圆锥曲线----双曲线训练题（二）
一、选择题：
1．已知 ， ， ，当 和5时， 点的轨迹为（ ）
A．双曲线和一条直线 B．双曲线和二条射线
C．双曲线一支和一条直线 D．双曲线一支和一条射线
2．P为双曲线C上的一点，F1、F2是双曲线C的焦点，过双曲线C的一个焦点作∠F1PF2的平分线的垂线，设垂足为Q，则Q点的轨迹是( )
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线
3．方程表示双曲线，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
4．如果方程x2+y2cosα=1表示双曲线，那么α是 ( )
A．第三象限角 B．第三或第四象限角
C．第二或第三象限角 D．第二或第三象限角或(2k+1)π(k∈Z)
5．斜率为2的直线与双曲线2x2-y2=2交于P、Q两点，则线段PQ的中点M的轨迹方程是( )
A．y=x B．y=x(｜x｜＞)
C．y=x(｜x｜＞2) D．y=x(｜x｜≥ )
6．以椭圆+=1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的方程是( )
A．-y2=1 B．y2- =1 C．-=1 D．-=1
7．一个焦点为（3，0），一条渐近线方程为2x-3y=0的双曲线方程是（ ）
A． B．
C． D．
8．焦点为，且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是( )
A． B． C． D．
9．下列各对曲线中，即有相同的离心率又有相同渐近线的是（ ）
A．－y2=1和－=1 B．－y2=1和y2－=1
C．y2－=1和x2－=1 D．－y2=1和－=1
10．若椭圆与双曲线有相同的焦点，则k的值为（ ）
A．k=2 B．k>3 C．211．如果 表示焦点在 轴上的双曲线，那么它的半焦距 的取值范围是（ ）
A． B．（0，2） C． D．（1，2）
12．若椭圆和双曲线有相同的焦点F1，F2，P是两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值为（ ）
A． B． C． D．
13．若曲线x2-y2=a2与曲线(x-1)2+y2=1恰好有三个不同的公共点，则实数a的值只能是( )
A．a=0 B．a=±1 C．0＜｜a｜＜1 D．｜a｜＞1
14．若点 是以 、 为焦点的双曲线 上的一点，若，则 （ ）
A．2 B．22 C．2或22 D．4或22
15．已知m,n为两个不相等的非零实数，则方程mx－y+n=0与nx2+my2=mn
所表示的曲线可能是（ ）
A． B． C． D．
16． 双曲线的两条准线将实轴三等分，则它的离心率为（ ）
A． B．3 C． D．
17翰林汇171717．与双曲线有共同的渐近线，且经过点A的双曲
线的一个焦点到一条渐近线的距离是（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
18．过双曲线左焦点F1的弦AB长为6，则（F2为右焦点）的周长是（ ）
A．28 B．22 C．14 D．12
19．已知双曲线方程为
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
20．直线2x－6y－7＝0与双曲线x2－9y2＝1的交点的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
21．给出下列曲线：①4x+2y-1=0;②x2+y2=3;③+y2=1;④-y2=1，其中与直线y= -2x-3有交点的所有曲线是( )
A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④
22．方程 所表示的曲线为 ．①若曲线 为椭圆，则 ；②若曲线 为双曲线，则 或 ；③曲线 不可能是圆；④若曲线 表示焦点在 轴上椭圆，则 以上命题正的是（ ）
A．②③ B．①④ C．②④ D．①②④
二、填空题：
23．双曲线的渐近线方程是4x＋2y=0和2xy=0，则双曲线的离心率是 。
24．求适合下列条件的双曲线的标准方程．
（1） ， ；
(2) 离心率等于2，且过点M（2，-3），
25．若椭圆mx2+ny2=1(0＜m＜n)和双曲线ax2-by2=1(a＞0,b＞0)有相同的焦点F1、F2，P是两曲线的一个交点，则｜PF1｜·｜PF2｜= .
26翰林汇262622266555526．已知双曲线上的一点P到一条渐近线的距离为，则这点
到另一条渐近线的距离为_________________。
27．直线与双曲线相交于两点，则= _．
28．双曲线离心率为2，则渐近线夹角为________。翰林汇
翰29．若圆C过双曲线-=1的两焦点，且截直线y=-1所得弦长为8，则圆C的方程为 .
30．过点M(3，-1)且被点M平分的双曲线-y2=1的弦所在直线方程为 .
三、解答题：
31．已知 、 是双曲线 的两个焦点，点 在双曲线上且满足 ，求 的面积．
32．已知不论b取何实数，直线y=kx+b与双曲线总有公共点，试求实数k的取值范围.
33．双曲线 （ ）的两个焦点 、 ， 为双曲线上一点， ， 、 、 成等比数列，求此双曲线方程．
34．求下列动圆圆心 的轨迹方程：
（1）与⊙ 内切，且过点
（2）与⊙ 和⊙ 都外切．
（3）与⊙ 外切，且与⊙ 内切．
圆锥曲线----双曲线训练题（二）答案
一、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D B D D B B C B D A A
题号 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
答案 A A C C B C A B B D C
二、填空题：
23． 24．（1） 或 (2)．；
25．- 26．8 27． 28．600 29．x2+(y-4)2=41 30．3x+4y-5=0
三、解答题：
31．解：∵ 为双曲线 上的一个点且 、 为焦点．
∴, ∵
∴在 中，
∵
∴ ∴
∴
32．解：联立方程组消去y得(2k2－1)x2+4kbx+（2b2+1）=0,
当若b=0，则k；若，不合题意.
当依题意有△=(4kb)2－4(2k2－1)(2b2+1)＞0，对所有实数b恒成立，∴2k2<1，
得.
33．设 ， ， ，依三角形中线定理有：
， .又
依双曲线定义有 ，又
又
， 双曲线方程为
34．解：设动圆 的半径为
（1）∵⊙ 与⊙ 内切，点 在⊙ 外
∴ ， ，
∴点 的轨迹是以 、 为焦点的双曲线的左支，且有：
， ，
∴双曲线方程为
（2）∵⊙ 与⊙ 、⊙ 都外切
∴ ， ，
∴点 的轨迹是以 、 为焦点的双曲线的上支，且有：
， ，
∴所求的双曲线的方程为：
（3）∵⊙ 与⊙ 外切，且与⊙ 内切
∴ ， ，
∴点 的轨迹是以 、 为焦点的双曲线的右支，且有：
， ，
∴所求双曲线方程为：
x
y
o
x
y
o
x
y
o
x
y
o
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1圆锥曲线----抛物线训练题（三）
一、选择题：
1.顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线，过点，则它的方程是（ ）
A. B.
C. D.
2.抛物线的焦点坐标是（ ）
A. B. C. D.
3.已知P(x0,y0)是抛物线y2=2mx上的任意一点，则点P到焦点的距离是( )
A.｜x0-｜ B.｜x0+｜
C.｜x0-m｜ D.｜x0+m｜
4.边长为1的等边△AOB，O为原点，AB⊥轴，以O为顶点且过A、B的抛物线方程是（ ）A. B. C. D.
5．圆心在抛物线上，且与x轴和抛物线的准线都相切的一个圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
6.动点P在曲线y=2x2+1上移动，则点P和定点A(0，-1)连线的中点的轨迹方程是( )
A.y=2x2 B.y=4x2 C.y=6x2 D.y=8x2
7．在抛物线中，以（-1，-1）为中点的弦所在的直线的方程为（ ）
A. B. C. D.
8．过抛物线的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若
则|PQ|为（ ）
A.10 B.8 C.5 D.6
9.直线y=kx-2交抛物线y2=8x于A、B两点，若AB中点的横坐标为2，则k等于( )
A.0 B.1 C.2 D.3
10.直线和抛物线有且仅有一个公共点是直线和抛物线相切的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
11.抛物线y2=2px上横坐标为6的点到焦点的距离是10，则焦点到准线距离是( )
A.4 B.8 C.16 D.32
12.过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B两点在抛物线的准线上
的射影是A1、B1，则∠A1FB1等于( )
A.45° B.60° C.90° D.°120
13.过抛物线y2=4x的焦点F作直线，交抛物线于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，若x1+x2=6，则｜AB｜等于( )
A.4 B.6 C.8 D.10
14.过（0，2）的直线与抛物线仅有一个公共点，则满足条件的直线共有( )
A. 1条 B.2条 C.3条 D.4条
15.已知抛物线y2=2px(p＞0)上有一点M(4,y)，它到焦点F的距离为5，则△OFM的面积(O为原点)为( )
A.1 B. C.2 D.2
16.F是抛物线y2=2x的焦点，P是抛物线上任一点，A(3，1)是定点，则｜PF｜+｜PA｜的最小值是( )
A.2 B. C.3 D.
17.长度为4的线段AB的两个端点A、B都在抛物线x2=4y上，则线段AB的中点M的纵坐标的最小值为( )
A. B.1 C.2 D.4
18．已知点在抛物线上，则的最小值是（ ）
A.2 B.3 C.4 D.0
19.抛物线y=x2上到直线2x-y-4=0最近的点的坐标是( )
A.(，) B.(1，1) C.(，) D.(2，4)
20.若点P在抛物线y2=x上，点Q在圆(x-3)2+y2=1上，则｜PQ｜的最小值等于( )
A. -1 B.-1 C.2 D.(-2)
二、填空题：
21．抛物线顶点在原点，对称轴是坐标轴，焦点在直线上，则抛物线的方程为 。
22．抛物线焦点在轴上，在抛物线上且|AF|=5，则抛物线的标准方程为 。
23．若抛物线的顶点是双曲线的中心，且准线与双曲线的左准线重合，则此抛物线的方程为____________.
24．某桥的桥洞呈抛物线形，如图，桥下水面宽米，水面距桥洞1.5米。降雨后测得水面宽8米，则水面上涨了 米。
25．抛物线y2=8x关于直线y=x对称的曲线方程是 .
26．抛物线y2=2x上的两点A、B到焦点F的距离之和是5，则线段AB的中点M的横坐标是 .
27．若抛物线y2-mx-2y+4m+1=0的准线与双曲线-=1的右准线重合，则m的值是 .
28．已知抛物线y2=4ax(a＞0)上一点A(m,n)到焦点F的距离为4a，则m= ,
n= .
29．抛物线y2=16x上的一点P到x轴的距离为12，则P与焦点F间的距离｜PF｜= ；
30．已知抛物线的顶点坐标在坐标原点， 对称轴为x轴， 且于圆相交的公共弦长等于，则这个抛物线的方程为
三、解答题：
31.抛物线有一内接直角三角形，直角的顶点在原点，一直角边的方程是，斜边长是，求此抛物线方程。
32．如图, 直线y=x与抛物线y=x2－4交于A、B两点, 线段AB的垂直平分线与直线y=－5交于Q点.
（1）求点Q的坐标；
（2）当P为抛物线上位于线段AB下方
（含A、B）的动点时, 求ΔOPQ面积的最大值.
33.已知椭圆+y2=1的焦点为F1、F2，抛物线y2=px(p＞0)与椭圆在第一象限的交点为Q，若∠F1QF2=60°，(1)求△F1QF2的面积；(2)求此抛物线的方程.
圆锥曲线----抛物线训练题（三）答案
选择题：
题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ 10
答案 B B B C D B D B C B
题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
答案 B C C C C B B B B D
二、填空题：
21. 22.
23． 24．米 25．x2=8y 26．2
27．m=4 28．m=3a，n=±2a 29．13 30. y2=±3x
三、解答题：
31．解：设为抛物线的内接直角三角形，直角顶点为O，AO边的方程是，则OB边方程为
由可得A点坐标为（）
由可得B点坐标为（）
∵ ∴
∵ ，解得 ∴ 所求的抛物线方程为
32．解：(1) 解方程组 得 或
即A(－4,－2),B(8,4), 从而AB的中点为M(2,1).由kAB==,
直线AB的垂直平分线方程y－1=(x－2).
令y=－5, 得x=5, ∴Q(5,－5)．
(2) 直线OQ的方程为x+y=0, 设P(x, x2－4).
∵点P到直线OQ的距离d==,,
∴SΔOPQ==.
∵P为抛物线上位于线段AB下方的点, 且P不在直线OQ上,
∴－4≤x<4－4或4－4∵函数y=x2+8x－32在区间[－4,8] 上单调递增,
∴当x=8时, ΔOPQ的面积取到最大值30．
33.解：(1)在△F1QF2中，｜F1F2｜2=｜QF1｜2+｜QF2｜2-2｜QF1｜｜QF2｜cos60°
=(｜QF1｜+｜QF2｜)2-3｜QF1｜｜QF2｜，
而易知，
∴
∴=·sin60°=
(2)设Q(x0,y0),(x0＞0，y0＞0)，
∵ =｜F1F2｜·y0=·2y0=,
∴y0=,又+y20=1，∴x0= (负值舍去)，
将Q点坐标代入抛物线y2=2px得，()2=2P·,
∴p=,
∴抛物线的方程为y2=x.
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1圆锥曲线——椭圆训练题（一）
一．选择题：
1．下列命题是真命题的是（ ）
（A）．到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆
（B）．到定直线和定点F(c，0)的距离之比为的点的轨迹是椭圆
（C）．到定点F(-c，0)和定直线的距离之比为(a>c>0)的点的轨迹是左半个椭圆（D）．到定直线和定点F(c，0)的距离之比为(a>c>0)的点的轨迹是椭圆
2．设定点F1（0，－3）、F2（0，3），动点P满足条件，则点P的轨迹是（ ）
（A）．椭圆 （B）．线段 （C）．不存在 （D）．椭圆或线段
3．椭圆的一个顶点是(0, 2 ), 离心率是，坐标轴为对称轴的椭圆方程是（ ）。
（A） （B）
（C） 或 （D）或
4．椭圆的长轴和短轴之和为30，一个焦点与短轴两端点的连线构成6角，则满足上述条件的椭圆方程是（ ）。
（A）或 （B）或
（C）或 （D）或
5．已知椭圆的焦点 ， ， 是椭圆上一点，且 是 ，
等差中项，则椭圆的方程是（ ）
（A）． (B)． (C)． (D)．
6.与椭圆9x2+4y2=36有相同焦点，且短轴长为4的椭圆方程是( )
翰林汇
7．△ABC中，已知两顶点坐标分别是A(－1, 0), C (1, 0), 顶点A、B、C所对的三边长分别是a, b, c, 且a>b>c, a＋c＝2b, 则顶点B的轨迹方程是（ ）。
（A） （B）(x>0)
（C）(－28．椭圆的长轴和短轴都在坐标轴上，它的一个焦点把长轴分成两段，其长分别是7和1，则此椭圆的方程是（ ）。
（A） （B）或
（C） （D）或
9．曲线与(k<9)曲线有（ ）。
（A）相等的长轴和短轴 （B）相同的离心率
（C）相同的准线 （D）相同的焦距
10.方程(a＞b＞0,k＞0且k≠1)，与方程(a＞b＞0)表示
的椭圆 （ ）
（A）有等长的短轴、长轴 （B）有共同的焦点
（C）有公共的准线 （D）有相同的离心率
11．椭圆和具有 （ ）
（A）．相同的离心率 (B)．相同的焦点 (C)．相同的顶点 (D)．相同的长、短轴
12．以焦点F1、F2为直径两端点的圆恰好经过短轴的两端点，则这椭圆的离心率是（ ）。
（A） （B） （C） （D）
13．若直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，那么m的取值范围是（ ）。
（A）(0, 5) （B）(0, 1) （C）[1, 5] （D）[1, 5)
14．椭圆 的焦点坐标是（ ）．
(A)． (B)． (C)． (D)．
15.椭圆的两个焦点和短轴两个顶点，是一个含60°角的菱形的四个顶点，则椭圆的离心率为( )
(A) (B) (C) (D)或
16．F是椭圆的一个焦点，BB′是椭圆的短轴，若△BFB′是等边三角形，则椭圆的离心
e等于（ ）。
（A） （B） （C） （D）
17．如果椭圆4x2＋y2＝k上两点间的最大距离是8，那么k等于（ ）。
（A）32 （B）16 （C）8 （D）4
18．椭圆上的点到直线的最大距离是（ ）
(A)．3 (B)． (C)． (D)．
19．在椭圆内有一点P（1，－1），F为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M，使|MP|+2|MF|的值最小，则这一最小值是（ ）
(A)． (B)． (C)．3 (D)．4
20．已知F是椭圆+=1(a＞b＞0)的一个焦点，PQ是过其中心的一条弦，则△FQP面积的最大值是( )
（A）ab （B）ab （C）ac （D）bc
21．设α∈(0, ),方程x2sinα＋y2cosα＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是（ ）。
（A）(0, ) （B）(0, ] （C）(, ) （D）[, )
22．若F1，F2是椭圆＋y2＝1的两个焦点，过F2作倾斜角为的弦AB，则△F1AB的面积为（ ）。
（A） （B） （C）－1 （D）
二、填空题：
23.(1)椭圆=1上有一点P到右焦点的距离为1，则P的坐标为_______；
(2)AB是过椭圆的左焦点的弦，且两端点A.B的横坐标之和为-7，=_______翰林汇
24.已知F1F2是椭圆两焦点，P是椭圆上一点，△PF1F2满足∠PF1F2：∠PF2F1：∠F1PF2=1∶2∶3，则此椭圆的离心率e=
25．已知是椭圆上的点，则的取值范围是_______________ ．
26．若直线4x－3y＋12＝0过椭圆的一个焦点，离心率e＝，则椭圆的方程是 .
27．圆(x－1)2＋y2=a2和椭圆恒有公共点，则a的取值范围是 .
28．直线y＝kx－2交椭圆x2＋4y2＝80于不同的两点P、Q，若PQ中点的横坐标为2，则|PQ|等于 。
29.点P(0，1)到椭圆+y2=1上点的最大距离是 .
30．F1、F2是椭圆C:=1的焦点，在C上满足PF1⊥PF2的点P的个数为 .
三、解答题：
31．已知方程 ， ，对不同范围内的 值分别指出方程所代表的曲线的类型，并画出显示其特征的草图．
32.已知椭圆b2x2＋a2y2=a2b2(a>b>c)，其长轴两端点是A.B，若椭圆上存在点Q，使∠AQB=1200，求椭圆离心率的变化范围
34．已知椭圆的中心在坐标系原点，一个焦点的坐标是(0, )，椭圆与直线y＝3x－2相交，所得弦的中点的横坐标为，求此椭圆的方程。
33.为椭圆上的任意一点（异于顶点），椭圆短轴上两个端点分别是若直线分别与轴交于点，求证：为定值。
35．已知椭圆，求斜率为的平行弦中点的轨迹方程.
圆锥曲线——椭圆训练题（一）答案
一、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D A C C C B D B D D A
题号 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
答案 B B C D D B D C D C D
二、填空题：
23. (1)(5,0)；(2)8 24.-1 25．
26．或 27．[－4, －]∪[, 4]
28．6 29.2 30. 2
三、解答题：
31．当 时，方程的图形为直线 ；当 时方程的图形为中心在原点、焦点在 轴上的椭圆；当 时方程的图形为以原点为圆心、2为半径的圆；当 时方程的图形为中心在原点、焦点在 轴上的椭圆．画图略．
32翰32232. 翰林汇
33．已知椭圆的一个焦点坐标为(0, )，∴ c2=50, a2=b2＋50,
设椭圆的方程为, 与直线方程y=3x－2=0联立，整理化简得
(10b2＋50)x2－12b2x－b4－46b2=0, 设A(x1, y1), B(x2, y2), ∴x1＋x2=1,
即 , ∴ b2=25, a2=75, 椭圆的方程是.
34. 解：由椭圆方程可设 另设
可得的方程为 的方程为
所以
==*
又在椭圆上所以 即代入*，得
=为定值
35．解：设弦的两个端点分别为，的中点为.
则，（1），（2）
得：，
.
又，.
弦中点轨迹在已知椭圆内，所求弦中点的轨迹方程为（在已知椭圆内）.
翰林汇
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4圆锥曲线——综合训练题（四）
★ 解答题：
1．已知抛物线顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M（a , 4）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和a值。
2.求与双曲线共焦点，且过点的双曲线方程。
3.抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线 的一个焦点，且抛物线与双曲线的一个交点P（），求抛物线和双曲线方程。
4.中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点F1,F2,且,椭圆的长半轴与双曲线的半实轴之差为4，离心率之比为3：7。求这两条曲线的方程。
5. 已知椭圆C的焦点F1（－，0）和F2（，0），长轴长6，设直线交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标。
6．已知双曲线（1，1）能否作一条直线A，B两点，且P为线段AB 的中点？
7. 已知F1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，求双曲线的离心率
8．经过抛物线y的焦点F的直线L与该抛物线交于A,B两点.
若线段AB的斜率为k，试求中点M的轨迹方程；
若直线的斜率k＞2，且点M到直线3x+4y+m=0的距离为，试确定m的取值范围。
9．点P在椭圆7x2+4y2=28上，则点P到直线3x－2y－16=0的距离的最大值为
10．在抛物线y=x2上求一点P,使得点P到直线x-y-3=0的距离最短。
11．已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的离心率为，为其焦点，一直线过点与椭圆相交于两点，且的最大面积为，求椭圆的方程。
12．如果探照灯的轴截面是抛物线（如图），表示平行于对称轴的光线经抛物线上的点的反射情况，设点的纵坐标为，当取何值时，从入射点到反射点的光线路程最短？
13．(2006上海卷)已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为,右顶点为,设点.
（1）求该椭圆的标准方程；（2）若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程；
（3）过原点的直线交椭圆于点，求面积的最大值。
14．已知双曲线的焦点为，，离心率为2.
(1)求此双曲线渐近线,方程.
(2)若A,B分别为,上的动点,且2|AB|=5||,求线段AB中点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.
15.如图，已知直线l与抛物线y2 = x相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，与x轴相交于点M，若y1y2 = －1，
（1）求证：M点的坐标为（1，0）；
（2）求证：OA⊥OB；
（3）求△AOB的面积的最小值.
圆锥曲线——综合训练题（四）参考答案
★ 解答题：
1．解：抛物线方程为：，a=±4
2.解：由于所求双曲线与已知的双曲线共焦点，
从而可设所求的双曲线方程为。
由于点在所求双曲线上，所以有，
整理得，解得：
又。
所以 ，故所求双曲线方程为。
3.解：设抛物线方程为抛物线经过点
抛物线方程为其焦点为（1，0），准线
抛物线准线经过双曲线的一个焦点，
是双曲线的一个焦点，
①，又点在双曲线上，
②
由①、②解得
双曲线方程为
4．解：设椭圆的方程为，双曲线得方程为，
半焦距c＝ 由已知得：a1－a2＝4 ，
解得：a1＝7，a2＝3
所以：b12＝36，b22＝4，所以两条曲线的方程分别为：
，
5．解:由已知得椭圆的焦点在x轴上,其中c=,a=3,从而b=1,所以其标准方程是:
.联立方程组,
消去y得, .
设A(),B(),
AB线段的中点为M()那么: ,=
所以=+2=.
也就是说线段AB中点坐标为(-,).
6．解：设能作直线满足条件，设（），B（）
则—化为
（1，1）
（）
即
把直线代入双曲线方程为
即直线与双曲线无公共点 不存在直线满足条件。
7.解：如图，设MF1的中点为P，则P的横坐标为。
由焦半径公式，
即，得，
解得，
8．解：(1)设A(直线AB方程为y=k(x-1) (k≠0),代入,得
kx-(2k+4)x+k=0 设M(x ,y).则
∴点M的坐标为(
消去k可得M的轨迹方程为y
(2)由 d=
得即 0＜＜,
得0＜,
即 或
故的取值范围为 (-
9．解析:化椭圆方程为参数方程(α为参数).
∴点P到直线3x－2y－16=0的距离为
d==.
∴dmax==.
10．解一：设抛物线y=x2上点P(x0,y0)到直线x-y-3=0的距离最短。
则d=
因为P(x0,y0)在y=x2上，所以y0=x02,
代入距离公式得：d=＝＝
当x0=0.5时，d有最小值。此时，y0=0.25
所以点P()
解二：将直线x-y-3=0往上平移，与抛物线在点P(x0,y0)处相切。此时，点P到直线x-y-3=0的距离最短。
依题意：切线的斜率为1。
根据导数的几何意义，
而
所以2x0=1 x0=,
解三：将直线x-y-3=0往上平移，与抛物线在点P(x0,y0)处相切。此时，点P到直线x-y-3=0的距离最短。
依题意切线的斜率为1，可设切线方程为：y=x+b
建立方程组得：
相切，则，即1+4b=0,
代入得，
11．解：由＝得，
所以椭圆方程设为
设直线，
由 得：
设，则是方程的两个根
由韦达定理得 所以
＝
当且仅当时，即轴时取等号
所以，所求椭圆方程为
12．解:设，则直线方程为：，
由
得，
当且仅当
当入射点，反射点时最短。
13．(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=,则半短轴b=1.
又椭圆的焦点在x轴上, ∴椭圆的标准方程为
(2)设线段PA的中点为M(x,y) ,点P的坐标是(x0,y0),
由 x x= 得 x0=2x－1
Y y = y0=2y－
由,点P在椭圆上,得,
∴线段PA中点M的轨迹方程是.
(3)当直线BC垂直于x轴时,BC=2,因此△ABC的面积S△ABC=1.
当直线BC不垂直于x轴时,说该直线方程为y=kx,代入,
解得B(,),C(－,－),
则,又点A到直线BC的距离d=,
∴△ABC的面积S△ABC=
于是S△ABC=
由≥－1,得S△ABC≤,其中,当k=－时,等号成立.
∴S△ABC的最大值是.
14．解: (1)由已知得,所以,所以双曲线方程为,
所以双曲线的渐近线方程分别 ,
由(1)知,,因为,所以|AB|=10,
设,,
所以点AB中点M,则,,
,消去并整理得:点M的轨迹方程为
,所以点M轨迹是焦点在x轴上的椭圆.
15. (1 ) 设M点的坐标为（x0, 0）, 直线l方程为 x = my + x0 , 代入y2 = x得
y2－my－x0 = 0 ① y1、y2是此方程的两根,
∴ x0 ＝－y1y2 ＝1，即M点的坐标为（1, 0）.
(2 ) ∵ y1y2 ＝－1
∴ x1x2 + y1y2 = y12y22 +y1y2 ＝y1y2 (y1y2 +1) = 0
∴ OA⊥OB.
（3）由方程①，y1＋y2 = m , y1y2 ＝－1 , 且 | OM | = x0 =1,
于是S△AOB = | OM | |y1－y2| ==≥1，
∴ 当m = 0时，△AOB的面积取最小值1.
P
Q
F
O
x
y
O
A
B
M
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