13.3 等腰三角形（第1课时） 课件（共32张PPT）

13.3 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
数学（华东师大版）
八年级 上册
第13章 全等三角形
学习目标
1、理解并掌握等腰三角形的性质；
2、经历等腰三角形的探究过程，能初步运用等腰三角形的性质解决有关问题；
　
温故知新
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
1.具备什么条件的三角形是等腰三角形？
2.等腰三角形的有关概念
A
B
C
相等的两条边叫做腰,
另一条边叫做底边,
底边与腰的夹角叫做底角.
两腰所夹的角叫做顶角,
腰
腰
底边
顶角
底角
边：
角：
　
导入新课
法国巴黎的卢浮宫
城市大桥建筑
图片欣赏
讲授新课
知识点一 等腰三角形的性质
剪一张等腰三角形的半透明纸片，每人所剪的等腰三角形的大小和形状可以不一样，如图，把纸片对折，让两腰AB、AC重叠在一起，折痕为AD.你能发现什么现象吗？
做一做
D
A
B
C
讲授新课
1.等腰三角形是轴对称图形.
我们可以得出结论：
A
C
B
D
折痕AD所在直线是等腰三角形的对称轴.
你还有新的发现吗？
∠B，∠C 是等腰三角形的 .
底角
∠B ＝∠C
所以我们可以描述为:
等腰三角形的两个底角相等.
2.
探究归纳
讲授新课
A
B
C
D
等腰三角形的性质：
等腰三角形的两底角相等.
（简写成“等边对等角”）
你还有什么方法可以证明“等边对等角”呢？
讲授新课
A
B
C
已知：如图，在△ABC中，AB＝AC.
求证：∠B ＝∠C
证明：画∠BAC的平分线AD.
D
1
2
在△ABD和△ACD中，
∵AB＝AC（已知）
∠1＝∠2（角平分线的定义）
AD＝AD（公共边）
∴ △ABD≌△ACD（S.A.S）
∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）
讲授新课
从这里你还可以得到什么结论？
A
B
C
D
1
2
AD既是底边上的中线，又是顶角的平分线和底边上的高。
讲授新课
A
B
C
D
1
2
等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线相互重合。
等腰三角形的性质：
（简称“三线合一”）
讲授新课
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}文字语言
图形语言
符号语言
等边对等角
底边上的高、中线及顶角平分线重合
A
B
C
A
B
C
D
在△ABC中，
∵AC = AB (已知)，
∴∠B =∠C ( 等边对等角）.
在△ABC中，AB=AC.
(1)∵∠BAD=∠CAD，∴BD=CD，AD⊥BC；
(2)∵AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD；
(3)∵BD=CD，∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC.
知识归纳
讲授新课
典例精析
例1 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，且AD＝BD，
求证: ∠ADB＝∠BAC．
A
B
C
D
1
2
？
？
证明：∵AB＝AC，AD＝BD，
∴∠B＝∠C，∠B＝∠1（等边对等角）
∴∠C＝∠1.
∵∠ADB是△ADC的外角，
∴∠ADB＝∠C+∠2.
∴∠ADB＝∠1+∠2=∠BAC.
讲授新课
例2 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F.
求证：DE=DF.
D
A
B
C
F
E
证明：
∵AB=AC，
∴ ∠B= ∠C (等边对等角).
∵D是BC的中点，
∴ DB=DC .
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ ∠DEB=∠DFC=90°.
在△DBE和△DCF中，
∠????= ∠???? ， ∠????????????=∠????????????=????????°，????????=????????，
?
∴ △DBE ≌ △DCF(AAS).
∴ DE=DF .
讲授新课
练一练
1. 如图，在△ABC中，AB=AC，
(1)如果∠B＝70°，那么∠C＝____，∠A＝____．
A
B
C
D
70°
40°
(2)如果∠A＝70°，那么∠B＝____，∠C＝ ___．
(3)如果有一个角等于120°,
那么∠A＝ ____ ，∠B＝___ ，∠C ＝___ ．
(4)如果有一个角等于50°，那么另两个角等于多少度？
55°
55°
120°
30°
30°
解：若∠A=50°,则∠B=∠C=65°；
若∠B=∠C=50°,则∠A=80°.
已知一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论．
讲授新课
2. 如图，在△ABC中，点D在BC上，AD=BD，AB=AC=CD.
找出图中相等的角并说明理由.
解：∠BAD=∠B=∠C；∠BAC=∠ADB；∠ADC=∠DAC.
∵AD=BD，
∴∠BAD=∠B.
∵AB=AC，
∴∠C=∠B.
∴∠BAD=∠B=∠C
A
B
C
D
∵DC=AC，
∴∠DAC=∠ADC.
∵∠ADB＝∠C+∠DAC，
∠BAC＝∠BAD+∠DAC，
∴∠ADB=∠BAC.
讲授新课
3.如图的房屋人字梁架中，AB＝AC ，BD=DC， ∠BAC＝110°，
(1) 求∠B、∠C、∠1、∠2的度数；
(2) 求证：AD⊥BC .
(2) 证明：∵AB=AC，BD=DC（已知）
∴ AD⊥BC（三线合一）
1
2
解： (1) ∵AB=AC，BD=DC（已知）
∴∠1=∠2= ????????∠BAC（三线合一）
∵∠BAC＝110°（已知）
∴∠ 1=∠2=55°（等式性质）
?
讲授新课
知识点二 等边三角形的性质
因为等边三角形是特殊的等腰三角形，由等腰三角形等边对等角的性质得到，∠B＝ ∠ C，
同理可得 ∠A＝∠B
所以 ∠A＝∠B＝∠C，
又由 ∠A＋∠B＋∠C＝180°，
从而推出 ∠A＝∠B＝∠C＝60°.
也就是说：等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于60°.
三条边都相等的三角形是等边三角形，它也是轴对称图形，那么等边三角形的每个角的度数是多少呢？它有几条对称轴？
A
C
B
等边三角形的三条边都相等，三个角都相等，也称为正三角形.
三条对称轴
讲授新课
A
B
C
等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于60°.
等边三角形的性质：
正三角形
讲授新课
典例精析
A
B
C
D
例3 如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数.
（1）找出图中所有相等的角；
（2）指出图中有几个等腰三角形？
∠A=∠ABD,
∠C=∠BDC=∠ABC；
△ABC,
△ABD,
△BCD；
讲授新课
A
B
C
D
x
⌒
2x
⌒
2x
⌒
⌒
2x
（3）观察∠BDC与∠A，∠ABD的关系，∠ABC、∠C呢？
∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2 ∠A=2 ∠ABD,
∠ABC= ∠BDC=2 ∠A,
∠C= ∠BDC=2 ∠A；
（4）设∠A=x,请把△ ABC的内角和用含x的式子表示出来.
∵ ∠A+ ∠ABC+ ∠ C=180 °，
∴x+2x+2x=180 °.
讲授新课
A
B
C
D
解：∵AB=AC，BD=BC=AD，
∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠A=∠ABD.
设∠A=x,则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x,
从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x,
于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180 ° ，
解得x=36 ° .
在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.
x
⌒
2x
⌒
2x
⌒
⌒
2x
当堂检测
D
1.等腰三角形的对称轴是 ( 　　)
A.底边上的中线　　　 B.顶角的平分线
C.底边上的高 D.底边的垂直平分线
注：对称轴要回答是直线，而ABC三个选项是线段或射线，不符合要求
当堂检测
2.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，下列结论中不正确的是 ( 　　)
A. ∠B=∠C B. AD⊥BC
C. AD平分∠BAC D. AB=2BD
A
B
C
D
D
根据等腰三角形的性质即可证明ABC，D无法说明；
当堂检测
3.(1)等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为____ ________；
(2)等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为____________________；
(3)等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为_ ___ _______ __.
75°, 30°
72°,72°或36°,108°
30°，30°
当堂检测
4. 在△ABC中， AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交得的锐角为50°，则底角的大小为___________．
70°或20°
A
B
C
A
B
C
注意：当题目未给定三角形的形状时，一般需分锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论.
当堂检测
5. 如图，点E在BC上，AE// DC， AB = AE. 求证：∠B = ∠C.
A
D
C
E
B
证明：∵AE//DC，
∴∠C=∠AEB.
又∵AB=AE，
∴∠B=∠AEB，
∴∠B=∠C.
当堂检测
6. 如图，在△ABC中，AB = AC，BD ⊥AC，CE ⊥AB，垂足分别为点D、E. 求证：BD=CE.
证明：∵AB＝AC，
∴∠EBC＝∠DCB，
∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BEC＝∠CDB＝90°.
在△BEC和△CDB中，
∠BEC＝∠CDB，∠EBC＝∠DCB，BC＝CB
∴△BEC≌△CDB（A.A.S.），
∴BD＝CE .
当堂检测
7.如图，在△ABC中，点D在BC上，AD=BD，AB=AC=CD.
求∠BAC的度数.
解：设∠B=x°.
∵AD=BD，
∴∠BAD=∠B=x°.
∴∠ADC=∠BAD+∠B=(2x)°.
∵DC=AC，
∴∠DAC=∠ADC=(2x)°.
∵AB=AC，
∴∠C=∠B=x°.
∵∠C+∠DAC+∠ADC=180°,
∴x+2x+2x=180.
∴x=36，即∠B=36°.
∴∠BAC=180°-36°-36°=108°
A
B
C
D
当堂检测
8. 已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC.
(1)如图①，若AD＝AE，求证：BD＝CE；
A
C
B
E
D
图①
G
(1)证明：如图①，过A作AG⊥BC于G.
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BG＝CG，DG＝EG，
∴BG－DG＝CG－EG，
∴BD＝CE.
当堂检测
A
F
C
B
E
D
图②
(2)证明：∵F为DE的中点，
∴DF＝EF.
∵BD＝CE，
∴BD＋DF＝CE＋EF，
∴BF＝CF.
∵AB＝AC，
∴AF⊥BC.
(2)如图②，若BD＝CE，F为DE的中点，求证：AF⊥BC.
课堂小结
等腰三角形的性质
底与腰不相等
定义
等边对等角→证明角相等
三线合一
底与腰相等→等边三角形
定义
等腰三角形的所有性质
特有性质：三边相等；三个角都等于60°
谢 谢~