宜宾市叙州区2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试题参考答案：
1．C 2．B 3．C 4．D 5．B 6．B 7．D 8．C
9．ABD 10．CD 11．ABC 12．ABC
13．2 14． 15．2 16．
17．解：（1）因为，，
由直线的两点式方程可得：边所在直线的方程，化简可得；
（2）由，，
则中点，即，
则边上中线所在直线的方程为，化简可得.
18．解：（1）因为点，，，H是△ABC的垂心，
所以，所以，
∴直线的方程为即，
又∵，∴所在直线与x轴垂直，故直线BC的方程为，
联立直线与的方程得点的坐标为；
（2）边的中垂线方程为，
因为，所以边的中垂线的斜率等于，
因为边的中点为，
故边的中垂线的方程为：，
所以联立两条中垂线得解得，
所以圆心坐标为，半径，
则的外接圆的标准方程为.
19．解：（1）周冠军和挑战者甲、乙进行第一轮比赛的概率为，
至少有一位挑战者进入第二轮比赛的概率为,
所以周冠军和挑战者甲、乙进行第一轮比赛，且至少有一位挑战者进入第二轮比赛的概率为.
（2）恰有一位挑战者进入第二、三轮比赛并获得月冠军的概率是；
两位挑战者都进入第二轮比赛但只有一位进入第三轮比赛并获得月冠军的概率是；
两位挑战者都进入第三轮比赛的概率是.
故月冠军是挑战者的概率是.
20．解：（1）依题意可设圆心，则，
解得；故，圆的半径，圆的标准方程为.
（2）设，，由（1）可知，，.
联立方程组消去并化简得，所以 ，.
直线的方程为 直线的方程为
由知
由，化简得，故点在定直线上.
21．解：（1）证明：如图，以为坐标原点， 所在的直线分别为轴 轴 轴建立空间直角坐标系，，，，，，
由，可得，
所以，，又
所以，，
所以，，.又，平面，
所以平面，
所以无论取何值，总有平面.
（2）解：设是平面的法向量，
则，即，
令，所以是平面的一个法向量，
取平面的一个法向量为
假设存在符合条件的点，则，
化简得，解得或（舍去）.
综上，存在点，且当时，满足平面与平面的夹角为.
22．解：（1）依题意，显然当P在短轴端点时，的面积最大为，即，又由离心率为，，解得，
故椭圆的方程为；
（2）联立方程组，得，
因为直线l恒过定点，故直线与椭圆必有两个交点，设，
则，设中点为，则，，，设，
则，化简得.
当时，当且仅当时，即时等号成立，故；
当时，当且仅当时，即时等号成立，故；
综上，点的横坐标的取值范围为.宜宾市叙州区2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试题
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若复数满足，其中为虚数单位，则的共轭复数
A． B． C． D．
2．已知点，点，则直线的倾斜角为
A．30° B．60° C．120° D．135°
3．甲，乙两人独立地破解同一个谜题，破解出谜题的概率分别为，则谜题被破解的概率为
A． B． C． D．1
4．某公园对“十一”黄金周天假期的游客人数进行了统计，如下表：
日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日
旅游人数（万）
则该公园“十一”黄金周天假期游客人数的平均数和第百分位数分别是
A．万 万 B．万 万 C．万 万 D．万 万
5．若直线（）经过第一、二、三象限，则系数满足的条件为
A．同号 B．
C． D．
6．已知点，，直线与线段相交，则实数的取值范围是
A．或 B．或 C． D．
7．已知圆关于直线对称，则的最大值为
A．2 B．1 C． D．
8．已知、是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上任意一点，以为直径作圆，直线与圆交于点（点不在椭圆内部），则
A． B．4 C．3 D．1
二．选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，观察这两次骰子出现的点数．记事件A为“第一次骰子出现的点数为3”，事件B为“第二次骰子出现的点数为5”，事件C为“两次点数之和为8”，事件D为“两次点数之和为7”，则
A．A与B相互独立 B．A与D相互独立
C．B与C为互斥事件 D．C与D为互斥事件
10．下列说法中，正确的有
A．过点且在轴，轴截距相等的直线方程为
B．直线在轴的截距是2
C．直线的倾斜角为30°
D．过点且倾斜角为90°的直线方程为
11．已知椭圆的左、右焦点分别为，，圆，是椭圆上任意一点，则下列结论正确的是
A．若，则的面积为
B．若为圆上任意一点，则的最小值为0
C．椭圆的离心率为
D．
12．如图，已知正方体的棱长为2，E，F，G分别为AD，AB，的中点，以下说法正确的是
A．三棱锥的体积为1
B．平面EFG
C．过点E，F，G作正方体的截面，所得截面的面积是
D．平面EGF与平面ABCD夹角的余弦值为
第II卷 非选择题（90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．两条平行直线和的距离为 .
14．已知椭圆的左、右焦点为，，椭圆上一点满足，则 .
15．若圆与圆外切，则 .
16．点在动直线上的投影为点M，若点，那么的最小值为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知的三个顶点，，.
（1）求边所在直线的方程；
（2）求边上中线所在直线的方程.
18．（12分）已知点，，，H是的垂心．
(1)求点C的坐标；
(2)求的外接圆的方程．
19．（12分）“星光大道”是观众喜爱的央视栏目．现有位周冠军和甲、乙两位挑战者参加月冠军比赛，比赛规则是：第一轮甲、乙两位挑战者从位周冠军中各选一位进行比赛，胜者进入第二轮比赛，未被选中的周冠军直接进入第二轮比赛；第二轮比赛从位选手中淘汰一位，胜者进入第三轮比赛；第三轮比赛胜者为月冠军．每位选手被淘汰的可能性相同．
（1）求周冠军和挑战者甲、乙进行第一轮比赛，且至少有一位挑战者进入第二轮比赛的概率；
（2）求月冠军是挑战者的概率.
20．（12分）已知圆经过，两点，且圆心在直线上.
（1）求圆的标准方程.
（2）若圆与轴相交于，两点(在上方)，直线:与圆交于，两点，直线， 相交于点.请问点是否在定直线上 若是，求出该直线方程；若不是，说明理由.
21．（12分）如图，已知直三棱柱中，，， 分别是 的中点，点在直线上运动，且
(1)证明：无论取何值，总有平面；
(2)是否存在点，使得平面与平面的夹角为？若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由.
22．（12分）已知椭圆的左右焦点分别是和，离心率为，以在椭圆上，且的面积的最大值为.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线与椭圆交于不同的两点，若轴上存在点，使得，求点的横坐标的取值范围.
