13.5 逆命题与逆定理（第2课时） 课件（共30张PPT）

(共30张PPT)
数学（华东师大版）
八年级 上册
13.5 逆命题与逆定理
第2课时 线段垂直平分线
第13章 全等三角形
学习目标
1、理解和掌握线段垂直平分线的定理及其逆定理，并能利用它们来进行证明或计算.
2、知道线段垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合.
3、了解数学和生活的紧密联系，培养用数学的能力.
　
温故知新
C
A
B
P
M
N
如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB. 将线段AB沿直线MN对折，我们发现PA与PB有怎样的关系？
PA与PB完全重合
　
导入新课
如图，要在公路旁设一个公共汽车站，车站应设在什么地方，才能使A、B两村到车站距离相等？
公 路
A
B
讲授新课
知识点一 线段垂直平分线的性质
如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB.将线段AB沿直线MN对折，你发现了什么？如何表达，并简述你的证明过程.
M
N
P
A
C
B
对折后PA、PB能够完全重合，PA=PB.
线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
讲授新课
下面我们来证明刚才得到的结论：
证明： ∵MN ⊥AB（已知）,
∴∠ACP=∠BCP=90°(垂直的定义).
在△ACP和△BCP中,
∴ △ACP≌△BCP(S.A.S.).
∴PA=PB(全等三角形的对应边相等).
AC=BC,
∠ACP=∠BCP,
PC=PC,
M
N
P
A
C
B
你能用一句话来描述刚得到的结论吗？
讲授新课
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
线段垂直平分线的性质定理：
知识归纳
M
N
P
A
C
B
几何语言叙述:
∵点P在线段AB的垂直平分线上（或PC⊥AB，AC=BC），
∴PA=PB.
讲授新课
典例精析
【例1】利用尺规，作线段AB的垂直平分线.
作法：
1.分别以点A和点B为圆心，以大于
AB一半的长为半径作弧，
已知：线段AB.
求作：AB的垂直平分线.
2.作直线CD.直线CD就是线段AB的垂直平分线．


A
B
C
D
两弧相交于点C和D；
讲授新课
练一练
1. 如图，AB = AC，∠A = 50°，DE垂直平分AB. 求∠DBC的大小.
解：由题意，得∠ABC= (180°－∠A)÷2=65°，
∠EBD=∠A=50°，
∴∠DBC=∠ABC－∠EBD=15°.
讲授新课
知识点二 线段垂直平分线的判定定理
探索
这一定理描述了线段垂直平分线的性质，那么反过来会有什么结果呢？
条件 结论
性质定理
逆命题
一直线是一线段的垂直平分线
该直线上的点到线段两端的距离相等
点到线段两端的距离相等
该点在线段的垂直平分线上
逆命题是否是一个真命题？
讲授新课
逆命题 如果一个点到线段两端的距离相等，那么这个点在线段的垂直平分线上.
已知： 如图，QA＝QB.
求证： 点Q在线段AB的垂直平分线上．
分析：为了证明点Q在线段AB的垂直平分线上，可以先经过点Q作线段AB的垂线，然后证明该垂线平分线段AB；
也可以先平分线段AB，设线段AB的中点为点C，然后证明QC垂直于线段AB．
讲授新课
证明：过点Q作MN⊥AB，垂足为点C，
故∠QCA=∠QCB=90°.
在Rt△QCA 和Rt△QCB中，
∵QA=QB，QC=QC，
∴Rt△QCA≌Rt△QCB（H.L.）.
∴AC=BC.
∴点Q在线段AB的垂直平分线上．
已知： 如图，QA＝QB.
求证： 点Q在线段AB的垂直平分线上．
你能根据分析中后一种添加辅助线的方法，写出它的证明过程吗？
讲授新课
知识要点
线段垂直平分线的判定
应用格式：
∵　PA =PB，
∴　点P 在AB 的垂直平分线上．
P
A
B
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
定理 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
线段垂直平分线的判定定理与性质定理互为逆定理.
讲授新课
利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，做完之后，你发现了什么？
发现：三角形三边的垂直平分线交于一点．这一点到三角形三个顶点的距离相等．
做一做
怎样证明这个结论呢
讲授新课
点拨：要证明三条直线相交于一点，只要证明其中两条直线的交点在第三条直线上即可.思路可表示如下：
试试看，你会写出证明过程吗？
B
C
A
P
l
n
m
l是AB的垂直平分线
m是BC的垂直平分线
PA=PB
PB=PC
PA=PC
点P在AC的垂直平分线上
讲授新课
证明：连接PA，PB，PC.
∵点P在AB，AC的垂直平分线上， ∴PA=PB，PA=PC （线段垂直平分线上
的点到线段两端距离相等）.
∴PB=PC.
∴点P在BC的垂直平分线上 (到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）.
B
C
A
P
l
n
m
讲授新课
典例精析
【例2】如图，已知点A、B和直线l，在直线l上求作一点P，使PA = PB.
A
B
l
提示：作AB的垂直平分线与直线l的交点.
P
讲授新课
练一练
1. 如图，BD⊥AC，垂足为点E，AE = CE.
求证：AB＋CD＝AD ＋BC.
D
A
C
B
E
证明：∵BD AC ，AE＝EC，
∴BD是AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，AB＝BC，
∴AB＋CD＝AD＋BC.
讲授新课
2. 如图，在△ABC中，已知点D在BC上，且 BD + AD = BC. 求证：点D在AC的垂直平分线上 .
A
B
C
D
证明：∵BD＋DC＝BC
而 BD＋AD＝BC，
∴ AD＝DC，
∴ 点D在AC的垂直平分线上.
讲授新课
3. 如图，在△ABC中，∠A =30°，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D. 求证：点D在AB的垂直平分线上.
证明：∵∠C=90°，∠A =30°
∴∠ABC=60°，
∵BD是∠ABC 的平分线，
∴∠ABD=30°，∴∠A=∠ABD=30°，
∴AD=BD，
∴点D在AB的垂直平分线上.
当堂检测
1.如图，直线CD是线段PB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点，且PA=5，则线段PB的长为（ ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
P
A
B
C
D
B
由垂直平分线的性质可知，
PA=PB=5
当堂检测
2.如图，在△ABC中，BC=8cm,边AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E, △BCE的周长等于18cm,则AC的长是 .
10cm
A
B
C
D
E
∵DE是AB的垂直平分线
∴AE=BE
∵△BCE的周长为18
∴AC+BC=18
∴AC=10
当堂检测
3.在锐角三角形ABC内一点P,，满足PA=PB=PC,则点P是△ABC ( )
A.三条角平分线的交点
B.三条中线的交点
C.三条高的交点
D.三边垂直平分线的交点
D
当堂检测
解：∵DE是△ABC边AB的垂直平分线,
∴EB=EA,
∴△AEC的周长
=AC+CE+EA
=AC+CE+EB
=AC+BC
=4+5
=9.
4.如图，DE是△ABC边AB的垂直平分线，交AB、BC于D、E，若AC=4，BC=5，求△AEC的周长.
A
D
B
E
C
当堂检测
　解：∵AD⊥BC，BD =DC，
∴AD 是BC 的垂直平分线，
∴AB =AC．
∵点C 在AE 的垂直平分线上，
∴AC =CE．∴AB =AC =CE．
∴AB+BD=CE+CD,即AB+BD=DE.
5.如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB+BD与DE 有什么关系？
A
B
C
D
E
当堂检测
6.如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在河边的什么地方，可使所修的渠道最短？
2.连接A'B，交a于点P.
作法：1.做点A关于a的对称点A'.
点P即为抽水站的位置.
A
B
a
A'
P
当堂检测
7. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，交AC于点E，DE垂直平分AB于点D．求证：BE＋DE＝AC．
B
A
C
D
E
证明：∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∠EDB＝90°.∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠DBE.∵∠C＝∠EDB＝90°，BE＝BE，∴△BED≌△BEC，
∴DE＝CE，∴BE＋DE＝AE＋EC＝AC.
当堂检测
8. 如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB的中点，且DE⊥AB，已知△BCD的周长为12，且AC-BC=2，求AC、BC的长.
A
B
C
E
D
解：∵D是AB的中点，DE⊥AB.
∴DE为AB的中垂线.
∴AE=BE.
∵△BCE的周长为12.
∴BC+CE+BE=12.
∴AC+BC=12.
∵AC-BC=2.
∴AC=7，BC=5.
课堂小结
线段的垂直平分的性质和判定
性质
到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
内容
判定
内容
作用
线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等
作用
见垂直平分线，得线段相等
判断一个点是否在线段的垂直平分线上
谢 谢~