13.5 逆命题与逆定理（第3课时） 课件（共28张PPT）

数学（华东师大版）
八年级 上册
13.5 逆命题与逆定理
第3课时 角平分线
第13章 全等三角形
学习目标
1、会叙述角平分线的性质及判定;
2、能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理，理解和掌握角平分线性质定理和它的逆定理．能应用这两个性质解决一些简单的实际问题;
3、经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．
　
温故知新
如图，你能画出∠AOB的对称轴吗？
射线OC就是的∠AOB的对称轴，也是角平分线.
A
O
B
C
　
导入新课
在一个三角形居住区内修有一个学校P，P到AB、BC、CA三边的距离都相等,请在三角形居住区内标出学校P的位置,P在何处？
A
B
C
问题情境
讲授新课
知识点一 角平分线的性质定理
如图，点P是∠AOB的角平分线OC上的任意一点，且PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，将∠AOB沿OC对折，你发现了什么？如何表达，并简述你的证明过程.
对折后PD、PE能够完全重合，PD=PE.
角是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
D
P
A
C
B
E
O
讲授新课
下面我们来证明刚才得到的结论.
D
P
A
C
B
E
O
已知:OC平分∠AOB, P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB .
求证:PD=PE.
证明:∵ OC平分∠AOB, P是OC上一点，
∴∠DOP=∠BOP.
∵PD⊥OA,PE⊥OB ，
∴∠ODP=∠OEP=90°.
在△OPD和△OPE 中，
∠DOP=∠EOP ,∠ODP=∠OEP ,OP=OP,
∴ △OPD≌△OPE (A.A.S.).
∴PD＝PE（全等三角形的对应边相等）.
讲授新课
由上面证明，我们得到角平分线的性质定理:
角平分线上的点到角两边的距离相等．
几何语言描述：
∵ OC平分∠AOB，
且PD⊥OA， PE⊥OB.
∴ PD= PE.
应用所具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离.
定理的作用：
证明线段相等.
讲授新课
典例精析
【例1】已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线且BD=CD∠B=∠C,DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E,F.
试说明：EB=FC.
A
B
C
D
E
F
分析：先利用角平分线的性质定理得到DE=DF，再利用全等证明Rt△BDE ≌ Rt△CDF.
讲授新课
A
B
C
D
E
F
解： ∵AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB, DF⊥AC，
∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中，
∴ △BDE ≌△CDF.
∴ EB=FC.
BD=CD，
∠B=∠C，
∠DEB=∠DFC，
讲授新课
练一练
（1）∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）
∴ = ，( ).
角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
BD CD
×
B
A
D
C
1、判断下列的写法是否正确？
理由：
没有垂直，不能确定BD、CD是点D到角两边的距离.
讲授新课
(2)∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）.
∴ = ,
( )
角内任意一条线上的点到这个角的两边的距离相等
BD CD
×
B
A
D
C
理由：
无法确定点D在∠BAC的平分线上.
在角平分线上和垂直这两个条件缺一不可．
讲授新课
知识点二 角平分线的判定定理
这一定理描述了角平分线的性质，那么反过来会有什么结果呢？
写出性质定理及其逆命题的条件和结论，你有什么发现？
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
t条 件
结 论
性质定理
逆命题
一个点在角的平分线上
这个点到这个角两边的距离相等
一个点到角两边的距离相等
这个点在这个角的平分线上
想想看，这个逆命题是否是一个真命题？你能证明吗？
讲授新课
逆命题 如果一个点到角两边的距离相等，那么这个点在这个角的平分线上.
分析：为了证明点P在∠AOB的平分线上，可以先作射线OP，然后证明Rt△PDO≌Rt△PEO，从而得到∠AOP=∠BOP.
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE.
求证：点P在∠AOB的角平分线上.
B
A
D
O
P
E
讲授新课
证明：
作射线OP，
在Rt△PDO和Rt△PEO 中，
（全等三角形的对应角相等）.
OP=OP（公共边），
PD= PE（已知），
∵PD⊥OA,PE⊥OB，
∴∠PDO=∠PEO=90°，
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ H.L.）.
∴∠AOP=∠BOP
B
A
D
O
P
E
∴点P在∠AOB的平分线上.
讲授新课
判定定理：
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
应用所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边距离相等.
定理的作用：判断点在角平分线上.
应用格式：
∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE，
∴点P 在∠AOB的平分线上.
D
P
A
C
B
E
O
角平分线的判定定理与性质定理互为逆定理.
讲授新课
利用尺规作三角形的三条角平分线，你发现了什么？
发现：三角形的三条角平分线交于一点．
做一做
怎样证明这个结论呢?
A
B
C
P
N
M
讲授新课
点拨：要证明三角形的三条角平分线相交于一点，只要证明其中两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上即可.思路可表示如下：
试试看，你会写出证明过程吗？
AP是∠BAC的平分线
BP是∠ABC的平分线
PI=PH
PG=PI
PH=PG
点P在∠BCA的平分线上
A
B
C
P
F
H
D
E
I
G
讲授新课
典例精析
【例2】如图，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为点D和点E，BD与CE相交于点F，BF=CF. 求证：点F在∠BAC的平分线上.
证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠CDF=∠BEF=90 °.
在△CDF和△BEF中，
∵∠CDF=∠BEF=90 °，∠CFD=∠BFE，BF=CF，
∴△CDF≌△BEF( A.A.S.)，
∴DF=EF，
∴点F在∠BAC的平分线上.
A
B
C
D
F
E
讲授新课
练一练
1.如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F. 求证：点F在∠DAE的平分线上.
A
B
C
D
E
F
证明：作FG⊥AC，FH⊥BC，FM⊥AB﹐垂足分别为G、H 、M .
G
H
M
∵ CF平分∠ECB，BF平分∠CBD
∴ FG＝FH＝FM
∴点F在∠DAE的平分线上.
讲授新课
2、如图所示，在△ABC中，BD=CD，∠ABD=∠ACD.
求证：AD平分∠BAC.
A
B
C
D
M
N
证明：如图，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，则∠BMD=∠CND=90°.在△BDM和△CDN中,
∠????????????=∠????????????,∠????????????=∠????????????,????????=????????,
∴△BDM≌△CDN(AAS).
∴DM=DN.又∵DM⊥AB，DN⊥AC,
∴AD平分∠BAC.
?
当堂检测
1. 如图，P是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD=2，则点P到边OA的距离是(　　)
A.2 B.3 C. 1 D.4
D
E
O
B
A
●
D
P
C
当堂检测
2. 如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B.
下列结论中不一定成立的是(　　)
A．PA＝PB B．PO平分∠APB
C．OA＝OB D．AB垂直平分OP
D
O
●
B
P
A
当堂检测
3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝6 cm，则△DBE的周长是_____
6 cm
A
C
D
B
E
当堂检测
4.如图，AD为△ABC的角平分线，DF⊥AC于点F，∠B=90°，DE=DC.
求证：BE=FC.
B
A
D
C
E
F
证明:∵∠B=90°,
∴BD⊥AB.又∵AD为△ABC的角平分线，且DF⊥AC,
∴DB=DF.在Rt△BDE和Rt△FDC中,
????????=????????,????????=????????,
∴Rt△BDE≌Rt△FDC(HL).∴BE=FC.
?
当堂检测
5、已知：如图，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，F、G分别是OA、OB上的点，且PF=PG，DF=EG.
求证：OC是∠AOB的平分线.
O
B
A
E
C
D
P
F
G
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDF=∠PEG=90°.
在Rt△PFD和Rt△PGE中,
????????=????????,????????=????????,
∴Rt△PFD≌Rt△PGE(HL),
∴PD=PE.
∵P是OC上点，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴OC是∠AOB的平分线.
?
当堂检测
　6.已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上,BD=DF.
　求证：CF=EB.
证明：∵AD平分∠CAB,
　　DE⊥AB，∠C＝90°（已知）,
∴　CD＝DE (角平分线的性质).
在Rt△CDF和Rt△EDB中,
　　 CD=ED（已证）,
DF=DB （已知）,
∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (H.L.).
∴ CF=EB（全等三角形的对应边相等）.
C
F
A
E
D
B
课堂小结
角平分线的性质及判定
性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.
判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
谢 谢~