河北省迁安市2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题（含答案）

迁安市2023-2024学年高三上学期期中考试
数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷（1-2页，选择题）和第Ⅱ卷（3-4页，填空题和解答题）两部分，共150分，考试用时120分钟．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将姓名、考号、科目填涂在答题卡上；
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其它答案。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则
A． B． C． D．
2．若复数z满足（为虚数单位），则的最大值为
A．1 B．2 C．3 D．
3．已知，，，则
A． B． C． D．
4．已知向量，，，则的值是
A． B． C． D．
5．《中国建筑史》（梁思成著）载：“大雄殿之左侧白塔凌空，高十三级，甚峻拔。”该塔位于莲溪县赤城镇白塔街，坐西向东，为四方形楼阁式砖石塔，塔身白色，共十三层，自宋代始建以来至今已800余年，充分体现了中国传统建筑技术水平。某数学兴趣小组为了测得塔高，如图，在A点测得塔底位于北偏东60°方向上的点D处，塔顶C的仰角为30°，在A的正东方向且距D点44m的B点测得塔底位于北偏西45°方向上（A，B，D在同一水平面），则塔的高度CD约为（参考数据：）
A．42m B．45m C．36m D．38m
6．如图，在圆O中，已知弦，弦，那么的值为
A．10 B． C． D．
7．记数列的前n项和为，已知，且是公差为的等差数列，则的最大值为
A．12 B．22 C．37 D．55
8．已知方程在区间上恰有3个不等实数根，则实数k的取值范围是
A． B． C． D．
二、多选题：全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．下列说法正确的是
A．命题“，”的否定是“，”
B．“”是“”的必要不充分条件
C．“”是“”的既不充分也不必要条件
D．在△ABC，“”是“的充要条件
10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，则下列结论正确的是
A． B． C． D．△ABC的面积为6
11．如图，在棱长为1正方体中，M，N分别是，的中点，则
A．四点A，M，N，C共面
B．直线MN与面所成角为
C．异面直线CN与面所成角的余弦值为
D．过M，B，C三点的平面截正方体所得图形面积为
12．已知函数，下列选项正确的是
A．点是函数的零点
B．，，使
C．函数的值域为
D．若关于x的方程有两个不等实根，则a的取值范围是
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
注意事项：第Ⅱ卷共2页，用黑色碳素笔答在答题卡上．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在横线上。
13．已知向量，满足，，，则等于 ．
14．如图，已知台体的上、下底面均为长方形、且上、下底面中心的连线与底面垂直，上、下底面的距离为4．若，，，则该台体的外接球的表面积为 ．
15．已知直线l与曲线和都相切，请写出符合条件的两条直线l的方程： ，
．
16．对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本题满分10分）
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
18．（本题满分12分）
已知正项等比数列，满足，是与的等差中项．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前n项和．
19．（本题满分12分）
已知函数．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）在△ABC中，若，求的最大值．
20．（本题满分12分）
如图，在三棱柱中，，，点D为棱AC的中点，平面ABC⊥平面，且．
（Ⅰ）求证：平面ABC．
（Ⅱ）若AB⊥BC，求二面角的余弦值．
21．（本题满分12分）
已知正项等差数列的前n项和为，且，．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，求数列的前n项和．
22．（本题满分12分）
已知函数，．
（Ⅰ）求函数的极值；
（Ⅱ）当时，证明：．
迁安市2023-2024学年高三上学期期中考试
数学试题答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
1-4 CCDA 5-8 CABA
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．BCD 10．ABD 11．BC 12．CD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13． 14． 15．；． 16．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本题满分10分）
解：
（1）因为，
所以由正弦定理可得
又，
所以．
因为，
所以．
又，
所以，．
（2）△ABC的面积，则．
由余弦定理：，
得，
所以
故△ABC的周长为．
18．解：
（1）正项等比数列的公比设为q，，
由，可得
是与的等差中项，可得，
即为，解得，则，
（2）
；
则
．
当n为偶数时，；
当n为奇数时，．
19．解：
（1）∵
，
∴
（2）由题意可知，，
而可得：，即，
∴
∵，
∴，，
∴的最大值为
20．解：
（1）证明：如图所示，连接，因为侧面为菱形，且，
所以为等边三角形，所以，
又因为平面ABC⊥平面，平面，
且平面平面，所以平面ABC．
（2）解：由（1）知平面ABC，
因为BD，平面ABC，所以，，
又因为，且D为AC的中点，所以BD⊥AC，
以D为坐标原点，以DB，DC，所在直线分别为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，如图所示：
不妨设，可得，，，，，
由，可得，则，
，，，
设平面的法向量为，则有
，
取，可得，，所以，
设平面的法向量为，则，
取，可得，，所以，
设平面与平面夹角为，
则，
即平面与平面夹角的余弦值为．
21．解：
（1）设正项等差数列的公差为d，又，
∴，解得
，
由，可得，
即，可得，
∴，
∴，，解得，
∴．
（2）由（1）可得：．
∴，
∵数列的前n项和，
，
两式相减可得
∴数列的前n项和
22．解：
（1）定义域为，，，
则时，，在单调递增，
时，，在单调递减，
故函数的极大值为，无极小值
（2）证明等价证明（），
即．
令（）
，
令，则在上单调递增，
而，，
故在上存在唯一零点，且，
时，，，在上单调递减；
时，，，在上单调递增，
故，
又因为即
所以，
从而，即