数学人教A版（2019）必修第一册 4.5.3 函数模型的应用 课件（共23张ppt）

(共23张PPT)
4.5.3 函数模型应用
【学习目标】
1.会利用已知函数模型解决实际问题．
2.能建立函数模型解决实际问题．
3.通过本节内容的学习，能认识函数模型的作用，提高数学建模，数据分析的能力．
【情境引入】：
爱因斯坦说过，复利的威力比原子弹还可怕.若每月坚持投资100元，40年之后将成为百万富翁.也就是说随着变量的增长，指数函数值的增长是非常迅速的，可以根据这一特点来进行资金的管理.
例如，按复利计算利率的一种储蓄，本金为a元，每期的利率为r，设本利和为y，存期为x，那么要知道存一定期限之后所得的本利和，就要写出本利和y随着存期x变化的函数式.假设存入的本金为1 000元，每期的利率为2.25%.
思考1；五期后的本利和是多少？
答案：解决这一问题，首先要建立一个指数函数关系式，即y＝a，将相应的数据代入该关系式就可得到五年期的本利和.
【温故知新】
1.常见的数学模型有哪些
(1)一次函数模型:f(x)=kx+b(k,b为常数,k≠0);
(2)反比例函数模型:f(x)=+b(k,b为常数,k≠0);
(3)二次函数模型:f(x)=a+bx+c(a,b,c为常数,a≠0);
注意:二次函数模型是高中阶段应用最为广泛的模型,在高考的应用题考查中最
为常见.
(4)指数函数模型:f(x)=a·+c(a,b,c为常数,a≠0,b>0,且b≠1);
(5)对数函数模型:f(x)=m+n(m,n,a为常数,m≠0,a>0,且a≠1);
(6)幂函数模型:f(x)=a+b(a,b,n为常数,a≠0,n≠1);
(7)分段函数模型:这个模型实则是以上两种或多种模型的综合,因此应用也十分
广泛.
一、已知函数模型解决实际问题
例1：人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列相关政策提供依据，早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：
其中t表示经过的时间，表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率.
（1）根据国家统计局网站公布的数据，我国1950年末、1959年末的人口总数分别为55 196万和67 207万，根据这些数据，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在1950~1959年期间的具体人口增长模型.
（2）利用（1）中的模型计算1951~1958年各年末的人口总数.查阅国家统计局网站公布的我国在1951~1958年间各年末的实际人口总数，检验所得模型与实际人口数据是否相符.
（3）以（1）中的模型作预测，大约在什么时候我国人口总数达到13亿
一、已知函数模型解决实际问题
（1）根据国家统计局网站公布的数据，我国1950年末、1959年末的人口总数分别为55 196万和67 207万，根据这些数据，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在1950~1959年期间的具体人口增长模型.
（1）由题意知 = 55 196、= 67 207，设1950 -1959年期间我国人口的年平均增长率为r，根据马尔萨斯人口增长模型，有
67 207=55 196，
由计算工具得
r≈0.021 876.
因此，我国在1950 -1959年期间的人口增长模型为
.
解：
一、已知函数模型解决实际问题
（2）利用（1）中的模型计算1951~1958年各年末的人口总数.查阅国家统计局网站公布的我国在1951~1958年间各年末的实际人口总数，检验所得模型与实际人口数据是否相符.
（2）分别取t=1,2,….,8,由可得我国在1951~1958年间的各年末人口总数；查阅国家统计局网站，得到我国1951~1958年各年末的实际人口总数、如下表所示：
解：
年份 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958
计算所得人口数/万 56417 57665 58940 60243 61576 62938 64330 65753
实际人口总数/万 56300 57482 58796 60266 61465 62828 64563 65994
根据1950~1959年我国人口总数的实际数据画出散点图，并画出函数
的图象（如下图）.
由表和图可以看出，所得模型与1950~1959年的实际人口数据基本吻合.
年份 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958
t 1 2 3 4 5 6 7 8
计算所得人口数（y）/万 56417 57665 58940 60243 61576 62938 64330 65753
实际人口总数/万 56300 57482 58796 60266 61465 62828 64563 65994
一、已知函数模型解决实际问题
（3）以（1）中的模型作预测，大约在什么时候我国人口总数达到13亿
（3）将y=130 000代入
，
得 130 000
由计算工具得 t≈39.15.
所以，如果人口按照（1）中的模型增长，那么大约在1950年后的第40年（即1990年），我国的人口就已占到13亿.
解：
一、已知函数模型解决实际问题
追问1：如果对130 000进一步变形，通过何种运算可以求解出t？
一、已知函数模型解决实际问题
追问2： 事实上，我国1990年的人口数为11.43亿，直到2005年才突破13亿，对由函数模型所得结果与实际状况不符，你有何看法？
因为人口基数较大，人口增长过快，与我国经济发展水平产生了较大的矛盾，所以我国从20世纪70年代逐步实施了计划生育政策，因此，这一阶段的人口增长条件并不符合马尔萨斯人口增长模型的条件，自然就出现了依模型得到的结果与实际不符的情况．
一、已知函数模型解决实际问题
【规律方法】
数学建模主要表现为：发现和提出问题，建立和求解模型，检验和完善模型，分析和解决问题．
这个例题是利用已知的函数模型解决实际问题．在用已知函数模型刻画实际问题时，应注意模型的适用条件．
例1：人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列相关政策提供依据，早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：
其中t表示经过的时间，表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率.
二、选择恰当的函数模型解决实际问题
例2：2010年 ,考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料上提取的草茎遗存进行碳 14年代学检测 ，检测出碳 14的残留量约为初始量的 55.2％ ， 能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的？
问题1：什么是“碳 14 年代学检测”？
碳 14 年代学检测是根据碳 14 的衰变程度来计算出样品的大概年代的一种检测方法，这一原理通常来测得古生物化石的年代．
二、选择恰当的函数模型解决实际问题
例2：2010年 ,考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料上提取的草茎遗存进行碳 14年代学检测 ，检测出碳 14的残留量约为初始量的 55.2％ ， 能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的？
问题2：什么是“半衰期”？
我们在指数函数的概念一节的问题2中涉及过“半衰期”的问题．
二、选择恰当的函数模型解决实际问题
例2：2010年 ,考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料上提取的草茎遗存进行碳 14年代学检测 ，检测出碳 14的残留量约为初始量的 55.2％ ， 能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的？
问题2：什么是“半衰期”？
二、选择恰当的函数模型解决实际问题
例2：2010年 ,考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料上提取的草茎遗存进行碳 14年代学检测 ，检测出碳 14的残留量约为初始量的 55.2％ ， 能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的？
追问1：那么对于例2，我们因当选择哪一种函数模型？
根据问题1和问题2，我们知道死亡生物机体内碳 14 的初始量按确定的衰减率衰减，属于指数衰减，所以应选择函数(k∈R,k≠0; a＞0,a≠1)建立函数模型．
二、选择恰当的函数模型解决实际问题
例2：2010年 ,考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料上提取的草茎遗存进行碳 14年代学检测 ，检测出碳 14的残留量约为初始量的 55.2％ ， 能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的？
y与x的对应关系为：
（ ∈R ， 且 ≠０ ； ０＜ ＜１ ； ≥０ ） ．
追问2：我们确定了指数函数模型，那么我们不妨设死亡生物体内碳 14 的初始含量为k ，年衰减率为 (0＜＜1)，生物死亡的年数为x，死亡生物体内碳 14 含量为 y，则y与x间有何种对应关系？
二、选择恰当的函数模型解决实际问题
例2：2010年 ,考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料上提取的草茎遗存进行碳 14年代学检测 ，检测出碳 14的残留量约为初始量的 55.2％ ， 能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的？
y与x的对应关系为：
（ ∈R ， 且 ≠０ ； ０＜ ＜１ ； ≥０ ） ．
追问3：如果利用这一对应关系由碳 14 的残留量推断此水坝建成的大概年代，需要确定哪个参数？
需要确定年衰减率 (0＜＜1)．
二、选择恰当的函数模型解决实际问题
例2：2010年 ,考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料上提取的草茎遗存进行碳 14年代学检测 ，检测出碳 14的残留量约为初始量的 55.2％ ， 能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的？
y与x的对应关系为：
（ ∈R ， 且 ≠０ ； ０＜ ＜１ ； ≥０ ） ．
追问4：我们可以利用哪个已知条件确定年衰减率 (0＜＜1)？
在指数函数的概念一节的问题 2 中由已知碳 14 的半衰期为 5730 年得出了生物体内碳 14 含量与死亡年数之间的关系，即
=
于是 　
所以 　　　
二、选择恰当的函数模型解决实际问题
例2：2010年 ,考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料上提取的草茎遗存进行碳 14年代学检测 ，检测出碳 14的残留量约为初始量的 55.2％ ， 能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的？
追问5：利用 　如何推断此水坝大概是什么年代建成的？　
由样本中碳14 的残余量约为初始量的 55.2％ 可知 ，
即 　 0.552　　　　　　
解得 ．
由计算工具得 ≈4912．
因为 2010年之前的 4912年是公元前 2902年 ，所以推断此水坝大概是公元前 2902年建成的 ．
二、选择恰当的函数模型解决实际问题
例2：2010年 ,考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料上提取的草茎遗存进行碳 14年代学检测 ，检测出碳 14的残留量约为初始量的 55.2％ ， 能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的？
【规律方法】
解答函数实际应用问题时,一般要分四步进行
(1)审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；
(2)建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；
(3)求模——求解数学模型，得出数学模型；
(4)还原——将数学结论还原为实际问题．
【课堂小结】
1、本节课我们尝试利用已知函数模型解决实际问题，重在通过运算推理求解模型，并将得到的函数模型用于描述实际问题的变化规律，从而解决有关问题，感受了利用函数模型解决实际问题的过程．
2、数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养．数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，验证结果、改进模型，最终解决实际问题．
【作业】
1.练习1、2、3