数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.1.2椭圆的简单几何性质 课件（共18张ppt）
文档属性
| 名称 | 数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.1.2椭圆的简单几何性质 课件（共18张ppt） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 7.4MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-23 07:05:43 | ||
图片预览
文档简介
(共18张PPT)
椭圆的简单几何性质
分母哪个大，焦点就在哪个轴上
标准方程
相 同 点
焦点位置的判断
不 同 点
图 形
焦点坐标
定 义
a、b、c 的关系
x
y
F1
F2
M
O
x
y
F1
F2
M
O
a2-c2=b2
(a>b>0)
P={ M||MF1 |+|MF2|=2a（2a>2c）}
复习回顾
我们利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质，包括椭圆的范围、形状、大小、对称性和特殊点等。
下面，我们用椭圆方程来研究椭圆的几何性质。
观察：观察椭圆的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？
l
结论：椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形框里.
思考：观察右图，容易看出椭圆上的点都在一个特定的矩形内，你能利用方程（代数方法）确定出它的具体边界吗？
1.范围
由方程，可知
所以，椭圆上点的横坐标都适合不等式
即
即
这说明椭圆位于直线 x =±a，y=±b所围成的矩形框里。
l
l
探究：观察椭圆的形状，可以发现椭圆即是轴对称图形，又是中心对称图形。如何利用方程说明椭圆的对称性？
2.对称性
在椭圆的标准方程中，以-y代y，方程不变。这说明当点P(x,y)在椭圆上时，它关于x轴的对称点P1(x,-y)也在椭圆上，所以椭圆关于x轴对称。同理，以-x代x，方程也不变，这说明如果点P(x,y)在椭圆上，那么它关于y轴的对称点P2(-x,y)也在椭圆上，所以椭圆关于y轴对称。以-x代x，以-y代y，方程也不变，这说明当点P(x,y)在椭圆上时，它关于原点的对称点P3(-x,-y)也在椭圆上，所以椭圆关于原点对称。
综上，椭圆关于x轴，y轴都是对称的。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。
l
l
(1)图象关于 轴对称
(2)图象关于 轴对称
(3)图象关于 成中心对称。
y
x
原点
坐标轴是椭圆的对称轴
原点是椭圆的对称中心
中心：椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.
2.对称性
3、椭圆的顶点：
顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。
椭圆顶点坐标：
线段A1A2 ，B1B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a 和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
3.顶点
在椭圆的标准方程中，令x=0,得,因此B1(0,-b),B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点。同理，令y=0，得,因此A1(-a,0),A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点.所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点。
l
思考：观察下图，我们发现，不同形状的椭圆的扁平程度不同，相同形状的椭圆的扁平程度相同.扁平程度是椭圆的重要形状特征，你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗？
l
4.离心率
利用信息技术，保持长半轴长a不变，改变椭圆的半焦距c,可以发现，c越接近a,椭圆越扁平。类似的，保持c不变，改变a的大小，则a越接近c,椭圆越扁平；而当a,c扩大或缩小相同倍数时，椭圆的形状不变。
这样，利用a和c这两个量，可以刻画椭圆的扁平程度。
(1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率。用表示，即
②形象记忆：因为a>c>0,所以0(2)性质：①
注：因为在椭圆中，，所以.
4、4.离心率
判断正误.
(1)椭圆的长轴长等于.( )
(2)椭圆的离心率越小，椭圆越圆.( )
(3)若一个矩形的四个顶点都在椭圆上，则这四个顶点关于椭圆的中心对称.( )
×
√
√
辨析2. 椭圆的长轴长、短轴长、离心率依次是( ).
A. 5, 3, 0.8 B. 10, 6, 0.8 C. 5, 3, 0.6 D. 10, 6, 0.6
答案：B.
练习
例1.求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标,并画出图形。
例题解析
解：把原方程化为标准方程，得
于是a=5,b=4,
因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a=10和2b=8,离心率
，两个焦点坐标分别是F1（-3，0）和F2（3，0），四个顶点坐标分别是A1(-5,0)，A2(5,0)，B1(0,-4)和B2(0,4).
练习.求下列条件的椭圆的标准方程.
(1)长轴长是10，离心率是；
解(1)：设椭圆方程为或.
由已知得，.
又∵，∴.
∴.
∴椭圆方程为或.
(2) 离心率e＝，焦距为12.
练习
(2)离心率e＝，焦距为12.
【解】(2)由e＝＝，2c＝12，得a＝10，c＝6，
∴b2＝a2－c2＝64.
当焦点在x轴上时，所求椭圆的标准方程为=1；
当焦点在y轴上时，所求椭圆的标准方程为=1.
综上所述，所求椭圆的标准方程为=1或=1.
练习
方法技巧：利用几何性质求椭圆方程的方法和步骤
1.方法：通常采用待定系数法。
2.步骤：
椭圆的简单几何性质
课堂小结
离心率的性质：
(1)越接近，越接近，就越小，因此椭圆越扁平；
(2)越接近，越接近，越接近，这时椭圆就越接近于圆；
(3)当且仅当时，，这时两个焦点重合，图形变为圆.
课堂小结
感谢观看
椭圆的简单几何性质
分母哪个大，焦点就在哪个轴上
标准方程
相 同 点
焦点位置的判断
不 同 点
图 形
焦点坐标
定 义
a、b、c 的关系
x
y
F1
F2
M
O
x
y
F1
F2
M
O
a2-c2=b2
(a>b>0)
P={ M||MF1 |+|MF2|=2a（2a>2c）}
复习回顾
我们利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质，包括椭圆的范围、形状、大小、对称性和特殊点等。
下面，我们用椭圆方程来研究椭圆的几何性质。
观察：观察椭圆的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？
l
结论：椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形框里.
思考：观察右图，容易看出椭圆上的点都在一个特定的矩形内，你能利用方程（代数方法）确定出它的具体边界吗？
1.范围
由方程，可知
所以，椭圆上点的横坐标都适合不等式
即
即
这说明椭圆位于直线 x =±a，y=±b所围成的矩形框里。
l
l
探究：观察椭圆的形状，可以发现椭圆即是轴对称图形，又是中心对称图形。如何利用方程说明椭圆的对称性？
2.对称性
在椭圆的标准方程中，以-y代y，方程不变。这说明当点P(x,y)在椭圆上时，它关于x轴的对称点P1(x,-y)也在椭圆上，所以椭圆关于x轴对称。同理，以-x代x，方程也不变，这说明如果点P(x,y)在椭圆上，那么它关于y轴的对称点P2(-x,y)也在椭圆上，所以椭圆关于y轴对称。以-x代x，以-y代y，方程也不变，这说明当点P(x,y)在椭圆上时，它关于原点的对称点P3(-x,-y)也在椭圆上，所以椭圆关于原点对称。
综上，椭圆关于x轴，y轴都是对称的。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。
l
l
(1)图象关于 轴对称
(2)图象关于 轴对称
(3)图象关于 成中心对称。
y
x
原点
坐标轴是椭圆的对称轴
原点是椭圆的对称中心
中心：椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.
2.对称性
3、椭圆的顶点：
顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。
椭圆顶点坐标：
线段A1A2 ，B1B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a 和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
3.顶点
在椭圆的标准方程中，令x=0,得,因此B1(0,-b),B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点。同理，令y=0，得,因此A1(-a,0),A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点.所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点。
l
思考：观察下图，我们发现，不同形状的椭圆的扁平程度不同，相同形状的椭圆的扁平程度相同.扁平程度是椭圆的重要形状特征，你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗？
l
4.离心率
利用信息技术，保持长半轴长a不变，改变椭圆的半焦距c,可以发现，c越接近a,椭圆越扁平。类似的，保持c不变，改变a的大小，则a越接近c,椭圆越扁平；而当a,c扩大或缩小相同倍数时，椭圆的形状不变。
这样，利用a和c这两个量，可以刻画椭圆的扁平程度。
(1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率。用表示，即
②形象记忆：因为a>c>0,所以0
注：因为在椭圆中，，所以.
4、4.离心率
判断正误.
(1)椭圆的长轴长等于.( )
(2)椭圆的离心率越小，椭圆越圆.( )
(3)若一个矩形的四个顶点都在椭圆上，则这四个顶点关于椭圆的中心对称.( )
×
√
√
辨析2. 椭圆的长轴长、短轴长、离心率依次是( ).
A. 5, 3, 0.8 B. 10, 6, 0.8 C. 5, 3, 0.6 D. 10, 6, 0.6
答案：B.
练习
例1.求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标,并画出图形。
例题解析
解：把原方程化为标准方程，得
于是a=5,b=4,
因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a=10和2b=8,离心率
，两个焦点坐标分别是F1（-3，0）和F2（3，0），四个顶点坐标分别是A1(-5,0)，A2(5,0)，B1(0,-4)和B2(0,4).
练习.求下列条件的椭圆的标准方程.
(1)长轴长是10，离心率是；
解(1)：设椭圆方程为或.
由已知得，.
又∵，∴.
∴.
∴椭圆方程为或.
(2) 离心率e＝，焦距为12.
练习
(2)离心率e＝，焦距为12.
【解】(2)由e＝＝，2c＝12，得a＝10，c＝6，
∴b2＝a2－c2＝64.
当焦点在x轴上时，所求椭圆的标准方程为=1；
当焦点在y轴上时，所求椭圆的标准方程为=1.
综上所述，所求椭圆的标准方程为=1或=1.
练习
方法技巧：利用几何性质求椭圆方程的方法和步骤
1.方法：通常采用待定系数法。
2.步骤：
椭圆的简单几何性质
课堂小结
离心率的性质：
(1)越接近，越接近，就越小，因此椭圆越扁平；
(2)越接近，越接近，越接近，这时椭圆就越接近于圆；
(3)当且仅当时，，这时两个焦点重合，图形变为圆.
课堂小结
感谢观看