7.2 三角函数概念 课件（共212张PPT） 2023-2024学年高一数学苏教版（2019）必修第一册

(共212张PPT)
第7章
三角函数
7 . 2
三角函数概念
用(r，α)与用坐标 (x，y) 均可表示圆周上的点 P，那么，这两种表示有什么内在联系 确切地说，
●用怎样的数学模型刻画 (x，y) 与 (r，α) 之间的关系
7 . 2 . 1
任意角的三角函数
为了建立 (x，y) 与 (r，α) 之间的关系，我们从简单的情形出发先考察 α 为锐角时的情形.
如图 7-2-1，当 α 为锐角时，我们发现 x，y，r，α 之间的关系恰好与初中阶段所学“锐角的正弦、余弦、正切”密切相关，即有
sinα＝，cosα＝，tanα＝.
一、三角函数的定义(坐标法)
(1) 一般地，对任意角 α，在平面直角坐标系中，设 α 的终边上异于原点的任意一点 P 的坐标为(x，y)，它与原点的距离是 r，则 r＝.
此时，点 P是角 α 的终边与半径为 r 的圆的交点(图7-2-2).
根据相似三角形知识可知，比值 ， ， 与 α 的终边上的点 P 的位置无关. 我们规定：
(1) 比值 叫作 α 的正弦，记作 sinα ，即__________；
(2) 比值 叫作 α 的余弦，记作 cosα ，即__________；
(3) 比值 (x≠0) 叫作 α 的正切，记作 tanα，即
____________.
sinα＝
cosα＝
tanα＝
(2)本质：
用坐标法定义三角函数，是根据角终边上点的坐标，构造直角三角形，将陌生内容与学生已掌握的初中知识结合，简单易行，便于学生理解、掌握.
(3)应用：
适用于求任意角的三角函数值，特别是弧度制条件下角的三角函数值.
【思考】
初中学习的锐角三角函数的定义是什么
提示：如图，在 Rt△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边分别为 a，b，c，则：
sinB＝＝，cosB＝＝，
tanB＝＝ .
例 1
如图 7-2-3，已知角 α 的终边经过点 P (2，－3)，求 α 的正弦、余弦、正切值.
解 因为 x＝2，y＝－3，
所以 r＝＝.
从而 sin α ＝ ＝ ＝－，
cos α ＝ ＝ ＝ ，tan α ＝ ＝－ .
由于 sin α ，cos α ，tan α 的值与 α 的终边上的点的位置无关，为了方便，可以选择 α 终边上的特殊点来计算 sin α ，cos α ，tan α 的值，例如选择 α 的终边与单位圆的交点.
二、三角函数的定义(单位圆法)
在平面直角坐标系中，设 α 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P (x，y)，
那么：sin α ＝_____；
cos α ＝______；
tan α＝______(x≠0).
y
x
【思考】
什么是单位圆
提示：单位圆是指圆心在原点，半径为单位长度的圆.
(1)当 α＝ 时，求 sin α，cos α，tan α 的值；
例 2
解 当 α＝ 时，设 α 的终边与单位的交点 P 的标为(x，y) (x＞0，y＞0).
根据直角三角形中锐角 的对边是斜边的一半，可知 y＝ (图7-2-4).
又由勾股定理得 x2＋()2＝1，解得 x＝.
所以点 P 的坐标为(， ).
因此 sin ＝＝，cos ＝ ＝，tan ＝ ＝ .
(2) 当 α＝ 时，求 sin α ，cos α ，tan α 的值.
解 当 α＝ 时，设 α 的终边与单位圆的交点为 P′，根据点 P′与(1)中点P关于y轴对
称可知，点P′的坐标为
(－， ) (图7-2-5).
因此 sin ＝ ＝ ，
cos ＝ ＝ － ，
tan ＝ ＝ .
对于表中的角α，计算 sin α 的值，填写下表：
例 3
α 0 π 2π
sinα 0 1 0 － － －1 － － 0
把 α 的值看作横坐标，对应的 sin α 的值看作纵坐标，在平面直角坐标系中描出点(α ，sin α).
把 α 的值看作横坐标，对应的 sin α 的值看作纵标，在平面直角坐标系中描出点 (α ，sin α)，如图 7-2-6 所示.
思 考
从例 3 的表与所画的图中，你能得到什么结论
由例3可知，对于每一个实数α，都有唯一实数 sin α 与 α 对应，故sin α 是 α 的函数. 同理，cos α 也是 α 的函数. 当α＝＋kπ (k∈Z)时，角α的终边在y轴上，故有x＝0，这时 tan α 无意义. 除此之外，对于每一个实数α (α≠＋kπ (k∈Z))，有唯一实数tan α与α 对应，因此 tan α 也是 α 的函数.
sin α ，cos α ，tan α 分别叫作角α 的正弦函数余弦函数、正切函数.
以上三种函数都称为的三角函数.
三、三角函数值的符号
(1) 图形表示：
(2) 记忆口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦.
【思考】
三角函数值在各象限的符号由什么决定
提示：三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号推导出的.从原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值.因此，三角函数在各象限的符号由角α的终边所在象限决定.
确定下列正弦、余弦、正切值的符号：
例 4
(1) sin ； (2) cos (－465°)； (3) tan .
解 (1) 因为是第二限角，所以 sin ＞0.
(2) 因为－465°＝－2 × 360°＋255°，
即－465°是第三象限角，
所以 cos(－465°)＜0.
(3) tan .
(3) 因为 ＝2π＋，即 是第四象限角，
所以 tan ＜ 0.
【基础小测】
1. 辨析记忆(对的打“ ”，错的打“ ”)
(1) sin α 表示 sin 与 α 的乘积. (　　)
(2) 已知α是三角形的内角，则必有cos α ＞ 0. (　　)
(3) 终边落在 y 轴上的角的正切函数值为0. (　　)



2. 已知角α 的终边经过点 P (4，－3)，则 tan α＝ (　　).
A. － 　　B. － 　　C. － 　　D.
A
解析：因为角 α 的终边经过点 P (4， －3)，
所以 x＝4，y＝－3，则tan α ＝＝ －.
解析
3. 已知 sinα＝，cosα＝－，则角α所在的象限是(　　).
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
B
解析：∵sinα＝＞0，所以α在第一、二象限或y轴的非负半轴上.
又∵cosα＝－＜0，
∴α 在第二、三象限或x轴的非正半轴上，
∴ α 在第二象限.
解析
【跟踪训练】
1. 已知角 α 的终边与单位圆交于点 (－， ) 则 sin α 的
值为 (　　)　　　　　　　　　　　　
A. － B. － C. D.
B
解析：sin α ＝ ＝ －.
解析
2. 已知角 α 的终边经过点(－4，3)，则 tan α 等于(　　).
A. － B.－ C. D.－ .
D
解析：由题意可知 x＝－4，y＝3，
所以 tan α ＝ ＝ － .
解析
3. 若θ为第二象限角，则下列结论一定成立的是 (　　).
A. sin＞0 B. cos ＞ 0
C. tan ＞ 0 D. sin cos ＜ 0
C
解析：因为θ为第二象限角，所以 ＋2kπ＜θ＜π＋2kπ，k∈Z，则 ＋kπ＜＜＋kπ，k∈Z，所以θ为第一或第三象限角，得 tan ＞ 0.
解析
4. 若角 α 的终边落在 y＝－x上，则 tan α 等于 (　　)
A. －1 B.1
C. －1或1 D.不能确定
A
解析：设 P(a，－a) 是角 α 终边上任意一点，若a＞0，P点在第四象限，tan α＝＝－1，若a＜0，P点在第二象限，tan α ＝ －1.
解析
练 习
1. 已知角 α 的终边经过点 P，求 α 的正、余弦、正切值.
(1) P(3，4)； (2) P(－3，4)；
(3) P(0，5)； (4) P(2，0).
(1) P(3，4)；
(2) P(－3，4)；
(3) P(0，5)；
(4) P(2，0).
2. 已知角 α 的终边经过点 P(－x，－6)，且 cos α＝－，
求x 的值.
∴ x＝.
3. 填表：
角α 0° 30° 45° 60° 90°
角α的弧度数 0
sin α 0 1
cos α 1 0
tan α 0 1 不存在
角α 180° 270° 360°
角α的弧度数 π 2π
sin α 0 －1 0
cos α －1 0 1
tan α 0 不存在 0
4. 设 α 是三角形的一个内角，在 sin α，cos α，tan α，
tan 中，哪些有可能取负值
5. 确定下列各角的正弦、余弦、正切值的符号：
(1) 885°；(2) － 395°；(3) ；(4) －.
解 (1) 885°＝2× 360°＋165°，
∵165°为第二象限角，
∴885°为第二象限角，
∴ sin885°＞0，cos885°＜0，tan885°＜0.
(2) ∵－395°＝－2×360°＋325°为第四象限角，
∴ sin(－395°)＜0，cos(－395°)＞0，
tan(－ 395°) ＜ 0.
6. 已知 cos α＜0，且 tan α＜0.确定角 α 是第几象限角.
解 因为 cos α ＜ 0，tan α ＜ 0，
所以 sin α ＞ 0.
因为 cos α ＜ 0，sin α ＞ 0，
所以角 α 是第二象限角.
下面我们来研究正弦函数值、余弦函数值、正切函数值的几何表示.
由于 sinα＝，cosα＝ 与点 P(x，y)在角 α 终边上的位置无关为简单起见，我们取 r＝1，即选取角α 终与单位圆(圆心在原点、半径等于单位长度的圆)的交点为 P (x，y)，则 sinα＝y，cosα＝x (图7-2-8).
过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 M显然，线段OM的长度为∣x∣.
为了去掉绝对值符号，我们引入有向线段的概念.
规定了方向(即规定了起点和终点)的线段称为有向线段.类似地，可以把规定了正方向的直线称为有向直线. 若有向线段 AB 在有向直线 l 上或与有向直线 l 平行，根据有向线段 AB 与有向直线 l 的方向相同或相反，分别把它的长度添上正号或负号，这样所得的数叫作有向线段的数量，记为 AB.
如图7-2-9，轴上有三点 A，B，C，则 AB＝3，BC＝2CB＝－2.
引入有向线段的概念后，如果 x＞0 有向线段 OM 与 x 轴同向，其数量为x；
如果x＜0，有向线段 OM 与 x 轴反向，其数量也为故总有 OM＝x. 同理可知 MP＝y. 所以，
sinα＝MP，cosα＝OM.
这表明，有向线段 MP，OM 的数量分别等于 α 的正弦、 的余弦. 因此，我们把有向线段 MP，OM分别叫作角 α 的正弦线、余弦线.
四、三角函数线的概念
图示
正弦线 角α的终边与单位圆交于P，过P作PM垂直于x轴，有向线段_______即为正弦线
余弦线 有向线段_______即为余弦线
正切线 过A(1，0)作x轴的垂线，交角α的终边或其终边的反向延长线于T，有向线段______即为正切线
MP
OM
AT
(2)本质：
三角函数线是三角函数的图形表示，是数形结合思想应用的重要理论依据.
(3)应用：
三角函数线能直观地表示三角函数值，常用来比较三角函数大小，解三角不等式等.
【思考】
三角函数线的方向是怎样确定的
提示：三角函数线的方向，即规定的有向线段的方向：凡三角函数线与 x 轴或 y 轴同向的相应三角函数值为正值，反向的为负值.
阅 读
在锐角三角函数推广至任意角三角函数的过程中，如果我们假设角 α 用弧度表示，且取圆半径 r＝1 (图7-2-10(1))，
那么我们得到 y＝sinα.
我们可以这样来理解正弦函数：输入一个实数 α (弧度数)，输出唯一的实数 y (点 P的纵坐标). 这是一个从实数集 R (所有角的弧度数所成的集合) 到闭区间 [－1，1] 上的函数(图7-2-10(2)).
也正因为此，今后才可以方便地进行下面的运算：x＋sinx，这也表明了引入弧度制的重要性.
探 究
用适当的有向线段来表示第一象限角 α 的正切.
角 α 的终边在 y 轴右侧是指第一象限角或第四象限角，或终边与 x 轴正半轴重合的角.
当角α 终边在 y 轴的右侧时(图 7-2-11)，在角 α 终边上取点T(1，y′)，则 tan α＝＝y′ ＝AT (A 为单位圆与 x 轴正半轴的交点)；
当角 α 终边在 y 轴的左侧时 (图7-2-12)，在角 α 终边的反向延长线上取点 T (1，y′)，由于它关于原点的对称点 Q(－1，－y′) 在角 α 终边上，所以 tanα＝＝y′＝AT.
即总有
tan α ＝ AT.
因此，我们把有向线段AT叫作角 α 的正切线.
有向线段 MP，OM，AT 都称为三角函数线.
当角 α 终边在不同象限时，其三角函数线如图所示：
当角 α 的终边在x轴上时，正弦线正切线分别变成一个点；
当角 α 的终边在 y 轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在.
五、三角函数的定义域 Z
在弧度制下，正弦函数余弦函数、正切函数的定义域如下表所示：
三角函数 定义域
sin α R
cos α R
tan α {α∣α≠＋kπ，k∈Z}
【思考】
怎样求三角函数的定义域
提示：函数的定义域是函数概念的三要素之一，确定三角函数的定义域时，应抓住分母等于零时比值无意义这一关键，因此需要注意，当且仅当角的终边在坐标轴上时，点P的坐标中必有一个为零，结合三角函数的定义，可以得到三角函数的定义域.
思 考
根据单位圆中的三角函数线，探究：
(1) 正弦函数、余弦函数、正切函数的值域；
(2) 正弦函数、余弦函数在区间 [0，2π] 上的单调性；
(3)正切函数在区间 (－， ) 上的单调性.
【基础小测】
1. 辨析记忆(对的打“ ”，错的打“ ”)
(1) 角的三角函数线是直线. (　　)
(2) 角的三角函数值等于三角函数线的长度. (　　)
(3) 第二象限的角没有正切线. (　　)



2.如图，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是
(　　)
A. 正弦线为PM，正切线为A′T′
B. 正弦线为MP，正切线为A′T′
C. 正弦线为MP，正切线为AT
D. 正弦线为PM，正切线为AT
C
解析：α为第三象限角，故正弦线为MP，正切线为AT，C正确.
解析
3. 已知 sin α＞0，tan α＜0，则α的 (　　)
A.余弦线方向向右，正切线方向向下
B.余弦线方向向右，正切线方向向上
C.余弦线方向向左，正切线方向向下
D.余弦线方向向上，正切线方向向左
C
解析：因为sin α＞0，tan α＜0，所以α是第二象限角，余弦、正切都是负值，因此余弦线方向向左，正切线方向向下.
解析
【跟踪训练】
1.如果OM，MP分别是角α＝的余弦线和正弦线，那么下列结论正确的是 (　　)　　　　　　　　　
A.MP＜OM＜0 B.MP＜0＜OM
C.MP＞OM＞0 D.OM＞MP＞0
D
解析：角 β＝的余弦线、正弦线相等，结合图象可知角 α＝ 的余弦线和正弦线满足OM＞MP＞0.
解析
2. sin 1、cos 1、tan 1的大小关系为 (　　)
A. sin 1＞cos 1＞tan 1
B. sin 1＞tan 1＞cos 1
C. tan 1＞sin 1＞cos 1
D. tan 1＞cos 1＞sin 1
C
解析：根据三角函数线：如图所示：设∠DOC＝1弧度，
所以根据三角函数线得到：CD＞AB＞OA，
即tan 1＞sin 1＞cos 1.
解析
3. 函数 y＝lg(3－4sin2x) 的定义域为
_______________________________________________.
(2kπ－， 2kπ＋)∪(2kπ＋， 2kπ＋)，k∈Z.
解析
解析：要使函数有意义，则3－4sin2x＞0，即4sin2x＜3，
即sin2x＜，则－＜sinx＜，如图作出y＝± ，
得定义域为2kπ－＜x＜2kπ＋，k∈Z
或2kπ＋ ＜x＜2kπ ＋，k∈Z，
即函数的定义域为(2kπ－， 2kπ＋)∪(2kπ＋， 2kπ＋)，k∈Z.
4. 若α是三角形的内角，且sin α ＋ cos α＝，则这个三
角形的形状是______________.
钝角三角形
解析：当 0＜α≤ 时，由单位圆中的三角函数线知，
sin α＋cos α≥1，而sin α ＋ cos α ＝ ，所以α必为钝角.
解析
1. 作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：
练 习
(1) ； (2) ； (3) ； (4) － ；
(1) ；
P角的终边与单位圆的交点，单位圆与轴的正半轴的交点为A，
过点P作x轴的垂线，垂足为B，过点 A作x轴的垂线，交OP的延长线于T，
则的正弦线为有向线段BP，余弦线为有向线段OB，正切线为有向线段AT；
(2) ；
P为角的终边与单位圆的交点，单位圆与x轴的正半轴的交点为A，
过点P作x轴的垂线，垂足为B，过点A作x轴的垂线，交OP的反向延长线于T，
则的正弦线为有向线段BP，余弦线为有向线段则OB正切线为有向线段AT；
(3) ；
P为角的终边与单位圆的交点，单位圆与x轴的正半轴的交点为A，
过点P作x轴的垂线，垂足为B，过点A作x轴的垂线，交OP的延长线于T，
则的正弦线为有向线段BP，余弦线为有向线段OB，正切线为有向线段AT；
(4) －；
P为角－的终边与单位圆的交点，单位圆与x轴的正半轴的交点为A，
过点P作x轴的垂线，垂足为B，过点A作x轴的垂线，交OP的反向延长线于T，
则－的正弦线为有向线段BP，余弦线为有向线段OB，正切线为有向线段AT；
2. 根据单位圆中的正弦线，你能发现正弦函数值有怎样
的变化规律
如图，可观察到正弦函数值在[0，]和[，2π]区间逐渐增大，在[，]区间逐渐减小.
且大于等于－1，小于等于1.
链 接
如果我们分别把表示正切、正弦、余弦的三个比 ，， 取倒数，那么又得到三个比，其中：
比值 叫作角 α 的余切，记作 cot α；
比值 叫作角 α 的余切，记作 csc α；
比值 叫作角 α 的余切，记作 sec α.
余切、余割、正割也是以实数为自变量的函数，cot α ，csc α ，sec α 分别叫作余切函数、余割函数、正割函数.它们也都称为三角函数.
7 . 2 . 2
同角三角函数关系
sinα，cosα，tanα的值都由 α 确定，那么，sin α ，cos α ，tan α 之间有何关系
设角 α 的终边与单位圆交于 P 点(图7-2-14)，则点 P 坐标为(cos α ，sin α).
由 PO 长为1，得
sin2α ＋ cos2α ＝ 1.
由正切函数的定义知，当 α≠＋kπ (k∈Z) 时，有
tan α ＝.
一、同角三角函数关系
平方关系 商数关系
公式 表示 _______________ ＝_______
(α≠＋kπ，k∈Z)
语言 叙述 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1. 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的_____.
sin2α＋cos2α＝1
tan α
正切
(2)本质：
同一个角的正弦、余弦、正切之间的相互关系.
(3)应用：
正弦、余弦、正切的知一求二，三角函数的证明、化简.
【思考】
“同角”一词的含义是什么
提示：一是“角相同”，如sin2α＋cos2β＝1 就不一定成立.
二是对任意一个角(在使得函数有意义的前提下)，关系式都成立，即与角的表达式形式无关，如
sin215°＋cos215°＝1，sin2＋cos2＝1等.
例 5
已知 sin α＝，且 α 是第二象限角，求 cos α，tanα的值.
解 因为 sin2α＋cos2α＝1，
所以 cos2α＝1－sin2α＝1－()2 ＝ .
又 α 是第二象限角，则 cos α＜0，
所以 cosα＝－tanα＝＝×(－) ＝－.
例 6
已知 tan α ＝ ，求 sin α ，cos α 的值.
解 由 ＝ tan α ＝ ，得 sin α ＝cos α.
又 sin2α ＋ cos2α ＝ 1，
所以 ()2cos2α ＋ cos2α ＝ 1.
解得 cos2α ＝ .
又由 tan α ＞ 0，知 α 是第一或第三象限角.
若 α 是第一象限角，则
cos α ＝ ，tan α ＝ ，sin α ＝ ；
若 α 是第三象限角，则
cos α ＝ －，tan α ＝ ，sin α ＝ －.
例 7
化简tanα ，其中 α 是第二象限角.
解 因为 α 是第二象限角，
所以 sin α ＞ 0，cos α ＜ 0.
于是 tanα＝ tanα ＝tanα
＝ · ＝ · ＝ －1.
例 8
求证：＝.
证法 1 因为
－ ＝ ＝0，
所以 ＝
证法2 因为
(1＋cosα)(1 － cosα) ＝ 1－cos2α ＝ sin2α ，
又 1＋cos α≠0，sin α≠0，
所以 ＝.
探 究
你能用图 7-2-15 解释例 8 中求证的等式吗
【基础小测】
1. 辨析记忆(对的打“ ”，错的打“ ”)
(1) 对任意角θ，sin2＋cos2＝1都成立. (　　)
(2) 对任意的角α，都有 成立. (　　)
(3) 存在角α，β，有sin2α＋cos2β＝1. (　　)



2. 化简 的结果是 (　　)
A. cos B. －cos C. sin D. －sin
A
解析： ＝ ＝∣∣ ＝ .
解析
3. 已知 α 是第二象限角，sin α＝，则cos α＝ (　　)
A. － B. － C. D.
A
解析：利用同角三角函数关系式中的平方关系计算.
因为α为第二象限角，
所以cos α ＝ － ＝ －.
解析
【跟踪训练】
1.如果 α 是第二象限的角，下列各式中成立的是 (　　)
A. tan α＝ －
B. cos α＝－
C. sin α＝ －
D. tan α＝
B
解析：由商数关系可知A，D项均不正确，当α为第二象限角时，cos α＜0，sin α＞0，故B项正确.
解析
2. 已知α是第一象限的角，且tan α＝，则cos α＝ (　　).
A. B. C. D.
D
解析：根据题意，tan α＝，则＝，
又由 sin2α＋cos2α＝1，解得：cos α＝±，
又α是第一象限的角，则cos α＝.
解析
3. 若tanα＝2，则 的值为 (　　)
A.0 B. C.1 D.
B
解析： ＝＝.
解析
4. 已知α为钝角，且 sin α＝，则tanα＝________.
－
解析：α为钝角，当sin α＝时，
cos α＝＝－，
所以 tan α ＝ ＝－.
解析
练 习
1. 利用三角函数的定义，证明：
(1) sin2α＋cos2α＝1；
证明：设 Rt△ABC中，∠C＝90°，
∠A＝a. 如图，
(2) tan α＝ .
(1) sin2α＋cos2α＝1；
解 因为 sinα＝，cosα＝，a2＋b2＝c2，
所以 sin2α＋cos2α ＝ ()2＋()2
＝ ＝ ＝1
所以 sin2α ＋cos2α ＝1
(2) tan α＝ .
解 ＝ ÷ ＝ ，
又∵ tan α ＝ ，
∴tan α ＝ .
2. 已知 cos α ＝－，且 α 为第三象限角，求 sin α ，
tan α 的值.
3. 已知 sin α ＝－，求 cos α ，tan α 的值.
解 ∵sin α ＝－，
∴ ∣cosα∣＝ ＝， casα＝±，
∴ sin α ＝－时，cosα＝，tanα＝－，
或 cosα ＝－， tanα＝.
4. 已知 tan θ ＝ 2，求 sin θ ，cos θ 的值.
5. 化简：
(1) cos α tan α； (2) .
＝cos α·
＝sin α
＝
＝
＝1
6. 求证：
(1) 1＋tan2α ＝ ；
证明：∵1＋tan2α ＝1＋
＝ ＝ ＝右边，
∴ 1＋tan2α ＝
(2) sin4α－cos4α ＝ sin2α－cos2α；
证明：∵ sin4α－cos4α ＝(sin2α)2－(cos2α)2
＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)
＝sin2α－cos2α ，
∴ sin4α － cos4α＝ sin2α－cos2α.
(3) tan2α sin2α ＝ tan2α－sin2α.
7 . 2 . 3
三角函数的诱导公式
一、诱导公式
(1) 诱导公式一
由三角函数定义可以知道： 终边相同的角的同一三角函数值相等. 即有
sin(α＋2kπ)＝__________(k∈Z) ，
cos(α＋2kπ)＝__________(k∈Z) ，
tan(α＋2kπ)＝___________(k∈Z) .
sin α
cos α
tan α
除了“终边相同”这样非常特殊的关系之外还有一些角，它们的终边具有另外的某种特殊关系，如两个角的终边关于坐标轴对称、关于原点对称等. 那么它们的三角函数值有何关系呢
如果角 α 的终边与角 β 的终边关于 x 轴对称，那么 α 与 β 的三角函数值之间有什么关系
(2) 诱导公式二、三、四
终边关系 图形 公式
公式二 角－α与角α的终边关于x轴对称. sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝_______，
tan(－α)＝－tan α
cos α
终边关系 图形 公式
公式三 角 π－α 与角α的终边关于y轴对称. sin(π-α)＝sin α，
cos(π－α)＝－cos α，
tan(π－α)＝ _______.
－tan α
终边关系 图形 公式
公式四 角π＋α与角α的终边关于原点对称. sin(π＋α)＝_______，
cos(π＋α)＝－cos α，
tan(π＋α)＝tan α.
－sin α
(3)本质：
在单位圆中，不同角的终边的位置关系决定了三角函数值之间的关系.
(4)应用：
通过诱导公式,将任意角的三角函数转化为锐角三角函数，广泛应用于计算、化简、证明之中.
【思考】
公式一至公式四有简单的记忆方法吗
提示：有，记忆口诀为：“函数名不变，符号看象限”.
思 考
由公式二、三，你能推导出公式四吗 根据公式二、三、四中的任意两组公式，你能推导出另外一组公式吗
例 9
求值：
(1) sin； (2) cos； (3) tan (－1 560°).
解： (1) sin＝ sin(π＋) ＝－sin ＝－，
(2) cos＝cos(2π＋) ＝ cos ＝ cos(π－).
＝ －cos ＝ －.
(3) tan(－1 560°) ＝ － tan1 560°
＝ －tan(4 × 360° ＋ 120°)
＝ － tan 120°
＝ － tan(180°－60°)
＝ tan 60° ＝ .
例 9 表明，利用上面四个公式可将关于任意角的三角函数转化为区间 [0，] 内的角的三角函数.
例 10
判断下列函数的奇偶性：
(1) f(x) ＝1－cos x；
解 因为函数 f(x) 的定义域是 R，且
f(－x) ＝1－cos(－x) ＝1－cos x＝f(x)，
所以 f(x) 是偶数.
(2) g(x) ＝ x sin x.
解 因为函数 g(x) 的定义域是 R，
g(－x) ＝－x－ sin(－x)
＝－x－ (－sin x)
＝－(x－sinx) ＝－g(x)，
所以 g(x) 是奇函数.
【基础小测】
1. 辨析记忆(对的打“ ”，错的打“ ”)
(1) 公式一～四对任意角 α 都成立. (　　)
(2) 由公式二知 cos [－(α－β)] ＝－cos(α－β). (　　)
(3) 在△ABC中，sin(A＋B)＝sin C. (　　)



2. sin 600°的值为 (　　)
A. －， B. C. － D.
A
解析：sin 600°＝sin(720°－120°) ＝－sin 120°
＝－sin(180°－60°) ＝－sin 60°＝－.
解析
3. 函数 f(x)＝sin2x 的奇偶性为 (　　)
A.奇函数 B.偶函数
C. 既奇又偶函数 D.非奇非偶函数
A
解析：f(x) ＝sin2x 的定义域为R，
f(－x) ＝sin2(－x) ＝ －sin2x＝－f(x)，
所以f(x)是奇函数.
解析
4. 计算：cos 210°＝__________.
－
解析：cos 210°＝cos(180°＋30°)
＝－cos 30°＝－.
解析
【跟踪训练】
1. sin(－π)的值等于 (　　)
A. B. C. － D. －
B
解析：sin (－π) ＝ －sin π
＝ －sin ＝ sin ＝ .
解析
2. cos(－690°) 的值为 (　　)
A. B. C. － D. －
A
解析：cos(－690°) ＝cos(－690°＋720°)
＝cos 30°＝ .
解析
3. tan 300°＋sin 450°的值是 (　　)
A. －1＋ B.1＋ C. －1－ D.1－
D
解析：原式＝tan(360°－60°) ＋sin(360°＋90°)
＝tan(－60°) ＋sin 90°
＝－tan 60°＋1＝－＋1
解析
解析：由 sin(θ＋π) ＝－sin θ＜0 sin θ＞0，
cos(θ－π) ＝ -cos θ＞0 cos θ＜0，
可知θ是第二象限角.
4. 已知 sin(θ＋π) ＜0，cos(θ－π) ＞0，则角θ的终边落在 (　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
B
解析
5. 判断下列函数的奇偶性：
(1) f(x) ＝－2tan 3x； (2) f(x) ＝x sin (x＋π).
解 (1) f(－x) ＝－2tan3(－x) ＝2tan 3x＝－f(x)，x∈R，
所以 f(x)＝－2tan3x 为奇函数.
(2) f(x)＝xsin(x＋π)＝－xsin x，x∈R，
所以f(－x) ＝xsin(－x) ＝－xsin x＝f(x)，
故函数 f(x) 为偶函数.
练 习
1. 求值：
(1) sin(－)；
(2) cos(－60°)；
(3) tan；
(4) sin225°.
2. 求值：
(1) sin150°； (2) tan1020°；
＝sin(180°－30°)
＝sin 30°
＝
＝ tan(3 × 360°－ 60°)
＝ tan(－ 60°)
＝ －tan60°
＝－
(3) sin(－)； (4) sin(－750°).
＝－sin( )
＝ －sin (π－)
＝＝ －
＝sin(－2×360°－30°)
＝sin (－30°)
＝－sin 30°
＝
3. 化简：
(1) sin(π＋α)cos(－α)＋sin(2π－α)cos(π－α)；
(2) sin α cos (π ＋α) tan(－π－α).
4. 判断下列函数的奇偶性：
(1) f(x) ＝ ∣sin x∣；
解 函数的定义域为R，定义域关于原点对称，
f(－x) ＝∣sin(－x) ∣＝∣sinx∣＝f(x)，
故函数f(x)为偶函数.
(2) f(x) ＝ sin x cos x .
解 函数的定义域为R，定义域关于原点对称，
f(－x)＝sin(－x)cos(－x)＝－sinxcosx＝－f(x)，
故函数f(x)为奇函数.
二、诱导公式五、六
终边关系 图形 公式
公式五 角－α与角α的终边关于直线y＝x对称. sin(－α) ＝______，
cos(－α) ＝______.
cos α
sin α
(1) 诱导公式五
(2) 诱导公式六
利用公式二和公式五，可得
sin (＋α) ＝ sin[－(－α )] ＝ cos(－α) ＝ cos α.
cos (＋α) ＝ cos [－(－α )] ＝sin(－α) ＝ －sin α.
则有
sin (＋α) ＝ ________，
cos (＋α)＝__________.
cos α
－ sin α
(3) 本质：
单位圆中，终边关于 y＝x 对称，互相垂直的角的三角函数之间的关系.
(4) 应用：
与诱导公式一～四结合用于三角函数式求值、化简、证明.
思 考
你能推导出tan(＋α)，tan(α)与tanα之间的关系吗
【思考】
从函数名称、符号两个方面观察诱导公式五、六，有什么变化规律
提示：函数名称改变，符号随象限变化而变化，即：函数名改变，符号看象限.
例 11
求证：sin (＋α)＝－cosα，cos(＋α)＝sinα.
证明 sin(＋α)＝sin[π＋(＋α)]＝－sin(＋α)＝－cosα，
cos(＋α)＝cos[π＋(＋α)]＝－cos(＋α)＝sinα.
例 12
已知cos(75°＋α)＝，且－180°＜α＜－90°，求 cos(15°－α) 的值.
分析 注意到(15°－α)＋(75°＋α )＝90°，因此，可将 cos(15°－α)转化为 sin(75° －α).
解 由－180°＜ α ＜ － 90°，得
－ 105°＜75° ＋ α ＜ － 15°，
则 sin(75°＋α) ＜ 0.
又 cos(75°＋α) ＝，
所以 cos(15°－α)＝cos[90°－(75°－α)＝sin(75°－α)
＝ －＝ －＝ －.
【基础小测】
1. 辨析记忆(对的打“ ”，错的打“ ”)
(1) 诱导公式五、六中的角α 只能是锐角. (　　)
(2) 在△ABC中，sin＝cos. (　　)
(3) sin(－α)＝±cos α (k∈Z). (　　)



2. 下列与 sin θ 的值相等的是 (　　)
A. sin(π＋θ) B. sin(－θ) C. cos(－θ) D. cos(＋θ)
C
解析：sin(π＋θ) ＝－sin θ，sin (－θ) ＝cos θ；
cos(－θ) ＝ sin θ，cos (＋θ)＝ －sin θ.
解析
3. 已知 sin(π＋A) ＝－，则cos(－A)的值是_______.
－
解析：sin(π＋A) ＝－sin A＝－，
cos(－A)＝ cos(π＋－A)
＝ －cos(－A) ＝ －sinA ＝ － .
解析
【跟踪训练】
1.下列与sin (θ－) 的值相等的式子为 (　　)
A. sin (θ＋) B. cos (θ＋) C. cos(－θ) D. sin(－θ)
D
解析：因为sin(θ－)＝ － sin (－θ)＝ －cosθ，
对于A，sin(＋θ)＝cos θ；对于B，cos(＋θ)＝－sin θ；
对于C，cos(－θ)＝cos[π＋－θ)]＝－cos(－θ)＝－sinθ；
对于D，sin(＋θ)＝sin[π＋＋θ)]＝－sin(＋θ)＝－cos θ.
解析
2.已知 sin 40°＝a，则cos 130°＝ (　　)
A. a B. －a
C. D. －
B
解析：cos 130° ＝ cos(90° ＋ 40°)
＝ － sin 40° ＝ － a.
解析
3.若sin(＋θ)＜0，且cos(－θ)＞0，则θ是 (　　)
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
B
解析：由于sin (＋θ) ＝ cosθ＜0，cos (－θ) ＝ sin θ ＞ 0，所以角θ的终边落在第二象限.
解析
4. 已知 tan θ＝2，则 ＝ (　　)
A.2 B.0 C. －2 D.
C
解析： ＝
＝ ＝ ＝ －2.
解析
5. 化简：＝( ).
A. －sin θ B. sin θ C. cos θ D. －cos θ
A
解析：原式＝
＝ ＝
解析
练 习
1. 已知 cos α ＝ a，求下列各式的值：
(1) sin (－α)；
(2) sin (＋α) ；
＝cos α＝α；
＝cos α＝α；
(3) sin (＋α)；
(4) sin(α－).
＝ sin (＋α) ＝ cos α＝α；
＝－sin (－α) ＝ cos α＝α；
2. 已知 sin53.13°＝0.8，求 cos143.13°和 cos216.87°.
3. 求证： cos(－α) ＝ －sin α，sin(－α) ＝ －cos α.
4. 化简：
(1) · sin (α－) cos (＋α)；
(2) .
5. 已知 sin(－x)＝－，且0＜x＜，求 sin (x) 的值.
6. 已知 cos (40°－α) ＝ ，且 90°＜ α ＜180°，求
cos(50°＋α) 的值.
习题 7.2
感受·理解
1. 已知角 α 的终边经过下列各点，求 α 的正弦、余弦、
正切值：
(1) (－8，－6)；(2) (，－1)；
(3) (－1，1)； (4) (0，－2).
(1) (－8，－6)；
(2) (，－1)；
(3) (－1，1)；
(4) (0，－2).
2. 利用三角函数的定义求角的正、余弦、正切值.
3. 作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：
(1) ；
(2) －；
则角－的正弦线为MP、余弦线为OM、正切线为AT；
(3)－；
则角－的正弦线为MP、余弦线为OM、正切线为AT；
(4) .
则角的正弦线为MP、余弦线为OM、正切线为AT；
4. 求下列各式的值：
(1) 5sin 90°＋2sin 0°－3sin 270°＋10cos 180°；
原式＝5＋2＋3－10＝0；
(2) sin － cos2 cosπ － tan2 － cosπ ＋ sin .
原式＝＋ － × 3 ＋ 1＋1＝2；
5. 确定下列三角函数值的符号：
(1) sin 2； (2) cos 6；
(3) cos (－3)； (4) tan(－8).
6. 分别根据下列条件求函数
f(x)＝sin (x＋)＋2sin (x－)－4cos 2x＋3sin (x＋)的值：
(1) x＝ ； (2) x ＝ .
7. 确定下列各式的符号：
(1) cos 310°tan(－ 108°)；
原式＝－cos(360°－50°) tan 108°
＝－cos 50°tan 108°＞0
(2) sin cos tan .
原式＝－sin (－cos) tan (2π－)
＝－sincostan ＜ 0
8. 根据下列条件，确定θ是第几象限角或哪个坐标轴上的角：
(1) sinθ＜0且 cosθ＞0；
由sinθ＜0知：θ是第三或第四象限角或是终边落在y轴负半轴上的角，
由cosθ＞0可知：θ是第一或第四象限角或是终边落在x轴正半轴上的角，
所以满足sinθ＜0且cosθ＞0的角θ是第四象限角.
(2) sinθcosθ＞0；
(3) ＞0；
由sinθ cosθ ＞ 0可知：sinθ与cosθ同号，
所以θ是第一或第三象限角.
由＞0可知：sinθ与cosθ同号，
所以θ是第一或第四象限角.
(4) | sinθ | ＝ sinθ.
由| sinθ | ＝ sinθ 可知：sinθ ≥ 0，
所以θ为第一或第二象限角或终边落在x轴上的角或终边落在y轴正半轴上的角.
9. (1) 已知 cosθ ＝，且 θ 为第四象限角，求 sin θ 和
tan θ 的值；
(2) 已知 sin x ＝－，求 cos x 和 tan x 的值.
10. 求下列各式的值：
(1) cos (－)；
(2) sin ；
(3) cos 1650°；
(4) sin 1740°.
11. 已知 x＝acosθ，y＝bsinθ，求证：＋＝1.
12. 化简：
(1) tanθ，其中θ为第二象限角；
(2) ＋，其中 α 为第四象限角.
13. 证明下列恒等式：
(1) sin4α ＋ cos4α ＝ 1－2sin2α cos2α；
(2) ＝ .
思考·运用
14. 已知 tan α ＝ 3，π＜α＜，求 cos α－sin α 的值.
15. (1) 设 tan α ＝ 2，计算 .
(2) 设 tan α ＝ －，计算 .
16. 已知 sin(x＋)＝，求 sin(－x)＋sin(－x) 的值.
17. 设角θ的终边经过点 P(4a， －3a) (a≠0)，求 sinθ 和
cosθ 的值.
18. 利用单位圆分别写出符合下列条件的角 α 的集合：
(1) sin α ＝－；
(2) sin α ＞－.
设AO与x轴夹角为∠1，BO与x轴夹角为∠2.
y＝－与x轴平行，
∴∠1 ＝ ∠OAC，∠2 ＝∠OBC.
在R△OAC中，sin∠OAC ＝，
∴∠OAC＝∠1＝.
∴sin(π － ) ＝sin ＝－；
在Rt△OBC中，sin∠OBC ＝，
∴ ∠OBC ＝ ∠2 ＝ .
∴sin(－ ) ＝sin(2π－) ＝sin() ＝ －.
(1)∴满足 sin α＝－ 的角α 的集合为
{α∣α ＝2kπ＋或 α＝2kπ＋，k∈Z}.
(2)满足sinα＞－ 的角 α 的集合为
{α∣2kπ－＜ α＜2kπ＋，k∈Z}.
19. (1)已知sinα＋cosα＝，求sinαcosα及sin4αcos4α的值；
(1) ∵sin α ＋ cos α ＝ ，
∴ (sinα＋cosα)2＝sin2α＋2sinαcosα＋cos2α＝2，
∵sin2α＋cos2α＝1，
∴sinαcosα＝，
sin4α ＋cos4α ＝(sin2α＋cos2α)2－2sin2αcos2α
＝1－2×()2＝ ；
(2) 已知 sinα＋cosα＝ (0＜α＜π)，求 tanα 的值.
探究·拓展
20. 当角 α，β 满足什么条件时，有 sinα＝sinβ
21. 设 α 为锐角(单位为弧度)，试利用单位圆及三角函数
线，比较 α，sinα，tanα 之间的大小关系.
本课结束
This lesson is over
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