2023-2024学年苏科版九年级下册数学《5.4二次函数与一元二次方程》提优训练（含解析）

2023-2024学年苏科版九年级数学《5.4二次函数与一元二次方程》提优训练
（时间：90分钟 满分：120分）
一．选择题(30分）
1、二次函数y＝ax2﹣6x+3的图象与x轴有两个公共点，则a的取值范围是（　　）
A．a＜3 B．a＜3且a≠0 C．a＞3 D．a≥3
x ﹣2 ﹣1 0 1
y 0 4 6 6
2、抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：下列结论不正确的是（　　）
A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线x＝
C．抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0） D．函数y＝ax2+bx+c的最大值为
3、已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴的两个交点之间的距离为6，对称轴为x＝3，则抛物线的顶点P关于x轴对称的点P'的坐标是（　　）
A．（3，9） B．（3，﹣9） C．（﹣3，9） D．（﹣3，﹣9）
4、已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）与x轴相交于点A，B（点A在点B左侧），点A（﹣1，0），与y轴交于点C（0，c），其中2≤c≤3．对称轴为直线x＝1，现有如下结论：①2a+b＝0；②当x≥3时，y＜0；③这个二次函数的最大值的最小值为；④﹣1≤a≤﹣，其中正确结论的个数有（　 ）个
A．4 B．3 C．2 D．1
5、已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0），若以AB为直径的圆与在x轴下方的抛物线有交点，则a的取值范围是（　　）
A．a≥ B．a＞ C．0＜a＜ D．0＜a≤
6.如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示．下列结论：①方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；②b＝a+c；③8a+c＜0；④当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3；⑤a+b＜m（am+b）（m≠1的实数），其中结论正确的是（　　）
A．①②④⑤ B．①②③④ C．①③⑤ D．②③④⑤
第6题图 第7题图 第8题图 第9题图 第10题图
7、已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，有以下结论：
①abc＜0；②若t为任意实数，则有a﹣bt≤at2+b；③当图象经过点（1，3）时，方程ax2+bx+c﹣3＝0的两根为x1，x2（x1＜x2），则x1+3x2＝0，其中，正确结论的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
8、如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包含这两点），对称轴为直线x＝1．在下列结论中：①abc＞0；②16a+4b+c＜0；③4ac﹣b2＜8a；④＜a＜；⑤b＜c．正确结论的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
9、如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B两点，对称轴是直线x＝1，下列说法正确的是（　　）
A．a＞0 B．当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大
C．点B的坐标为（4，0） D．4a+2b+c＞0
10、如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴负半轴交于（﹣，0），对称轴为直线x＝1．有以下结论：①abc＞0；②3a+c＞0；③若点（﹣3，y1），（3，y2），（0，y3）均在函数图象上，则y1＞y3＞y2；④若方程a（2x+1）（2x﹣5）＝1的两根为x1，x2且x1＜x2，则x1＜﹣＜＜x2；⑤点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得PM⊥PN，则a的范围为a≥﹣4．其中结论正确的有（　 ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二．填空题(30分)
11、二次函数y＝x2+6x+c（c为常数）与x轴的一个交点为（﹣1，0），则另一个交点为_____．
12、已知关于x的函数y1＝ax2﹣（3﹣a）x+1，y2＝ax．若对于任意实数x，y1与y2的值至少有一个为正数，则实数a的取值范围是 　 　．
13、抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），对称轴为直线x＝2，其部分图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是_________.
第13题图 第14题图 第15题图 第16题图 第18题图
14、如图，抛物线L1：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴只有一个公共点A（1，0），与y轴交于点B（0，2），虚线为公共对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线L2，则图中两个阴影部分的面积和为 　 　．
15、如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，结合图象给出下列结论：①a+b+c＝0；②a﹣2b+c＜0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1；④若点（﹣4，y1）、（﹣2，y2）、（3，y3）均在二次函数图象上，则y1＜y2＜y3；⑤a﹣b＜m（am+b）（m为任意实数）．其中正确的结论有 　　（填序号）．
16、如图，一次函数y＝mx+n的图象与二次函数y＝ax2+bx+c的图象相交于点A（﹣1，d），B（3，e），则mx+n＜ax2+bx+c解集是 　 　．
解：mx+n＜ax2+bx+c体现在图象上就是一次函数y＝mx+n的图象在二次函数y＝ax2+bx+c的图象的下方．由图知，图象在点A，B之间，∴﹣1＜x＜3．故答案为：﹣1＜x＜3．
17、已知抛物线y＝x2+2x﹣n与x轴交于A，B两点，抛物线y＝x2﹣2x﹣n与x轴交于C，D两点，其中n＞0．若AD＝2BC，则n的值为 　 　．
18、如图，抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣5交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点D（m，m+1）是抛物线上的点，则点D关于直线AC的对称点的坐标为 　 　．
19、已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，点D（4，y）在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点，当BE+DE的值最小时，△ACE的面积为 　 　．
20、已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），顶点为（1，n）且4a﹣2b+c＝0，下列四个结论：①若n＞0，则abc＞0；②方程ax2+bx+c＝0的必有一根x＝4；③对于a的每一个确定的值，若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数）的根为整数，则p的值只有3个；④点A（x1，y1）和点B（x2，y2）是抛物线上两点，且x1＜x2，若a（x1+x2﹣2）＜0，则y1＞y2；其中正确的序号是 　 　．
三。解答题（60分）
21、（8分）如图，已知经过原点的抛物线y＝2x2+mx与x轴交于另一点A（2，0）．
（1）求m的值和抛物线顶点M的坐标；（2）求直线AM的解析式．
22、（8分）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D．
（1）求抛物线的解析式； （2）求△BOC的面积．
23、（8分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，一次函数y＝﹣x+3的图象经过点B，C，与抛物线对称轴交于点D，且S△ABD＝4，点P是抛物线y＝ax2+bx+c上的动点．
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）当点P在直线BC上方时，求点P到直线BC的距离的最大值．
24、（12分）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点M（x1，0），N（x2，0）（0＜x1＜x2），且经过点A（0，2）．过点A的直线l与x轴交于点C，与该函数的图象交于点B（异于点A）．满足△ACN是等腰直角三角形，记△AMN的面积为S1，△BMN的面积为S2，且S2＝S1．
（1）抛物线的开口方向　 　（填“上”或“下”）；
（2）求直线l相应的函数表达式；
（3）求该二次函数的表达式．
25、（12分）某班数学兴趣小组对函数y＝|x2﹣2x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：
（1）自变量x的取值范围取足全体实数，x与y的几组对应值列表如下：其中m＝　 　．
x …… ﹣1 ﹣0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 ……
y …… 3 m 0 0.75 1 0.75 0 1.25 3 ……
（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．
（3）观察函数图象，写出函数的一条性质　 　；
（4）进一步探究函数图象解决问题：
①方程|x2﹣2x|＝有　 　个实数根；
②在（2）问的平面直角坐标系中画出直线y＝﹣x+1，根据图象写出方程|x2﹣2x|＝﹣x+1的一个正数根约为　 　．（精确到0.1）
26、（12分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点在一次函数y＝kx+t（k≠0）的图象上，则称y＝ax2+bx+c（a≠0）为y＝kx+t（k≠0）的点雅抛物线，如：y＝x2+1是y＝x+1的点雅抛物线．
（1）若y＝x2﹣4是y＝﹣2x+p的点雅抛物线，求p的值；
（2）若二次函数y＝﹣x2+4x+7是经过点（﹣1，2）的一次函数y＝kx+t（k≠0）的点雅抛物线，求直线y＝kx+t（k≠0）与两坐标轴围成的三角形的面积；
（3）若函数y＝mx﹣3（m≠0）的点雅抛物线y＝x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4，求m，n的值．
教师样卷
一．选择题(30分）
1、二次函数y＝ax2﹣6x+3的图象与x轴有两个公共点，则a的取值范围是（　B　）
A．a＜3 B．a＜3且a≠0 C．a＞3 D．a≥3
解：∵二次函数y＝ax2﹣6x+3的图象与x轴有两个公共点，∴Δ＞0且a≠0，即36﹣4a×3＞0，解得a＜3且a≠0．故选：B．
x ﹣2 ﹣1 0 1
y 0 4 6 6
2、抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：下列结论不正确的是（　C　）
A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线x＝
C．抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0） D．函数y＝ax2+bx+c的最大值为
解：由表格可得，，解得，∴y＝﹣x2+x+6＝﹣（x﹣）2+＝（﹣x+3）（x+2），∴该抛物线的开口向下，故选项A正确，不符合题意；
该抛物线的对称轴是直线x＝，故选项B正确，不符合题意，∵当x＝﹣2时，y＝0，∴当x＝×2﹣（﹣2）＝3时，y＝0，故选项C错误，符合题意；函数y＝ax2+bx+c的最大值为，故选项D正确，不符合题意；故选：C．
3、已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴的两个交点之间的距离为6，对称轴为x＝3，则抛物线的顶点P关于x轴对称的点P'的坐标是（　A　）
A．（3，9） B．（3，﹣9） C．（﹣3，9） D．（﹣3，﹣9）
解：设抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点坐标为（x1，0），（x2，0），∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为6，对称轴为直线x＝3，∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝36，﹣＝3，∴（﹣b）2﹣4×c＝36，b＝﹣6，解得：c＝0，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣6x＝（x﹣3）2﹣9，∴顶点P的坐标为（3，﹣9），∴点P关于x轴的对称点的坐标是（3，9），故选：A．
4、已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）与x轴相交于点A，B（点A在点B左侧），点A（﹣1，0），与y轴交于点C（0，c），其中2≤c≤3．对称轴为直线x＝1，现有如下结论：①2a+b＝0；②当x≥3时，y＜0；③这个二次函数的最大值的最小值为；④﹣1≤a≤﹣，其中正确结论的个数有（　B　）个
A．4 B．3 C．2 D．1
解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴2a+b＝0，∴①正确．∵抛物线过点A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）．∵抛物线与y轴交于C（0，c），2≤c≤3，∴a＜0，∴当x≥3时，y≤0，∴②错误．
∵抛物线过点A（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，∴a+2a+c＝0，∴a＝﹣c．∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，∴当x＝1时，y有最大值＝a+b+c＝﹣c+c+c＝c．∵2≤c≤3，
∴≤≤4．∴这个二次函数的最大值的最小值为，∴③正确．∵a＝﹣c，2≤c≤3，∴﹣1≤a≤﹣，∴④正确．故选：B．
5、已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0），若以AB为直径的圆与在x轴下方的抛物线有交点，则a的取值范围是（　A　）
A．a≥ B．a＞ C．0＜a＜ D．0＜a≤
解：把A（﹣2，0）、B（4，0）代入y＝ax2+bx+c得，，解得，
∴抛物线的解析式为：y＝ax2﹣2ax﹣8a＝a（x﹣1）2﹣9a，设抛物线的顶点为点P，
∴抛物线的顶点P（1，﹣9a），对称轴为x＝1，设C为AB的中点，则C（1，0），∴CP＝|﹣9a|＝9a∵以AB为直径的圆与在x轴下方的抛物线有交点，∴a＞0，CP≥即9a≥3，∴a≥．故选：A．
6.如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示．下列结论：①方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；②b＝a+c；③8a+c＜0；④当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3；⑤a+b＜m（am+b）（m≠1的实数），其中结论正确的是（　B　）
A．①②④⑤ B．①②③④ C．①③⑤ D．②③④⑤
解：∵抛物线的对称轴为直线x＝1，而点（﹣1，0）关于直线x＝1的对称点的坐标为（3，0），∴方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3，所以①正确；当x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，∴b＝a+c；故②正确，∵x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，而x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，∴a+2a+c＝0，∴3a+c＝0，∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∴5a＜0，∴8a+c＜0；故③正确；当y＞0时，函数图象在x轴的上面，∴x的取值范围是﹣1＜x＜3；故④正确；⑤∵抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝1，∴当x＝1时，函数y有最大值a+b+c，当m≠1时，则有a+b+c＞am2+bm+c，∴a+b＞m（am+b），故⑤错误．故选：B．
第6题图 第7题图 第8题图 第9题图 第10题图
7、已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，有以下结论：
①abc＜0；②若t为任意实数，则有a﹣bt≤at2+b；③当图象经过点（1，3）时，方程ax2+bx+c﹣3＝0的两根为x1，x2（x1＜x2），则x1+3x2＝0，其中，正确结论的个数是（　D　）
A．0 B．1 C．2 D．3
解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，即﹣＝﹣1，
∴b＝2a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＜0，所以①正确；
∵x＝﹣1时，y有最小值，∴a﹣b+c≤at2+bt+c（t为任意实数），即a﹣bt≤at2+b，所以②正确；∵图象经过点（1，3）时，得ax2+bx+c﹣3＝0的两根为x1，x2（x1＜x2），∴二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝3的一个交点为（1，3），∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝3的另一个交点为（﹣3，3），即x1＝﹣3，x2＝1，∴x1+3x2＝﹣3+3＝0，所以③正确．故选：D．
8、如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包含这两点），对称轴为直线x＝1．在下列结论中：①abc＞0；②16a+4b+c＜0；③4ac﹣b2＜8a；④＜a＜；⑤b＜c．正确结论的个数为（　C　）
A．1 B．2 C．3 D．4
解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵对称轴为直线x＝1＞0，∴a、b异号，∴ab＜0，∵与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，∴﹣2＜c＜﹣1，∴abc＞0，故①正确；
∵抛物线x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，∴与x轴的另一个交点为（3，0），
∴当x＝4时，y＝16a+4b+c＞0，故②不正确；∵a＞0，＜﹣1，即4ac﹣b2＜﹣4a，
∵﹣4a＜8a，∴4ac﹣b2＜8a，故③正确；由题意可得，方程ax2+bx+c＝0的两个根为x1＝﹣1，x2＝3，∴＝﹣3，即c＝﹣3a，∵﹣2＜c＜﹣1，∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，∴＜a＜，故④正确，∵抛物线过（﹣1，0）点，∴y＝a﹣b+c＝0，即a＝b﹣c，又a＞0，∴b﹣c＞0，
∴b＞c，所以⑤不正确，综上所述，正确的结论有①③④三个，故选：C．
9、如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B两点，对称轴是直线x＝1，下列说法正确的是（　D　）
A．a＞0 B．当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大
C．点B的坐标为（4，0） D．4a+2b+c＞0
解：A、由图可知：抛物线开口向下，a＜0，故选项A错误，不符合题意；B、∵抛物线对称轴是直线x＝1，开口向下，∴当x＞1时y随x的增大而减小，x＜1时y随x的增大而增大，故选项B错误，不符合题意；C、由A（﹣1，0），抛物线对称轴是直线x＝1可知，B坐标为（3，0），故选项C错误，不符合题意；D、抛物线y＝ax2+bx+c过点（2，4a+2b+c），由B（3，0）可知：抛物线上横坐标为2的点在第一象限，∴4a+2b+c＞0，故选项D正确，符合题意；故选：D．
10、如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴负半轴交于（﹣，0），对称轴为直线x＝1．有以下结论：①abc＞0；②3a+c＞0；③若点（﹣3，y1），（3，y2），（0，y3）均在函数图象上，则y1＞y3＞y2；④若方程a（2x+1）（2x﹣5）＝1的两根为x1，x2且x1＜x2，则x1＜﹣＜＜x2；⑤点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得PM⊥PN，则a的范围为a≥﹣4．其中结论正确的有（　B　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
解：∵对称轴为直线x＝1，函数图象与x轴负半轴交于（﹣，0），∴x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，由图象可知a＞0，c＜0，∴b＝﹣2a＜0，∴abc＞0，故①正确；由图可知，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，∴a+2a+c＞0，即3a+c＞0，故②正确；抛物线开口向上，离对称轴水平距离越大，y值越大；又|﹣3﹣1|＝4，|3﹣1|＝2，|0﹣1|＝1，∴y1＞y2＞y3；故③错误；由抛物线对称性可知，抛物线与x轴另一个交点为（，0），∴抛物线解析式为：y＝a（x+）（x﹣），令a（x+）（x﹣）＝，则a（2x+1）（2x﹣5）＝1，如图，作y＝，由图形可知，x1＜﹣＜＜x2；故④正确；由题意可知：M，N到对称轴的距离为，当抛物线的顶点到x轴的距离不小于时，在x轴下方的抛物线上存在点P，使得PM⊥PN，即≤﹣，∵y＝a（x+）（x﹣）＝ax2﹣2ax﹣a，∴c＝﹣a，b＝﹣2a，∴≤﹣，解得：a≥，故⑤错误；故选：B．
二．填空题(30分)
11、二次函数y＝x2+6x+c（c为常数）与x轴的一个交点为（﹣1，0），则另一个交点为 （﹣5，0）．
解：∵y＝x2+6x+c，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣3，∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），∴抛物线与x轴另一交点坐标为（﹣5，0）．故答案为：（﹣5，0）．
12、已知关于x的函数y1＝ax2﹣（3﹣a）x+1，y2＝ax．若对于任意实数x，y1与y2的值至少有一个为正数，则实数a的取值范围是 　0＜a＜9 　．
解：①若a＞0，当x＞0时，y2＝ax＞0，∵y1与y2的值至少有一个为正数，∴只需令当x≤0时，y1＝ax2﹣（3﹣a）x+1＞0即可．（Ⅰ）当对称轴x＝＞0，即a＜3，∵当x＝0时，y1＝1＞0，∴当x≤0时，y1始终大于0，∴0＜a＜3；（Ⅱ）当对称轴x＝≤0，即a≥3，∵要使x≤0时，y1恒为正数，即抛物线y1与x轴无交点，∴Δ＝[﹣（3﹣a）]2﹣4×a×1＜0，整理得a2﹣10a+9＝（a﹣9）（a﹣1）＜0，解得1＜a＜9，∴3≤a＜9．综上，0＜a＜9．②若a＜0，y1为开口向下的二次函数，当x＞0时，总存在x使得y1与y2的值均小于0，不符合题意．③若a＝0，y1＝﹣3x+1，y2＝0，当x时，y1＜0，y2＝0，不符合题意．综上所述，a的取值范围为0＜a＜9．故答案为：0＜a＜9．
13、抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），对称轴为直线x＝2，其部分图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是__﹣2＜x＜6________.
解：∵抛物线的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（6，0），∵抛物线开口向下，∴当﹣2＜x＜6时，y＞0，
第13题图 第14题图 第15题图 第16题图 第18题图
14、如图，抛物线L1：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴只有一个公共点A（1，0），与y轴交于点B（0，2），虚线为公共对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线L2，则图中两个阴影部分的面积和为 　2 　．
解：过抛物线L2的顶点D作CD∥x轴，与y轴交于点C，如右图所示：则四边形OCDA是矩形，∵抛物线L1：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴只有一个公共点A（1，0），与y轴交于点B（0，2），∴OB＝2，OA＝1，将抛物线L1向下平移两个单位长度得抛物线L2，则AD＝OC＝2，由图可知，阴影部分的面积等于矩形OCDA的面积，∴S阴影部分＝S矩形OCDA＝OA AD＝1×2＝2．故答案为：2．
15、如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，结合图象给出下列结论：①a+b+c＝0；②a﹣2b+c＜0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1；④若点（﹣4，y1）、（﹣2，y2）、（3，y3）均在二次函数图象上，则y1＜y2＜y3；⑤a﹣b＜m（am+b）（m为任意实数）．其中正确的结论有 　 ①②③ 　（填序号）．
解：∵抛物线过点（1，0），∴a+b+c＝0．∴①正确．∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，开口向下，∴a＞0，﹣＝﹣1．∴b＝2a＞0．∵当x＝﹣1时，y＜0．∴a﹣b+c＜0，
∴a﹣b+c﹣b＜0．∴a﹣2b+c＜0．∴②正确．∵抛物线对称轴为x＝﹣1，过点（1，0）．
∴抛物线过点（﹣3，0）．∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1，∴③正确．点（﹣4，y1）到对称轴的距离为：﹣1﹣（﹣4）＝3．（﹣2，y2）到对称轴的距离为：﹣1﹣（﹣2）＝1，（3，y3）到对称轴的距离为：3﹣（﹣1）＝4．∵抛物线开口向上．∴y3＞y1＞y2．∴④错误．∵抛物线开口向上，对称轴为：x＝﹣1，∴当x＝﹣1时，y有最小值a﹣b+c，∴当x＝m时，函数值不小于a﹣b+c．∴a﹣b+c≤am2+bm+c．∴a﹣b≤m（am+b）．∴⑤错误．故答案为；①②③．
［经验总结］本题考查二次函数的图象和性质，正确掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键．
16、如图，一次函数y＝mx+n的图象与二次函数y＝ax2+bx+c的图象相交于点A（﹣1，d），B（3，e），则mx+n＜ax2+bx+c解集是 　﹣1＜x＜3 　．
解：mx+n＜ax2+bx+c体现在图象上就是一次函数y＝mx+n的图象在二次函数y＝ax2+bx+c的图象的下方．由图知，图象在点A，B之间，∴﹣1＜x＜3．故答案为：﹣1＜x＜3．
17、已知抛物线y＝x2+2x﹣n与x轴交于A，B两点，抛物线y＝x2﹣2x﹣n与x轴交于C，D两点，其中n＞0．若AD＝2BC，则n的值为 　 8 　．
解：针对于抛物线y＝x2+2x﹣n，令y＝0，则x2+2x﹣n＝0，∴x＝﹣1±，针对于抛物线y＝x2﹣2x﹣n，令y＝0，则x2﹣2x﹣n＝0，∴x＝1±，∵抛物线y＝x2+2x﹣n＝（x+1）2﹣n﹣1，∴抛物线y＝x2+2x﹣n的顶点坐标为（﹣1，﹣n﹣1），抛物线y＝x2﹣2x﹣n＝（x﹣1）2﹣n﹣1，∴抛物线y＝x2﹣2x﹣n的顶点坐标为（1，﹣n﹣1），∴抛物线y＝x2+2x﹣n与抛物线y＝x2﹣2x﹣n的开口大小一样，与y轴相交于同一点，顶点到x轴的距离相等，
∴AB＝CD，∵AD＝2BC，∴抛物线y＝x2+2x﹣n与x轴的交点A在左侧，B在右侧，抛物线y＝x2﹣2x﹣n与x轴的交点C在左侧，D在右侧，∴A（﹣1﹣，0），B（﹣1+，0），C（1﹣，0），D（1+，0），AD＝1+﹣（﹣1﹣）＝2+2，BC＝﹣1+﹣（1﹣）＝﹣2+2，∴2+2＝2（﹣2+2），∴n＝8，
故答案为：8．
18、如图，抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣5交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点D（m，m+1）是抛物线上的点，则点D关于直线AC的对称点的坐标为 　（﹣5，﹣4）或（0，1） 　．
解：把点D（m，m+1）代入抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣5中得：m+1＝﹣m2﹣6m﹣5，解得：m1＝﹣1，m2＝﹣6，∴D（﹣1，0）或（﹣6，﹣5），当y＝0时，﹣x2﹣6x﹣5＝0，∴x＝﹣1或﹣5，∴A（﹣5，0），B（﹣1，0），当x＝0时，y＝﹣5，∴OC＝OA＝5，∴△AOC是等腰直角三角形，OAC＝45°，①如图1，D（﹣1，0），此时点D与B重合，连接AD'，
∵点D与D'关于直线AC对称，∴AC是BD的垂直平分线，∴AB＝AD'＝﹣1﹣（﹣5）＝4，且∠OAC＝∠CAD'＝45°，∴∠OAD'＝90°，∴D'（﹣5，﹣4）；
②如图2，D（﹣6，﹣5），∵点D（m，m+1），∴点D在直线y＝x+1上，此时直线y＝x+1过点B，∴BD⊥AC，即D'在直线y＝x+1上，∵A（﹣5，0），C（0，﹣5），则直线AC的解析式为：y＝﹣x﹣5，∵﹣x﹣5＝x+1，∴x＝﹣3，∴E（﹣3，﹣2），∵点D与D'关于直线AC对称，∴E是DD'的中点，∴D'（0，1），综上，点D关于直线AC的对称点的坐标为（﹣5，﹣4）或（0，1）．故答案为：（﹣5，﹣4）或（0，1）．
19、已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，点D（4，y）在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点，当BE+DE的值最小时，△ACE的面积为 　 4 　．
解：当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则A（﹣1，0），B（3，0），抛物线的对称轴为直线x＝1，当x＝0时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，则C（0，﹣3），当x＝4时，y＝x2﹣2x﹣3＝5，则D（4，5），连接AD交直线x＝1于E，交y轴于F点，如图，∵BE+DE＝EA+DE＝AD，∴此时BE+DE的值最小，设直线AD的解析式为y＝kx+b，
把A（﹣1，0），D（4，5）代入得，解得，∴直线AD的解析式为y＝x+1，
当x＝1时，y＝x+1＝2，则E（1，2），当x＝0时，y＝x+1＝1，则F（0，1），∴S△ACE＝S△ACF+S△ECF＝×4×1+×4×1＝4．故答案为4．
20、已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），顶点为（1，n）且4a﹣2b+c＝0，下列四个结论：①若n＞0，则abc＞0；②方程ax2+bx+c＝0的必有一根x＝4；③对于a的每一个确定的值，若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数）的根为整数，则p的值只有3个；④点A（x1，y1）和点B（x2，y2）是抛物线上两点，且x1＜x2，若a（x1+x2﹣2）＜0，则y1＞y2；其中正确的序号是 　②④ 　．
解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），顶点为（1，n）且4a﹣2b+c＝0，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，图象与x轴交于点（﹣2，0），若n＞0，则抛物线开口向下，交y轴的正半轴，∴a＜0，b＞0，c＞0，∴abc＜0，故①错误；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，图象与x轴交于点（﹣2，0），∴抛物线与x轴的另一个交点为（4，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的必有一根x＝4，故②正确；∵一元二次方程ax2+bx+c＝p的解就是抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝p的交点的横坐标，当交点横坐标为整数时，有无数个p值，
故③错误．当a＜0，a（x1+x2﹣2）＜0，∴x1+x2﹣2＞0，∴x2﹣1＞1﹣x1，∵x1＜x2，∴x1＜1＜x2，∵抛物线开口向下，对称轴为x＝1，∴y1＞y2，当a＞0时，a（x1+x2﹣2）＜0，
∴x1+x2﹣2＜0，∴x2﹣1＜1﹣x1，∵抛物线开口向下，对称轴为x＝1，∴y1＞y2，∴④正确．
故答案为：②④．
三。解答题（60分）
21、（8分）如图，已知经过原点的抛物线y＝2x2+mx与x轴交于另一点A（2，0）．
（1）求m的值和抛物线顶点M的坐标；
（2）求直线AM的解析式．
解：（1）∵抛物线y＝2x2+mx与x轴交于另一点A（2，0），∴2×22+2m＝0，
∴m＝﹣4，∴y＝2x2﹣4x＝2（x﹣1）2﹣2，∴顶点M的坐标为（1，﹣2），
（2）设直线AM的解析式为y＝kx+b（k≠0），∵图象过A（2，0），M（1，﹣2），
∴，解得，∴直线AM的解析式为y＝2x﹣4．
22、（8分）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D．
（1）求抛物线的解析式； （2）求△BOC的面积．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），
∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）由（1）知，y＝﹣x2﹣2x+3，∴点C的坐标为（0，3），∴OC＝3，∵点B的坐标为（﹣3，0），∴OB＝3，∵∠BOC＝90°，∴△BOC的面积是＝＝．
23、（8分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，一次函数y＝﹣x+3的图象经过点B，C，与抛物线对称轴交于点D，且S△ABD＝4，点P是抛物线y＝ax2+bx+c上的动点．
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）当点P在直线BC上方时，求点P到直线BC的距离的最大值．
解：（1）∵一次函数y＝﹣x+3的图象经过点B，C，∴C（0，3），B（3，0），设点A（m，0），∴抛物线对称轴为x＝（3+m），∴点D（+，﹣m+），∵S△ABD＝4，∴（3﹣m）（﹣m+）＝4，解得：m＝﹣1或m＝7（舍去），∴点A（﹣1，0），将A，B，C三点坐标代入解析式得：，解得：，∴抛物线的函数解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）过点P作PE∥OC交BC于E，PF⊥BC于F，∵OC＝OB＝3，∠COB＝90°，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵PE∥OC，∴∠PEF＝∠OBC＝45°，∴PF＝PE，∴点P到直线BC的距离的最大只需PE最大，设P（x，﹣x2+2x+3），则点E（x，﹣x+3），∴PE＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣）2+，∵﹣1＜0，∴当x＝时，PE最大值为，∴PF最大＝PE最大＝×＝，∴点P到直线BC的距离的最大值为．
24、（12分）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点M（x1，0），N（x2，0）（0＜x1＜x2），且经过点A（0，2）．过点A的直线l与x轴交于点C，与该函数的图象交于点B（异于点A）．满足△ACN是等腰直角三角形，记△AMN的面积为S1，△BMN的面积为S2，且S2＝S1．
（1）抛物线的开口方向　 　（填“上”或“下”）；
（2）求直线l相应的函数表达式；
（3）求该二次函数的表达式．
解：（1）如图，如二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点M（x1，0），N（x2，0）（0＜x1＜x2），且经过点A（0，2）．∴y＝ax2+bx+2，令y＝0，则ax2+bx+2＝0，∵0＜x1＜x2，∴＞0，∴a＞0，∴抛物线开口向上，答案为：上；
（2）①若∠ACN＝90°，则C与O重合，直线l与抛物线交于A点，因为直线l与该函数的图象交于点B（异于点A），所以不合题意，舍去；②若∠ANC＝90°，则C在x轴的下方，与题意不符，舍去；③若∠CAN＝90°，则∠ACN＝∠ANC＝45°，AO＝CO＝NO＝2，
∴C（﹣2，0），N（2，0），设直线l为y＝kx+b，将A（0，2）C（﹣2，0）代入得，
解得，∴直线l相应的函数表达式为y＝x+2；
（3）过B点作BH⊥x轴于H，S1＝，S2＝，∵S2＝S1，∴BH＝OA，
∵OA＝2，∴BH＝5，即B点的纵坐标为5，代入y＝x+2中，得x＝3，∴B（3，5），
将A、B、N三点的坐标代入y＝ax2+bx+c得，解得，∴抛物线的解析式为y＝2x2﹣5x+2．
25、（12分）某班数学兴趣小组对函数y＝|x2﹣2x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：
（1）自变量x的取值范围取足全体实数，x与y的几组对应值列表如下：其中m＝　 　．
x …… ﹣1 ﹣0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 ……
y …… 3 m 0 0.75 1 0.75 0 1.25 3 ……
（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．
（3）观察函数图象，写出函数的一条性质　 　；
（4）进一步探究函数图象解决问题：
①方程|x2﹣2x|＝有　 　个实数根；
②在（2）问的平面直角坐标系中画出直线y＝﹣x+1，根据图象写出方程|x2﹣2x|＝﹣x+1的一个正数根约为　 　．（精确到0.1）
解：（1）把x＝﹣0.5代入y＝|x2﹣2x|，得y＝|0.52﹣2×（﹣0.5）|＝1.25，即m＝1.25，
故答案为：1.25；（2）如图所示；（3）由函数图象知：当x＞2时，y随x的增大而增大；
（4）①由函数图象知：函数图象与x＝有4个交点，所以对应的方程|x2﹣2x|＝ 4个实数根．故答案为4；②如图，由图象和表格可知方程|x2﹣2x|＝﹣x+1的一个正数根约为0.4，故答案为0.4．
26、（12分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点在一次函数y＝kx+t（k≠0）的图象上，则称y＝ax2+bx+c（a≠0）为y＝kx+t（k≠0）的点雅抛物线，如：y＝x2+1是y＝x+1的点雅抛物线．
（1）若y＝x2﹣4是y＝﹣2x+p的点雅抛物线，求p的值；
（2）若二次函数y＝﹣x2+4x+7是经过点（﹣1，2）的一次函数y＝kx+t（k≠0）的点雅抛物线，求直线y＝kx+t（k≠0）与两坐标轴围成的三角形的面积；
（3）若函数y＝mx﹣3（m≠0）的点雅抛物线y＝x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4，求m，n的值．
解：（1）抛物线y＝x2﹣4的顶点坐标为（0，﹣4），把（0，﹣4）代入y＝﹣2x+p得﹣2×0+p＝﹣4，解得p＝﹣4；
（2）∵y＝﹣x2+4x+7＝﹣（x﹣2）2+11，∴抛物线的顶点坐标为（2，11），把（2，11），（﹣1，2）分别代入y＝kx+t得，解得，
∴一次函数解析式为y＝3x+5，当x＝0时，y＝5，直线y＝3x+5与y轴的交点坐标为（0，5），当y＝0时，3x+5＝0，解得x＝﹣，直线y＝3x+5与x轴的交点坐标为（﹣，0），
∴直线y＝3x+5与两坐标轴围成的三角形的面积＝×5×＝；
（3）当y＝0时，x2+2x+n＝0，解得x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣，∵﹣1+﹣（﹣1﹣）＝4，∴n＝﹣3，∴抛物线解析式为y＝x2+2x﹣3，∵y＝x2+2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），把（1，﹣4）代入y＝mx﹣3得m﹣3＝﹣4，解得m＝﹣1，∴m、n的值分别为﹣1，﹣3．