8.1 二分法与求方程近似解 课件（共110张PPT） 2023-2024学年高一数学苏教版（2019）必修第一册

(共110张PPT)
第8章
函数应用
8 . 1
二分法与求方程近似解
函数是研究事物变化过程的数学模型，而方程刻画的则是相等关系成立的某种状态.我们可以从事物变化过程中考察某个状态，也可以通过对若干状态的考察来认识变化的过程，这样就产生了函数与方程的思想. 本节将着重研究函数与方程的关系.
● 函数与方程有什么关系
● 如何运用函数的知识研究方程的解
8.1.1
函数的零点
前面我们学习过，使二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a，b，c ∈R，a≠0) 的值为0的实数 x 称为二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的零点.
因此，二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的零点就是关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的实数解，也是二次函数y＝ax2＋bx＋c 的图象与 x 轴交点的横坐标.
一、函数的零点
(1) 概念：
一般地，我们把使函数 y＝f(x) 的值为0的_______称为函数 y＝f(x) 的零点.
实数 x
零点、图象与x轴的交点、方程实数解的关系：
函数 y＝f(x) 的零点就是方程 f(x)＝0 的实数解从图象上看，函数 y＝f(x) 的零点，就是它的图象与轴交点的横坐标.
(2) 本质：
方程 f(x)＝0 的根、函数 y＝f(x) 的图象与 x 轴的公共点的横坐标.
(3) 应用：
利用零点、图象与 x 轴的交点、方程实数解的关系，实现三种问题的相互转化.
【思考】
函数的零点是点吗
提示：不是，是使 f(x)＝0 的实数x，是方程 f(x)＝0 的根.
对于函数 f(x)＝x2－2x－1在区间(2，3)上是否存在零点这个问题，可以通过解方程或观察函数图象的方法来解决，我们还可以进行下面的思考：
如图，因为 f(2)＝－1＜0，f(3)＝2＞0，而二次函数 f(x)＝x2－2x－1 在区间[2，3] 上的图象是不间断的，这表明此函数图象在区间(2，3)上一定穿过 x 轴，即函数在区间(2，3)上存在零点.
二、函数零点范围的判定
(1)条件：函数 y＝f(x) 在区间 [a，b] 上的图象是一条不
间断的曲线，且有_____________；
(2) 结论：函数 y＝f(x) 在区间 (a，b) 上有零点.
(3) 本质：利用函数的性质判断零点的存在性.
(4) 应用：判断零点的存在性、求参数的范围等.
f(a)f(b)＜0
【思考】
函数 y＝f(x) 在区间 (a，b) 上有零点，是不是一定有f(a)f(b)＜0？
提示：不一定，如f(x)＝x2 在区间(－1，1) 上有零点0，
但是 f(－1)f(1) ＝1×1＝1＞0.
例 1
证明：函数 f(x)＝x3＋x2＋1 在区间(－2，－1)上存在零点.
解：因为
f(－2)＝(－2)3＋(－2)2＋1＝－3＜0，
f(－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1＞0.
且函数 f(x)在区间[－2，－1]上的图象是不间断的，所以函数 f(x)在区间(－2，－1)上存在零点.
例 2
求证：函数 f(x)＝2x＋2x－3 有零点.
解： 因为
f(0)＝20＋2×0－3＝－2＜0，
f(1)＝21＋2×1－3＝1＞0，
且函数 f(x) 在区间[0，1] 上的图象是不间断的，所以函数 f(x)＝2x＋2x－3在区间(0，1)上有零点，从而函数 f(x) ＝2x＋2x－3 有零点.
思 考
如果 x0 是二次函数 y＝f(x) 的零点，且 m＜x0＜n，那么f(m)f(n)＜0一定成立吗
【基础小测】
1. 辨析记忆(对的打“ ”，错的打“ ”)
(1)函数 y＝f(x) 在区间 [a，b] 上的图象是一条连续不断的曲线，且有 f(a)f(b)＜0，则函数在区间(a，b)内有唯一的零点. (　　)
(2) 若函数y＝f(x)在区间(a，b)上f(a)·f(b)＞0，则在区间(a，b)内一定没有零点. (　　)
(3) 函数 f(x) ＝x2－x＋1有零点. (　　)



2. 已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续的，且其中的四组对应值如表，那么在下列区间中，函数f(x)不一定存在零点的是 (　　)
A.(1，2) B.[1，3] C.[2，5) D.(3，5)
x 1 2 3 5
f(x) 3 －1 2 0
D
解析
解析：由题表可知，f(1)＝3，f(2)＝－1，f(3)＝2，f(5)＝0.
由f(1) f(2)＜0，可知函数f(x)在(1，2)上一定有零点；
则函数 f(x) 在 [1，3] 上一定有零点；
由f(2) f(3) ＜0，可知函数f(x)在(2，3)上一定有零点，则函数f(x)在[2，5)上一定有零点；
由f(3)＞0，f(5)＝0，可知f(x)在(3，5)上不一定有零点.
所以函数f(x)不一定存在零点的区间是(3，5).
3. 函数 f(x)＝lnx－6 的零点是________.
e6
解析：令 f(x) ＝ln x－6＝0，则 ln x＝6，解得 x＝e6.
解析
【跟踪训练】
1. 函数 f(x)＝log2(2x＋1) 的零点是 (　　)
A.1 B.0 C.(0，0)　 D.(1，1)
B
解析：令 log2(2x＋1)＝ 0，解得 x＝0.
解析
2. 已知 m 是函数 f(x)＝－2x＋2 的零点，则实数 m∈
(　　)
A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4)
B
解析：由 f(x)＝－2x＋2＝0可得，＋2＝2x.
作出函数 y＝＋2 与 y＝2x 的图象如图所示.
当0＜x＜1时，f(x)＞0 恒成立，没有零点，
因为f(1) ＝1＞0，f(2)＝－2＜0，故在 (1，2)
上有零点，结合图象可知，当x＞2时，＋2＜2x，
即 y＝＋2恒在y＝2x的下方.故 m∈(1，2).
解析
解析：函数 f(x)＝ex＋3x＋1 是连续函数，
因为f(－1) ＝ e－1－3＋1＜0， f(－) ＝ e － ＋1＞0
故函数的零点所在的区间为(－1，－)
－
3. 函数 f(x)＝ex＋3x＋1 的零点所在的区间为(　　)
A. (－2，－1) B. (－1，－)
C. (－，0) D. (0，)
B
解析
4. 函数 y＝x2－bx＋1有一个零点，则b＝________.
±2
解析：因为函数有一个零点，所以 Δ＝b2－4＝0，
所以 b＝±2.
解析
解析：显然 x＝0 不是函数F(x)的零点，令F(x)＝xf(x)－1＝0，则f(x)＝.故函数 F(x) 的零点个数即为函数
f(x)的图象与函数g(x)＝的图象的交点个
数，在同一坐标系中作两函数图象如图：
由图可知，函数f(x)与函数g(x)的图象有5
个交点，即函数F(x)有5个零点.
5. 已知函数 f(x)＝|x2－5|－2，则函数F(x)＝xf(x) －1的零
点的个数为________.
解析
5
练 习
1. 画出函数y＝x2＋x－2的图象，并指出函数y＝x2＋x－2
的零点.
由题可知该函数为二次函数，表示的图象是抛物线，其中a＝1＞0，抛物线开口向上，对称轴 x＝－＝－，顶点坐标(－，－)，与x轴交点(－2，0)，(1，0)，
画出函数大致草图如下：
由图象可知：
函数 y＝x2＋x－2 的零点为 x＝1或 x＝－2.
2. 求下列函数的零点：
(1) y＝2x＋3；
解 由 y＝0 得 2x＋3＝0，解得 x＝－，
所以函数的零点是－.
(2) y＝x2＋4x；
解 由 y＝0 得 x2＋4x＝0，解得 x＝0或 x＝－4，
所以函数的零点是0或－4.
解 由 y＝0 得 3x－9＝0，解得 x＝2，
所以函数的零点是 2.
(3) y＝3x－9；
(4) y＝log x.
解 由 y＝0 得 log x ＝0，解得 x＝1，
所以函数的零点是 1 .
3. 已知数 f(x)＝3x－x2，那么方程 f(x)＝0 在区间[－1，0]
上有实数解吗 为什么
4. 证明：(1)函数 f(x) ＝x2＋6x＋4 有两个不同的零点；
证明：
方程 x2＋6x＋4＝0的判别式 ＝62－4×4 ＝20＞0，
∴方程 f(x)＝0 有两个不同的实数解，
∴ 函数 f(x)＝x2＋6x＋4 有两个不同的零点.
(2) 函数 f(x)＝x3＋3x－1 在区间(0，1)上有零点.
证明：∵ f(0)＝03＋3×0－1＝－1＜0，
f(1)＝13＋3×1－1＝3＞0，
且函数f(x)在区间[0，1] 上的图象是不间断的，
∴ f(x) 在区间 (0，1) 上有零点.
5. 函数 f(x)＝4x3＋x－15 在区间 [1，2] 上是否存在零点
为什么
解 函数 f(x)＝4x3＋x－15在区间[1，2]上存在零点，
∵ f(1)＝－10＜0，f(2)＝19＞0.
∴ f(1)f(2)＜0
又∵函数 f(x)＝4x3＋x－15的图象在区间[1，2]上是一条连续不断的曲线
∴函数 f(x)＝4x3＋x－15在区间[1，2] 上存在零点.
6. 求证：函数 f(x)＝2x＋x 在 R 上有零点.
8.1.2
用二分法求方程的近似解
对于方程 lg x＝3－x，要求出这个方程的解是较为困难的.我们能否求出这个方程的近似解呢
让我们先从熟悉的一元二次方程开始研究.
例如，求方程 x2－2x－1＝0 的实数解就是求函数 f(x) ＝x2－2x－1 的零点. 根据图8-1-2，我们发现 f(2)＜0，f(3)＞0.
这表明此函数图象在区间 (2，3) 上有零点，即方程 f(x)＝0 在区间(2，3)上有实数解. 又因为在区间(2，3)上函数 f(x) 单调递增，所以方程 x2－2x－1＝0 在区间(2，3)上有唯一实数解 x1.
计算得f() ＝＞0，发现 x1∈(2，2.5) ，这样可以进一步缩小 x1 所在的区间.
思 考
你能把此方程的一个根 x1 限制在更小的区间内吗
下面我们利用计算工具来求方程 x2－2x－1＝0 的一个近似解(精确到 0.1). 设 f(x)＝x2－2x－1，先画出函数的图象.
▲ 图中负号“－”表示此点所对应的函数值为负，正号“＋”表示此点所对应的函数值为正，下同.
因为
f(2) ＝－1＜0，f(3)＝2＞0，
所以在区间(2，3)上，方程x2－2x－1＝0有一解，记为x1.
取2与3的平均数2.5.
因为f(2.5)＝0.25＞0，所以2＜x＜2.5.
再取2与2.5的平均数2.25.
因为 f(2.25) ＝－0.43750，所以2.25＜ x1＜2.5.
如此继续下去，得
f(2)＜0，f(3)＞0 x1∈(2，3)，
f(2)＜0，f(2.5)＞0 x1∈(2，2.5)，
f(2.25)＜0，f(2.5)＞0 x1∈(2.25，2.5)，
f(2.375)＜0，f(2.5)＞0 x1∈(2.375，2.5)，
f(2.375)＜0，f(2.437 5)＞0 x1∈(2.375，2.437 5).
因为 2.375 与 2.437 5 精确到 0.1的近似值都为 2.4，所以此方程的近似解为
x1≈2.4.
利用同样的方法，还可以求出方程的另一个近似解.
二分法
像上面这种求方程近似解的方法称为二分法，它是求一元方程近似解的常用方法.
运用二分法的前提是要先判断某解所在的区间.
例 3
利用计算器，求方程 lg x＝3－x 的近似解
(精确到 0.1).
分析 求方程 lg x＝3－x 的解可以转化为求函数 f(x)＝lg x＋x－3 的零点，故可以利用二分法求出题中方程的近似解.
解 分别画出函数 y＝lg x 和 y＝3－x 的图象，如图所示.
在两个函数图象的交点处，函数值相等. 因此，这个点的横坐标就是方程 lgx＝3－x 的解由函数 y＝lgx 与 y＝3－x 的图象可以发现，方程 lg x＝3－x 有唯一解，记为x1，并这个解在区间 (2，3) 内.
设 f(x)＝lgx＋x－3，用计算器计算，得
f(2)＜0，f(3)＞0 x1∈(2，3)，
f(2.5)＜0，f(3)＞0 x1∈(2.5，3)，
f(2.5)＜0，f(2.75)＞0 x1∈(2.5，2.75)，
f(2.5)<0，f(2.625)＞0 x1∈(2.5，2.625),
f(2.562 5)＜0，f(2.625)＞0 x1∈(2.562 5，2.625).
因为 2.5625与2.625 精确到0.1的近似值都为 2.6，以原方程的近似解为
x1≈2.6.
例 4
利用计算器，求方程 sin x＝1－x 的近似解 (精确到 0.1)
解：因为方程 sin x＝1－x 可化为 x＋sinx－1＝0，所以原方程的解即函数 f(x)＝x＋sinx－1的零点.
先画出函数 y＝sinx与函数 y＝1－x 的图象，如图 8-1-4 所示.
观察图象，因为
f(0)＝－1＜0，f(1)＝sin1＞0，
所以函数 f(x)的零点在区间 (0，1) 内，记为 x0.
取0和1的平均数 0.5，因为
f(0.5)＝sin0.5－0.5＝－0.020 57＜0，
所以动 x0∈ (0.5，1).
取 0.5和1的平均数 0.75，因为
f(0.75)－sin0.75－0.25＝0.43164＞0，
所以 x0∈(0.5，0.75).
取0.5和0.75的平均数 0.625，因为
f(0.625)＝sin0.625－0.375＝0.210 10＞0，
所以 x0∈(0.5，0.625).
取0.5和0.625的平均数 0.562 5，因为
f(0.562 5)＝sin0.562 5－0.437 5＝0.095 80＞0，
所以 x0∈ (0.5，0.562 5).
取0.5和0.5625的平均数0.53125，因为
f(0.531 25) ＝sin0.531 25－0.68 75＝0.037 86＞0，
所以 x0∈(0.5，0.531 25).
因为0.5和0.531 25 精确到 0.1的近似数都是0.5，所以区间(0.5，0.531 25)内的所有数精确到 0.1的近似数都是 0.5，从而 x0≈0.5. 因此，方程 sinx＝1－x 的近似解(精确到 0.1)为0.5.
用二分法求方程的一个近似解的操作流程是：
在以上操作过程中，如果存在 c，使得 f(x)＝0，那么 c 就是方程 f(x)＝0 的一个精确解.
【基础小测】
1. 辨析记忆(对的打“ ”，错的打“ ”)
(1) 任何函数的零点都可以用二分法求得. (　　)
(2)用二分法求出的函数零点就是精确值. (　　)


2. 下列图象与 x 轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是 (　　)
A
解析：只有A中图象与x轴交点两侧的函数值不变号，都是正值，因此不能用二分法.
解析
3. 若函数 f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个零点(正数)附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表：
x 1 1.5 1.25 1.375 1.4375
f(x) －2 0.625 －0.984 －0.260 0.162
则方程 x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确到0.1)为________.
x≈1.4
解析
解析 因为f(1)f(1.5)＜0，所以x0∈(1，1.5)；
因为 f(1.437 5)≈0.162＞0，
又 f(1.375)≈－0.260＜0，
所以 x0∈(1.375，1.437 5)，
因为1.375与1.437 5精确到0.1的近似值都是1.4，
所以原方程的近似解为x≈1.4.
【跟踪训练】
1. 用二分法求函数 y＝f(x) 在区间 [2，4] 上的唯一零点的近似值时，验证 f(2)·f(4)＜0，取区间 (2，4) 的中点 x1＝＝3，计算得 f(2)·f(x1)＜0，则此时零点x0所在的区间是(　　)
A.(2，4) B.(2，3) C.(3，4) D.无法确定
B
解析
解析：由题意可知：对于函数 y＝f(x) 在区间 [2，4] 上，有f(2)·f(4)＜0，
所以函数在 (2，4) 上有零点.
取区间的中点 x1＝＝3，
因为计算得 f(2)·f(x1)＜0，
所以利用函数的零点存在定理得，函数在(2，3)上有零点.
2. 用二分法求函数 f(x)＝3x－x－4 的一个零点，其参考数据如下：
f(1.6000)≈0.200 f(1.5875)≈0.133 f(1.5750)≈0.067
f(1.5625)≈0.003 f(1.5562)≈－0.029 f(1.5500)≈－0.060
据此数据，可得方程 3x－x－4＝0 的一个近似解 (精确到0.01)为________.
x≈1.56
解析
解析 f(1.562 5)≈0.003＞0，f(1.556 2)≈－0.029＜0，
方程3x－x－4＝0 的一个近似解在(1.556 2，1.562 5)上，
所以精确到0.01的近似解为 x≈1.56.
3. 用二分法求方程 x3－2x－5＝0 在区间[2，3]内的实根，
取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间为_______.
(2，2.5)
解析：因为 f(2)＜0，f(2.5)＞0，f(3)＞0，
所以 f(2)f(2.5)＜0，f(2.5)f(3) ＞0.
所以下一个有根区间应为 (2，2.5).
解析
练 习
1. 利用计算器，求方程 x3＋3x －1＝0 在区间(0，1)上的
近似解 (精确到0.1).
解 设 f(x)＝x3＋3x－1，
因为 f(0)＝0＋3×0－1 ＝－1＜0，
f(1)＝13＋3×1－1＝3＞0，
取区间 (0，1) 的中点 x1＝＝0.5，
因为 f(0.5)＝0.53＋3×0.5－1＞0.625＞0，
所以 f(0)·f(0.5)＜0，
因为 ∣0－0.5∣＝0.5＞0.1，
所以取区间 (0，0.5) 的中点x2＝ ＝0.25，
因为 f(0.25)＝0.253＋3×0.25－1≈－0.23＜0，
所以 f(0.25)·f(0.5)＜0，
因为 ∣0.25－0.5∣＝0.5＞0.1，
所以取区间 (0.25，0.5) 的中点 x3＝ ＝0.375，
因为 f(0.375)＝0.3753＋3×0.375－1≈0.18 ＞0，
所以 f(0.25)·f(0.375)＜0，
因为 ∣0.25－0.375∣＝0.125＞0.1，
所以取区间(0.25，0.375)的中点 x4＝＝0.31.
因为 f(0.31)＝0.313＋3×0.0.31－1＞－0.04＜0，
所以 f(0.31)·f(0.375)＜0，
因为 ∣0.31－0.375∣＝0.065＜0.1，
又因为函数 f(x) 在区间 (0.31，0.375) 上连续，
所以方程x3＋3x－1＝0在区间 (0，1) 上的近似解为0.3.
2. 利用计算器，求方程lgx＝1－2x的近似解 (精确到0.1).
解 令f(x)＝lgx＋2x－1，则 f()＝lg＜0， f(1)＝1＞0.
所以函数 f(x)＝lgx＋2－1在区间(，1)上存在零点，
因为 f()＝lg＋≈0.375，
所以函数 f(x)＝lgx＋2x－1在区间(， )上存在零点，
因为 f()＝lg＋≈0.0459，
所以函数 f(x)＝lgx＋2x－1在区间(， )上存在零点，
因为 f()＝lg＋≈－0.1249，
所以函数 f(x)＝lgx＋2x－1在区间(， )上存在零点，
因为 －＝ ＝0.0625＜0.1，
所以可取(， )中的数作为方程的近似解，
例如0.6，因此0.6是方程 lgx＝1－2x的近似解.
3. 用自己的语言叙述用二分法求方程近似解的基本步骤.
① 给定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确度，
② 求区间[a，b]的中点c，
③ 若 f(c)＝0，则c就是函数的零点，
若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c (此时零点 x0∈(a，c))，
若f(b)·f(c)＜0，则令a＝c (此时零点 x0∈(c，b))，
④ 判断是否达到精确度，即若∣b－a∣＜，
则得到零点近似值a或b，否则重复② － ④.
4. 用两种方法解方程 2x2＝3x－1.
5. 利用计算器，求方程 x3＝2x＋1 的近似解(精确到0.1).
因为－0.625≈－0.6，－0.5625≈－0.6，
所以取x2＝－0.6
因为1.5625 ≈ 1.6，
所以取x3 ≈ 1.6.
综上，方程x3＝2x＋1的近似解是 x1＝1.0，x2≈－0.6，x3≈1.6.
6. 利用计算器，求方程 x－cosx＝0 的近似解(精确到0.1).
解：设 f(x)＝x－cosx，方程的解为x0，用计算器计算得
f(0)＜0，f(1)＞0 x0 ∈(0，1)，
f(0.5)＜0，f(1)＞0 x0 ∈(0.5，1)，
f(0.5)＜0，f(0.75)＞0 x0∈( 0.5，0.75 )，
f(0.625)＜0，f(0.75)＞0 x0∈(0.625，0.75)，
f(0.6875)＜0，f(0.75)＞0 x0∈(0.6875，0.75)，
f(0.71875)＜0，f(0.75)＞0 x0∈(0.71875 ，0.75)，
f(0.734 375)＜0，f(0.75)＞0 x0∈(0.734 375，0.75 )，
f(0.734 375)＜0，f(0.742 187 5)＞0
x0∈(0.734 375，0.742 187 5)
∵ 0.734375和0.742 1875 精确到0.1 的近似值都是 0.7，
∴x≈0.7.
习题 8.1
感受·理解
1. 说明下列函数在给定的区间上存在零点：
(1) f(x)＝ lgx＋2x－5，(1，3)；
(2) f(x)＝ 2x＋x2－7，(1，2)；
(3) f(x)＝ x3＋x－1，(0，1)；
(4) f(x)＝ 2x＋sinx－l，(0，π).
(1) f(x)＝ lgx＋2x－5，(1，3)；
(2) f(x)＝ 2x＋x2－7，(1，2)；
(3) f(x)＝ x3＋x－1，(0，1)；
(4) f(x)＝ 2x＋sinx－l，(0，π).
2. 求证：方程 x2＋x＋1＝0 没有实数根.
3. 设m为实数若函数 y＝mx2－6x＋2 的图象与x轴只有1个
公共点，求m的值.
4. 设 k 为实数，若方程 4(x2－3x) ＋k－3＝0没有实数根，
求的取值范围.
5. 求证：方程 5x2＋7x－1＝0 的根一个在区间(－2，－1)
内，另一个在区间(0，1)内.
证明：设 f(x)＝5x2＋7x－1，则二次函数f(x)是定义域R上的连续函数，
计算 f(－2)· f(－1)＝(20－14－1) ×(5－7－1)＜0，
所以 f(x) 的一个零点在区间(－2，1)内，
计算 f(0)·f(1)＝(0＋0－1) ×(5＋7－1) ＜0，
所以f(x)的一个零点在区间 (0，1)内；
所以方程 5x2＋7x－1＝0的根一个在区间(－2，－1)内，另一个在区间(0，1)内.
6. 利用计算器，求方程 x2－2x－2＝0 的近似解
(精确到0.1).
解 由条件x2－2x－2＝0 两个根设为 x1，x2，
则x1＋x2＝2，
设函数为f(x)＝x2－2x－2，设函数的零点为x0，
因为 f(0)＝－2＜0，f(－1)＝1＞0，
则 x0∈(－1，0) ，
取(－1，0)的中间值－0.5，所以f(－0.5) ＝－0.75＜0，
则f(－0.5)f(－1)＜0，则 x0∈(－1，－0.5)，
取 (－1，－0.5)中间值－0.75，
计算得 f(－0.75)＝0.0625＞0，
所以 f(－0.75)f(－0.5)＜0，则 x0∈(－0.75， －0.5)，
取(－0.75， －0.5)中间值－0.625，
计算得 f(－0.625)＝－0.3594＜0，
所以 f(－0.75)f(－0.625)＜0，则x0∈(－0.75，－0.625)，
取(－0.75，－0.625)中间值－0.6875，
计算得 f(－0.6875) ＝－0.1523＜0，
所以 f(－0.75)f(－0.6875)＜0，则x0∈(－0.75，－0.6875)，
因为∣－0.75－(－0.6875)∣＝0.0625＜0.1，
则方程 x2－2x－2＝0的近似解为x1≈－0.7，
同理可得方程另一个近似解为x2≈2.7，
则方程两个近似解为－0.7和2.7.
7. 用多种方法解方程 x2＝3x＋10.
解法1：方程 x2＝3x＋10可化为 x2－3x－10＝0，
即 (x＋2)(x－5) ＝0，
∴x1＝－2，x2＝5.
解法2：方程 x2＝3x＋10 可化为 x2－3x－10＝0，
∴ ＝b2－4ac＝ (－3)2－4×1× (－10)
＝9＋40＝49，
∵ x＝，
x1＝ ＝ ＝ ＝ －2，
x2＝ ＝ ＝ ＝ 5，
∴ x1＝－2，x2＝5.
思考·运用
8. 设 m 为实数，若方程 7x2－(m＋13)x－m－2＝0 的一
个根在区间 (0，1) 内，另一个根在区间 (1，2) 内，
求 m 的取值范围.
解 设 f(x)＝7x2－(m＋13)x－m－2，
∵方程 7x2－(m＋13)x－ m－2＝0的一个根在区间(0，1)内，另一个根在区间(1，2)内，
解得－4＜m＜－2，
∴ m的取值范围是(－4，－2).
9. 设 k 为实数，若函数 f(x)＝x2－2x＋k 在区间[－1，0]
上有零点，求 k 的取值范围.
解 f(x)＝0等价于k＝2x－x2 ，
构造函数 g(x)＝2x－x2 ，x∈[－1，0]，
故只需要k的范围是函数g(x)的值域，
即原函数 f(x) 在区间 [－1，0] 上有零点，
g′(x) ＝ 2xln2－2x，g′′(x) ＝ 2x(ln2)2－2，
显然 g′′(x) 在区间[－1，0]上单调递增，
故 g′′(x) ≤ g′′(0)＝(ln2)2 － 2＜0，
所以 g′(x) 在区间[－1，0]上单调递减，
g′(x)≥g′(0) ＝ ln2＞0，
所以 g(x) 在区间[－1，0] 上单调递增，g(0)＝1，
g(－1)＝－1＝－，故g(x)∈[－，1]，
即k的取值范围为[－，1].
10. 设 a 为实数，函数 f(x)＝x2－ax－1，且函数 f(x) 在区
间 [－1，2] 上有唯的零点，求 a 的取值范围.
解 ∵ ＝(－a)2－4×(－1) ＝a2＋4＞0，
∴ 方程f(a)＝0有两个不等实根.
①当 f(－1)＝0时，1＋a－1＝a＝0.
此时f(a)＝x2－1.
令 f(x)＝0，解得 x＝－1或 x＝1，
此时 f(x) 在区间[－1，2] 上有两个零点，不合题意，舍掉.
② 当f(2)＝0时，4－2a－1＝3－2a＝0，
解得 a＝，
此时 f(x)＝x2－x－1.
令 f(x)＝0，解得 x＝－或x＝2，
此时 f(x) 在区间[－1，2] 上有两个零点，不合题意，舍去.
③ 若函数 f(x) 在区间(－1，2)上有唯一的零点，
则只需 f(－1)·f(2)＜0，
即a(3－2a)＜0，即a(2a－3)＞0，
解得 a＜0 或 a＞，
故a的取值范围是{x∣a＜0或a＞}.
11. 利用计算器，求下列方程的近似解 (精确到 0.1)：
(1) lg(2x) ＝－x＋1；
(2) 3x ＝x＋4；
(3) 2x－cosx －1＝0.
(1) lg(2x) ＝－x＋1；
解 设函数 f(x)＝lg(2x)＋x－1，
则 f(0.7)＝lg1.4＋0.7－1≈－0.15＜0，
f(0.75)＝lg1.5＋0.75－1≈－0.07＜0，
f(0.8)＝lg1.6＋0.8－1≈0.004＞0，
所以f(x)＝lg(2x)＋x－1＝0，
即方程 lg(2x)＝－x＋1的解约为0.8.
(2) 3x ＝x＋4；
解 设函数 f(x)＝3x－x－4，
则f(－4.0)＝3－4.0 ＋4.0－4≈0.012＞0，
f(－3.95)＝3－3.95＋3.95－4≈－0.037＜0，
f(1.55)＝31.55－1.55－4≈－0.060＜0，
f(1.60)＝31.60 －1.60－4≈0.20＞0，
所以 f(x)＝3x－x－4＝0，即方程 3x＝x＋4的两个解约为－4.0和1.6.
(3) 2x－cosx －1＝0.
解 设函数 f(x) ＝2x－cos x －1，
则f(0.8) ＝1.6－cos0.8－1≈－0.10＜0，
f(0.85) ＝1.7－cos0.85－1≈0.04＞0，
所以方程 2x－cosx－1＝0 的解约为0.8.
探究·拓展
12. 已知定义在 R 上的函数 y＝f(x)的图象是一条不间断的
曲线，f(a)≠f(b)，其中a＜b，设 F(x)＝f(x)－，
求证：函数 F(x) 在区间 (a，b) 上有零点.
证明：∵ f(x) 在(a，b)上不间断，
∴ F(x)＝f(x) － 在 (a，b)上连续.
本课结束
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