13.2 三角形全等的判定（第5课时） 课件（共28张PPT）

13.2 三角形全等的判定
第5课时 HL证全等
数学（华东师大版）
八年级 上册
第13章 全等三角形
学习目标
1、已知斜边、直角边会画直角三角形，经历画直角三角形探究得到“H.L.”定理，体会“H.L.”的合理性；
2、掌握“H.L.”定理，能正确应用“H.L.”定理证明两个三角形全等；
3、能正确应用所学的全等三角形的判定定理解决问题；
　
温故知新
问题：证明一般三角形全等有哪些方法？
1. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.
简记为 S.A.S.（或边角边）
2.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.
简记为 A.S.A.（或角边角）
　
温故知新
3.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.
简记为 A.A.S.（或角角边）.
4.三边分别相等的两个三角形全等.
简记为 S.S.S.（或边边边）
　
导入新课
A
B
O
N
M
P
∟
∟
？
？
在△OMP和△ONP中
△OMP与△ONP全等吗？
????????=????????，??????????????????????????=????????，???????????????????∠????????????=∠????????????=????????°.
?
探讨角平分线的作法时，小明只带了直角三角板，他说只利用三角板也可以作角平分线，方法如下：
我们知道，证明三角形全等不存在SSA定理的.
思考：这个证明是否成立呢？这节课我们将讨论这个问题！！！
讲授新课
知识点一 利用“H.L.”判定直角三角形全等
舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住,无法测量．
(1)　你能帮他想个办法吗？
根据“S.A.S.”可测量其余两边与这两边的夹角.
根据“A.S.A.”，“A.A.S.”可测量对应一边和一锐角.
讲授新课
工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等.于是，他就肯定“两个直角三角形是全等的”.
你相信这个结论吗？
（2）如果他只带一个卷尺，能完成这个任务吗?　
下面，让我们来验证这个结论.
斜边和一条直角边对应相等→两个直角三角形全等?.
讲授新课
2 cm
3 cm
步骤：
1.画一条线段AB，使它等于2cm；
2.画∠MAB=90°（用量角器或三角尺）；
3.以点B为圆心、3cm长为半径画圆弧，交射线AM于C；
△ABC即为所求.
M
A
B
C
把你画的直角三角形与其他同学画的直角三角形相比较，它们全等吗？
做一做
如图，已知两条线段，试画一个直角三角形，使长的线段为其斜边、短的线段为其一条直角边.
4.连结BC.
讲授新课
知识要点
“斜边直角边”判定方法
文字语言：
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
（简写成“斜边直角边”或“H.L.”）.
几何语言：

A
B
C
A ′
B′
C ′
∴在Rt△ABC和Rt△ A′B′C′ 中，
∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (H.L.).
∵∠C=∠C′=90°,
“S.S.A.”可以判定两个直角三角形全等，但是“边边”指的是斜边和一直角边，而“角”指的是直角.
AB=A′B′,
BC=B′C′,
讲授新课
典例精析
【例1】如图，已知 AC = BD，∠C = ∠D = 90°.求证: BC = AD.
证明： ∵∠C = ∠D = 90°(已知)，
∴△ABC与△BAD 都是直角三角形(直角三角形的定义).
在Rt△ABC 与 Rt△BAD 中，
∵AB = BA (公共边)，
AC = BD (已知)，
∴Rt△ABC ≌ Rt△BAD (H.L.)
BC = AD (全等三角形的对应边相等).
讲授新课
1. 一般三角形的全等与直角三角形的全等是从一般到特殊的关系，二者之间的联系为: 一般三角形的判定方法同样适用于直角三角形．
2.判定一般三角形的全等与直角三角形的全等的区别:
（1）一般三角形全等的条件“S.S.S.”在直角三角形中被“H.L.”代替，无需找第三条边对应相等；
（2）“两边及其中一边的对角对应相等”不能判定一般三角形全等，但能判定直角三角形全等．
讲授新课
练一练
如图，在△ABC中，D为 BC 的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点 E、F 为垂足，DE = DF. 求证:△BED≌△CFD.
证明: ∵ DE ⊥ AB，DF ⊥ AC，
∴ ∠BED ＝ ∠CFD ＝ 90°，
∴△BED 与△CFD 都是直角三角形．
∵D 为 BC 的中点,
∴BD ＝ CD ．
在 Rt△BED 与 Rt△CFD 中，
∵BD ＝ CD ，DE ＝ DF，
∴Rt△BED ≌ Rt△CFD (H.L.)．
讲授新课
2. 如图，AC = AD，∠C =∠D = 90°．求证: BC = BD.
证明:在Rt△ACB 和Rt△ADB 中,
∵AB＝AB，AC＝AD ，
∴Rt△ACB≌ Rt△ADB (H.L.)．
∴BC ＝ BD ．
讲授新课
如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度 AC 与右边滑梯水平方向的跨度 DF 相等，两个滑梯的倾斜角∠B 与 ∠F 的大小有什么关系？说说你的想法和理由.
解: ∠B＋∠F ＝ 90°．
可以利用已知条件证明
Rt△ABC ≌ Rt△DEF (H.L.)，
∴∠B ＝∠DEF，
∴∠B＋∠F ＝ 90°．
讲授新课
4. 如图，在△ABC中，AB = AC，AD是边 BC 上的高.
求证:（1）BD = DC；（2）∠BAD = ∠CAD.
证明: ∵AD 是 BC 边上的高，
∴∠ADB ＝∠ADC＝90°．
在Rt△ADB 和Rt△ADC 中，
AB＝AC，AD ＝ AD，
∴Rt△ADB ≌ Rt△ADC (H.L.)，
∴BD ＝ DC，∠BAD ＝∠CAD ．
讲授新课
5、一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成两块，他是否可以只带其中一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具呢？他该带哪块去呢？请用数学知识解释你的结论.
解:可以．带右边的一块去．这样可以根据三角形全等的判定方法可知，具有全等的 3 个条件，即 A.S.A.
当堂检测
1、已知：如图，AD、BC相交于点O，AD=BC，∠C=∠D=90°,
求证：②AO﹦BO，CO=DO.
A
D
C
B
②证明：在△AOC 和△BOD 中，
O
∠????=∠????已知，??????????????????∠????????????=∠????????????(对顶角相等)，????????????=????????已证.??????????????????????
?
∴△AOC≌△BOD(AAS)
∴AO﹦BO，CO=DO(全等三角形对应边相等).
当堂检测
A
D
C
B
2.如图，AB⊥BD，CD⊥DB，AD=BC.求证：AB=CD，AD//BC.
证明：∵ AB⊥BD，CD⊥DB(已知)，
∴∠ABD=∠CDB=90° (垂直定义).
在Rt△ABD和Rt△CDB中
????????=??????????(公共边)?，????????=????????(已知)?，???????
∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL）.
∴∠ADB=∠CBD， AB=CD
(全等三角形对应边、对应角相等) .
∴ AD//BC(内错角相等，两直线平行) .
?
当堂检测
3.如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，
AC＝AE. 求证：BC＝BE.
E
D
A
C
B
F
证明：∵ AD，AF分别是△ABC和△ABE的高，
∴∠ADB=∠AFB=90°
在Rt△ADC和Rt△AFE中, ????????＝????????，????????＝????????，?
∴Rt△ADC≌Rt△AFE（HL）.
∴CD=EF.
在Rt△ADB和Rt△AFB中, ????????＝????????，????????＝????????，?
∴Rt△ADB≌Rt△AFB（HL）.
∴BD=BF.
∴BD－CD＝BF－EF.即BC＝BE.
?
当堂检测
4. 如图所示，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别是E、F.若BE=CF，则图中全等三角形有( )
A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对
C
A
F
C
B
E
根据全等的条件将全等的三角形一一列出即可；
当堂检测
5. 如图，已知AC⊥BD于点P，AP=CP，请增加一个条件，使△ABP≌△CDP(不能添加辅助线)．
A
B
C
D
P
(1)若以“SAS”为依据，则可添加条件___________;
(2)若以“HL”为依据，则可添加条件___________ ;
(3)若以“ASA”为依据，则可添加条件__________ ;
(4)若以“AAS”为依据，则可添加条件___________．
BP=DP
AB=CD
∠A=∠C
∠B=∠D
当堂检测
6．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CA平分∠BCD，AE⊥BC于点E，AF⊥CD交CD的延长线于点F.
求证：△ABE≌△ADF.
A
D
C
B
F
E
证明：∵CA平分∠BCD，
∴∠ACE＝∠ACF.
∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD交CD的延长线于点F，
∴∠AEC＝∠AFC＝90°.
又∵AC＝AC，
∴△ACE≌△ACF(AAS)，
∴AE＝AF.
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
????????＝????????，????????＝????????，?
∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)．
?
当堂检测
7.如图，已知AD，BC相交于点O，AB=CD，AM⊥BC于点M，DN⊥BC于点N，BN=CM．
(1)求证：△ABM≌△DCN．
O
C
A
D
B
M
N
(1)证明：∵BN=CM
∴BN+MN=CM+MN，即：BM=CN，
∵AM⊥BC，DN⊥BC，
∴∠AMN=∠DNC=90°，
在Rt△ABM和Rt △ DCN中：
????????=????????，????????=????????，?
∴△ABM≌△DCN(HL)；
?
当堂检测
O
C
A
D
B
M
N
(2)解：OA=OD，理由如下：
∵△ABM≌△DCN，
∴AM=DN，
在△AMO和△DNO中：
∠????????????=∠????????????=????????°，∠????????????=∠????????????，????????????=????????.??????????????????????
∴△AMO≌△DNO(AAS)，
∴OA=OD．
?
(2)试猜想OA与OD的大小关系，并说明理由．
当堂检测
2.有一Rt△ABC，∠C=90°，AC=10cm，BC=5cm，线段PQ=AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AM上运动，问P点运动到AC上什么位置时，△ABC才能和△APQ全等？
B
C
A
P
Q
M
5cm
5cm
解：(1)当P运动到AP＝BC时，
∵∠C＝∠QAP＝90°.
在Rt△ABC与Rt△QPA中，
????????＝????????，????????＝????????，??
∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)，
∴AP＝BC＝5cm；
?
第二种情况：
当堂检测
B
C
A
(P)
Q
M
10cm
5cm
(2)当P运动到与C点重合时，AP＝AC.
在Rt△ABC与Rt△QPA中，
????????＝????????，????????＝????????，?
∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL)，
∴AP＝AC＝10cm，
∴当AP＝5cm或10cm时，
△ABC才能和△APQ全等．
?
第二种情况：
课堂小结
斜边直角边
判定定理
形式
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
H.L.（斜边直角边），存在于直角三角形中
判定直角三角形全等与判定一般三角形全等的联系与区别
应用
用H.L.解决问题
谢 谢~