2.3直线的交点坐标与距离公式 同步练习2023——2024学年上学期高二数学人教A版（2019）选择性必修1（含解析）
文档属性
| 名称 | 2.3直线的交点坐标与距离公式 同步练习2023——2024学年上学期高二数学人教A版（2019）选择性必修1（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 730.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-23 09:19:47 | ||
图片预览
文档简介
2.3直线的交点坐标与距离公式同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．两条平行直线与之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．直线与直线的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．已知直线：与直线：的交点在轴上，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，两点到直线的距离相等，则的值为（ ）
A．或 B．3或4 C．3 D．4
6．已知点到直线：和直线：的距离相等，则点到坐标原点距离的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．4
7．求经过两直线：和：的交点P，且与直线：垂直的直线l的方程．（ ）
A． B．
C． D．
8．已知直线l的一个方向向量为，且l经过点，则下列结论中正确的是（ ）
A．l的倾斜角等于 B．l在x轴上的截距等于
C．l与直线垂直 D．原点到直线l的距离为1
二、多选题
9．在空间直角坐标系中，，，，则（ ）
A．直线OB与平面ABC所成角的正弦值为
B．点O到平面ABC的距离为
C．异面直线OA与BC所成角的余弦值为
D．点A到直线OB的距离为2
10．下列说法错误的是（ ）
A．任意一条直线都有倾斜角和斜率
B．直线与直线的距离为1
C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积为2
D．经过且在x轴，y轴上截距相等的直线方程为
11．已知，直线：，直线：，则（ ）
A．若，则或 B．若，则与间距离为
C．若，则或 D．若在x轴和y轴上的截距相等，则
12．已知直线，直线，则（ ）
A．恒过定点 B．当时，
C．当时，或 D．点到距离的最大值为4
三、填空题
13．设复数和复数在复平面上分别对应点和点，则两点间的距离为 ．
14．直线恒过定点
15．已知两定点，且点是直线上任意一点，则的最小值是 ．
16．若直线与平行，则实数的值为 ；与间的距离为 ．
四、解答题
17．已知△ABC的三个顶点分别为．
(1)求边上的高所在直线的方程（化为一般式）；
(2)求的面积．
18．已知点、．
(1)求线段的垂直平分线的直线方程；
(2)若点、到直线的距离相等，求实数的值．
19．已知直线与直线交于点.
(1)求过点且平行于直线的直线的方程；
(2)求过点并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的方程.
20．已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为．求：
(1)直线的一般式方程；
(2)求的边的长．
21．已知直线：，直线：，其中a，b均不为0.
(1)若，且过点，求a，b；
(2)若，且在两坐标轴上的截距相等，求与之间的距离.
22．已知三个顶点分别为，，．
(1)求的面积；
(2)过内一点有一条直线l与边AB，AC分别交于点M，N，且点P平分线段MN，求直线l的方程．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．D
【分析】由表示直线上一动点到定点的距离之和，利用数形结合法求解.
【详解】解：表示直线上一动点到定点的距离之和，如图所示：
设点关于直线的对称点为，
则，解得，
所以对称点为，则
由图知：的最小值为，
故选：D
2．D
【分析】利用平行线间的距离公式可求得结果.
【详解】直线的方程可化为，
因此，两条平行直线与之间的距离为.
故选：D.
3．D
【分析】联立方程，解之即可.
【详解】由，解得，则交点坐标为.
故选：D
4．D
【分析】求出直线与轴的交点坐标，代入直线得，即可求出直线斜率.
【详解】在直线方程中，令，得，
即直线与轴的交点为，
因为点在直线上，所以，即，
所以：，即，所以直线的斜率为.
故选：D.
5．A
【分析】根据点到直线的距离公式建立方程，解之即可求解.
【详解】由题意知，
，整理得，
即，解得或.
故选：A.
6．C
【分析】由两直线平行可判断点所在直线，垂直时距离最小，再由点到直线的距离公式求出即可.
【详解】因为直线：和直线：平行，且点到他们的距离相等，
所以点在直线上，
当时，点到坐标原点距离的最小，
为
故选：C
7．A
【分析】先联立直线的方程，求出点坐标.设的方程为，代入点坐标，求出，即可得出答案.
【详解】联立直线的方程可得，，
所以点坐标为.
由已知可设直线的方程为，
代入点坐标，可得，
所以，，
直线的方程为.
故选：A.
8．C
【分析】根据直线的方向向量，求出斜率，即可得出倾斜角，判断A项；将斜率与点的坐标代入点斜式方程，令，求解即可判断B项；将直线方程化为斜截式，求出斜率，即可判断C项；根据点到直线的距离公式，求解即可判断D项.
【详解】对于A项，由已知可得，直线的斜率，所以l的倾斜角等于，故A项错误；
对于B项，因为直线l经过点，直线的斜率，
代入点斜式方程可得，，
整理可得，.
令，可得l在x轴上的截距等于，故B项错误；
对于C项，将直线化为斜截式方程可得，
，斜率为.
因为，所以l与直线垂直，故C正确；
对于D项，直线方程为，
原点到直线的距离，故D错误.
故选：C.
9．BC
【分析】利用线面角公式计算A，利用点到面的距离公式计算B，利用异面直线夹角公式计算C，利用点到线的距离公式计算D.
【详解】，．
设平面ABC的法向量为，
则 令，得．
设直线OB与平面ABC所成的角为θ，且，
则，
点O到平面ABC的距离为，A错误，B正确．
因为，
所以异面直线OA与BC所成角的余弦值为，C正确．
设，
则点A到直线OB的距离，D错误．
故选：BC.
10．ABD
【分析】举反例否定选项A；求得直线与直线的距离判断选项B；求得直线与两坐标轴围成的三角形的面积判断选项C；求得经过且在x轴，y轴上截距相等的直线方程判断选项D.
【详解】选项A：当直线倾斜角为时，该直线斜率不存在.判断错误；
选项B：直线与直线的距离为.判断错误；
选项C：直线与两坐标轴的交点分别为和，
则此直线与两坐标轴围成的三角形的面积为.判断正确；
选项D：经过且在x轴，y轴上截距相等的直线方程
为和.判断错误.
故选：ABD
11．BC
【分析】利用直线的平行、直线的垂直、平行直线的距离公式、直线的一般式方程和截距式方程逐项分析运算判断即可得解.
【详解】对于选项A，由题意，若，则有，
解得：或，
当时，直线：和直线：重合，
当时，直线：和直线：平行，
综上，，故A错误；
对于选项B，由A知，当时，直线：和直线：平行，
直线方程可化为，由平行直线间的距离公式可求得：
与间距离为，故B正确；
对于选项C，直线：和直线：垂直，
则有，解得：或，所以，或，故C正确；
对于选项D，当时，直线：过原点，在x轴和y轴上的截距相等，
当时，直线方程可化为截距式方程，则有，
解得：，
综上，若在x轴和y轴上的截距相等，则或，故D错误.
故选：BC.
12．AB
【分析】根据直线经过定点即可求解A，根据垂直和平行满足的关系即可求解BC，根据直线经过定点，结合垂直关系求解D.
【详解】A选项：，所以过，所以A正确；
B选项：，所以，所以B正确；
C选项：令，解得或，
当时，；当时，与重合，所以C错误；
D选项：由于恒过定点，所以最大距离为到的距离，等于5，所以D错误.
故选：AB
13．
【分析】根据复数对应的点，应用两点间距离公式求解即可.
【详解】复数对应点,复数对应点，
则.
故答案为：.
14．
【分析】变换直线，转化求解方程组问题，即可求解.
【详解】直线方程化简为，
即，
当，解得：，
所以直线恒过定点.
故答案为：
15．
【分析】确定点关于直线的对称点为，，计算得到答案.
【详解】设点关于直线的对称点为，
则，解得，即，
，当且仅当共线时等号成立.
故答案为：.
16． /
【分析】根据两直线平行的公式求解，再根据平行线间的距离公式即可得解.
【详解】因为直线与平行，
所以，解得或，
经检验，当时，两直线重合，
所以，
故，，
所以与间的距离为.
故答案为：；.
17．(1)
(2)5
【分析】（1）根据直线的斜率，即可求解高的斜率，即可求直线方程；
（2）利用距离公式，即可求△ABC的面积.
【详解】（1）直线的斜率为，因此边上的高所在直线的斜率为，
则边上的高所在直线的方程为，即.
（2）直线的方程为，即，
于是点到直线的距离为：，而，
所以的面积.
18．(1)
(2)或
【分析】（1）求出直线的斜率与线段的中点，即可求出线段的垂直平分线的方程；
（2）求出线段的中点的坐标，分两种情况讨论，一是点在直线上，二是直线与直线平行，即可求得实数的值.
【详解】（1）解：线段的中点为，，
故线段的中垂线的方程为，即.
（2）解：由条件线段的中点为在直线上或线段所在直线与直线平行，
若线段的中点为在直线上，则，解得；
线段所在直线与直线平行，则，解得．
综上所述，或.
19．(1)
(2)或
【分析】（1）首先求得交点坐标，然后利用待定系数法确定直线方程即可；
（2）讨论直线在两坐标轴上的截距是否为0进行求解即可．
【详解】（1）联立，解得，即，
由题意，设直线的方程为，
将代入直线方程，得，即，
所以直线的方程为.
（2）当直线在两坐标轴上的截距为0时，直线的斜率为，
则直线的方程为，即；
当直线在两坐标轴上的截距不为0时，设直线的方程为，
将代入直线方程，得，即，
所以直线的方程为，即.
综上所述，直线的方程为或.
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据垂直确定，再计算直线方程得到答案.
（2）设，根据的中点在直线上，结合在上，得到答案.
【详解】（1）边上的高所在的直线方程为，斜率，故，
直线方程为，即；
（2）设，则的中点坐标为，
则，解得，即，.
21．(1)，
(2)
【分析】（1）先根据过点求出，再根据两直线垂直的充要条件即可求出；
（2）先根据在两坐标轴上的截距相等求出，再根据两直线平行的充要条件求出，再根据平行直线之间的距离公式即可得解.
【详解】（1）当过点时，，所以，
因为，所以，即，于是；
（2）由：，
令，则，令，则，
因为在两坐标轴上的截距相等，所以，故；
又，所以，所以，
则：与：之间的距离，
所以与之间的距离为.
22．(1)6
(2)
【分析】（1）求出直线AB的方程、点C到直线AB的距离、，由可得答案；
（2）求出直线AC的方程，设，则，根据点M，N分别在直线AB，AC上，可得可得答案.
【详解】（1），，，
直线AB的斜率，
直线AB的方程为，
点C到直线AB的距离，
，
；
（2）由题知，直线AB的斜率，
直线AC的方程为，
设，则，
∵点M，N分别在直线AB，AC上，
，解得，
直线l的斜率，
直线l的方程为，
即．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．两条平行直线与之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．直线与直线的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．已知直线：与直线：的交点在轴上，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，两点到直线的距离相等，则的值为（ ）
A．或 B．3或4 C．3 D．4
6．已知点到直线：和直线：的距离相等，则点到坐标原点距离的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．4
7．求经过两直线：和：的交点P，且与直线：垂直的直线l的方程．（ ）
A． B．
C． D．
8．已知直线l的一个方向向量为，且l经过点，则下列结论中正确的是（ ）
A．l的倾斜角等于 B．l在x轴上的截距等于
C．l与直线垂直 D．原点到直线l的距离为1
二、多选题
9．在空间直角坐标系中，，，，则（ ）
A．直线OB与平面ABC所成角的正弦值为
B．点O到平面ABC的距离为
C．异面直线OA与BC所成角的余弦值为
D．点A到直线OB的距离为2
10．下列说法错误的是（ ）
A．任意一条直线都有倾斜角和斜率
B．直线与直线的距离为1
C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积为2
D．经过且在x轴，y轴上截距相等的直线方程为
11．已知，直线：，直线：，则（ ）
A．若，则或 B．若，则与间距离为
C．若，则或 D．若在x轴和y轴上的截距相等，则
12．已知直线，直线，则（ ）
A．恒过定点 B．当时，
C．当时，或 D．点到距离的最大值为4
三、填空题
13．设复数和复数在复平面上分别对应点和点，则两点间的距离为 ．
14．直线恒过定点
15．已知两定点，且点是直线上任意一点，则的最小值是 ．
16．若直线与平行，则实数的值为 ；与间的距离为 ．
四、解答题
17．已知△ABC的三个顶点分别为．
(1)求边上的高所在直线的方程（化为一般式）；
(2)求的面积．
18．已知点、．
(1)求线段的垂直平分线的直线方程；
(2)若点、到直线的距离相等，求实数的值．
19．已知直线与直线交于点.
(1)求过点且平行于直线的直线的方程；
(2)求过点并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的方程.
20．已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为．求：
(1)直线的一般式方程；
(2)求的边的长．
21．已知直线：，直线：，其中a，b均不为0.
(1)若，且过点，求a，b；
(2)若，且在两坐标轴上的截距相等，求与之间的距离.
22．已知三个顶点分别为，，．
(1)求的面积；
(2)过内一点有一条直线l与边AB，AC分别交于点M，N，且点P平分线段MN，求直线l的方程．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．D
【分析】由表示直线上一动点到定点的距离之和，利用数形结合法求解.
【详解】解：表示直线上一动点到定点的距离之和，如图所示：
设点关于直线的对称点为，
则，解得，
所以对称点为，则
由图知：的最小值为，
故选：D
2．D
【分析】利用平行线间的距离公式可求得结果.
【详解】直线的方程可化为，
因此，两条平行直线与之间的距离为.
故选：D.
3．D
【分析】联立方程，解之即可.
【详解】由，解得，则交点坐标为.
故选：D
4．D
【分析】求出直线与轴的交点坐标，代入直线得，即可求出直线斜率.
【详解】在直线方程中，令，得，
即直线与轴的交点为，
因为点在直线上，所以，即，
所以：，即，所以直线的斜率为.
故选：D.
5．A
【分析】根据点到直线的距离公式建立方程，解之即可求解.
【详解】由题意知，
，整理得，
即，解得或.
故选：A.
6．C
【分析】由两直线平行可判断点所在直线，垂直时距离最小，再由点到直线的距离公式求出即可.
【详解】因为直线：和直线：平行，且点到他们的距离相等，
所以点在直线上，
当时，点到坐标原点距离的最小，
为
故选：C
7．A
【分析】先联立直线的方程，求出点坐标.设的方程为，代入点坐标，求出，即可得出答案.
【详解】联立直线的方程可得，，
所以点坐标为.
由已知可设直线的方程为，
代入点坐标，可得，
所以，，
直线的方程为.
故选：A.
8．C
【分析】根据直线的方向向量，求出斜率，即可得出倾斜角，判断A项；将斜率与点的坐标代入点斜式方程，令，求解即可判断B项；将直线方程化为斜截式，求出斜率，即可判断C项；根据点到直线的距离公式，求解即可判断D项.
【详解】对于A项，由已知可得，直线的斜率，所以l的倾斜角等于，故A项错误；
对于B项，因为直线l经过点，直线的斜率，
代入点斜式方程可得，，
整理可得，.
令，可得l在x轴上的截距等于，故B项错误；
对于C项，将直线化为斜截式方程可得，
，斜率为.
因为，所以l与直线垂直，故C正确；
对于D项，直线方程为，
原点到直线的距离，故D错误.
故选：C.
9．BC
【分析】利用线面角公式计算A，利用点到面的距离公式计算B，利用异面直线夹角公式计算C，利用点到线的距离公式计算D.
【详解】，．
设平面ABC的法向量为，
则 令，得．
设直线OB与平面ABC所成的角为θ，且，
则，
点O到平面ABC的距离为，A错误，B正确．
因为，
所以异面直线OA与BC所成角的余弦值为，C正确．
设，
则点A到直线OB的距离，D错误．
故选：BC.
10．ABD
【分析】举反例否定选项A；求得直线与直线的距离判断选项B；求得直线与两坐标轴围成的三角形的面积判断选项C；求得经过且在x轴，y轴上截距相等的直线方程判断选项D.
【详解】选项A：当直线倾斜角为时，该直线斜率不存在.判断错误；
选项B：直线与直线的距离为.判断错误；
选项C：直线与两坐标轴的交点分别为和，
则此直线与两坐标轴围成的三角形的面积为.判断正确；
选项D：经过且在x轴，y轴上截距相等的直线方程
为和.判断错误.
故选：ABD
11．BC
【分析】利用直线的平行、直线的垂直、平行直线的距离公式、直线的一般式方程和截距式方程逐项分析运算判断即可得解.
【详解】对于选项A，由题意，若，则有，
解得：或，
当时，直线：和直线：重合，
当时，直线：和直线：平行，
综上，，故A错误；
对于选项B，由A知，当时，直线：和直线：平行，
直线方程可化为，由平行直线间的距离公式可求得：
与间距离为，故B正确；
对于选项C，直线：和直线：垂直，
则有，解得：或，所以，或，故C正确；
对于选项D，当时，直线：过原点，在x轴和y轴上的截距相等，
当时，直线方程可化为截距式方程，则有，
解得：，
综上，若在x轴和y轴上的截距相等，则或，故D错误.
故选：BC.
12．AB
【分析】根据直线经过定点即可求解A，根据垂直和平行满足的关系即可求解BC，根据直线经过定点，结合垂直关系求解D.
【详解】A选项：，所以过，所以A正确；
B选项：，所以，所以B正确；
C选项：令，解得或，
当时，；当时，与重合，所以C错误；
D选项：由于恒过定点，所以最大距离为到的距离，等于5，所以D错误.
故选：AB
13．
【分析】根据复数对应的点，应用两点间距离公式求解即可.
【详解】复数对应点,复数对应点，
则.
故答案为：.
14．
【分析】变换直线，转化求解方程组问题，即可求解.
【详解】直线方程化简为，
即，
当，解得：，
所以直线恒过定点.
故答案为：
15．
【分析】确定点关于直线的对称点为，，计算得到答案.
【详解】设点关于直线的对称点为，
则，解得，即，
，当且仅当共线时等号成立.
故答案为：.
16． /
【分析】根据两直线平行的公式求解，再根据平行线间的距离公式即可得解.
【详解】因为直线与平行，
所以，解得或，
经检验，当时，两直线重合，
所以，
故，，
所以与间的距离为.
故答案为：；.
17．(1)
(2)5
【分析】（1）根据直线的斜率，即可求解高的斜率，即可求直线方程；
（2）利用距离公式，即可求△ABC的面积.
【详解】（1）直线的斜率为，因此边上的高所在直线的斜率为，
则边上的高所在直线的方程为，即.
（2）直线的方程为，即，
于是点到直线的距离为：，而，
所以的面积.
18．(1)
(2)或
【分析】（1）求出直线的斜率与线段的中点，即可求出线段的垂直平分线的方程；
（2）求出线段的中点的坐标，分两种情况讨论，一是点在直线上，二是直线与直线平行，即可求得实数的值.
【详解】（1）解：线段的中点为，，
故线段的中垂线的方程为，即.
（2）解：由条件线段的中点为在直线上或线段所在直线与直线平行，
若线段的中点为在直线上，则，解得；
线段所在直线与直线平行，则，解得．
综上所述，或.
19．(1)
(2)或
【分析】（1）首先求得交点坐标，然后利用待定系数法确定直线方程即可；
（2）讨论直线在两坐标轴上的截距是否为0进行求解即可．
【详解】（1）联立，解得，即，
由题意，设直线的方程为，
将代入直线方程，得，即，
所以直线的方程为.
（2）当直线在两坐标轴上的截距为0时，直线的斜率为，
则直线的方程为，即；
当直线在两坐标轴上的截距不为0时，设直线的方程为，
将代入直线方程，得，即，
所以直线的方程为，即.
综上所述，直线的方程为或.
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据垂直确定，再计算直线方程得到答案.
（2）设，根据的中点在直线上，结合在上，得到答案.
【详解】（1）边上的高所在的直线方程为，斜率，故，
直线方程为，即；
（2）设，则的中点坐标为，
则，解得，即，.
21．(1)，
(2)
【分析】（1）先根据过点求出，再根据两直线垂直的充要条件即可求出；
（2）先根据在两坐标轴上的截距相等求出，再根据两直线平行的充要条件求出，再根据平行直线之间的距离公式即可得解.
【详解】（1）当过点时，，所以，
因为，所以，即，于是；
（2）由：，
令，则，令，则，
因为在两坐标轴上的截距相等，所以，故；
又，所以，所以，
则：与：之间的距离，
所以与之间的距离为.
22．(1)6
(2)
【分析】（1）求出直线AB的方程、点C到直线AB的距离、，由可得答案；
（2）求出直线AC的方程，设，则，根据点M，N分别在直线AB，AC上，可得可得答案.
【详解】（1），，，
直线AB的斜率，
直线AB的方程为，
点C到直线AB的距离，
，
；
（2）由题知，直线AB的斜率，
直线AC的方程为，
设，则，
∵点M，N分别在直线AB，AC上，
，解得，
直线l的斜率，
直线l的方程为，
即．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页