江苏省南通如东县2023-2024学年高三上学期11月期中数学试题
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则( )
A. B. C. D.
3.已知，，则( )
A. B. C. D.
4.已知函数在内单调递增，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.已知，是两个不共线的向量，，，，则( )
A. B.
C. D.
6.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速单位：可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数某条鲑鱼想把游速提高，则它的耗氧量的单位数与原来的耗氧量的单位数之比是( )
A. B. C. D.
7.某单位建造一间背面靠墙的小房，地面面积为，房屋正面每平方米的造价为元包含门窗，房屋侧面每平方米的造价为元，屋顶的造价为元如果墙高为，且不计房屋背面和地面的费用，则最低总造价是( )
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
8.已知椭圆的焦点分别为，，点在上，点在轴上，且满足，，则的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知正三棱柱的各棱长都为，为的中点，则( )
A. 直线与直线为异面直线
B. 平面
C. 二面角的正弦值为
D. 若棱柱的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
10.双曲线的左、右焦点分别为，过作其中一条渐近线的垂线，垂足为已知，直线的斜率为，则( )
A. B.
C. 双曲线的方程为 D.
11.已知数列，均为等比数列，则下列数列中一定是等比数列的是( )
A. B. C. D.
12.设定义在上的函数的导函数为，若与均为偶函数，则下列说法一定正确的是( )
A. 的图象关于对称 B. 为的一个周期
C. 的图象关于对称 D. 为偶函数
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知直线与交于，两点，写出满足“三角形面积为”的的一个值 ．
14.已知一个圆台的上、下底面半径分别为，，母线长为，则该圆台的体积是 ．
15.如图所示，某小区有一半径为，圆心角为的扇形空地现欲对该地块进行改造，从弧上一点向引垂线段，从点向引垂线段在三角形三边修建步行道，则步行道长度的最大值是 在三角形内修建花圃，则花圃面积的最大值是 ．
16.已知函数在区间有且仅有个零点，则的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
设正项数列的前项和为，，．
求
若，求．
18.本小题分
在中，，B.
求
若，为的中点，求的面积．
19.本小题分
如图，三棱锥中，所有棱长均为，，分别是，的中点，在上，在上，且有．
证明：直线，，相交于一点
求直线与平面所成角的正弦值．
20.本小题分
某集团下属公司在年的年初有资金万元，根据以往经验，若将其全部投入生产，该公司的每年资金年增长率为现集团要求该公司从年开始，每年年底上缴资金万元，并将剩余资金全部投入下一年生产设第年年底公司上缴资金后的剩余资金为万元．
求
若第为正整数年年底公司的剩余资金超过万元，求的最小值．
21.本小题分
在平面直角坐标系中，直线与抛物线相切．
求的值
若点为的焦点，点为的准线上一点过点的两条直线，分别与相切，直线与，分别相交于，，求证：．
同理可得，
22.本小题分
设，．
求的最小值
若，，求实数的取值范围．江苏省南通如东县2023-2024学年高三上学期11月期中监测数学试题
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知，，则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查集合的求法，考查交集定义、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
求出集合，利用交集定义能求出．
【解答】解：集合，
或，
．
故选B．
2.已知，则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查复数的四则运算和求复数的模，属基础题．
利用复数的四则运算化简，再由求模公式可得．
【解答】
解：．，
．
故选A．
3.已知，，则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数公式以及二倍角公式的应用，属于基础题．
根据同角三角函数关系式及二倍角公式得到，进而有，再通过两角和与差的三角函数公式求解即可．
【解答】解：，
所以，解得，
即，所以，
故：，
，
．
故选：．
4.已知函数在内单调递增，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查利用函数的单调性解决参数问题，属于基础题．
根据题意得出，即可求出结果．
【解答】
解：，
若函数在内单调递增，
则，解得．
故选D．
5.已知，是两个不共线的向量，，，，则( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查向量的线性运算，属于基础题．
设，利用向量的线性运算即可求解．
【解答】
解：设，
则，
整理得，
所以解得
所以
6.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速单位：可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数某条鲑鱼想把游速提高，则它的耗氧量的单位数与原来的耗氧量的单位数之比是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了对数函数模型在实际中的应用，属于基础题．
设游速为时对应的耗氧量为，游速为时对应的耗氧量为，则，两式相减即可求解．
【解答】
解：设游速为时对应的耗氧量为，游速为时对应的耗氧量为，
则，两式相减，可得，
可得，即．
故选D．
7.某单位建造一间背面靠墙的小房，地面面积为，房屋正面每平方米的造价为元包含门窗，房屋侧面每平方米的造价为元，屋顶的造价为元如果墙高为，且不计房屋背面和地面的费用，则最低总造价是( )
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查基本不等式在实际问题中的应用，属于中档题．
由已知地面面积为，可得，有，根据题意即可得房屋总造价的表达式，利用基本不等式即可求出最小值，进而得到答案．
【解答】
解：设总造价为元，房屋侧面长度为，房屋正面长度为，
因为，则，
，
当且仅当时，即时，有最小值，此时，
所以，房屋侧面长度为，房屋正面长度为时，最低总造价为元．
故选B．
8.已知椭圆的焦点分别为，，点在上，点在轴上，且满足，，则的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了椭圆的定义、标准方程及其性质，勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
利用椭圆的定义及勾股定理得，利用余弦定理可得，从而可得该椭圆的离心率．
【解答】
解：因为，则，
设，即，
根据椭圆的定义与性质，可得，，
又因为，则，
即，解得或舍去，
所以， ，
在中，可得，
则，解得，
所以．
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知正三棱柱的各棱长都为，为的中点，则( )
A. 直线与直线为异面直线
B. 平面
C. 二面角的正弦值为
D. 若棱柱的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查异面直线的判定，考查线面平行的判定，考查线面垂直的判定与性质，考查二面角，考查球，属于较难题．
对于，利用异面直线的判定定理即可判断；对于，连接与交于点，连接，易证，继而可证得平面；对于，易证平面，利用线面垂直的性质可得，，则为二面角的平面角，再利用求解即可；对于，将上下底面与的外心连接，其中点即为外接球球心，继而利用以及球的表面积公式即可求解判断．
【解答】
解：对于，因为平面，平面，，平面，
所以直线与直线为异面直线，故A正确；
对于，连接与交于点，连接，
正三棱柱的各棱长都为，
则为正方形，
则点为中点，
又为中点，
所以，
又平面，平面，
所以平面，故B正确；
对于，正三棱柱中，底面，
又底面，
所以，
又正三棱柱的各棱长都为，
则为正三角形，
为中点，
所以，
又，，平面，
所以平面，
又，平面，
所以，，
所以为二面角的平面角，
又，
，
所以，
所以二面角的正弦值为，故C错误；
对于，将上下底面与的外心连接，其中点即为外接球球心，
设球的半径为，
则，
则该球的表面积为，故D正确．
故选ABD．
10.双曲线的左、右焦点分别为，过作其中一条渐近线的垂线，垂足为已知，直线的斜率为，则( )
A. B.
C. 双曲线的方程为 D.
【答案】ACD
【解析】【分析】
本题主要考查了双曲线的性质和几何意义，及离心率的求解，属于中档题．
设过与一条渐近线垂直的直线为，则的方程为，与联立可得的坐标，再根据和直线的斜率为 及，即可求出，，得标准方程，求出双曲线离心率，点坐标，逐个进行判断．
【解答】
解：设过与一条渐近线垂直的直线为，
则的方程为，与联立可得，
因为，
又，得，
联立得：，，则，所以离心率为，
双曲线的标准方程为，
故选：．
11.已知数列，均为等比数列，则下列数列中一定是等比数列的是( )
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】【分析】
本题考查了等比数列的判定，掌握等比数列相关知识是解题的关键，属于中档题．
根据题意举例可得出和是否是等比数列，设，的公比分别为，，即可判断，是否是等比数列．
【解答】
解： 当时，，都是等比数列，，则不是等比数列，
当时，，都是等比数列，，则不是等比数列，
设，的公比分别为，，则，都不等于，
因为，，．
所以、都一定是等比数列．
12.设定义在上的函数的导函数为，若与均为偶函数，则下列说法一定正确的是( )
A. 的图象关于对称 B. 为的一个周期
C. 的图象关于对称 D. 为偶函数
【答案】ABC
【解析】【分析】本题考查抽象函数的性质以及应用，涉及函数的奇偶性、周期性的应用，函数的导数运算，属于中档题．
根据题意结合函数性质，依次分析选项是否正确，综合可得答案．
【解答】
解：因为的定义域为，是偶函数，则，所以函数的图像关于对称，故A正确；
由是偶函数，得，即，同理由为偶函数，得，所以，所以，故B正确；
由为偶函数，得，所以，所以的图像关于对称，又函数是周期函数，是它的一个周期，所以，即也是周期函数，也是函数的周期，所以也是的图像的一个对称中心，故C正确；
由的推导可知也是的对称中心，不能保证轴是的图像的对称轴，故D错误．
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知直线与交于，两点，写出满足“三角形面积为”的的一个值 ．
【答案】或均可
【解析】【分析】
本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．
设圆心到直线的距离为，根据面积为，求得的值，再根据点到直线的距离公式建立方程，即可求出的值．
【解答】
解：由题知的圆心为，半径为，
设圆心到直线的距离为，则，
于是，，得，
此时有，解得，
故答案为：或．
14.已知一个圆台的上、下底面半径分别为，，母线长为，则该圆台的体积是 ．
【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆台体积的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
由题意画出图形，由已知结合勾股定理求圆台的高；分别求出圆台的上下底面面积，代入圆台的体积公式求解．
【解答】解：如图，
，，，
过作，垂足为，则，
则，
圆台的上底面面积，下底面面积．
圆台的体积．
故答案为．
15.如图所示，某小区有一半径为，圆心角为的扇形空地现欲对该地块进行改造，从弧上一点向引垂线段，从点向引垂线段在三角形三边修建步行道，则步行道长度的最大值是 在三角形内修建花圃，则花圃面积的最大值是 ．
【答案】
【解析】【分析】
本题考查三角函数与基本不等式的应用，考查两角和公式及正弦型函数的性质，属于一般题．
设，可得三角形的周长为，由结合正弦函数的性质即可求步行道长度的最大值．，，设，，利用基本不等式可求的最大值，从而可得花圃面积的最大值．
【解答】
解：设，
则，，
则三角形的周长为
，
因为，所以，
所以当，即时，三角形的周长的最大值为，
所以步行道长度的最大值是
，，
所以
，，
设，，
则
，
当且仅当，即时等号成立，
所以，
所以花圃面积的最大值是．
16.已知函数在区间有且仅有个零点，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】【分析】
本题考查了正弦型函数的零点问题，属基础题．
依题意知，即可解答．
【解答】
解：令，得，
又，则，
所以，得．
故答案为： ．
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
设正项数列的前项和为，，．
求
若，求．
【答案】解：当时，，所以舍去
当时，，，
所以，
所以，又因为，
所以，
所以数列是等差数列，首项为，公差为，
所以．
因为，
所以，
所以．
【解析】本题考查数列的前项和及与的关系，考查裂项相消法求和，属于中档题．
先求出首项，求出递推式进而求出通项公式．
裂项相消直接求和可得．
18.本小题分
在中，，B.
求
若，为的中点，求的面积．
【答案】解：在中，因为，
所以，所以，所以，．
因为，所以，
所以，
所以，
所以，所以，
所以．
又因为，所以．
因为，，所以，所以．
在中，由余弦定理，
得，
所以．
所以的面积为．
【解析】本题考查两角和与差的正弦公式，余弦定理，三角形面积公式，属于中档题．
利用三角函数知识逐步化简得到，即可求解；
由余弦定理求得，而，再利用三角形面积公式即可求解．
19.本小题分
如图，三棱锥中，所有棱长均为，，分别是，的中点，在上，在上，且有．
证明：直线，，相交于一点
求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】解：连接，，因为，分别为、的中点，所以，．
又因为，，所以，．
所以，，
所以，，，四点共面，与相交，设交点为．
因为，平面，所以平面同理可得，平面．
因为平面平面，所以，
所以、、交于一点．
因为三棱锥中，所有棱长均为，
所以以为坐标原点，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，
因为是的中点，所以
因为在上，且有，
所以，
所以，所以
易得平面的法向量为．
所以，
记直线与平面所成角为，
则．
【解析】本题考查证三线共点，求线面角，属于中档题．
先证四点共面再证三线共点．
建立直角坐标系，求出面的法向量代入公式可得．
20.本小题分
某集团下属公司在年的年初有资金万元，根据以往经验，若将其全部投入生产，该公司的每年资金年增长率为现集团要求该公司从年开始，每年年底上缴资金万元，并将剩余资金全部投入下一年生产设第年年底公司上缴资金后的剩余资金为万元．
求
若第为正整数年年底公司的剩余资金超过万元，求的最小值．
【答案】解：因为，
所以．．
因为，
所以，
所以，
所以数列是等比数列，
所以，
所以．
因为，
所以，
所以．
因为单调递增，
且，，
所以的最小值为．
【解析】本题考查了考查了等比数列的应用，考查指数函数的性质，属于中档题．
根据题意求出，可得数列是等比数列，进而可得结论；
根据题意可得，化解可得，利用指数函数的单调性可得结论；
21.本小题分
在平面直角坐标系中，直线与抛物线相切．
求的值
若点为的焦点，点为的准线上一点过点的两条直线，分别与相切，直线与，分别相交于，，求证：．
【答案】解：由得．
因为，所以．
证明：由抛物线得的准线方程为，焦点为．
设，直线，的方程分别为，．
由得．
因为，所以．
同理可得：，所以，是方程的两个根，
所以，．
由得
所以，
所以
同理可得，
所以
，
所以．
【解析】本题考查直线与抛物线位置关系及其应用，考查学生计算能力，属于难题．
联立直线与抛物线的方程，令即可解得．
设，直线，的方程分别为，与椭圆方程联立得，，再求出点，坐标，根据即可证明．
22.本小题分
设，．
求的最小值
若，，求实数的取值范围．
【答案】解：因为，所以，
令得
故当时在上为减函数，在上为增函数
所以
其值为
设，则．
因为，则．
设，则．
当时，，所以在上单调递减，
所以，所以，
所以在上单调递减，所以，
所以．
当时，，所以在上单调递增，
所以，所以，
所以在上单调递增，所以，
所以，不合题意，故舍去．
当时，在区间上，，
所以在上单调递增，
所以，所以，
所以在上单调递增，所以，
所以，不合题意，故舍去．
综上可知：．
【解析】本题考查利用导数研究函数的最值，导数中的恒成立问题，属于难题．
对求导，在上为减函数，在上为增函数，即可求解；
，而，对分类讨论，时满足题意．
