19.5 角的平分线（第1课时） 课件（共22张PPT）

(共22张PPT)
沪教版八年级上册
第 19 章 几何证明
19.5角的平分线（第1课时）
学习目标
1.通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分线的性质定理.（难点）
2.能运用角的平分线性质解决简单的几何问题. （重点）
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
[复习与回顾]
线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等。
题设、结论
[“互逆”的思想]
逆命题
逆定理
定理
命题
“角”是轴对称图形，它的对称轴是什么？
A
B
O
1
2
“角的平分线”除了平分这个角以外，还有其他的性质吗？
角平分线所在直线
C
∵OC平分∠AOB,
∴∠1=∠2
证明:∵PD⊥OA,PE⊥OB,
　　∴∠PDO=∠PEO=90°
又∵OC是∠AOB的平分线,
∴∠1=∠2,
在△POD和△POE中
∠PDO=∠PEO,
OP=OP,
∠1=∠2,
∴△POD≌△POE (ASA)
∴PD=PE (全等三角形的对应边相等)
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．
求证：PD=PE．
探寻逆定理
在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等。
逆命题：
到这个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
在一个角的内部（包括顶点）且
证明逆命题
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，且PD=PE
求证：P在∠AOB角平分线上
∠1=∠2
在一个角的内部（包括顶点）且到这个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
角的平分线可以看作是
在这个角的内部（包括顶点）到角两边距离相等的点的集合.
符号语言：
∵PD⊥OA，PE⊥OB且PD=PE
定理应具备条件：
1）角内部一点
2）两段垂直距离
3）距离相等
定理作用：
证明角被平分
∴∠1=∠2或点P在∠AOB角平分线上
（在一个角的内部（包括顶点）且到这个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。）
用集合的思想理解角平分线：
A
B
O
C
角的平分线可以看作是在这个角的内部（包括顶点）到角两边距离相等的点的集合.
类比探究
求证：点O在∠C的平分线上.
[例1]如图，AO、BO分别是∠A、∠B的平分线， OD⊥BC，OE⊥AB，垂足分别为D、E.
F
∵AO平分∠BAC，OE⊥AB（已知）
证明：过点O作OF⊥AC，垂足是F。
∴OE=OF(在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等)
∴OF=OD(等量代换)
∴点O在∠C的平分线上(在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上)
OF⊥AC(作图)
本例结论可引申为——
这个点叫做“三角形的内心”。
三角形三个内角的平分线交于一点，
同理，OE=OD
1.已知:如图,点 P、D在∠AOB 的平分线上，OA=OB,PM⊥BD,PN⊥AD,垂足分别是点 M、N.
求证:(1)∠BDO=∠ADO:
(2) PM=PN
课本练习
证明（1）∵OD平分∠AOB，∴∠BOD=∠AOD
在△BOD和△AOD中，
∴ △BOD≌△AOD（SAS）
∴∠BDO=∠ADO
（2）由（1）知DO平分∠BDA，
又∵PM⊥DB，PN⊥DA，
∴PM=PN
2. 已知：如图，BP、CP分别是△ABC的外角平分线，PM⊥AB，PN⊥AC，点M、N分别为垂足.
求证（1）PM=PN
（2）AP平分∠MAN.
H
PM=PH
PN=PH
PM=PN
证明：
过点P作PH⊥BC，垂足为点H.
∵BP是∠MBC的平分线
(已知)，
PM⊥AB，PH⊥BC
∴PM=PH
（在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等）,
同理：PN=PH.
∴PM=PN（等量代换）.
∴点P在∠MAN的平分线上,即AP平分∠MAN.
（在一个角的内部（包括顶点）且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上）．
3。如图，已知△ABC ，∠C=90°，AC=BC，点D中BC上，DE⊥AB,点 E为垂足，且DE=DC，联结AD。求∠ADB的度数.
【解析】根据题意可得，∠BAC=∠B=45°
∵DE⊥BC，∴∠AED=90°
在Rt△ACD和Rt△AED中
∴ Rt△ACD ≌Rt△AED（HL）
∴∠ADB=∠C+∠CAD=90°+22.5°=112.5°
4.如图,要在M区建一个大型超级购物中心G,使它到两条公路的距离相等,离两公路交叉处1000米,这个超级购物中心应建于何处(在图上标出点G的位置，比例尺1:50000)
【解析】设OG=xcm,1000m=100000cm,
1.如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，PD=4 cm，则PE=______cm.
B
A
C
P
M
D
E
4
温馨提示：存在两条垂线段———直接应用
随堂检测
A
B
C
P
2.如图，在Rt△ABC中，AC=BC，∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝m， AB=14.
（1）则点P到AB的距离为_______(用含m的式子表示)；
D
m
温馨提示：存在一条垂线段———构造应用
A
B
C
P
3.如图，在Rt △ABC中，AC=BC，∠C＝900，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝m，AB=14.
（2）求△APB的面积(用含m的式子表示)；
D
（3）求△PDB的周长.
AB·PD=7m.
由角平分线的性质，可知，PD=PC=m，
=
由题意可证△ACP≌△ADQ，∴AC=AD.
E
D
C
B
A
6
8
10
4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，则：(1)哪条线段与DE相等？为什么？
(2)若AB＝10，BC＝8，AC＝6，求BE，AE的长和△AED的周长.
解：(1)DC=DE.理由如下：角平分线上的点到角两边的距离相等.
（2）∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠EBD.
在△CDB和△EDB中，
∠C=∠BED，∠CBD=∠EBD，DB=DB，
∴△CDB≌△EDB(AAS)，
∴BE＝BC=8.∴ AE＝AB-BE=2.
∴△AED的周长=AE+ED+DA=2+6=8.
5.如图，D是∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F.求证：CE＝CF.
证明：∵CD是∠ACG的平分线，DE⊥AC，DF⊥CG，
∴DE＝DF.
在Rt△CDE和Rt△CDF中，
∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)，
∴CE＝CF.
6.如图，已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：
过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M.
∵点F在∠BCE的平分线上， 　　　　FG⊥AE， FM⊥BC，
∴FG＝FM.
又∵点F在∠CBD的平分线上， 　　　　FH⊥AD， FM⊥BC，
∴FM＝FH.
∴FG＝FH.
∴点F在∠DAE的平分线上.　　　
G
H
M
A
B
C
F
E
D
通过这节课的学习，你有什么收获和体会？
1.角的平分线的性质定理：
在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等．
符号语言：
∵OP平分∠AOB
PD⊥OA,PE⊥OB,
∴PD=PE
（在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等）．
课堂小结
2.角平分线性质定理的逆定理：
在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.
符号语言：
∴OP平分∠AOB
∵PD⊥OA,PE⊥OB,
PD=PE.
（在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边
距离相等的点，在这个角的平分线上）.
3. 三角形的三条角平分线交于一点，且这点到三边的距离相等．
D
E
F
G
H
S
∵∠1=∠2，∠3 =∠4，∠5=∠6
1
2
3
4
5
6
∴ AG、BH、 CS交于点O.
又 OD⊥BC, OE⊥AB, OF⊥AC,垂足分别为D、E、F,
∴ OD=OE=OF.