2023-2024学年江苏省苏州市苏州工业园区星湾学校八年级上学期10月月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省苏州市苏州工业园区星湾学校八年级上学期10月月考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.在下列四个亚运会图标中，属于轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列各组数中，是勾股数的是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
3.如图，平分，于点，若，则到的距离是
( )
A. B. C. D.
4.如图，某市的三个城镇中心、、构成，该市政府打算修建一个大型体育中心，使得该体育中心到三个城镇中心、、的距离相等，则点应设计在( )
A. 三个角的角平分线的交点 B. 三角形三条高的交点
C. 三条边的垂直平分线的交点 D. 三角形三条中线的交点
5.等腰三角形的两边长分别为，，则该三角形的周长为( )
A. B. C. 或 D. 以上都不对
6.如图，中，，于点，则下列结论不一定成立的是
( )
A. B.
C. D.
7.如图所示的一段楼梯，高是米，斜边长是米，现打算在楼梯上铺地毯，至少需要地毯的长度为
( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
8.如图，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打个洞．纸片展开后是( )
A. B. C. D.
9.如图，点是内部一点，点关于、的对称点是、，直线分别交、于点、，若，且，则的周长是
( )
A. B. C. D.
10.如图，、分别表示两个正方形的面积，且、、三点在一条直线上，若，，则的面积为
( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11.等腰三角形有一个内角等于，则它的底角等于__度．
12.如图，，是的中线，点、是中线上的两点，若，则图中阴影部分的面积为______．
13.如图，在中，，，，则_________．
14.如图，是正方形网格，其中已有个小方格涂成了黑色．现在要从其余白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个黑色部分图形构成轴对称图形，这样的白色小方格有______种选择．
15.如图，公路互相垂直，公路的中点与点被湖隔开．若测得的长为，则，两点间的距离为______．
16.公元世纪初，中国古代数学家赵爽注周髀算经时，创造了“赵爽弦图”如图，设勾，弦，则小正方形的面积是____．
17.如图，在中，，，，若点是射线上一个动点，，则的长为______．
18.如图，在中，，，，已知是上一动点，若点沿翻折后，点落到内部不包括边上，则的取值范围为______．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.本小题分
如图，正方形网格中每个小正方行边长都是．
画出关于直线对称的图形；
在直线上找一点，使最小有必要作图痕迹．
20.本小题分
如图，已知，平分，求证：．
21.本小题分
如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积．
22.本小题分
如图：是等边三角形，点、、分别在边、、的延长线上，且求证：是等边三角形．
23.本小题分
“倒过来想”是我们学好几何的重要思维方式之一．小明同学学完“等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合”后，继续探索，发现“如果三角形的一条角平分线是这个角对边上的中线，那么这个三角形是等腰三角形”．
请你从不同的角度思考并证明．
已知：如图，在中，平分，为中点．求证：是等腰三角形．用两种不同的方法证明
方法一：

方法二：
24.本小题分
在中，．
如图，若点在延长线上，且，点在的延长线上，且，则的度数为______．
如图，若点、均在上，且，，求的度数．
25.本小题分
如图，已知，是的角平分线，于点，于点，连接交于点．

求证：垂直平分；
若，，求的面积．
26.本小题分
角平分线的轴对称性可以为解题提供思路和方法：
如图，在的两边上取两点、，使，点为角平分线上任意一点，连接、，根据角的轴对称性易得______；
如图，中，，求证：．
证明：作的平分线交边于点，在边上截取，连接请完成证明
如图，在中，，为的角平分线，写出、、之间的数量关系并说明理由．
27.本小题分
如图所示，在中，，，为边上的一个动点，将沿折叠，得到，且点在直线的下方．

如图，当时，垂足为，
若，则的度数为______；
若，，求的长；
若再次折叠图中的，使与重合，得到折痕点在上，连接，若是等腰三角形，则______用含的代数式表示
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】根据轴对称图形的定义，判断即可．
【详解】解：，，无法找到一条直线，使得图形沿直线折叠后，能够完全重合，故不是轴对称图形，图形能够找到一条直线，使得图形沿直线折叠后，能够完全重合，是轴对称图形；
故选D．
【点睛】本题考查了轴对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．
2.【答案】
【解析】【分析】根据勾股数的定义：三个正整数，满足两个数的平方和等于第三个数的平方，逐一进行判断即可．
【 详解】解：、，不符合题意；
B、，符合题意；
C、，不符合题意；
D、，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查勾股数．熟练掌握勾股数的定义，是解题的关键．
3.【答案】
【解析】【分析】过点作，根据角平分线的性质，得到，即可．
【详解】解：过点作，
平分，，
，
到的距离是；
故选A．
【点睛】本题考查角平分线的性质．熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．
4.【答案】
【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质解答即可．
【详解】解：体育中心到城镇中心、的距离相等，
，
点在线段的垂直平分线上，
同理，点在线段，的垂直平分线上，
点应设计在三条边的 垂直平分线的交点，
故选：．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
5.【答案】
【解析】【分析】分两种情况：底边为，底边为时，结合三角形三边的关系，根据三角形的周长公式，可得答案．
【详解】底边为，腰长为，这个三角形的周长是，
底边为，腰长为，，不能以为底构成三角形；
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，利用了等腰三角形的性质，三角形三边的关系，分类讨论是解题关键．
6.【答案】
【解析】【分析】根据等边对等角，以及三线合一，进行判断即可．
【详解】解：中，，，
，，，
无法确定，
不一定成立；
故选C．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质．熟练掌握等边对等角，以及等腰三角形三线合一，是解题的关键．
7.【答案】
【解析】【分析】根据勾股定理计算米，根据题意，台阶的高的和为，宽的和为，求和计算即可．
【详解】高是米，斜边长是米，
米，
根据题意，台阶的高的和为，宽的和为，
米，
故选D．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键．
8.【答案】
【解析】【分析】结合空间思维，分析折叠的过程及打孔的位置，易知展开的形状．
【详解】解：当正方形纸片两次沿对角线对折成为一直角三角形时，在平行于斜边位置上打个洞，则直角顶点处完好，即原正方形中间无损，且有个洞．
故选：．
【点睛】本题主要考查学生抽象思维能力，错误的主要原因是空间观念以及转化的能力不强，缺乏逻辑推理能力，需要在平时生活中多加培养．
9.【答案】
【解析】【分析】连接，根据题意，得到，，结合，证明是等边三角形计算即可．
【详解】如图，连接，
根据题意，得到，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
的周长是，
故选D．
【点睛】本题考查了对称的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键．
10.【答案】
【解析】【分析】根据正方形的性质，得到，，结合已知，得到，根据，利用完全平方公式变形计算即可．
【详解】根据正方形的性质，得到，，
，
，
，
，
故选C．
【点睛】本题考查了勾股定理，完全平方公式，正方形的性质，熟练掌握勾股定理，完全平方公式是解题的关键．
11.【答案】
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质，内角和定理即可得到每个底角的度数．
【详解】解：等腰三角形的一个内角等于，
等腰三角形的顶角为，
等腰三角形的底角为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理得出底角解答．
12.【答案】
【解析】【分析】根据等腰三角形的三线合一性质，对称的性质，中线的性质计算即可．
【详解】，是的中线，
直线是线段得垂直平分线，
直线是的对称轴，
，，
图中阴影部分的面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一性质，对称的性质，中线的性质，熟练掌握性质，灵活转化面积是解题的关键．
13.【答案】
【解析】【分析】根据含角的直角三角形的性质求出，再求出答案即可．
【详解】解：，，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了含角的直角三角形的性质，注意：在直角三角形中，如果有一个角等于，那么这个角所对的直角边等于斜边的一半．
14.【答案】
【解析】【分析】利用轴对称图形的 定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．即可得出符合题意的答案．
【详解】解：如图所示，

使整个黑色部分图形构成轴对称图形，这样的白色小方格有种选择．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了利用轴对称设计图案，解题的关键是正确把握轴对称图形的定义．
15.【答案】
【解析】【分析】根据斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出结论．
【详解】解：公路互相垂直，
，
点是的中点，
；
故答案为：．
【点睛】本题考查斜边上的中线．熟练掌握斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键．
16.【答案】
【解析】【分析】应用勾股定理和正方形的面积公式可求解．
【详解】勾，弦，
股，
小正方形的边长，
小正方形的面积
故答案为
【点睛】本题运用了勾股定理和正方形的面积公式，关键是运用了数形结合的数学思想．
17.【答案】
【解析】【分析】根据勾股定理，，，求和计算即可．
【详解】，，，，
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的计算，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
18.【答案】
【解析】【分析】当时，最小，此时点的对称点在上；当平分时，最大，此时点的对称点在上；利用勾股定理，三角形的面积公式计算即可．
【详解】如图，当时，最小，此时点的对称点在上；
，，，
，
，
，
，
当平分时，最大，此时点的对称点在上，
，，，
，，
过点作，垂足分别，，
则，四边形是正方形，
，
，
，
，
，

，
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，正方形的判定和性质，三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理，折叠性质是解题的关键．
19.【答案】见解析
【解析】【分析】根据网格结构找出点、、对应点、、的位置，然后顺次连接即可；
连接，与的交点即为点．
【详解】如图，为所求；
连接，与的交点即为点．
【点睛】本题考查了根据轴对称变换作图，解答本题的关键是根据网格结构作出点、、的对应点，然后顺次连接．
20.【答案】证明过程见解析
【解析】【分析】根据，得到，再根据平分，得到，进而得到，即可得证；
【详解】，
，
又平分，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定、等边对等角、角平分线的性质，准确理解考查知识点是解题的关键．
21.【答案】
【解析】【分析】连接，根据勾股定理计算，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，根据面积公式计算即可．
【详解】连接，
，，，

，
，，
，
，
四边形面积为：
．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理并灵活运用是解题的关键．
22.【答案】见解析
【解析】【分析】根据等边三角形的性质，证明，得到，即可．
【详解】证明：是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等，是解题的关键．
23.【答案】见解析
【解析】【分析】方法一：延长至点，使，证明，得到，证明为等腰三角形，得到，进而得到，即可；方法二：过点作，得到，证明，得到，即可．
【详解】证明：方法一：延长至点，使，

为中点，
，
，
，
，，
平分，
，
，
，
是等腰三角形；
方法二：过点作，则：，

平分，
，
为中点，
，
，
，
，
是等腰三角形．
【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定．解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形．
24.【答案】

【解析】【分析】根据等边对等角性质，三角形外角性质，直角三角形的两个锐角互余性质计算即可．
根据等边对等角性质，三角形外角性质，直角三角形的两个锐角互余性质计算即可．
【小问详解】
如图，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【小问详解】
如图，
，，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了等边对等角性质，三角形外角性质，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握性质是解题的关键．
25.【答案】见解析
【解析】【分析】根据，，可得，根据角平分线的定义可得，进而证明，可得，根据角平分线的性质可得，即可得证；
根据全等三角形的性质，可得，根据三角形的面积公式即可求解．
【小问详解】
证明：，，
，
是的角平分线，
，
在和中，
，
，
是的角平分线，
垂直平分；
【小问详解】
解：，
，
，
的面积．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，垂直平分线的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
26.【答案】
见解析 ，理由见解析

【解析】【分析】根据角的轴对称性，即可得到；
证明，得到，根据三角形的外角的性质，即可得出结论；
在上截取，证明，得到，，利用外角的性质，得到，进而得到，于是，利用即可得出．
【小问详解】
解：角关于角平分线所在的直线对称，，
点、关于直线对称，
；
故答案为：；
【 小问详解】
证明：作的平分线交边于点，在边上截取，连接，则：，
又，
，
，
是的一个外角，
，
；
【小问详解】
；理由如下：
在上截取，连接，
平分，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造全等三角形，是解题的关键．
27.【答案】
或或

【解析】【分析】根据等腰三角形三线合一性质，得到；根据折叠的性质，得到．
根据等腰三角形三线合一性质，得到；根据勾股定理得到，根据折叠的性质，得到，，求得，，根据勾股定理得到，求得即可．
根据等腰三角形的定义，分类计算即可．
【小问详解】
，，
；
根据折叠的性质，得到．
故答案为：．
，，，，
；
，

根据折叠的性质，得到，，
，，
根据勾股定理得到，
解得．
故．
【小问详解】
当时，
如图，，
；
根据折叠的性质，设，，
，，，，
，
，
，

，
，
，
即．
当时，
，
；
根据折叠的性质，设，，
，，，，
，
，
，

，
，
，
，
，
即．
当时，
，
；
根据折叠的性质，设，，
，，，，
，，，

，
，
，
，
即．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，勾股定理，折叠的性质，分类思想，熟练掌握折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形外角性质是解题的关键．
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