安徽省合肥市长丰县北城衡安学校2023-2024学年高三上学期期中考试数学试卷（含解析）

长丰县北城衡安学校2023-2024学年高三上学期期中考试
数学试卷
满分：150 时间：120分钟
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8个小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．已知集合，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知a，，，若，则的虛部是（ ）
A．2 B．-2 C．-2i D．2i
3．设平面向量，，且，则=（ ）
A．1 B．14 C． D．
4．已知函数，若实数a，b，c互不相等，且，则的 取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知一元二次不等式的解集为，则有（ ）
A．最小值 B．最大值 C．最小值2 D．最大值2
6．若，则（ ）
A． B． C． D．
7．的内角的对边分别是，且，边上的角平分线的长度为 ，且，则（ ）
A． B． C．3 D．或3
8．已知定义在上的函数满足，且，，， ．若，恒成立，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共4个小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）
9．下列命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．若复数满足，则
C．若，则复数一定为实数
D．若复数满足，则最大值为
10．下列说法正确的是（ ）
A．已知向量，则“的夹角为锐角”是“”的充要条件
B．已知向量，若，则
C．若向量，则在方向上的投影向量坐标为
D．在中，向量与满足，则为等边三角形
11．已知函数，则（ ）
A．若函数的图像关于直线对称，则的值可能为3
B．若关于的方程在上恰有四个实根，则的取值范围为
C．若将的图像向右平移个单位长度，所得图像关于原点对称，则的最小值是1
D．若函数在上单调递增，则
12．已知函数，则（ ）
A．当时，单调递减 B．当时，
C．若有且仅有一个零点，则 D．若，则
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4个小题，每题5分，共20分，将答案填在答题纸上）
13．为虚数单位，则 ．
14．在中，，点在线段上且与端点不重合，若，则 的最大值为 .
15．在三角函数部分，我们研究过二倍角公式，我们还可以用类似方式继续得到 三倍角公式．根据你的研究结果解决如下问题：在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为 a，b，c，若，，则的取值范围是 ．
16．已知函数，，若，，则的最大值为 .
四、解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（本小题满分10分）已知为三角形的一个内角，i为虚数单位，复数，且 在复平面上对应的点在虚轴上.
(1)求；
(2)设，，在复平面上对应的点分别为，，，求的面积.
18.（本小题满分12分）某网球中心在平方米土地上，欲建数块连成片的网球场．每块球场 的建设面积为平方米．当该中心建设块球场时，每平方的平均建设费用（单位： 元）可近似地用函数关系式来刻画，此外该中心还需为该工程一次性向 政府缴纳环保费用元
(1)请写出当网球中心建设块球场时，该工程每平方米的综合费用的表达式，并 指出其定义域（综合费用是建设费用与环保费用之和）；
(2)为了使该工程每平方米的综合费用最省，该网球中心应建多少个球场？
19.（本小题满分12分）（1）如图①，在中，为边上的高，，， ，，求的值；
（2）如图②，半径为1，圆心角为的圆弧上有一点，若，分别为线段，的 中点，当在圆弧上运动时，求的取值范围.

20.（本小题满分12分）已知函数.
(1)已知，求最小值；
(2)讨论函数单调性.
21.（本小题满分12分）某公司规划修建一个含生活和娱乐功能的设施，并在设施前的小路 之间修建一处弓形花园（如图所示）．已知为上一点， ，设．

(1)用表示，并求的最小值；
(2)问为何值时，点与主体设施之间的距离最近？
22.（本小题满分12分）已知函数，，且曲线和 在原点处有相同的切线．
(1)求实数a的值：
(2)证明：当时，；
(3)令，且．证明：.
数学答案
1．D【详解】因为或，又，
所以集合不是的子集，故选项A错误，，故选项B错误，
因为，，所以集合不是的子集，故选项C错误，
，故选项D正确.
2．A【详解】因为，所以，所以，
所以，所以的虛部是2.
3．B【详解】因为，所以又，
则所以，
则，
4．A【详解】作出函数的图象如图：
设，且，
则函数与直线的三个交点从左到右依次为 ，，，
则点与在函数上，而函数 的图象关于直线对称，
所以，由得，
若满足，则，所以，
所以，即的取值范围是.
5．B【详解】因为一元二次不等式的解集为，
所以当且仅当，即当且仅当，
所以，
注意到当时，有，
所以由基本不等式可得，
从而，
当且仅当即时，等号成立，
综上所述：有最大值.
B【详解】因为，
所以，
化简并整理得，
又因为，
所以，所以，
所以.
7．A【详解】由，因为，可得，
又由边上的角平分线，所以，
在中，可得，
在中，可得,
因为，且，
所以，即，
在中，由余弦定理可得，
所以，
又由，即，
因为，可得，即，可得，
所以.
8.B【详解】解：由，得，
故的图象关于点对称．
因为，，，．
所以在上单调递增，故在上单调递增，
因为，
所以，
所以，即，．
令，，则．
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，所以．
9．ACD【详解】A选项，由于，可知，A选项正确.
B选项，若，则，但，B选项错误.
C选项，设，由得，
则，解得，所以为实数，C选项正确.
D选项，由于，所以对应点的轨迹是以为圆心，
半径为的圆，而表示圆上的点到原点的距离，所以最大值为，D选项正确.
BC【详解】对于A，由的夹角为锐角，得且不共线，则，
解得且，因此“的夹角为锐角”是“”的充分不必要条件，A错误；
对于B，由量，，得，解得，B正确；
对于C，由向量，得，
因此在方向上的投影向量为，C正确；
对于D，在中，
，而，因此，
所以不一定为等边三角形，D错误.
BC【详解】对于A，因为函数的图像关于直线对称，所以，
则，因为，则的值不可能为3，故A错误；
对于B，当时，，若在上恰有四个实根，
则，解得，故B正确；
对于C，由已知得，
因为函数关于原点对称，则为奇函数，所以，即，
因为，所以的最小值是1，故C正确；
对于D，当时，，因为，
所以，所以函数在区间上不单调，故D错误．
12．ABD【详解】对于A：当时，，，，
设，所以，
令得，所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，所以当时，取得最大值，
因为，所以，单调递减，故A正确；
对于B：当时，，
设，则，令得，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以当时，取得最小值，且，所以，
设，，则，因为，所以，
所以在上单调递增，所以，
所以，故B正确；
对于C：，若，则，
设，即，设，则，
因为，所以，
所以在上，单调递减，
若有且仅有一个零点，则，此时，故C错误；
对于D：若，则，即，
因为单调递减，所以，故D正确．
13．1【详解】，
14．【详解】，，
在线段上且与端点不重合，，且，，
（当且仅当时取等号），，
.
15．【详解】三倍角公式：
，
因为，
所以.
故，
△ABC为锐角三角形，故解得，
故，．
16．【详解】依题意，，，
由函数，求导得，当时，，递减，
当时，，递增，又当时，，时，，
作出函数的图象，如图：
观察图象知，当时，有唯一解，而 ，于是，且，
因此，设，，
求导得，
令解得，当时，，当时，，
则函数在上单调递增，在上单调递减，，
所以的最大值为，
17．【详解】（1）解：∵，
∴，，………………2分
∴；………………3分
（2）由（1）知：，，
∴，，
∴.………………6分
在复平面上对应的点分别为，，，
∴，，，
由余弦定理可得，且，……8分
∴，
∴.………………10分
18.【详解】（1）由题意可知，，
因为每平方米的平均环保费用为元，………………2分
因为每平方米的平均建设费用为可近似地用函数关系式，
所以每平方米的综合费用，……………4分
其中函数的定义域为.………………6分
（2）由（1）可知，
则，………………8分
令得，，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，………………10分
所以当时，取得极小值即为最小值，
所以当该网球中心建8个球场时，该工程每平方米的综合费用最省．………………12分
19．【详解】（1）因为，所以，，
所以，………………2分
又，，，
故由余弦定理可得，则，……………4分
又，所以，所以，
所以.………………6分
以为原点，为轴，反方向为轴，建立平面直角坐标系，
如图所示，则，，
设，，
则，，………………8分
所以，………………10分
因为，则，
所以，
所以.………………12分
20．【详解】（1）当时，，
所以.………………2分
时，，
时，，时，，
在区间上单调递减，在区间上单调递增，………………4分
故最小值为.………………5分
（2），………………7分
时，当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增.………………8分
当时，当或时，在和上单调递增；
当时， 在上为减函数.………………9分
当时，上，在上为增函数.………………10分
当时，当或时，在和为增函数；
当时，在上为减函数.………………11分
综上，时，在上单调递减，在上单调递增；
时，在和上单调递增，在上为减函数；
时，在上为增函数；
时，在和为增函数，在上为减函数.………………12分
【详解】（1）因为，
且，
所以，………………2分
所以，
所以，………………4分
因为，所以，当时，即时，
，所以的最小值为12．………………6分
（2）因为，所以，
所以三角形是等边三角形，
所以，………………8分
又由（1）可知，
所以在中，由余弦定理得
………………10分
因为，所以，
当，即时，取最小值112，即取最小值，
故当时，与设施之间的距离最近．………………12分
22．【详解】（1）由条件可得，且，．
因为曲线和在原点处有相同的切线，
所以，解得．………………2分
（2）要证，即证．
令且，………………3分
则，
再令，
则，
所以在上单调递减，所以，
所以在上单调递减，故．
所以．即成立．………………5分
（3）由（1）得：当时，
所以，即，
两边同除以，得，
即．………………6分
∴………………7分
要证，只需证，………………8分
又，
只需证．………………9分
设，，
则，
由于函数在区间上单调递增，
所以函数在区间上单调递减，而，
所以当时恒成立，在上单调递减．
所以当时，，
当且时，………………11分
又，
当时，，即，
所以，即成立.………………12分