝sin(kx＋) 的最小正周期 T＝，
则 ＝ ，
∴ k＝3.
4. 已知弹管振子对平衡位置的位移 x (单位：cm) 与时间
t (单位：s) 之间的函数关系如图所示.
(1) 求该函数的周期；
解 由图可知，
函数的周期 T＝4 s.
(2) 求 t ＝ 10.5 s 时弹簧振子对平横位置的位移.
解 令 x＝f(t)，
∵ f(10.5) ＝f(2×4＋2.5) ＝f(2.5) ＝－8，
∴当t＝10.5 s 时，弹簧振子对平衡位置的位移为 －8 cm.
链 接
2π 是正弦函数的最小正周期
由诱导公式易知，2π 是正弦函数的一个周期. 下面用反证法证明 2π 是它的最小正周期.
假设 0＜T＜2，且T是正弦函数的周期，则对任意实数x，都有 sin(x＋T)＝sinx 成立，令 x＝0，得 sinT＝0，
又0＜T＜2π，故T＝π，从而对任意实数x，都有sin(x＋π)＝sin x 成立，与 sin(＋π)≠sin 矛盾，故正弦函数没有比 2π 小的正周期.
由此可知，2π 是正弦函数的最小正周期.
7 . 3 . 2
三角函数的图象与性质
为了更加直观地研究三角函数的性质，可以先作出它们的图象.
● 怎样作出三角函数的图象
先画正弦函数的图象. 由于 y＝sin x 是以 2π为周期的周期函数，故只要画出在[0，2π]上的图象，然后由周期性就可以得到整个图象.
下面我们借助正弦线来画出 y＝sin x 在 [0，2π] 上的图象.
首先，我们来作坐标为(x0，sin x0)的点S(不妨设 x0＞0).
如图 7-3-2 所示，在x轴上任取一点O′，以O′为圆心，单位长为半径作圆在⊙O′中，设的长为x(即∠AO′P＝x)，则 MP＝sinx0. 所以点 S (x0，sinx0) 是以的长为横坐标，正弦线 MP 的数量为纵坐标的点.
知道如何作出函数 y＝sinx 图象上的一个点，就可作出一系列点. 例如，在 ⊙O′ 中，作出对应于
， ， ，···，
的角及相应的正弦线. 相应地，把 轴上从 0 到 2π 这一段分成12等份.
把角 x 的正弦线向右平移，使它的起点与 x 轴上表示数的点重合，再用光滑曲线把这些正弦线的终点连接起来，就得到正弦函数 y＝sin x 在 [0，2π] 上的图象，如图 7-3-3 所示.
最后我们只要将函数 y＝sin x，x∈[0，2π] 的图象向左、右平移(每次 2π 个单位)，就可以得到正弦函数 y＝sin x， x∈ R 的图象(图7-3-4). 正弦函数的图象叫作正弦曲线.
以上是借助正弦线描点来作出正弦曲线，也可以通过列表描点来作出正弦曲线，或利用图形计算器、计算机来作出正弦曲线.
信息技术
在 Excel 中可用“描点连线”的方法绘制正弦曲线，步骤如下.
(1) 设置角 (弧度)：在单元格 A1，A2 内分别输入 0，0.1，选中 A1，A2 后拖拽填充柄至单元格出现 6.3为止.
(2) 计算正弦值：在 B1 内输入“＝sin(A1)”，双击 Bl 的填充柄即得到与第一列相对应的正弦值.
(3) 成图：光标置于数据区任一位置，按“插入/图表/散点图”选择“无数据点平滑散点图”，点击“完成” (图 7-3-5).
由图7-3-5可以看出，函数 y＝sin x，x∈[0，2π] 的图象上起着关键作用的点有以下五个：
(0，0)，(，1)，(π，0)，(，－1)，(2π，0).
事实上，描出五点后，函数 y＝sin x，x∈[0，2π] 的图象形状就基本确定了.因此在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑的曲线将它们连接起来，就得到函数的简图. 这种作图方法称为“五点法”.
一、正弦曲线
(1) 正弦曲线
正弦函数 y＝sin x，x∈R 的图象叫正弦曲线.
(2) 正弦函数图象的画法
① 几何法：
(ⅰ) 利用正弦线画出 y＝sin x，x∈[0，2π] 的图象；
(ⅱ) 将图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度).
②“五点法”：
(ⅰ) 画出正弦曲线在 [0，2π] 上的图象的五个关键点 (0，0)，_________，(π，0)，___________，(2π，0)，用光滑的曲线连接；
(ⅱ) 将所得图象向左、向右平行移动 (每次 2π 个单位长度).
(，1)
(，－1)
(3)本质：
正弦曲线是正弦函数的图形表示，是正弦函数的一种直观表示.
(4) 应用：
根据正弦曲线，能帮助学生更直观地认识正弦函数，进而根据正弦曲线推导正弦函数的一些常用性质.
【思考】
在作 y＝2＋sin x 的图象时，应抓住哪些关键点
提示：作正弦函数 y＝2＋sin x，x∈[0，2π] 的图象时，起关键作用的点有以下五个：
(0，2)，(，3)，(π，2)，(，1)，(2π，2).
二、余弦曲线
(1) 余弦曲线
余弦函数 y＝cos x，x∈R 的图象叫余弦曲线.
(2) 余弦函数图象的画法
①由 cos＝sin (x＋)，知 y＝cos x 图象可由 y＝sin x 图象向_____平移_____个单位得到.
左
② 用“五点法”画余弦曲线 y＝cos x 在 [0，2π] 上的图象时，所取的五个关键点分别为(0，1)，(，0)， __________，(，0) ，__________，再用光滑的曲线连接.
(π，－1)
(2π，1)
【思考】
y＝cos x (x∈R) 的图象可由 y＝sin x (x∈R) 的图象平移得到的原因是什么
提示：因为 cos x＝sin(x＋)，所以 y＝sin x (x∈R) 的图象向左平移个单位长度可得 y＝cos x (x∈R) 的图象.
观察正弦曲线和余弦曲线(图 7-3 - 6)，我们得到正弦函数、余弦函数有以下主要性质.
(1) 定义域：
正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集_____.
R
(2) 值域
由正弦曲线和余弦曲线可以发现，
－1≤sin x ≤1， － l ≤cos x ≤ 1，
而且 sin x，cos x 都可以取 [－1，1] 中的一切值.这说明正弦函数、余弦函数的值域都是____________.
[－1，1]
其中正弦函数：
当且仅当 x＝___________ (k∈Z) 时取得最大值 1，
当且仅当 x＝ ___________ (k∈Z) 时取得最小值－1.
＋2kπ
－＋2kπ
余弦函数：
当且仅当 x＝ ___________ (k∈Z) 时取得最大值 1，
当且仅当 x＝ ___________ (k∈Z) 时取得最小值－1.
2kπ
(2k＋1)π
(3) 周期性：
正弦函数和余弦函数都是周期函数，并且周期都是________.
(4) 奇偶性：
正弦函数是奇函数，其图象关于_______对称：余弦函数是偶函数其图象关于 _______ 对称.
2π
原点
y 轴
(5) 单调性：
由正弦曲线可以看出，当 x 由－ 增大到时，曲线逐渐上升，sin x 的值由－1增大到1；
当x由增大到时，曲线逐渐下降，sin x 的值由1 减小到－ 1.
这个变化情况如下表所示：
由正弦函数的周期性可知：正弦函数在每一个闭区间
[－＋2kπ， 2kπ (k∈Z)
上都单调递增，其值由－1增大到 1；
在每一个闭区间
[＋2kπ， 2kπ (k∈Z)
上都单调递减，其值由 1 减小到－1.
三、正弦函数、余弦函数的性质
(1)图象与性质
解析式 y＝sin x y＝cos x
图象
值域 ____________ ____________
[－1，1]
[－1，1]
解析式 y＝sin x y＝cos x
单调性 在__________________ _________上单调递增， 在__________________ ________上单调递减. 在________________
________上单调递增，
在________________
________上单调递减.
[－＋2kπ ，＋ 2kπ ]
(k∈Z)
[＋2kπ ，＋ 2kπ ]
(k∈Z)
[－π＋2kπ ，2kπ ]
(k∈Z)
[2kπ ，π＋2kπ ]
(k∈Z)
解析式 y＝sin x y＝cos x
最值 x＝_______________时，ymax＝1； x＝_______________时，ymin＝－1 x＝_____________时，
ymax＝______；
x＝______________时，ymin＝_______.
＋2kπ，(k∈Z)
－＋2kπ，(k∈Z)
2kπ，(k∈Z)
1
π＋2kπ，(k∈Z)
－1
(2)本质：
函数的单调递增、单调递减是描述图象上升、下降的性质.
(3)应用：
求函数的单调区间、函数的最值及取得最值时自变量x的值.
【思考】
从图象的变化趋势来看，正弦、余弦函数的最大值、最小值点分别处在什么位置
提示：正弦、余弦函数的最大值、最小值点均处于图象拐弯的地方.
思 考
试讨论余弦函数的单调性.
例 3
用“五点法”画出下列函数的简图：
(1) y＝2cos x，x∈R；
解 (1) 先用“五点法”画一个周期的图象，列表：
描点画图，然后由周期性得整个图象(图 7－3－7).
(2) y＝ sin 2x，x∈R.
解 先用“五点法”画一个周期的图象，列表：
描点画图，然后由周期性得出整个图象 (图7－3－8).
例 4
求下列函数的最大值及取得最大值时自变量 x的集合：
(1) y＝cos ；
(2) y＝2－sin 2x；
解 (1) 函数 y＝cos 的最大值为1.
因为使 cos z 取得最大值的之的集合为
{z∣z＝2kπ，k∈Z}，
令 z＝，由 ＝2kπ，得x＝6kπ.
所以使函数 y＝cos 取得最大值的 x 的集合为
{x∣x＝6kπ，k∈Z).
(1) y＝cos ；
(2) y＝2－sin 2x；
解 (2) 函数 y＝2－sin 2x 的最大值为2－ (－1) ＝3.
因为使 sin z 取得最大值的之的集合为
{z∣z＝－＋2kπ，k∈Z}，
令 z＝2x ，由 2x＝－＋2kπ，得x＝－＋kπ.
所以使函数 y＝2－sin 2x 取得最大值的 x 的集合为
{x∣x ＝－＋kπ，k∈Z).
例 5
不求值，分别比较下列各组中两个三角函数值的大小：
(1) sin(－)与 sin(－)；
(2) cos 与cos .
(1) sin(－)与 sin(－)；
解 (1) 因为 y＝sinx 在区间 [－ ，0]，上是增函数，
且－ ＞ － ，
所以 sin(－) ＞ sin(－).
(2) cos 与cos .
解 (2) 因为 y＝cos x 在区间 [，π]，上是减函数，
且 ＜ ，
所以 cos ＞ cos .
【基础小测】
1. 辨析记忆(对的打“ ”，错的打“ ”)
(1)“五点法”作正、余弦函数的图象时的“五点”是指图象上的任意五点. (　　)
(2) 余弦函数 y＝cos x 的图象与 y＝sin x 的图象形状和位置都不一样. (　　)
(3) 函数y＝sin x与y＝sin(－x)的图象完全相同. (　　)



2. 以下对正弦函数y＝sinx的图象描述不正确的是(　　)
A. 在x∈[2kπ，2(k＋1)π](k∈Z) 上的图象形状相同，只是位置不同
B.介于直线 y＝1与直线 y＝－1之间
C.关于x轴对称
D.与y轴仅有一个交点
C
解析：画出 y＝sin x 的图象(图略)，根据图象可知 A，B，D 三项都正确.
解析
3. 函数 y＝－xcos x 的部分图象是 (　　)
D
解析：因为 y＝－xcos x 是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除A，C项；当x∈(0，)时，y＝－xcos x＜0，所以排除B项.
解析
【跟踪训练】
1.用“五点法”画函数 y＝2－3sin x 的图象时，首先应描出五点的横坐标是 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. 0，，，，π B. 0， ，π， ，2π
C. 0，π，2π，3π，4π D.0，，，，
B
解析：所描出的五点的横坐标与函数 y＝sin x 的五点的横坐标相同，即0， ，π， ，2π，故选B.
解析
2. 函数 y＝cos x 与函数 y＝－cos x 的图象 (　　)
A. 关于直线x＝1对称 B. 关于原点对称
C. 关于x轴对称 D. 关于y轴对称
C
解析：由解析式可知 y＝cos x 的图象过点 (a，b)，则 y＝－cos x 的图象必过点(a，－b)，由此推断两个函数的图象关于x轴对称.
解析
3.在同一平面直角坐标系内，函数y＝sin x，x∈[0，2π]与 y＝sin x，x∈[2π，4π] 的图象 (　　)
A.重合 B.形状相同，位置不同
C.关于y轴对称 D.形状不同，位置不同
B
解析：根据正弦曲线的作法可知函数 y＝sin x，x∈[0，2π]与 y＝sin x，x∈[2π，4π] 的图象只是位置不同，形状相同.
解析
4. 如图是下列哪个函数的图象 (　　)
A. y＝1＋sin x，x∈[0，2π]
B. y＝1＋2sin x，x∈[0，2π]
C. y＝1－sin x，x∈[0，2π]
D. y＝1－2sin x，x∈[0，2π]
C
解析：把(，0)这一点代入选项检验，即可排除A、B、D.
解析
5. 在 [0，2π] 内，不等式 sin x＜－的解集是 (　　)
A. (0，π) B. (，)
C. (，) D. (，2π)
C
练 习
1. 下列各等式有可能成立吗 为什么
(1) 2cos x ＝ 3；
解 不可能
理由如下：∵2 cosx ＝3，∴cosx＝1.5.
又∵－1≤cosx≤1，
∴等式 2cosx＝3 不可能成立.
(2) sin2x ＝ 0.5.
解 可能
理由如下：∵sin2x＝0.5＝，∴ sinx＝±，
∵ －1≤≤1， －1≤－≤1，
∴当 sinx＝±时，等式 sin2x＝0.5成立.
2. (1) 函数 y＝sinx 的图象是轴对称图形吗 若是，写出
它的一条对称轴.
解 函数 y＝sinx 的图象是轴对称图形，其对称轴为直线 x＝kπ＋ (k∈Z)
故其一条对称轴为直线 x＝ .
(2) 函数 y＝sin x 的图象是中心对称图形吗 若是，写出
它的一个对称中心.
解 函数 y＝sinx 的图象是中心对称图形，
其对称中心为(kπ，0) (k∈Z)，
故其一个对称中心为 (0，0).
3. 画出下列函数的简图，并说明这些函数的图象与正弦
曲线的区别和联系：
(1) y＝sin x－ l；
解 先用“五点法”作出函数y＝sinx－1在[0，2π]上的图象，列表：
x 0 π 2π
sinx 0 1 0 －1 0
sinx－1 －1 0 －1 －2 －1
描点画图，再将函数图象向左或向右平移 2kπ (k∈N*)个单位，得函数y＝sinx－1在R上的图象，
将正弦曲线y＝sinx下平移1个单位长度得到y＝sinx－1 的图象；
(2) y＝2sin x.
解 先用“五点法”作出函数在 [0，2] 上的图象，列表：
x 0 π 2π
sinx 0 1 0 －1 0
2sinx 0 2 0 －2 0
描点画图，再将函数图象向左或向右平移 2kπ (k∈N*)个单位，得函数y＝2sinx在R上的图象，
将正弦曲线 y＝sinx 上的每个点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到 y＝2sinx 的图象.
4. 画出下列函数的简图，并说明这些函数的图象与余弦
曲线的区别和联系：
(1) y＝1＋cos x；
解 函数 y＝1＋cosx 的图象，可以看作是把 y＝cosx 的图象上所有的点向上平移1个单位而得到的.
(2) y＝cos(x＋).
解 函数 y＝cos(x＋)的图象，可以看作是 y＝cosx 的图象上所有的点向左平移个单位而得到的.
5. 求下列函数的最小值及取得最小值时自变量x的集合：
(1) y＝－2sin x；
解 ∵ x∈R，
∴ sin x∈[－1，1]，
当x＝2kπ，k∈Z时，(sinx)max＝1，
∴ y＝－2sinx 的最小值为－2.
此时自变量x的集合为{x∣x＝＋2kπ，k∈Z}.
(2) y＝2－cos ；
解 ∵ x∈R，
∴ cos ∈[－1，1]，
当 ＝2kπ，k∈Z时，
即：x＝6kπ，k∈Z时，(cos )max＝1，
∴ y＝2－cos 的最小值为：2－1＝1.
此时自变量x的集合为{x∣x＝6kπ，k∈Z}.
6. 函数 y＝sin x ( ≤ x ≤ ) 的值域是 ( ).
A. [－1，1] B. [，1]
C. [， ] D.[，1]
B
7. 求下列函数的单调区间：
(1) y＝sin( x＋ )；
解 对于函数 y＝sin(x＋)，令2kπ－≤x＋≤2kπ＋，
求得 2kπ－≤x≤2kπ＋，
可得函数的增区间为：[2kπ－， 2kπ＋] k∈Z.
令2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，
求得 2kπ＋≤x≤2kπ＋，
可得函数的减区间为：[2kπ＋，2kπ＋] k∈Z.
(2) y＝3cos x；
解 对于函数 y＝3cosx，可得它单调性和 y＝cosx 的单调性一致，
故它的增区间为 [2kπ－π，2kπ]，k∈Z，
减区间为[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z.
8. 不求值，分别比较下列各组中两个三角函数值的大小：
(1) sin 250°与sin 260°；
(2) cos 与 cos .
由于正切函数 y＝tanx 是以为周期的周期函数，故只需先画出一个周期内的图象，然后由周期性，就可得出整个图象.
先利用正切线来画出函数 y＝tanx (x∈(－，))的图象.
把上述图象向左、右平移(每次 个单位)，就可得到正切函数的图象，并把它称为正切曲线.
四、正切函数的图象与性质
(1) 图象与性质
解析式 y＝tan x
图象
定义域
{x∣x∈R ，x≠＋kπ，k∈Z}.
解析式 y＝tan x
值域 R
周期 π
奇偶性 _____函数
对称中心 __________，k∈Z
单调性 在每一个区间__________________________ 上都单调递增
奇
(，0)
(－＋kπ，＋kπ)，k∈Z}.
(2)本质：
根据正切函数的解析式、图象，总结正切函数的性质.
(3)应用：
画正切函数的图象，解决关于正切函数的定义域、值域、单调性等问题.
【思考】
正切函数在整个定义域上都是增函数吗
提示：不是.正切函数在每一个区间(kπ－，kπ＋)(k∈Z)
上是单调递增的.但在整个定义域上不是增函数.
例 6
求函数 y＝tan(2x－) 的定义域.
解 因为 y＝tanx 的定义域为
{x∣x∈R ，x≠＋kπ，k∈Z}，
令 z＝2x－，由2x－≠＋kπ，得 x≠＋.
所以 y＝tan(2x－) 的定义域是
{x∣x≠＋，k∈Z}.
【基础小测】
1. 辨析记忆(对的打“ ”，错的打“ ”)
(1) 正切函数的定义域和值域都是R. (　　)
(2) 正切函数是中心对称图形，对称中心是原点. (　　)
(3) 存在某个区间，使正切函数在该区间上是单调递减的. (　　)



2. 若 f(x)＝tanωx (ω＞0) 的周期为1，则 f()的值为(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. － B. － C. D.
D
解析：因为f(x)＝tan ωx (ω＞0)的周期为 ＝1，
所以 ω＝π，即f(x)＝tan πx，则 f()＝tan＝.
解析
3. 函数 y＝tan(2x－) 的定义域为___________________.
{x∣x≠＋，k∈Z}
解析：因为 2x－≠kπ＋，k∈Z，所以 x≠＋， k∈Z，
所以函数 y＝tan(2x－) 的定义域为
{x∣x≠＋，k∈Z}.
解析
【跟踪训练】
1.与函数 y＝tan(2x－)的图象不相交的一条直线是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. x＝ B. x＝－ C. x＝ D. x＝－
D
解析：当x＝－时，2x－＝－，而－的正切值不存在，
所以直线 x＝－与函数的图象不相交.
解析
2. 在(0，2π)内，使 tan x＞1 成立的x的取值范围为 (　　)
A. (， ) B. (π，π)
C. (， )∩(π，π) D. (， )∪(π，π)
D
解析：因为 x∈(0，2π)，由正切函数的图象，可得使 tan x＞1成立的 x 的取值范围为(， )∪(π，π) .
解析
3. 函数 f(x) ＝|tan 2x|是 (　　)
A. 周期为π的偶函数 B. 周期为π的奇函数
C. 周期为的偶函数 D. 周期为的奇函数
C
解析：f(－x) ＝ |tan(－2x)| ＝ |tan 2x| ＝ f(x) 为偶函数，T ＝ .
解析
4. 比较大小：tan ______ tan.
＜
解析：因为 tan＝ tan，tan＝tan，
又0＜ ＜ ，
y＝tan x 在[0，) 内单调递增，
所以tan ＜tan ，即tan ＜ tan.
解析
练 习
1. 观察正切函数的图象，分别写出满足下列条件的 x
的集合：
(1) tan x＝0；
(2) tan x＜0；
解 (1)由 tanx＝0，得 x＝T，k∈Z，
∴x的集合为{x∣x＝kπ，k∈Z}；
(2) 由 tanx＜0，得 kπ－＜x＜ kπ，k∈Z，
∴x的集合为{x∣ kπ－＜x＜kπ，k∈Z}；
2. 求下列函数的定义域：
(1) y＝tan 3x； (2) y＝tan (x＋)；(3) y＝tan(3x＋).
3. 不求值，判断下列各式的符号：
(1) tan 138°－ tan 143°；
解 ∵ 90°＜138°＜ 270°，90°＜143°＜ 270°，
且 y＝tan x 在 (90°270) 上是增函数，
∴ tan 138°＜tan 143°，
∴ tan 138°－tan 143°＜ 0，故原式为负.
(2) tan (－)－tan (－).
解 ∵ tan(－)－tan (－) ＝tan－tan，
且 y＝tanx 在(，π)上是增函数， ＞，
∴ tan＞tan，∴ tan－tan ＞0，
即tan (－)－tan (－) ＞0，故原式为正.
阅 读
正切、余切等三角函数的由来
古人立杆测日影以定时间。后来发展成为日晷，在中国有周公测景的记载(约公元前 1100 年). 希腊泰勒斯(Thales，约公元前 625－前 547)利用日影确定金字塔的高. 我国唐代一行(原名张遂，683－727)创制《大衍历》，在实测的基础上利用三次内插法算出每个节气初日8 尺之表的日影长，实际上相当于一个正切表.
由日影的测量就逐步形成了正切和余切的概念.
阿拉伯天文学家、数学家巴塔尼 (al-Battani，约 858—929)也立杆测日影，把杆子AB插在平地上，日影 l＝CB 称为“直阴影”(图7－3－11).设太阳仰角为 α ，则日影长为(用现代符号)
l ＝ h cot α.
又把杆子水平地插在竖直的墙上 (图7－3－12)，日影 t＝CB 叫作“反阴影”，它和太阳仰角 α 的关系是
t＝h tan α.
公元 920 年左右，巴塔尼编制了从 0°到 90°的每隔1°的余切表后来，另一位阿拉伯天文学家、数学家阿布·瓦法 (Ab′l-Waf，940—998) 编制了每隔 10′的正弦表和正切表，他还首次引入正割和余割，可惜没有引起同时代人的注意.
正切、余切的现代名称出现得很晚，丹麦数学家芬克(Thomas Fink，1561-1656)在 1583 年著《圆的几何》才用 tangent 代替“反阴影”，一直沿用至今.
16 世纪时，天文观测日益精密，迫切需要更为精确的三角函数表.天文学家哥白尼的学生雷蒂库斯 (G.J.Rheticus，1514-1574)重新给出三角函数的定义，即把它定义为直角三角形的边长之比，并首次编制全部六个三角函数表.
17 世纪时，现在通用的六个三角函数的符号陆续由不同的学者引入，18 世纪时，由于瑞士数学家欧拉 ( L.Euler，1707-1783)的使用，这些符号得以推广.
7 . 3 . 3
函数 y=Asin(x+)
如图 7-3-13，摩天轮的半径 r为 40 m，圆心O距地面的高度为48m，摩天轮做逆时针匀速转动，每30 min 转一圈摩天轮上点P的起始位置在最低点处如何确定在时刻 t (min)时，点 P 距离地面的高度 H
取点O为坐标原点，水平线为 x 轴，建立如图 7-3-14 所示的直角坐标系.
设 P(x，y)，则点 P 距离地面的高度 H ＝ y＋48.
又＝sin α，其中r＝40， α为在时刻 t (min)
时点 P所对应的角，则
α＝t＋.
又 t＝0 时，点 P 位于最低点，故取 ＝－，
从而 α＝t－ ，
所以 y＝40sin(t－ )，
H＝ 40sin(t－)＋48.
在物理和工程技术的许多实际问题中，经常会遇到形如 y＝Asin(ωx＋) (其中A， ω ， 都是常数，且A＞0， ω＞0) 的函数在不同现象中，其中的参数 A， ω ，有不同的实际含义.
例如，本问题中，A 表示摩天轮的半径， ω表示摩天轮转动的角速度，表示点 P的初始位置所对应的角.
对于函数 y＝Asin(ωx＋)，我们首先想到，它能否转化为三角函数 y＝sin x 来研究.
● 函数y＝Asin(ωx＋)(A＞0，ω＞0) 的图象与y＝sin x 的图象有什么关系呢
作函数 y＝sin(x＋1)和 y＝sinx 的图象(图7-3-15).
从图 7-3-15 中可以看出，函数 y＝sin(x＋1) 的图象上横坐标为t－1的点的纵坐标，与函数 y＝sin x 的图象上横坐标为 t 的点的纵坐标相同.
这表明，点 (t，sin t) 在函数 y＝sin x 的图象上，而点 (t－1，sin t ) 在函数 y＝sin(x＋1) 的图象上.
因此，函数 y＝sin(x＋1) 的图象可以看作是将函数 y＝sin x 的图象上所有的点向左平移 1个单位而得到的.
思 考
函数 y＝sin(x－1) 的图象与函数 y＝sin x 的图象有什么关系
一般地，函数 y＝sin(ωx＋) 的图象可以看作是将函数 y＝sin x 的图象上所有的点向左 (当 ＞0 时) 或向右(当＜0 时) 平移个单位长度而得到的.
φ对函数 y＝sin(x＋φ) 图象的影响：
作函数 y＝3sinx 和 y＝sinx 的图象(图7-3-16).
从图 7-3-16 中可以看出，函数 y＝3sin x 的图象上横坐标为 t 的点的纵坐标等于函数 y＝sin x 的图象上横坐标为 t 的点的纵坐标的3倍.
这表明，点 (t，sin t) 在函数 y＝sin x 的图象上，而点 (t，3sint) 在函数 y＝3sinx 的图象上.
因此，函数 y＝3sinx 的图象可以看作是将函数 y＝sinx 的图象上所有点的纵坐标变为原来的 3 倍 (横坐标不变) 而得到的.
思 考
函数 y＝sinx 的图象与函数 y＝sinx 的图象有什么关系？
A对函数 y＝Asin x 图象的影响：
一般地，函数 y＝Asin x (A＞0且 A≠1) 的图象，可以看作是将函数 y＝sinx 的图象上所有点的纵坐标变为原来的A倍 (横坐标不变) 而得到的.
作函数 y＝sin 2x 和 y＝sin x 的图象(图7-3-17).
从图7-3-17 中可以看出，函数y＝sin 2x 图象上横坐标为 的点的纵坐标，与函数 y＝sin x 的图象上横标为 t 的点的纵坐标相同.
这表明，点 (t，sint) 在函数 y＝sin x 的图象上，而点( ，sint) 在函数 y＝sin 2x 的图象上.
因此，函数 y＝sin2x 的图象可以看作是将函数 y＝sinx 的图象上所有点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变)而得到的.
思 考
函数 y＝sinx 的图象与函数 y＝sinx 的图象有什么关系？
ω对函数 y＝sin ωx 图象的影响：
一般地，函数 y＝sin ωx (ω＞0且 ω≠1)的图象，可以看作是将函数 y＝sin x 的图象上所有点的横坐标变为原来的 倍 (纵坐标不变) 而得到的.
最后，我们来研究函数 y＝sin(2x＋1)和 y＝sin 2x 的图象之间的关系.
先作出它们的图象(图 7-3-18).
从图 7-3-18 中可以看出，函数 y＝sin(2x＋1) 的图象上横坐标为 t－ 的点的纵坐标，与函数 y＝sin 2x 的图象上横坐标为 t 的点的纵坐标相同.
这表明，点 (t，sin2t) 在函数 y＝sin2x 的图象上，而点(t－，sin(2(t－)＋1)) 即点 (t－，sin 2t) 在函数 y ＝ sin (2x＋1) 的图象上.
因此，函数 y＝sin(2x＋1) 的图象可以看作是将函数y＝sin 2x 的图象上所有的点向左平移 个单位长度而得到的.
类似地，函数 y＝sin(2x－1)的图象可以看作是将函数 y＝sin 2x 的图象上所有的点向右平移个单位长度而得到的.
一般地，函数 y＝sin(ωx＋) (A＞0， ω＞0) 的图象，可以看作是将函数 y＝sin ωx 的图象上所有的点向左(当＞0时)或向右(当＜0时)平移∣∣个单位长度而得到的.
一、图象变换
(1) φ对函数 y＝sin(x＋φ)图象的影响：
y＝sin x图象 y＝sin(x＋φ) 图象.
左
右
(2) A对函数 y＝Asin x 图象的影响：
y＝sin x 图象各点___坐标变为原来的__倍(___坐标不变)得到 y＝Asin x 图象.
(3) ω对函数 y＝sin ωx 图象的影响：
y＝sin x 图象各点___坐标变为原来的____倍(___坐标不变)得到 y＝sin ωx 图象.
纵
A
横
横
纵
思 考
函数 y＝Asin(ωx＋) (A＞0， ω＞0) 的图象可以由正弦曲线经过哪些图象变换而得到 画出图象变换的流程图.
二、图象变换
φ、ω、A 分别确定了图象的左右平移、左右伸缩和上下伸缩.
三、图象变换的应用
φ、ω、A 广泛应用于图形变换，求函数的最值，周期等数学问题中.
【思考】
先平移后伸缩与先伸缩后平移相同吗
提示：不相同.平移的单位长度不同.
例 7
(1)不用计算机和图形计算器，画出函数y＝3sin(2x－) 简图：
解 (1)方法1 先用“五点法”作出一个周期的图象，列表：
描点画图，然后由周期性，通过向左、右平移 (每次 个单位)得出整个图象(图 7-3-19).
方法 2 作出正弦曲线，并将曲线上每一个点的横坐标变为原来的一倍 (纵坐标不变)，得到函数 y＝sin 2x 的图象；
再将函数 y＝sin 2x 的图象向右平移个单位长度，得到函数 y＝sin(2x－) 的图象；
再将函数 y＝sin(2x－) 的图象上每一个点的纵坐标变为原来的 3倍(横坐标不变)，即可得函数 y＝3sin(2x－) 的图象.
上述图象变换的顺序如下：
y＝sinx → y＝sin2x → y＝sin(2x－) → y＝3sin(2x－).
方法 3 作出正弦曲线，并将其向右平移个单位长度，得到函数 y＝sin(x－) 的图像；
再将函数y＝sin(x－)的图象上的每一个点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y＝sin(2x－)的图像；
再将函数 y＝sin(2x－)的图象上的每一个点的纵坐标变为原来的 3 倍 (横坐标不变)，即可得到函数y＝3sin(2x－)的图像.
上述图象变换的顺序如下：
y＝sinx→y＝sin(x－)→y＝sin(2x－)→y＝3sin(2x－).
(2) 根据函数的简图，写出(1)中函数的减区间.
解 由函数的图象可知函数 y＝3sin(2x－) 的减区间是[π＋kπ， π＋kπ] (k∈Z).
信息技术
在GGB中绘制 y＝Asin(ωx＋)的图象：
(1) 建立三个名称分别为 A， ω， 的滑动条；
(2) 在输入框中输入“y＝A* sin(ωx＋)”后确认；
(3) 分别拖动三个滑动条，观察图形变化的特点或规律.
思 考
对前面的摩天轮问题，当摩天轮的半径 r 变化时，函数 y＝Asin(ωx＋) 中哪个参数会发生变化 怎样变化 当摩天轮的转速发生变化时，函数 y＝Asin(ωx＋) 中哪个参数会发生变化 怎样变化
【基础小测】
1. 辨析记忆(对的打“ ”，错的打“ ”)
(1) 将 y＝sin x 的图象向右平移 个单位，得到 y＝sin(x＋) 的图象. (　　)
(2) 将 y＝sin x 图象上所有点的横坐标变为原来的 ，得到 y＝sin x 的图象.(　　)


(3) 将 y＝sin x 图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍，得到 y＝2sin x 的图象. (　　)

2. 为了得到函数 y＝sin (x＋1) 的图象，只需把函数 y＝sin x 的图象上所有的点(　　)
A. 向左平行移动1个单位长度
B. 向右平行移动1个单位长度
C. 向左平行移动π个单位长度
D. 向右平行移动π个单位长度
A
解析：根据图象平移的方法，左加右减，平移1个单位.
解析
3.函数 y＝sin 4x 的图象可由函数 y＝sin x 的图象经过怎样的变换得到 (　　)
A.所有点的横坐标变为原来的4倍
B.所有点的横坐标变为原来的
C.所有点的纵坐标变为原来的4倍
D.所有点的纵坐标变为原来的
B
解析：y＝sin x 图象上所有点的横坐标变为原来的 后变为 y＝sin 4x 的图象.
解析
【跟踪训练】
1.若函数 y＝sin 2x 的图象向左平移 个单位长度得到 y＝f(x)的图象，则 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. f(x)＝cos 2x B. f(x) ＝ sin 2x
C. f(x)＝－cos 2x D. f(x) ＝－sin 2x
A
解析：依题意得 f(x) ＝sin[2(x＋)]＝sin(2x＋)＝cos 2x.
解析
2.为了得到 y＝cos 的图象，只需把 y＝cos x 的图象上的所有点 (　　)
A.横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变
B.横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变
C.纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变
D.纵坐标缩短到原来的，横坐标不变
A
解析：由ω对图象的影响可知，A正确.
解析
3.将函数 y＝sin 2x 的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数是(　　)
A.奇函数 B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数
A
解析：y＝sin 2x 向右平移个单位长度得到
y＝sin[2(x＋)] ＝ sin(2x－π) ＝ －sin(π－2x) ＝－sin 2x.
由于－sin(－2x) ＝ sin 2x，所以是奇函数.
解析
4.已知函数 f(x)＝sin(ωx＋) (x∈R，ω＞0) 的最小正周期为π，为了得到函数g(x)＝cosωx 的图象，只需将y＝f(x) 的图象上所有的点 (　　)
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
A
解析：由T＝π＝，得ω＝2，g(x)＝cos2x＝sin(2x＋)，
f(x)＝sin(2x＋)的图象向左平移个单位长度，
得到 y＝sin[2(x＋)＋]＝sin(2x＋)＝g(x) 的图象.
解析
练 习
1. 函数 y＝sin x 的图象如图所示，试在这个图上分别画
出下列函数的图象，并说明它们是如何由函数 y＝sin x
的图象变换得到的.
(1) y＝sin(x－)；
(2) y＝sin(x＋)；
(3) y＝2sinx；
(4) y＝sin 2x.
2. 已知函数 y＝3sinx 的图象为C.
(1) 为了得到函数 y＝3sin(x－)的图象，只需把 C上的
所有点__________________________________；
(2) 为了得到函数 y＝3sin(2x＋)的图象，只需把 C上的
所有点______________________________________
__________________________；
向右平移个单位长度
向左平移个单位长度，然后横坐标变为原来的倍，纵坐标不变；
(3) 为了得到函数 y＝4sin(x＋)的图象，只需把 C上的
所有点_____________________________________
______________________________；
向左平移个单位长度，然后纵坐标变为原来的倍，横坐标不变；
3. 把函数 y＝sin(2x＋) 的图象向右平移个单位长度，
所得到的图象的函数解析式为____________，再将图
象上的所有点的横坐标变为原来的倍 (纵坐标不变)，
则所得到的图象的函数解析式为____________.
y＝sin 2x
y＝sin 4x
4. 要得到函数 y＝3sin (2x＋) 的图象，只需将函数
y＝3sin 2x 的图象( ).
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
C
5. 已知函数 y＝2sin (－).
(1) 画出函数的简图；
(2) 指出它可由函数 y＝sinx 的图象经过哪些变换而得到，并画出图象变换流程图；
(3) 根据函数的简图，写出函数的减区间.
(1) 画出函数的简图；
解：“五点法”列表如下.
－ 0 π 2π
x
y 0 2 0 －2 0
答 图画出的是函数在一个周期内的图象，将此图象左、右平移(每次4π个单位长度)使得到整个函数的图象.
(2) 指出它可由函数 y＝sinx 的图象经过哪些变换而得到，并画出图象变换流程图；
解 y＝sinx 的图象 y＝sin(x－) 的图像 y＝sin(x－)的图像 y＝2sin(x－)的图像.流程图略.
(3) 根据函数的简图，写出函数的减区间.
解 函数在一个周期内的减区间为[，]，
又周期 T＝＝4π，
故函数的减区间为[＋4kπ，＋4kπ](k∈Z).
习题 7.3
感受·理解
1. 求下列函数的周期：
(1) y＝sinx；
(2) y＝cos 4x；
(3) y＝3sin(x＋)；
(4) y＝2cos(2x－)；
2. 画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图：
(1) y＝cos x＋2；
解 对于函数 y＝cosx＋2，x∈[0，2π] 列表
x 0 π 2π
cosx 1 0 －1 0 1
y 3 2 1 2 3
描点作图：
(2) y＝4sin x；
解 对于函数 y＝4sinx，x∈[0，2π] 列表
x 0 π 2π
sinx 0 1 0 －1 0
y 0 4 0 －4 0
描点作图：
(3) y＝cos3x；
解 对于函数 y＝cos3x，x∈[0，] 列表
x 0
cos3x 1 0 －1 0 1
y 0 － 0
描点作图：
解 对于函数 y＝3sin(2x－)，x∈[0，π] 列表
2x－ 0 π 2π
x
y 0 3 0 －3 0
(4) y＝3sin(2x－)；
描点作图：
3. 确定下列函数的定义域：
(1) y ＝；
解 ∵1－cosx≠0，
∴cosx≠1，
∴x≠2kπ，k∈Z，
∴函数 y＝ 的定义域为{x∣x≠2kπ，k∈Z}.
(2) y ＝ －tan(x＋)＋2；
解 ∵ x＋≠ ＋kπ ，k∈Z，
∴x≠ ＋kπ ，k∈Z，
∴函数 y＝－tan(x＋)＋2的定义域为
{x∣x≠＋kπ ，k∈Z}.
4. 求下列函数的最大值、最小值以及使函数取得最大值、
最小值时的 x 的集合：
(1) y＝1－cos x；
解 当x＝2kπ，k∈Z时，ymin＝1－×1＝，
此时x的集合为{x∣x＝2kπ，k∈Z}，
当 x＝π＋2kπ，k∈Z时，ymax＝1－×(－1)＝ ，
此时x的集合为{x∣x＝ π＋2kπ，k∈Z}；
(2) y＝3sin(2x－) ；
解 当2x－＝ ＋2kπ，k∈Z，即 x＝＋kπ，k∈Z时，
ymax＝3×1 ＝3，
此时x的集合为{x∣x＝＋kπ，k∈Z}，
当2x－＝－＋2kπ，k∈Z，即x＝＋kπ，k∈Z时，
ymin＝3×(－1) ＝－3，
此时x的集合为{x∣x＝＋kπ，k∈Z}.
5. 利用函数的性质，比较下列各组中两个三角函数值的
大小：
(1) sin 103°45′ 与 sin 164°30′；
解 ∵90°＜103°45′ ＜164° 30′ ＜270′，
y＝sinx 在此范围内是减函数，
∴ sin 103° 45′＞sin 164°30′.
(2) cos (－) 与 cos (－)；
(3) sin 508°与 sin 144°；
(4) cos 760°与 cos(－ 770°)；
(5) tan (－) 与 tan (－)；
(6) tan 与 tan .
∵tan＝tan(π－)＝－tan ＜0，tan＞0，
∴ tan ＜ tan
6. 求下列函数的单调区间：
(1) y＝1＋sin x；
(2) y＝－cos x .
7. 已知函数 y＝3sin(2x－).
(1) 画出函数在长度为一个周期的闭区间上的图象；
(2) 根据函数的简图，写出函数的增区间.
解 (1) 列表：
2x－ 0 π 2π
x
y 0 2 0 －2 0
描点作图：
(2) 值域为[－ 3，3]
8. 不画图，说明下列函数的图象可由正弦曲线经过怎样
的变化得出：
(1) y＝8sin(x－ )；
(2) y＝sin(3x＋).
思考·运用
9. 分别写出满足下列条件的 的集合：
(1) tan x ＝ －1；
(2) sin x ＝ .
10. 观察正弦曲线和余弦曲线，分别写出满足下列条件的
x 的集合：
(1) sin x ＞ 0；
(2) cos x ＜ 0 .
解 (1) 观察如下图象可知：
满足sinx＞0的x的集合为{x∣2kπ＜x＜2kπ ＋π，k∈Z}；
(2) 观察如下图象可知：
满足cosx＜0的x的集合为
{x∣2kπ＋＜x＜2kπ＋，k∈Z}；
探究·拓展
11. 请同学们每三人一组，通过实验、猜想、探索和研讨，
共同完成下面的课题，并写出课题研究报告，与其他
小组进行交流.
烟筒弯头是由两个圆柱形的烟筒煤在一起做成的，现在要用矩形铁片做成一个直角烟简弯头(如图，单位：cm)，不考虑焊接处的需要，
选用的矩形铁片至少应满足怎样的尺寸 请你设计出一个最合理的裁剪方案. (在矩形铁片上画出的裁剪线应是什么图形 )
解 将其中一段烟筒拆下转动一个角度后，可以跟另一段烟筒构成一个完整的圆柱.
因此最佳的剪裁方案是，用(6 ＋15)×9π＝21×9 的矩形铁片拼接成一段柱筒然后距离一端6cm处做一点，然后过这一点做一个面，该面与底面成45度角，用这个平面剪裁这个圆筒即可.
矩形铁片上的剪裁线应是半圆加长方形.
本课结束
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