7.4 三角函数应用 课件（共77张PPT）

(共77张PPT)
第7章
三角函数
7 . 4
三角函数的应用
在上一节中，我们研究了y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x，y＝Asin(ωx＋) 等三角函数的图象和性质，利用这些函数可以刻画一些周期现象，建立一些周期性运动的数学模型.
●怎样用三角函数刻画一些周期性运动呢
我们知道，匀速圆周运动的圆周上点 P 的纵坐标为 y＝Asin(ωt＋) (其中，A 表示圆的半径， ω表示圆周转动的角速度，表示点 P 的初始位置所对应的角).
当物体做简谐运动(单摆、弹振子等)时，也是一种周期运动.
图 7-4-1 是单摆的示意图，点 O为摆球的平衡位置，如果规定摆球向右偏移的位移为正，那么当摆球到达点 C 时，摆球的位移 y 达到最大值A；
当摆球到达点 O 时，摆球的位移 y 为O；
当摆球到达点 D时，摆球的位移 y 达到反向最大值－A；
当摆球再次到达点O时，摆球的位移 y又为0；
当摆球再次到达点C时，摆球的位移 y 又一次达到最大值A.
这样周而复始，形成周期变化，其运动规律可以用三角函数表达为
y＝Asin(ωt＋).
其中，
x 表示时间，y 表示相对于平衡位置的偏离；
A 表示物体运动时离开平衡位置的最大距离，称为振幅；
往复运动一次所需的时间T＝称为这个运动的周期；
单位时间内往复运动的次数 f＝＝ 称为运动的频率；
ωx＋称为相位，x＝0 时的相位称为初相位.
一、函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)中，A、ω、φ
的物理意义
(1) A、ω、φ 的物理意义：
①简谐运动的振幅就是_____；
②简谐运动的周期 T＝______；
A
③简谐运动的频率f＝＝_______；
④___________称为相位；
⑤ x＝0 时的相位______称为初相位.
ωx＋φ
φ
(2)本质：
A、ω、φ 有各自的物理意义，各自决定了函数性质中的一部分.
(3)应用：
根据 A、ω、φ 的物理意义，在解题时能比较简单地求出函数解析式.
【思考】
在函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b (A＞0，ω＞0)中，A，b与函数的最值有何关系
提示：A，b与函数的最大值 ymax，最小值 ymin，关系如下：
(1) ymax＝A＋b，ymin＝－A＋b；
(2) A＝ ， b＝ .
二、解三角函数应用题的基本步骤
(1) 审清题意；
(2) 搜集整理数据，建立数学模型；
(3) 讨论变量关系，求解数学模型；
(4) 检验，作出结论.
例 1
在图 7-4-2 中，点O为做简谐运动的物体的平衡位置取向右的方向为物体位移的正方向. 已知振幅为3 cm，周期为3 s，物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时. 求：
(1) 物体对平衡位置的位移x(单位：cm)和时间t(单位：s)
之间的函数关系；
(2) 该物体在 t＝5s 时的位置.
(1) 物体对平衡位置的位移x(单位：cm)和时间t(单位：s)
之间的函数关系；
解 设x和t之间的函数关系为
x＝3sin(ωt＋ )(ω＞0，0≤ ＜2π).
则由 T＝＝3，可得 ω＝.
当t＝0时，有x＝3sin ＝3，即 sin ＝1.
又0≤ ≤2π，可得 ＝.
因此所求函数关系为 x＝3sin(t＋)，即x＝3cos t.
(2) 该物体在 t＝5s 时的位置.
解 令 t＝5，得 x＝3cos＝－1.5，
故该物体在 t＝5 s 时的位置是在 O点的左侧且距 O 点 1.5 cm 处.
例 2
一半径为 3m 的水轮如图 7-4-3 所示，水轮圆心 O距离水面 2 m，已知水轮每分钟逆时针转动 4 圈，且当水轮上点 P 从水中浮现时 (图中点 P 开始计算时间.
(1) 将点 P到水面的距离 z (单位：m. 在水面下，则2 为
负数) 表示为时间 t (单位：s)的函数；
(2) 点 P 第一次到达最高点大约要多长时间
(1) 将点 P到水面的距离 z (单位：m. 在水
面下，则2 为负数) 表示为时间 t (单
位：s)的函数；
解 如图 7-4-3，建立平面直角坐标系.
设角(－＜＜0)是以 Ox 为始边，OP0为终边的角.
由OP在 t s 内所转过的角为()t ＝ t，可知以Ox为始边，OP为终边的角为 t＋，
故 P 点纵坐标为 3sin(t＋)，则
z＝3sin(t＋)＋2.
当 t＝0 时，z＝0，可得 sin＝－.
因为－＜＜0，所以≈－0.73，故所求函数关系式为
z＝3sin (t －0.73)＋2.
(2) 点 P 第一次到达最高点大约要多长时间
解 令 z＝3sin(t－0.73)＋2＝5，得sin(t－0.73)＝1.
取 t－0.73，
解得 t≈5.5.
故点 P 第一次到达最高点大约需要 5.5 s.
【基础小测】
1. 辨析记忆(对的打“ ”，错的打“ ”)
(1) 函数 y＝Asin(ωx＋φ) 的初相位为φ. (　　)
(2)“五点法”作函数 y＝2sin(x＋)在一个周期上的简图时，第一个点为(，0). (　　)


2. 函数 y＝sin(x＋) 的周期、振幅、初相位分别是
(　　)　　　　　　　　　
A. 3π，， B. 6π， ，
C. 3π，3，－ D. 6π，3，
B
解析：y＝sin(x＋) 的周期 T ＝＝ 6π，
振幅为，初相位为.
解析
3. 如图为某简谐运动的图象，则这个简谐运动需要____s
往返一次.
0.8
解析：观察图象可知此简谐运动的周期 T ＝ 0.8，所以这个简谐运动需要 0.8 s 往返一次.
解析
【跟踪训练】
1.简谐运动y＝4sin(5x－)的相位、初相位、频率是(　　)　 　　　　　　
A. 5x－，－， B. 5x－，4，
C. 5x－，－， D. 4，，2π
C
解析：相位是 5x－，当x＝0时的相位为初相位即－，
周期T ＝ ，频率f＝.
解析
2. 在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球做上下自由振动.已知它们在时间t(s)离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由s1＝5sin(2t＋)，s2＝10cos2t 确定，则当 t＝s时，s1与s2的大小关系是 (　　)
A. s1＞s2 B.s1＜s2 C.s1＝s2 D.不能确定
C
解析：当 t＝ 时，s1＝5sin(＋)＝5sin＝－5，
当t＝时，s2＝10cos＝10×(－)＝－5，故s1＝s2.
解析
3. 函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ) (ω＞0，－＜ φ＜)的部分图象如图所示，则 ω，φ 的值分别是 (　　)
A. 2，－ B. 2，－
C. 4，－ D. 4，
A
解析：由图象可知 ＝－＝，所以T＝＝π，
所以ω＝2. 因为(，2)是五点作图的第二个点，
所以2×＋φ＝，所以φ＝－.
解析
4. 商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一节某商场的人流量满足函数 F(t)＝50＋4sin (t≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的 (　　)
A.[0，5] B.[5，10] C.[10，15] D.[15，20]
C
解析：由2kπ－≤2kπ＋，k∈Z，知函数 F(t) 的增区间为
[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.当k＝1时，t∈[3π，5π]，而
[10，15] [3π，5π].
解析
5. 某港口在一天24小时内的潮水的高度近似满足关系式 f(t) ＝2sin(t－)，其中f(t)的单位为 m，t 的单位是h，则12点时潮水的高度是________m.
1
解析：当 t＝12时，f(12) ＝2sin(5π－)＝2sin ＝1.
解析
练 习
1. 函数 y＝sin(x＋) 的振幅、周期初相位各是多少
解 由解析式 y＝sin(x＋)可知，
振幅 A＝，周期 T＝ ＝4π，初相＝.
2. 一个单摆如图所示，以 OA 为始边，OB 为终边的
角 θ ( －π ＜ θ ＜ π ) 与时间 t (单位：s) 的函数满足
θ＝sin(2t＋).
(1) t＝0 时，角θ是多少
(2) 单摆频率是多少
(3) 单摆完成5次完整摆动共需多长时间
(1) t＝0 时，角θ是多少
解：∵ θ＝sin(2t＋) ＝cos2t，
∴ t＝0时，θ ＝cos0 ＝.
(2) 单摆频率是多少
(3) 单摆完成5次完整摆动共需多长时间
解 ∵T＝＝ π (s)，
∴单摆的频率 f＝＝ ≈ 0.318，
即每秒钟单摆往返摆动约0.318次.
解 单摆完成5次完整摆动共需 5T＝5π (s).
3. 某一天 6 ～ 14 时某地的温度变化曲线近似满足函数
y＝10sin(x＋)＋20 (x∈[6，14])，其中，x表示时间，
y 表示温度. 求这一天中 6~14 时的最大温差，并指出
何时达到最高气温.
解 ∵ 6≤x≤14，
∴ ≤ x＋ ≤ ，
∴ sin(x＋) ∈[－1，1]
∴ 最高温度为10＋20＝30，此时x＋＝，即x＝14，
最低温度为－10＋20＝10，
所以最大温差为 30－10＝20.
综上所述，最大温差为20，在14时达到最高气温.
4. 在图7-4-2中点为做简谐运动的物体的平衡位置取向右
的方向为物体位移的正方向.若已知振幅为5 cm，周期
为 4s，且物体向右运动到平衡位置时开始计时.
(1) 求物体对平衡位置的位移(单位：cm)和时间(单位：s)
之间的函数关系；
(2) 求该物体在 t＝7.5 s 时的位置.
(1) 求物体对平衡位置的位移(单位：cm)和时间(单位：s)
之间的函数关系；
解 设位移 x (cm) 和时间 t (s)之间的函数关系式为：
x＝Asin(ωt＋)(cm)，
则由已知条件，A＝5cm，T＝4s，得ω＝＝ rad/s.
由于物体向右运动到平衡位置开始计时，
即当 t＝0 时，有 x＝sin＝0，得＝0，
从而所求的函数关系式是 x＝5sin(t) (cm)；
(2) 求该物体在 t＝7.5 s 时的位置.
解 当 t＝7.58，得
x＝5sin()(cm) ＝ － (cm) ≈－3.5(cm)，
故该物体在 t＝7.58 时的位置是在O点左侧且距O点 3.5 cm 处.
习题 7.4
感受·理解
1. 电流 I (单位：A)随时间 (单位∶s) 变化的关系式是
I＝Asin ωt，t∈[0，＋∞).
设 ω＝100π，A＝5.
(1) 求电流 I 变化的周期和频率；
(2) 当t＝0，， ， ， 时，求电流 I ；
(3) 画出电流 I 随时间 t 变化的函数图象.
求电流 I 变化的周期和频率；
解 因为 I＝5sin100πt，t∈[0，＋∞)，
所以电流I变化的周期为＝ (s)，
频率为 ＝ 50(Hz)
(2) 当t＝0，， ， ， 时，求电流 I ；
解 当t＝0 时， ， ， ， 时，
电流 I 分别 0A，5A，0A， －5A，0A.
(3) 画出电流 I 随时间 t 变化的函数图象.
解 图象如图所示：
2. 如图所示的是一向右传播的绳波在某一时刻绳子上各
点的位置图，经过周期后，B 点的位置将移至何处
解 由题意，图中是向右传播的绳波，由点B到点D为一周期，由点B到点D为周期的一半，故经过周期后，B点的位置将移至D点处.
3. 某城市一年中 12 个月的月平均气温与月份数之间的关
系可以近似地用一个三角函数来描述. 已知6 月份的月
平均气温最高，为 29.45℃，12 月份的月平均气温最
低，为 18.3℃. 求出这个三角函数的表达式，并画出该
函数的图象.
解 设 y＝Asin(ωx＋)＋B，则T＝＝2(12－6)，
∴ ω ＝
据题意得 29.45＝A＋B，18.3＝－A＋B，
解得 A＝5.575，B＝23.875，
∵6·＋＝，∴＝－
∴y＝5.575 sin(x－)＋23.875
＝－5.575 cos x＋23.875.
函数的图象，如图所示：
4. 一根长 l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，
小球摆动时，离开平衡位置的位移 s (单位：cm) 和时
间 t (单位：s) 的函数关系式是
s＝3cos( t＋)，t∈[0，＋∞).
(1) 求小球摆动的周期；
(2) 已知g＝980cm/s2，要使小球摆动的周期是1s，线的
长度应当是多少？ (精确到 0.1 cm，取 3.14)
(1) 求小球摆动的周期；
解 ∵小球的位移 s (cm)与时间 t (s)的函数关系为
s＝3cos( t＋)，t∈[0，＋∞)，
∴小球的摆动周期 T＝ ＝ (s).
(2) 已知g＝980cm/s2，要使小球摆动的周期是1s，线的
长度应当是多少？ (精确到 0.1 cm，取 3.14)
解 依题意：小球的摆动周期 T＝1(s). 即 ＝1.
＝，l＝，
∵ g＝980cm/s2， π取3.14，
∴ l ＝≈24.8(cm).
即要使小球的摆动周期是1s，线的长度应当是24.8 cm.
思考·运用
5. 如图，摩天轮的半径为 40 m，点O距地面的高度为 50，摩天轮做速转动，每 30 min 转一圈，摩天轮上点 P的起始位置在最低点处.
(1)试确定在时刻 t (单位：min) 时点 P
距离地面的高度；
(2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时
间点 P 距离地面超过 70 m
(1)试确定在时刻 t (单位：min) 时点 P 距离地面的高度；
解 建立如图所示的平面直角坐标系，设P离地面的高
度为h，
则以OP为终边的角为－(－t) ＝ t－，
故 P (40 cos(t－)，40sin(t－))，
∴ h＝40sin(t－)－(－50)
＝50 －40cos t，t ≥0.
(2) 在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点 P 距离地面超过 70 m
解 令 ，即 ，
解得10＜t＜20，
故在摩天轮转动的一圈内，有10分钟时间长点P距离地面超过70m.
h＞70
0 ≤t ≤30
cost＜－
0 ≤t ≤30
6. 心脏跳动时，血压在增加或减小. 血压的最大值、最小
值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收
缩压和舒张压，读数 120/80 mmHg 为标准值.
设某人的血压满足函数式 p(t) ＝115＋25sin(160t)，其中 p(t)为血压(单位：mmHg)，t为时间(单位：in)，试回答下列问题：
(1) 求函数 (t) 的周期；
(2) 此人每分钟心跳的次数；
T ＝ ＝
每分钟心跳的次数为 ＝80 (次).
(3) 画出函数 p(t) 的图；
如图：
(4) 求出此人的血压在血压计上的读数，并与标准值比较.
解 由题意，函数最大值为140，最小值为90，故此人在血压计的读数为140/90 mmHg 比标准值要大.
探究·拓展
7. 下表是某地一年中 10 d (天) 的白昼时间.
(1) 以日期在 365 d (天)中的位置序号为横坐标，白昼时
间为纵坐标，描出这些数据的散点图；
(2) 选用一个三角函数来近似描述白昼时间与日期序号
之间的函数关系；
解 设 y＝Asin(ωt＋)＋b，则A＝≈6.91，
A＝≈12.5， T＝365，
∴ ω＝，
y＝6.91 sin(t＋)＋12.5 .
当 t＝172 时，
×172 ＋＝ ，＝ －π，
∴ y＝6.91sin(t － π) ＋12.5，y∈(0，24)
(3) 用(2)中的函数模型估计该地7月8日的白昼时间.
解 7月8日时，t＝189，
则 y＝6.91 sin(×189－ π)＋12.5 ≈19.12 (h)
所以估计该地7月8日的白昼时间为19.12 h.
应用与建模
港口水深的变化与三角函数
海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般的早潮叫潮，晚潮叫汐. 在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋.下面给出了某港口在某天几个时刻的水深.
(1) 选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并给出在整点时的水深的近似数值；
(2) 一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为 4 m，安全条例规定至少要有 1.5 m的安全间隙(船底与海底的距离)，该船何时能进入港口
(3) 若船的吃水深度为 4 m，安全间隙为 1.5 m，该船在 2∶00 开始卸货，吃水深度以每小时 0.3 m 的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域
分析 (1) 考察数据,可选用正弦函数，再利用待定系数
法求解；
(2) 在涉及三角不等式时，可利用图象求解.
解 (1) 设所求函数为 f(x)＝Asinωx＋k，则由已知数据可以求得
A＝2.5，k＝5，T＝12，ω＝＝ ，
故 f(x)＝2.5sin(x)＋5.
在整点时的水深近似为：1:00，5:00，13:00，17:00 为6.3m；2:00，4:00，14:00，16:00 为 7.2 m；7:00，11: 00，19:00，23:00，3.7 m；8:00，10:00，20:00，22:00为2.8m.
(2)由 2.5sin(x)＋5≥5.5，得 sin x＞0.2，画出 y＝sin(x)的图象(如图)，由图象可得
0.4≤x≤5.6或12.4≤x≤17.6.
故该船在0:24至5:36和12:24 至17:36 期间可以进港.
(3)若 2≤x≤24，时刻的吃水深度为 h(x)＝4－0.3(x－2)，由 f(x)≥h(x)＋1.5，得
sinx≥0. 44－0.12x.
画出 y＝sinx 和 y＝0.44－0.12x 的图象(如图)，由图象可知当 x＝6.7 时，即 6∶42 时，该船必须停止卸货，驶向较深的水域.
仿照上述案例，尝试解决以下问题.
某港口相邻两次高潮发生时间间隔12 h20 min，低潮时入口处水的深度为2.8m，高潮时为8.4m，一次高潮发生在 10月3日2:00.
(1) 若从 10月3日 0∶00 开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深 d (单位： m)和时间 t (单位：h)之间的函数关系；
(2) 求10月3日 4∶00 水的深度；
(3) 求10月3日吃水深度为 5m的轮船能进入港口的时间.
阅 读
欧 拉
欧拉(L. Euler，1707-1783)是瑞士数学家、自然科学家. 有的数学史家把他与阿基米德、高斯、牛顿并列为历史上最伟大的数学家.
欧拉小时候就特别喜欢数学，不满 10 岁就开始自学《代数学》这本书连他的几位老师都没读过，可小欧拉却读得津津有味，遇到不懂的地方，就用笔作个记号，事后再向别人请教.
1720年，13岁的欧拉靠自己的努力考入了巴寒尔大学，小欧拉是这所大学，也是整个瑞士大学校园里年龄最小的学生，他得到当时最有名的数学家约翰·伯努利(J.Beroulli，1667-1748)的精心指导，这在当时是个奇迹，曾轰动了数学界. 欧拉后来回忆说；“如果我遇到什么阻碍或困难，他还允许我每星期六午后自由地去找他并且亲切地为我解答一切难题. 这样，使得每当他为我解决了一个困难其他十个困难也就迎刃而解了，这是我在数学上获得及时成功的最好方法.”
他 19 岁时写了一篇论文，获得巴黎科学院的奖金，26 岁时成为彼得堡科学院教授. 欧拉是 18 世纪数学界最杰出的人物之一.他是数学史上最多产的数学家，平均每年写出 800 多页的论文，还写了大量的力学、分析学、几何学、变分法等课本，他的《无穷小分析引论》《微分学原理》《积分学原理》等都成为数学中的经典著作.他的全集有74卷.
欧拉对数学的研究如此之广泛，在许多数学的分支中都可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理.例如，
eiπ＋1＝0，
V－E＋F＝2，
eiθ＝cosθ＋i sin θ.
欧拉还创设了许多数学符号，例如 π (1736 年)，i (1777 年)，e (1748年)，sin 和 cos (1748 年)，tg (1753 年)， x (1755 年)， ∑ (1755 年)，f(x) (1734 年)等.
欧拉的一生，是为数学发展而奋斗的一生，他那杰出的智慧，顽强的毅力，孜孜不倦的奋斗精神和高尚的科学道德，永远值得我们学习.
本课结束
This lesson is over
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