3.1椭圆 同步练习2023——2024学年上学期高二数学人教A版（2019）选择性必修1（含解析）
文档属性
| 名称 | 3.1椭圆 同步练习2023——2024学年上学期高二数学人教A版（2019）选择性必修1（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-23 09:48:55 | ||
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文档简介
3.1椭圆同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知椭圆方程为，其右焦点为，过点的直线交椭圆与，两点．若的中点坐标为，则椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
2．已知是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知椭圆，，为两个焦点，为原点，为椭圆上一点，，则（ ）
A． B． C． D．1
4．已知椭圆C：，F是椭圆的右焦点，A是椭圆的右顶点，过原点O的直线l交椭圆C于M，N两点，若直线MF平分线段AN，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别是，，离心率为.，是椭圆上的点，的中点为，，过作圆的一条切线，切点为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．5
6．已知椭圆的左 右焦点分别为两点都在上，且关于坐标原点对称，下列说法错误的是（ ）
A．的最大值为10 B．为定值
C．的焦距是短轴长的 D．存在点，使得
7．已知椭圆的离心率为，是的两个焦点，为上一点，若的周长为，则椭圆的焦距为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上．由椭圆的一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点．已知，，．若透明窗所在的直线与截口所在的椭圆交于一点，且，则的面积为（ ）
A．2 B． C． D．5
二、多选题
9．已知椭圆的左，右焦点分别为，，点在内，若点为上任意一点，则下列结论正确的是（ ）
A．当，关于坐标原点对称时，
B．的离心率的取值范围是
C．在上存在点，使大于
D．当的离心率为时，的最大值为
10．椭圆的左、右焦点分别为、，为坐标原点，以下正确的是（ ）
A．椭圆的离心率为
B．过点的直线与椭圆交于、两点，则的周长为
C．椭圆上存在点，使得
D．为椭圆上一点，，则的最小值为
11．已知椭圆的一个焦点和一个顶点在直线上，则该椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
12．已知椭圆C：的左焦点为F，点P是C上任意一点，则的值可能是（ ）
A．1 B．3 C．6 D．8
三、填空题
13．已知椭圆的两个焦点分别为，，点在上，且，则椭圆的离心率为 .
14．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点，若点为椭圆上一点，则 的最大值为 .
15．设，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点，且，，则椭圆的离心率为 ．
16．椭圆的光学性质，从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上．已知椭圆C：，为其左、右焦点．M是C上的动点，点，若的最大值为6.动直线l为此椭圆C的切线，右焦点关于直线l的对称点，，则椭圆C的离心率为 ；S的取值范围为 ．
四、解答题
17．已知椭圆的左、右顶点分别为，，焦距为，点在椭圆上.
(1)求的方程；
(2)过点的任意直线与椭圆交于，（不同于，）两点，直线的斜率为，直线的斜率为.试问是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
18．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为为坐标原点，且．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知过点的直线与椭圆交于两点，点，求的值．
19．已知定圆，动圆过点，且和圆相切．
(1)求动圆圆心的轨迹方程；
(2)若直线与圆心的轨迹交于，两点，，且，求的值．
20．已知圆：，点是圆上的动点，点，为的中点，过作交于，设点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过点的动直线与曲线相交于，两点.在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
21．设椭圆（）的左右焦点分别为，，左右顶点分别为A，B，，.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知P为椭圆上一动点（不与端点重合），直线交y轴于点Q，O为坐标原点，若四边形与三角形的面积之比为，求点P坐标.
22．已知椭圆的左 右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线与椭圆相交于，两点，记的面积为，求的最大值.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．C
【分析】计算，设，，代入椭圆方程相减得到，解得答案.
【详解】的中点坐标为，则，
设，，则，，
相减得到：，即，，
又，，解得，，椭圆的方程为.
故选：C.
2．B
【分析】在为直径的圆上，即，根据得到离心率范围.
【详解】，故在为直径的圆上，即，
圆在椭圆内部，故，，故.
故选：B.
3．B
【分析】根据椭圆的定义结合余弦定理求出的值，利用，根据向量模的计算即可求得答案.
【详解】由题意椭圆，为两个焦点，可得，
则①，即，
由余弦定理得，
即，整理得，②
联立①②，解得：，则，
又因为，则，
使用.
故选：B
4．B
【分析】设出直线l的方程，联立椭圆方程，求出点的坐标，表达出直线的方程及线段AN的中点，将线段AN的中点代入直线中，求出，得到离心率.
【详解】由题意得，
设直线l的方程为，与联立可得，
解得，
不妨令点横坐标为正，则，，
则，，
故直线的方程为，即，
其中线段AN的中点为，
将其代入中，可得
，
化简得，,
因为，即，故离心率为.
故选：B
5．B
【分析】做出合理的辅助线，利用椭圆定义求出方程，后设点，用圆中的勾股定理转化为函数最值问题求解即可.
【详解】
连接，中点为，
，
，即椭圆方程为
设，则，，连接,
由题意知，，且
，由二次函数性质得，当时
取得最大值，此时
故选：B
6．D
【分析】根据题意，结合椭圆的定义以及几何性质，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】由题意得，，所以，而，
，故选项A，C正确；
由椭圆的对称性知，，故选项B正确；
当在轴上时，，则最大角为锐角，所以不存在点，使得，故选项D错误.
故选：D.
7．A
【分析】由椭圆的离心率和焦点三角形的周长，列方程组求，可得椭圆的焦距.
【详解】设椭圆方程为，依题意可知，，
解得，所以椭圆的焦距为.
故选：A
8．D
【分析】由椭圆定义，根据，结合勾股定理可得可得的值，则即可求的面积．
【详解】由，，，得，
则椭圆长轴长，由点在椭圆上，得，又，
则，
因此，所以的面积为.
故选：D
9．BD
【分析】根据椭圆的对称性可判定A，根据点M在椭圆内可计算B，通过焦点三角形顶角最值可判定C，利用椭圆的定义与性质可判定D.
【详解】
对于，由已知及椭圆的对称性得点必在上，且，
如图所示，易知四边形是平行四边形，
所以，故A错误
对于，因为点在内，所以，
又，所以，故B正确
对于，
，
当且仅当时取得最小值，即点在短轴端点时，最大，
此时结合B项有，，所以，故C错误
对于，当的离心率时，可得，则，
又，
当且仅当，，三点共线且点位于线段上时等号成立，故D正确．
故选：BD．
10．BCD
【分析】A选项，求出，得到离心率；B选项，由椭圆定义求出周长；C选项，求出以为圆心，为直径的圆，圆与椭圆的交点即为使得的点，联立后得到交点坐标，得到C正确；D选项，结合椭圆定义得到，数形结合得到的最小值，从而得到答案.
【详解】A选项，由题意得，故离心率为，A错误；
B选项，根据椭圆定义可得，
故的周长为8，B正确；
C选项，以为圆心，为直径作圆，即，
与的交点即为使得的点，
联立与，可得，
故存在点，使得，C正确；
D选项，由椭圆定义可知，，故，
则，
要想取得最小值，只需取得最小值，
联立与椭圆交点即为所求，此时，
故的最小值为，D正确.
故选：BCD
11．AD
【分析】求出直线的两截距，注意区分椭圆焦点在轴上和椭圆焦点在轴上即可解答.
【详解】由题直线的横截距为2，纵截距为，
当椭圆焦点在轴上时，，则，
此时椭圆的标准方程为；
当椭圆焦点在轴上时，，则，
此时椭圆的标准方程为.
故选：AD.
12．ABC
【分析】根据求出的范围即可.
【详解】由题意可知，，
所以，即．
故选:ABC．
13．
【分析】根据椭圆的定义及性质有，，结合已知条件即可求离心率.
【详解】由，，又，
所以.
故答案为：
14．
【分析】由已知点在椭圆内，根据椭圆定义可知，所以，所以其最大值为，即可得解.
【详解】
如图所示，
由椭圆方程为，则，，
又点，满足，所以点在椭圆内，
由椭圆定义可知，
即，
所以，
故答案为：.
15．/
【分析】根据椭圆的定义、勾股定理列方程，化简求得离心率.
【详解】因为，所以，
设，则，，
由椭圆定义得：，．
因为，所以，
即
得：，所以，，
在中，，
得：，即，故．
故答案为：
16．
【分析】根据题意得，求出，再求出离心率；根据椭圆的光学性质可得，即点的轨迹是以为圆心，半径为4的圆，又点到直线的距离的5倍，分析求解即可.
【详解】根据椭圆定义得：，
所以，
因为的最大值为6，，所以，即，
解得，所以离心率为；
右焦点关于直线l的对称点，
设切点为A，由椭圆的光学性质可得：三点共线，
所以，
即点的轨迹是以为圆心，半径为4的圆，
圆心到直线的距离为，
则圆上的点到直线3x＋4y－24＝0的距离最小值为，最大值为，
所以点到直线的距离为，
所以表示点到直线的距离的5倍，
则，即.
故答案为：①#；②.
17．(1)
(2)存在，.
【分析】（1）根据题设及椭圆参数关系列方程求椭圆参数，即可得椭圆方程；
（2）令，联立椭圆并应用韦达定理求得、，进而表示出、，令的斜率为，结合椭圆性质易得，且，即可判断存在性.
【详解】（1）由题设，故的方程为；
（2）由题意，直线不与x轴重合，令，联立椭圆方程得，
所以，显然，则，，
所以，，
令的斜率为，则，而，即，所以，
又，
所以，即存在.
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据离心率和焦距得到，，得到椭圆方程；
（2）考虑直线斜率为0和不为0两种情况，设点和直线，联立方程得到根与系数的关系，代入计算得到答案.
【详解】（1）由题可得，解得，可得 ，椭圆的方程为；
（2）①当直线斜率为0时，；
②当直线斜率不为0时，设直线方程为，设，，
，则，,
故，，
；
综上所述：.
19．(1)
(2)
【分析】（1）由，圆内切与圆，得到，利用椭圆的定义求解；
（2）联立，求得的中点，根据，由求解；
【详解】（1）解：，半径，设动圆的半径为，
由题意知，，点在圆内，圆内切与圆．
，即，
动点的轨迹是以、为焦点，长轴长为4的椭圆，
设方程为，则，，．
圆心的轨迹方程为．
（2）设，，联立，
消去得：，
，．
的中点，由得，．
，，．
解得，符合，．
20．(1)
(2)存在点满足题意．
【分析】（1）由动点的位置特征，判断出轨迹为椭圆，待定系数法求方程；
（2）当直线l与y轴垂直时，得点Q必在y轴上；当直线l与x轴垂直时，得点Q的坐标只可能是；再证明直线l斜率存在且均满足条件即可．
【详解】（1）依题意可知圆E的标准方程为，圆心，
因为线段的垂直平分线交于点，所以，
动点始终满足，故动点S满足椭圆的定义，
曲线是以为焦点的椭圆，设椭圆方程为，
因此，解得，
椭圆C的方程为.
（2）存在与点不同的定点，使得恒成立．理由如下：
当直线与轴平行时，由椭圆的对称性可知，
又因为得，则，从而点Q必在y轴上，可设，
当直线与轴垂直时，则，如果存在定点满足条件，
由，即，解得或，
若存在不同于点的定点满足条件，则点坐标只能是；
当直线不平行于轴且不垂直与轴时，可设直线的方程为，
联立，消去并整理得：，
，设A、B的坐标分别为、，
，，
又点关于轴对称的点的坐标为，，
又，，
，则、、三点共线，；
故存在与点不同的定点，使得恒成立．
【点睛】方法点睛：
解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
21．(1)
(2)或.
【分析】（1）根据已知线段长度求解出的值，然后根据求解出的值，则椭圆方程可求；
（2）根据条件将问题转化为三角形与三角形的面积比，由此得到关于的关系式，通过联立直线与椭圆方程求得对应坐标，然后求解出参数值则的坐标可求.
【详解】（1）因为，，所以，
所以，所以，
所以椭圆方程为；
（2）如下图所示：
因为四边形与三角形的面积之比为，
所以三角形与三角形的面积比为，
所以，所以，
显然直线的斜率不为，设直线的方程为，
联立，所以，
所以，，
所以，解得，
当时，，，
所以，所以，
当时，，，
所以，所以，
综上可知，点坐标为或.
22．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，列出关于，，的方程即可求解；
（2）设直线方程（有两种方法，一种设；另一种设），与椭圆方程联立，结合韦达定理及基本不等式即可求出面积的最大值.
【详解】（1）因为，所以，则，
所以的标准方程为，
因为点在上，所以，
解得，从而，.
所以的标准方程为.
（2）易知点在的外部，则直线的斜率存在且不为0，
设，，，
联立方程组消去得，
由得，由根与系数的关系知
所以，
化简得.
设点到直线的距离为，则，
所以的面积
令，得，所以，
因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立.
因为满足，所以的最大值为.
评分细则：
第二问另解：
（2）设，，，
联立方程组，消去得.
由得，由根与系数的关系知.
所以，
化简得.
设点到直线的距离为，则，
所以的面积.
令，得，
所以，
因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立.
因为满足，所以的最大值为.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知椭圆方程为，其右焦点为，过点的直线交椭圆与，两点．若的中点坐标为，则椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
2．已知是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知椭圆，，为两个焦点，为原点，为椭圆上一点，，则（ ）
A． B． C． D．1
4．已知椭圆C：，F是椭圆的右焦点，A是椭圆的右顶点，过原点O的直线l交椭圆C于M，N两点，若直线MF平分线段AN，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别是，，离心率为.，是椭圆上的点，的中点为，，过作圆的一条切线，切点为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．5
6．已知椭圆的左 右焦点分别为两点都在上，且关于坐标原点对称，下列说法错误的是（ ）
A．的最大值为10 B．为定值
C．的焦距是短轴长的 D．存在点，使得
7．已知椭圆的离心率为，是的两个焦点，为上一点，若的周长为，则椭圆的焦距为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上．由椭圆的一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点．已知，，．若透明窗所在的直线与截口所在的椭圆交于一点，且，则的面积为（ ）
A．2 B． C． D．5
二、多选题
9．已知椭圆的左，右焦点分别为，，点在内，若点为上任意一点，则下列结论正确的是（ ）
A．当，关于坐标原点对称时，
B．的离心率的取值范围是
C．在上存在点，使大于
D．当的离心率为时，的最大值为
10．椭圆的左、右焦点分别为、，为坐标原点，以下正确的是（ ）
A．椭圆的离心率为
B．过点的直线与椭圆交于、两点，则的周长为
C．椭圆上存在点，使得
D．为椭圆上一点，，则的最小值为
11．已知椭圆的一个焦点和一个顶点在直线上，则该椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
12．已知椭圆C：的左焦点为F，点P是C上任意一点，则的值可能是（ ）
A．1 B．3 C．6 D．8
三、填空题
13．已知椭圆的两个焦点分别为，，点在上，且，则椭圆的离心率为 .
14．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点，若点为椭圆上一点，则 的最大值为 .
15．设，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点，且，，则椭圆的离心率为 ．
16．椭圆的光学性质，从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上．已知椭圆C：，为其左、右焦点．M是C上的动点，点，若的最大值为6.动直线l为此椭圆C的切线，右焦点关于直线l的对称点，，则椭圆C的离心率为 ；S的取值范围为 ．
四、解答题
17．已知椭圆的左、右顶点分别为，，焦距为，点在椭圆上.
(1)求的方程；
(2)过点的任意直线与椭圆交于，（不同于，）两点，直线的斜率为，直线的斜率为.试问是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
18．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为为坐标原点，且．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知过点的直线与椭圆交于两点，点，求的值．
19．已知定圆，动圆过点，且和圆相切．
(1)求动圆圆心的轨迹方程；
(2)若直线与圆心的轨迹交于，两点，，且，求的值．
20．已知圆：，点是圆上的动点，点，为的中点，过作交于，设点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过点的动直线与曲线相交于，两点.在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
21．设椭圆（）的左右焦点分别为，，左右顶点分别为A，B，，.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知P为椭圆上一动点（不与端点重合），直线交y轴于点Q，O为坐标原点，若四边形与三角形的面积之比为，求点P坐标.
22．已知椭圆的左 右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线与椭圆相交于，两点，记的面积为，求的最大值.
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参考答案：
1．C
【分析】计算，设，，代入椭圆方程相减得到，解得答案.
【详解】的中点坐标为，则，
设，，则，，
相减得到：，即，，
又，，解得，，椭圆的方程为.
故选：C.
2．B
【分析】在为直径的圆上，即，根据得到离心率范围.
【详解】，故在为直径的圆上，即，
圆在椭圆内部，故，，故.
故选：B.
3．B
【分析】根据椭圆的定义结合余弦定理求出的值，利用，根据向量模的计算即可求得答案.
【详解】由题意椭圆，为两个焦点，可得，
则①，即，
由余弦定理得，
即，整理得，②
联立①②，解得：，则，
又因为，则，
使用.
故选：B
4．B
【分析】设出直线l的方程，联立椭圆方程，求出点的坐标，表达出直线的方程及线段AN的中点，将线段AN的中点代入直线中，求出，得到离心率.
【详解】由题意得，
设直线l的方程为，与联立可得，
解得，
不妨令点横坐标为正，则，，
则，，
故直线的方程为，即，
其中线段AN的中点为，
将其代入中，可得
，
化简得，,
因为，即，故离心率为.
故选：B
5．B
【分析】做出合理的辅助线，利用椭圆定义求出方程，后设点，用圆中的勾股定理转化为函数最值问题求解即可.
【详解】
连接，中点为，
，
，即椭圆方程为
设，则，，连接,
由题意知，，且
，由二次函数性质得，当时
取得最大值，此时
故选：B
6．D
【分析】根据题意，结合椭圆的定义以及几何性质，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】由题意得，，所以，而，
，故选项A，C正确；
由椭圆的对称性知，，故选项B正确；
当在轴上时，，则最大角为锐角，所以不存在点，使得，故选项D错误.
故选：D.
7．A
【分析】由椭圆的离心率和焦点三角形的周长，列方程组求，可得椭圆的焦距.
【详解】设椭圆方程为，依题意可知，，
解得，所以椭圆的焦距为.
故选：A
8．D
【分析】由椭圆定义，根据，结合勾股定理可得可得的值，则即可求的面积．
【详解】由，，，得，
则椭圆长轴长，由点在椭圆上，得，又，
则，
因此，所以的面积为.
故选：D
9．BD
【分析】根据椭圆的对称性可判定A，根据点M在椭圆内可计算B，通过焦点三角形顶角最值可判定C，利用椭圆的定义与性质可判定D.
【详解】
对于，由已知及椭圆的对称性得点必在上，且，
如图所示，易知四边形是平行四边形，
所以，故A错误
对于，因为点在内，所以，
又，所以，故B正确
对于，
，
当且仅当时取得最小值，即点在短轴端点时，最大，
此时结合B项有，，所以，故C错误
对于，当的离心率时，可得，则，
又，
当且仅当，，三点共线且点位于线段上时等号成立，故D正确．
故选：BD．
10．BCD
【分析】A选项，求出，得到离心率；B选项，由椭圆定义求出周长；C选项，求出以为圆心，为直径的圆，圆与椭圆的交点即为使得的点，联立后得到交点坐标，得到C正确；D选项，结合椭圆定义得到，数形结合得到的最小值，从而得到答案.
【详解】A选项，由题意得，故离心率为，A错误；
B选项，根据椭圆定义可得，
故的周长为8，B正确；
C选项，以为圆心，为直径作圆，即，
与的交点即为使得的点，
联立与，可得，
故存在点，使得，C正确；
D选项，由椭圆定义可知，，故，
则，
要想取得最小值，只需取得最小值，
联立与椭圆交点即为所求，此时，
故的最小值为，D正确.
故选：BCD
11．AD
【分析】求出直线的两截距，注意区分椭圆焦点在轴上和椭圆焦点在轴上即可解答.
【详解】由题直线的横截距为2，纵截距为，
当椭圆焦点在轴上时，，则，
此时椭圆的标准方程为；
当椭圆焦点在轴上时，，则，
此时椭圆的标准方程为.
故选：AD.
12．ABC
【分析】根据求出的范围即可.
【详解】由题意可知，，
所以，即．
故选:ABC．
13．
【分析】根据椭圆的定义及性质有，，结合已知条件即可求离心率.
【详解】由，，又，
所以.
故答案为：
14．
【分析】由已知点在椭圆内，根据椭圆定义可知，所以，所以其最大值为，即可得解.
【详解】
如图所示，
由椭圆方程为，则，，
又点，满足，所以点在椭圆内，
由椭圆定义可知，
即，
所以，
故答案为：.
15．/
【分析】根据椭圆的定义、勾股定理列方程，化简求得离心率.
【详解】因为，所以，
设，则，，
由椭圆定义得：，．
因为，所以，
即
得：，所以，，
在中，，
得：，即，故．
故答案为：
16．
【分析】根据题意得，求出，再求出离心率；根据椭圆的光学性质可得，即点的轨迹是以为圆心，半径为4的圆，又点到直线的距离的5倍，分析求解即可.
【详解】根据椭圆定义得：，
所以，
因为的最大值为6，，所以，即，
解得，所以离心率为；
右焦点关于直线l的对称点，
设切点为A，由椭圆的光学性质可得：三点共线，
所以，
即点的轨迹是以为圆心，半径为4的圆，
圆心到直线的距离为，
则圆上的点到直线3x＋4y－24＝0的距离最小值为，最大值为，
所以点到直线的距离为，
所以表示点到直线的距离的5倍，
则，即.
故答案为：①#；②.
17．(1)
(2)存在，.
【分析】（1）根据题设及椭圆参数关系列方程求椭圆参数，即可得椭圆方程；
（2）令，联立椭圆并应用韦达定理求得、，进而表示出、，令的斜率为，结合椭圆性质易得，且，即可判断存在性.
【详解】（1）由题设，故的方程为；
（2）由题意，直线不与x轴重合，令，联立椭圆方程得，
所以，显然，则，，
所以，，
令的斜率为，则，而，即，所以，
又，
所以，即存在.
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据离心率和焦距得到，，得到椭圆方程；
（2）考虑直线斜率为0和不为0两种情况，设点和直线，联立方程得到根与系数的关系，代入计算得到答案.
【详解】（1）由题可得，解得，可得 ，椭圆的方程为；
（2）①当直线斜率为0时，；
②当直线斜率不为0时，设直线方程为，设，，
，则，,
故，，
；
综上所述：.
19．(1)
(2)
【分析】（1）由，圆内切与圆，得到，利用椭圆的定义求解；
（2）联立，求得的中点，根据，由求解；
【详解】（1）解：，半径，设动圆的半径为，
由题意知，，点在圆内，圆内切与圆．
，即，
动点的轨迹是以、为焦点，长轴长为4的椭圆，
设方程为，则，，．
圆心的轨迹方程为．
（2）设，，联立，
消去得：，
，．
的中点，由得，．
，，．
解得，符合，．
20．(1)
(2)存在点满足题意．
【分析】（1）由动点的位置特征，判断出轨迹为椭圆，待定系数法求方程；
（2）当直线l与y轴垂直时，得点Q必在y轴上；当直线l与x轴垂直时，得点Q的坐标只可能是；再证明直线l斜率存在且均满足条件即可．
【详解】（1）依题意可知圆E的标准方程为，圆心，
因为线段的垂直平分线交于点，所以，
动点始终满足，故动点S满足椭圆的定义，
曲线是以为焦点的椭圆，设椭圆方程为，
因此，解得，
椭圆C的方程为.
（2）存在与点不同的定点，使得恒成立．理由如下：
当直线与轴平行时，由椭圆的对称性可知，
又因为得，则，从而点Q必在y轴上，可设，
当直线与轴垂直时，则，如果存在定点满足条件，
由，即，解得或，
若存在不同于点的定点满足条件，则点坐标只能是；
当直线不平行于轴且不垂直与轴时，可设直线的方程为，
联立，消去并整理得：，
，设A、B的坐标分别为、，
，，
又点关于轴对称的点的坐标为，，
又，，
，则、、三点共线，；
故存在与点不同的定点，使得恒成立．
【点睛】方法点睛：
解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
21．(1)
(2)或.
【分析】（1）根据已知线段长度求解出的值，然后根据求解出的值，则椭圆方程可求；
（2）根据条件将问题转化为三角形与三角形的面积比，由此得到关于的关系式，通过联立直线与椭圆方程求得对应坐标，然后求解出参数值则的坐标可求.
【详解】（1）因为，，所以，
所以，所以，
所以椭圆方程为；
（2）如下图所示：
因为四边形与三角形的面积之比为，
所以三角形与三角形的面积比为，
所以，所以，
显然直线的斜率不为，设直线的方程为，
联立，所以，
所以，，
所以，解得，
当时，，，
所以，所以，
当时，，，
所以，所以，
综上可知，点坐标为或.
22．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，列出关于，，的方程即可求解；
（2）设直线方程（有两种方法，一种设；另一种设），与椭圆方程联立，结合韦达定理及基本不等式即可求出面积的最大值.
【详解】（1）因为，所以，则，
所以的标准方程为，
因为点在上，所以，
解得，从而，.
所以的标准方程为.
（2）易知点在的外部，则直线的斜率存在且不为0，
设，，，
联立方程组消去得，
由得，由根与系数的关系知
所以，
化简得.
设点到直线的距离为，则，
所以的面积
令，得，所以，
因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立.
因为满足，所以的最大值为.
评分细则：
第二问另解：
（2）设，，，
联立方程组，消去得.
由得，由根与系数的关系知.
所以，
化简得.
设点到直线的距离为，则，
所以的面积.
令，得，
所以，
因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立.
因为满足，所以的最大值为.
答案第1页，共2页
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