2.2直线方程同步练习2023——2024学年上学期高二数学人教A版（2019）选择性必修1（含解析）
文档属性
| 名称 | 2.2直线方程同步练习2023——2024学年上学期高二数学人教A版（2019）选择性必修1（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 780.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-23 08:56:26 | ||
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文档简介
2.2直线方程同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．过点且方向向量为的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．设，则“”是直线：和直线：平行的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．直线在轴和轴上的截距分别为（ ）
A． B． C． D．
4．已知直线：，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ）
A． B． C． D．
5．若直线的倾斜角是，则（ ）
A． B． C．1 D．
6．已知直线恒过点，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．直线的一个方向向量是（ ）
A． B． C． D．
8．已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法错误的是（ ）
A．“”是直线与直线互相垂直的充要条件
B．若直线l的一个方向向量是，则直线l的斜率为
C．直线在y轴上的截距为3
D．经过点，倾斜角为的直线方程为
10．已知直线，其中，下列说法正确的是（ ）
A．当时，直线与直线垂直
B．若直线与直线平行，则
C．直线过定点
D．当时，直线在两坐标轴上的截距相等
11．已知直线，则（ ）
A．恒过 B．若，则
C．若，则 D．当时，不经过第三象限
12．下列说法正确的是（ ）
A．不能表示过点且斜率为的直线方程
B．在轴、轴上的截距分别为的直线方程为
C．直线与轴的交点到原点的距离为
D．设，，若直线与线段有交点，则的取值范围是
三、填空题
13．已知直线，直线，若，则= .
14．直线经过点，在轴有不为0且相等的截距，则直线的一般式方程为
15．已知直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为 .
16．无论取何值，直线恒经过一个定点，的坐标为 ，经过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 ．
四、解答题
17．（1）已知两点，求线段的垂直平分线的方程.
（2）求经过两条直线和的交点，且平行于直线的方程.
18．已知直线经过直线：与直线：的交点．
(1)若直线经过点，求直线在轴上的截距；
(2)若直线与直线：平行，求直线的一般式方桯．
19．设为实数，直线．
(1)求证：不论为何值，直线必过定点，并求出定点的坐标；
(2)过点引直线，使它与两坐标轴的正半轴的截距之和最小，求的方程．
20．已知点，，是的三个顶点．
(1)求三边的中点及、边的中线；
(2)求边的上高所在直线.
21．已知直线过点，
(1)求在坐标轴上截距相等的直线的方程.
(2)若直线与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，当的面积最小时，求直线的方程.
22．已知分别过定点的直线，与轴交于点
(1)若为中，边上的高所在直线，求边上的中线所在直线方程；
(2)若为中，边上的中线所在直线，求边上的高所在直线方程．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．D
【分析】根据方向向量确定出直线的斜率，然后可得到直线的点斜式方程，将其转化为一般式方程即可.
【详解】因为直线的方向向量为，所以，
所以直线方程为，即为，
故选：D.
2．C
【分析】先根据求解出的值，然后分析条件和结论的推出关系判断出属于何种条件.
【详解】若，则有，所以或，
当时，，故重合，舍去；
当时，，满足条件，
所以，
所以“”是“”的充要条件，
故选：C.
3．B
【分析】分别取和计算得到答案.
【详解】直线，当时，；当时，，
直线在轴和轴上的截距分别为，.
故选：B.
4．C
【分析】根据直线的方程确定直线所过的定点，利用斜率公式求得直线和的斜率，根据过定点的直线与线段总有交点分析运算即可得解.
【详解】解：
如上图，由题意，直线方程可化为：
，由解得：，
∴直线过定点.
又∵，∴，，
∴由直线与线段总有公共点知直线的斜率满足或，
当时，直线的斜率，
∴直线的倾斜角满足或，
即直线的倾斜角范围为.
故选：C.
5．D
【分析】根据倾斜角与斜率的关系求得正确答案.
【详解】直线的斜率为.
故选：D
6．C
【分析】把方程整理成关于的方程，然后由系数为0可得．
【详解】由，得，则得
所以的坐标为.
故选：C．
7．C
【分析】直接根据方向向量的定义解答即可．
【详解】直线可化成斜截式方程，
所以直线的斜率为，
由直线方向向量与斜率的关系，即直线的方向向量为,则斜率为,
所以选项中可以是直线的方向向量，即正确.
故选：.
8．B
【分析】根据题意，求得直线的斜率，即可得到倾斜角.
【详解】因为直线的方程为，则斜率，
且，，所以.
故选：B
9．ACD
【分析】由两直线垂直求出，再由充分条件和必要条件的定义可判断A；由直线的方向向量求出直线的斜率可判断B；求出直线在y轴上的截距可判断C；由点斜式方程成立的条件可判断D.
【详解】因为直线与直线互相垂直，
所以，解得：或，
“”是直线与直线互相垂直的充分不必要条件，故A错误；
直线l的一个方向向量是，则直线l的斜率为，故B正确；
令，，直线在y轴上的截距为，故C错误；
当倾斜角时，此时无意义，不能用表示，D错误.
故选：ACD.
10．AC
【分析】当时，利用直线的斜率关系可判断A选项；利用两直线平行求出实数的值，可判断B选项；求出直线所过定点的坐标，可判断C选项；利用截距式方程可判断D选项.
【详解】对于A选项，当时，直线的方程为，
直线的斜率为，直线的斜率为，
因为，此时，直线与直线垂直，A对；
对于B选项，若直线与直线平行，则，解得或，B错；
对于C选项，对于直线，由可得，
所以，直线过定点，C对；
对于D选项，当时，直线的方程为，即，
此时，直线在两坐标轴上的截距不相等，D错.
故选：AC.
11．BD
【分析】对于A，由直接求解即可；对于BC，根据平行和垂直时系数与系数间的关系解决即可；对于D，找出直线即可.
【详解】A:对于直线可化为：，
令，解得：，直线恒过定点.故A错误;
B: ，，解得：，此时也不重合，故B正确；
C：，，解得：，故C错误；
D：当时，即不经过第三象限，故D正确.
故选:BD.
12．AD
【分析】由不过点判断A，由截距式使用条件判断B，由斜截式截距符号判断C，根据直线过定点，由定点与线段上的点所成直线的斜率范围判断D.
【详解】选项A：过点且斜率为的直线方程为，而不过点，故A说法正确；
选项B：当轴、轴上的截距存在时，不能用表示，故B说法错误；
选项C：当时，直线与轴的交点到原点的距离为，故C说法错误；
选项D:直线过定点，
因为，，
所以该定点与线段上的点所成直线的斜率范围为，
所以要使直线与线段有交点，则或，
即，故D说法正确；
故选：AD
13．2
【分析】根据直线的平行可得出关于m的方程，求得m的值，检验后即得答案.
【详解】由题意直线，直线，
若，则有，
即，解得或，
当时，，直线，两直线重合，不合题意，
当时，，直线，则，
故
故答案为：2
14．
【分析】利用直线的截距式方程求解即得.
【详解】直线经过点，在轴有不为0且相等的截距，设直线的方程为，
于是，解得，即有，
所以直线的一般式方程为.
故答案为：
15．
【分析】整理直线知过定点，求出，由数形结合即可得解.
【详解】直线，过定点，
则，
直线和以为端点的线段相交，
由图可知，或，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
16． 或
【分析】将直线方程转化为，即可得出定点坐标，然后根据截距的概念分类讨论求直线方程即可.
【详解】直线，即，
所以直线过定点，即点的坐标.
过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程,
当截距为0时，直线的方程即：；
当截距不为0时，设截距为，直线方程为：，
点在直线上，所以，解得，
此时直线方程为，即，
故直线方程为：或.
故答案为：；或.
17．（1）；（2）.
【分析】（1）直接利用直线垂直的充要条件和中点坐标公式求出直线的方程；
（2）首先利用直线的交点和平行直线系求出直线的方程.
【详解】（1）已知两点，，，
故线段的垂直平分线的斜率，
由中点坐标公式求出线段的中点，
故线段的垂直平分线的方程为，整理得.
（2）根据题意，解得，
设经过点且平行于直线的直线方程为，
故，解得.
故所求的直线的方程为.
18．(1)
(2)
【分析】（1）由两点求出斜率，应用点斜式求出直线方程；
（2）根据两直线平行，得到平行的直线系方程，代点解出参数即可.
【详解】（1）由解得
即和的交点坐标为，
因为直线经过点，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，
令，得，所以直线在轴上的截距为．
（2）因为直线与直线：平行，
所以可设直线的方程为，
又直线经过点，所以，得，
所以直线的一般式方程为.
19．(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）列出方程，解方程组，可求出定点；
（2）设出直线的方程，将点代入，可得，利用基本不等式可求得取最小值时的，，从而得解.
【详解】（1）因为直线，
所以，对恒成立，
从而由，解得，从而直线过定点.
（2）由题意设，
因为直线过定点，所以，
与两坐标轴的正半轴的截距之和为，
，当且仅当，
即时等号成立，
从而的方程为，即.
20．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）利用中点坐标公式可求出三边的中点坐标，然后再分别求出边、边上中线斜率，利用直线点斜式求出中线方程；
（2）先求出边的斜率从而求解出其高所在直线的斜率，再用直线的点斜式求出高所在直线方程.
【详解】（1）由题知：，，，设三边上的中点分别为：，
所以：边上中点：，边上的中点：，
边上的中点：，
所以：边中线为：；
所以：边的中线斜率为：，得边的中线方程为：，即：.
（2）由题知：边的斜率为：，所以：边上的高所在直线的斜率为：，
又因为高所在直线过点，所以：上的高所在直线方程为：，即：.
21．(1)和
(2)
【分析】（1）利用截距式直线方程解题即可；
（2）利用点斜式直线方程以及基本不等式解题即可.
【详解】（1）当截距为零时，直线方程为，即；
当截距不为零时，设方程为，代入点，可得，
此时直线方程为 ；
所以在坐标轴上截距相等的直线的方程为和
（2）设直线的方程为，由题意可得，
令，则；令，则；即，
，
从而，
当且仅当，即时取到最小值12，
所以直线方程为，即.
22．(1)
(2)或.
【分析】（1）先求出，，再由为边上的高所在直线，所以，求出，再由点斜式方程求解即可；
（2）由为边上的中线所在直线，求出，再由点斜式方程求解即可；
【详解】（1）由可得直线恒过定点，
由可得：，
则，则直线恒过定点，
令中，所以，所以，
因为为边上的高所在直线，所以，解得：.
所以，，所以的中点为，又因为，
所以边上的中线所在直线方程为：，即.
（2）为边上的中线所在直线，因为，，
所以的中点为，即，
因为在上，所以，解得：，
解得：或，
当时，，，，，
所以边上的高所在直线方程为：，化简可得：，
当时，，，，，
所以边上的高所在直线方程为：，化简可得：，
所以边上的高所在直线方程为或.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．过点且方向向量为的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．设，则“”是直线：和直线：平行的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．直线在轴和轴上的截距分别为（ ）
A． B． C． D．
4．已知直线：，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ）
A． B． C． D．
5．若直线的倾斜角是，则（ ）
A． B． C．1 D．
6．已知直线恒过点，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．直线的一个方向向量是（ ）
A． B． C． D．
8．已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法错误的是（ ）
A．“”是直线与直线互相垂直的充要条件
B．若直线l的一个方向向量是，则直线l的斜率为
C．直线在y轴上的截距为3
D．经过点，倾斜角为的直线方程为
10．已知直线，其中，下列说法正确的是（ ）
A．当时，直线与直线垂直
B．若直线与直线平行，则
C．直线过定点
D．当时，直线在两坐标轴上的截距相等
11．已知直线，则（ ）
A．恒过 B．若，则
C．若，则 D．当时，不经过第三象限
12．下列说法正确的是（ ）
A．不能表示过点且斜率为的直线方程
B．在轴、轴上的截距分别为的直线方程为
C．直线与轴的交点到原点的距离为
D．设，，若直线与线段有交点，则的取值范围是
三、填空题
13．已知直线，直线，若，则= .
14．直线经过点，在轴有不为0且相等的截距，则直线的一般式方程为
15．已知直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为 .
16．无论取何值，直线恒经过一个定点，的坐标为 ，经过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 ．
四、解答题
17．（1）已知两点，求线段的垂直平分线的方程.
（2）求经过两条直线和的交点，且平行于直线的方程.
18．已知直线经过直线：与直线：的交点．
(1)若直线经过点，求直线在轴上的截距；
(2)若直线与直线：平行，求直线的一般式方桯．
19．设为实数，直线．
(1)求证：不论为何值，直线必过定点，并求出定点的坐标；
(2)过点引直线，使它与两坐标轴的正半轴的截距之和最小，求的方程．
20．已知点，，是的三个顶点．
(1)求三边的中点及、边的中线；
(2)求边的上高所在直线.
21．已知直线过点，
(1)求在坐标轴上截距相等的直线的方程.
(2)若直线与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，当的面积最小时，求直线的方程.
22．已知分别过定点的直线，与轴交于点
(1)若为中，边上的高所在直线，求边上的中线所在直线方程；
(2)若为中，边上的中线所在直线，求边上的高所在直线方程．
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第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．D
【分析】根据方向向量确定出直线的斜率，然后可得到直线的点斜式方程，将其转化为一般式方程即可.
【详解】因为直线的方向向量为，所以，
所以直线方程为，即为，
故选：D.
2．C
【分析】先根据求解出的值，然后分析条件和结论的推出关系判断出属于何种条件.
【详解】若，则有，所以或，
当时，，故重合，舍去；
当时，，满足条件，
所以，
所以“”是“”的充要条件，
故选：C.
3．B
【分析】分别取和计算得到答案.
【详解】直线，当时，；当时，，
直线在轴和轴上的截距分别为，.
故选：B.
4．C
【分析】根据直线的方程确定直线所过的定点，利用斜率公式求得直线和的斜率，根据过定点的直线与线段总有交点分析运算即可得解.
【详解】解：
如上图，由题意，直线方程可化为：
，由解得：，
∴直线过定点.
又∵，∴，，
∴由直线与线段总有公共点知直线的斜率满足或，
当时，直线的斜率，
∴直线的倾斜角满足或，
即直线的倾斜角范围为.
故选：C.
5．D
【分析】根据倾斜角与斜率的关系求得正确答案.
【详解】直线的斜率为.
故选：D
6．C
【分析】把方程整理成关于的方程，然后由系数为0可得．
【详解】由，得，则得
所以的坐标为.
故选：C．
7．C
【分析】直接根据方向向量的定义解答即可．
【详解】直线可化成斜截式方程，
所以直线的斜率为，
由直线方向向量与斜率的关系，即直线的方向向量为,则斜率为,
所以选项中可以是直线的方向向量，即正确.
故选：.
8．B
【分析】根据题意，求得直线的斜率，即可得到倾斜角.
【详解】因为直线的方程为，则斜率，
且，，所以.
故选：B
9．ACD
【分析】由两直线垂直求出，再由充分条件和必要条件的定义可判断A；由直线的方向向量求出直线的斜率可判断B；求出直线在y轴上的截距可判断C；由点斜式方程成立的条件可判断D.
【详解】因为直线与直线互相垂直，
所以，解得：或，
“”是直线与直线互相垂直的充分不必要条件，故A错误；
直线l的一个方向向量是，则直线l的斜率为，故B正确；
令，，直线在y轴上的截距为，故C错误；
当倾斜角时，此时无意义，不能用表示，D错误.
故选：ACD.
10．AC
【分析】当时，利用直线的斜率关系可判断A选项；利用两直线平行求出实数的值，可判断B选项；求出直线所过定点的坐标，可判断C选项；利用截距式方程可判断D选项.
【详解】对于A选项，当时，直线的方程为，
直线的斜率为，直线的斜率为，
因为，此时，直线与直线垂直，A对；
对于B选项，若直线与直线平行，则，解得或，B错；
对于C选项，对于直线，由可得，
所以，直线过定点，C对；
对于D选项，当时，直线的方程为，即，
此时，直线在两坐标轴上的截距不相等，D错.
故选：AC.
11．BD
【分析】对于A，由直接求解即可；对于BC，根据平行和垂直时系数与系数间的关系解决即可；对于D，找出直线即可.
【详解】A:对于直线可化为：，
令，解得：，直线恒过定点.故A错误;
B: ，，解得：，此时也不重合，故B正确；
C：，，解得：，故C错误；
D：当时，即不经过第三象限，故D正确.
故选:BD.
12．AD
【分析】由不过点判断A，由截距式使用条件判断B，由斜截式截距符号判断C，根据直线过定点，由定点与线段上的点所成直线的斜率范围判断D.
【详解】选项A：过点且斜率为的直线方程为，而不过点，故A说法正确；
选项B：当轴、轴上的截距存在时，不能用表示，故B说法错误；
选项C：当时，直线与轴的交点到原点的距离为，故C说法错误；
选项D:直线过定点，
因为，，
所以该定点与线段上的点所成直线的斜率范围为，
所以要使直线与线段有交点，则或，
即，故D说法正确；
故选：AD
13．2
【分析】根据直线的平行可得出关于m的方程，求得m的值，检验后即得答案.
【详解】由题意直线，直线，
若，则有，
即，解得或，
当时，，直线，两直线重合，不合题意，
当时，，直线，则，
故
故答案为：2
14．
【分析】利用直线的截距式方程求解即得.
【详解】直线经过点，在轴有不为0且相等的截距，设直线的方程为，
于是，解得，即有，
所以直线的一般式方程为.
故答案为：
15．
【分析】整理直线知过定点，求出，由数形结合即可得解.
【详解】直线，过定点，
则，
直线和以为端点的线段相交，
由图可知，或，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
16． 或
【分析】将直线方程转化为，即可得出定点坐标，然后根据截距的概念分类讨论求直线方程即可.
【详解】直线，即，
所以直线过定点，即点的坐标.
过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程,
当截距为0时，直线的方程即：；
当截距不为0时，设截距为，直线方程为：，
点在直线上，所以，解得，
此时直线方程为，即，
故直线方程为：或.
故答案为：；或.
17．（1）；（2）.
【分析】（1）直接利用直线垂直的充要条件和中点坐标公式求出直线的方程；
（2）首先利用直线的交点和平行直线系求出直线的方程.
【详解】（1）已知两点，，，
故线段的垂直平分线的斜率，
由中点坐标公式求出线段的中点，
故线段的垂直平分线的方程为，整理得.
（2）根据题意，解得，
设经过点且平行于直线的直线方程为，
故，解得.
故所求的直线的方程为.
18．(1)
(2)
【分析】（1）由两点求出斜率，应用点斜式求出直线方程；
（2）根据两直线平行，得到平行的直线系方程，代点解出参数即可.
【详解】（1）由解得
即和的交点坐标为，
因为直线经过点，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，
令，得，所以直线在轴上的截距为．
（2）因为直线与直线：平行，
所以可设直线的方程为，
又直线经过点，所以，得，
所以直线的一般式方程为.
19．(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）列出方程，解方程组，可求出定点；
（2）设出直线的方程，将点代入，可得，利用基本不等式可求得取最小值时的，，从而得解.
【详解】（1）因为直线，
所以，对恒成立，
从而由，解得，从而直线过定点.
（2）由题意设，
因为直线过定点，所以，
与两坐标轴的正半轴的截距之和为，
，当且仅当，
即时等号成立，
从而的方程为，即.
20．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）利用中点坐标公式可求出三边的中点坐标，然后再分别求出边、边上中线斜率，利用直线点斜式求出中线方程；
（2）先求出边的斜率从而求解出其高所在直线的斜率，再用直线的点斜式求出高所在直线方程.
【详解】（1）由题知：，，，设三边上的中点分别为：，
所以：边上中点：，边上的中点：，
边上的中点：，
所以：边中线为：；
所以：边的中线斜率为：，得边的中线方程为：，即：.
（2）由题知：边的斜率为：，所以：边上的高所在直线的斜率为：，
又因为高所在直线过点，所以：上的高所在直线方程为：，即：.
21．(1)和
(2)
【分析】（1）利用截距式直线方程解题即可；
（2）利用点斜式直线方程以及基本不等式解题即可.
【详解】（1）当截距为零时，直线方程为，即；
当截距不为零时，设方程为，代入点，可得，
此时直线方程为 ；
所以在坐标轴上截距相等的直线的方程为和
（2）设直线的方程为，由题意可得，
令，则；令，则；即，
，
从而，
当且仅当，即时取到最小值12，
所以直线方程为，即.
22．(1)
(2)或.
【分析】（1）先求出，，再由为边上的高所在直线，所以，求出，再由点斜式方程求解即可；
（2）由为边上的中线所在直线，求出，再由点斜式方程求解即可；
【详解】（1）由可得直线恒过定点，
由可得：，
则，则直线恒过定点，
令中，所以，所以，
因为为边上的高所在直线，所以，解得：.
所以，，所以的中点为，又因为，
所以边上的中线所在直线方程为：，即.
（2）为边上的中线所在直线，因为，，
所以的中点为，即，
因为在上，所以，解得：，
解得：或，
当时，，，，，
所以边上的高所在直线方程为：，化简可得：，
当时，，，，，
所以边上的高所在直线方程为：，化简可得：，
所以边上的高所在直线方程为或.
答案第1页，共2页
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