福建省福州市平潭县2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含解析）

平潭县2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：_________
一、单选题
1．经过两点的直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．设为实数，若直线与直线平行，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知方程表示焦点在轴上的椭圆,则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．在平行六面体中，M为与的交点，，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A． B．
C． D．
5．若构成空间的一个基底，则空间的另一个基底可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知动点在直线上，过点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
7．正方体的棱长为2，若动点在线段上运动，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．德国数学家米勒曾提出过如下的“最大视角定理”（也称“米勒定理”）：若点是的边上的两个定点，C是边上的一个动点，当且仅当的外接圆与边相切于点C时，最大．在平面直角坐标系中，已知点，，点F是y轴负半轴的一个动点，当最大时，的外接圆的方程是（ ）．
A． B．
C． D．
二、多选题
9．为使椭圆＋＝1的离心率为，正数m的值可以是（ ）
A． B． C． D．
10．若，，与的夹角为，则的值为（ ）
A．17 B． C． D．1
11．圆和圆的交点为A，B，则有（ ）
A．公共弦AB所在直线的方程为
B．公共弦AB所在直线的方程为
C．公共弦AB的长为
D．P为圆上一动点，则P到直线AB的距离的最大值为
12．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐藏着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即某将军观望完烽火台之后从山脚的某处出发，先去河边饮马，再返回军营，怎样走能使总路程最短 在平面直角坐标系中有两条河流，，其方程分别为，，点，，则下列说法正确的是（ ）
A．将军从出发，先去河流饮马，再返回的最短路程是7
B．将军从出发，先去河流饮马，再返回的最短路程是7
C．将军从出发，先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回的最短路程是
D．将军从出发，先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回的最短路程是
三、填空题
13．已知直线与直线垂直，则实数的值为 ．
14．已知单位向量，，中，，，则 ．
15．已知椭圆，过点的直线交椭圆于、两点，若为的中点，则直线的方程为
16．若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是 .
四、解答题
17．已知空间中三点，设．
(1)若，且，求向量，
(2)已知向量与互相垂直，求k的值．
18．已知圆的圆心为原点，斜率为1且过点的直线与圆相切
(1)求圆的方程；
(2)过的直线交圆于、，若面积为，求直线方程.
19．已知直线经过点.
(1)若不过原点且在两坐标轴上截距和为零，求的点斜式方程；
(2)设的斜率与两坐标轴的交点分别为、B，当的面积最小时，求的斜截式方程.
20．在四棱锥中，底面为梯形，，，，，，⊥平面.
(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
21．已知椭圆的长轴长为4，离心率为，定点．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆分别交于点（不在直线上），若直线，与椭圆分别交于点，，且直线过定点，问直线的斜率是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.
22．如图，正方形的中心为，四边形为矩形，平面平面，点为的中点，.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值；
（3）求点到直线的距离；
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】根据直线上任意两点可求出斜率，从而求出倾斜角.
【详解】由题意得，所以直线的倾斜角为；
故选：B.
2．D
【分析】根据两直线平行可得出关于实数的等式与不等式，解之即可.
【详解】因为直线与直线平行，则，解得.
故选：A.
3．C
【分析】根据题意列出含有参数的不等式组求解即可.
【详解】根据题意,要使方程表示焦点在轴上的椭圆,
需满足,解得.
故选:C.
4．A
【分析】利用空间向量的线性运算进行求解．
【详解】．
故选：A．
5．C
【分析】根据共面定理逐一判断即可.
【详解】因为，所以，，共面，
所以不是空间的另一个基底，A错误．
因为，所以，，共面，
所以不是空间的另一个基底，B错误．
假设存在m，n，使得，
则，显然无解，所以，，不共面，
所以是空间的另一个基底，C正确．
因为，所以，，共面，
所以不是空间的另一个基底，D错误．
故选：C
6．C
【分析】由题意求出切线长的表达式，结合二次函数的性质即可求解.
【详解】由题可知圆的圆心为，半径为，
设，则，有，
得，
当时，.
故选：C.
7．A
【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，求得，，，设，求得，即可求解.
【详解】以为原点，以，，所在的直线为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则，，，，，
可得，，，
因为点在线段上运动，设，且，
所以，可得，
又因为，所以，即.
故选：A．

D【分析】由米勒定理知当最大时，的外接圆与轴负半轴相切，再由点和的坐标得出半径和圆心横坐标，设圆心为，由圆上点到圆心的距离为半径列出方程，得出，即可写出圆的方程．
【详解】由米勒定理知当最大时，的外接圆与轴负半轴相切，此时圆心位于第四象限，
因为点，，
所以圆心在直线上，
又圆与轴负半轴相切，
所以圆的半径为3，
设圆心为，，
则，解得，
又，
所以
所以的外接圆的方程是，
故选：D．

9．CD
【分析】分焦点在x轴上和y轴上，根据离心率公式直接求解可得.
【详解】当焦点在x轴上时，，则，
所以，，解得；
当焦点在y轴上时，，则，
所以，，解得.
故选：CD
10．AC
【分析】根据空间向量夹角公式计算可得答案.
【详解】因为，，与的夹角为，
所以，
解得或.
故选：AC.
11．AD
【分析】根据公共弦方程的求法计算即可判定A、B选项，利用圆的弦长公式计算可判定C选项，利用圆的性质及点到直线的距离公式可判定D项.
【详解】由两圆的方程作差可知公共弦AB方程为：，故A正确，B错误；
由，
易知，半径，
则点到的距离为，
故弦长，故C错误；
当，并在如下图所示位置时，P到直线AB的距离的最大，为，故D正确；
故选：AD
12．AC
【分析】确定关于，的对称点，利用两点距离最小判断A、B；确定关于，的对称点，利用两点距离最小判断C、D；
【详解】由关于，的对称点分别为，而，

从出发，先去河流饮马，再返回的最短路程是，A对；
从出发，先去河流饮马，再返回的最短路程是，B错；
由关于，的对称点分别为，

从出发，先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回的最短路程，C对；
从出发，先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回的最短路程是，D错.
故选：AC
13．或
【分析】根据题意，由两直线垂直，列出方程，即可得到结果.
【详解】因为直线与直线垂直，
则，解得或.
故答案为：或
14．
【分析】根据题意，由空间向量的模长公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，，且，，为单位向量，
则
.
故答案为：
15．
【分析】设点、，利用点差法可求得直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程.
【详解】设点、，由中点坐标公式可得，所以，
因为，两式作差得，即，
即，所以，，
因此，直线的方程为，即.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：解决中点弦的问题的两种方法：
（1）韦达定理法：联立直线与曲线的方程，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
（2）点差法：设出交点坐标，利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标代入曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率关系求解.
16．
【分析】由题可知曲线，表示圆心为，半径，在直线及右侧的半圆，作出直线与半圆，利用数形结合即得．
【详解】方程是恒过定点，斜率为的直线，
曲线，即，
表示圆心为，半径，在直线及右侧的半圆，半圆弧端点
在同一坐标系内作出直线与半圆)，如图，

当直线与半圆C相切时，得，且，
解得，又，
所以或，所以或．
故答案为：．
17．(1)或；
(2)k的值是．
【分析】（1）先求出向量的坐标，再根据共线可设，结合模长公式可求；
（2）利用向量的垂直得到它们的数量积为零，从而可求的值；
【详解】（1）空间中三点，
则，，
，且，，
，
，或．
（2）因为，，且向量与互相垂直，
，解得．
的值是．
18．(1)
(2)或
【分析】（1）过点且斜率为1的直线方程，再求出圆心到直线的距离即圆的半径，从而得到圆的方程；
（2）设到直线的距离为，由面积求出，再分斜率存在与斜率不存在两种情况讨论.
【详解】（1）过点且斜率为1的直线为，
则圆心到直线的距离，
所以半径，则圆的方程为；
（2）设到直线的距离为，则，解得，
若直线斜率不存在，方程为，满足题意；
若直线斜率存在，设为，直线的方程为，
因为，所以，解得，
直线的方程为，即；
综上，直线方程为或.

19．(1)
(2)
【分析】（1）设出直线的点斜式方程，利用截距和为零建立斜率的方程，求解斜率即可写出点斜式方程；
（2）先利用截距表示的面积，然后利用基本不等式求解最值，即可得到所求直线的方程.
【详解】（1）由题意知，的斜率存在且不为0，
设斜率为，则的点斜式方程为，则它在两坐标轴上截距分别为和，
所以，解得（此时直线过原点，舍去）或，
所以的点斜式方程为.
（2）由（1）知，，，
所以的面积，
当且仅当即时，等号成立，的点斜式方程为，即，
所以的斜截式方程为.
20．(1)证明过程见解析
(2)
【分析】（1）由线面垂直得到⊥平面，进而得到⊥平面，证明出面面垂直；
（2）建立空间直角坐标系，利用线面角的求解公式得到答案.
【详解】（1）因为⊥平面，平面，
所以⊥，
又，，平面，
所以⊥平面，
因为，
所以⊥平面，
因为平面，
所以平面平面；
（2）因为⊥平面，平面，
所以⊥，故，
且两两垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
设平面的法向量为，
则，
令，则，
故，
设直线与平面所成角的大小为，
则.

直线与平面所成角的正弦值为.
21．(1)
(2)直线的斜率为定值1
【分析】（1）由长轴长和离心率可求出，结合关系式可求出，进而求出椭圆的方程；
（2）可设，，，，由，得，将，代入椭圆整理得，联立求得，同理求得，结合，化简求出，由即可求解.
【详解】（1）由椭圆的长轴长为4可知，
又椭圆的离心率为，
所以，所以，，
因此椭圆的方程为；
（2）直线的斜率为定值，定值为1，
证明：设，，，，，
，，
由，有，
因为，在椭圆上，
所以，，因此，
整理得，
即，因此，
联立，
解之有，同理，
又因为直线过定点，所以，
将，，，代入，
有，整理得，
又，所以．
综上，直线的斜率为定值1．
22．（1）证明见解析；（2）；（3）；（4）.
【分析】（1）证明：取的中点，连接，，证明出且，判断出四边形是平行四边形，得到，利用线面平行的判定定理即可证明平面；
（2）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，用向量法求出二面角的余弦值，再求正弦值；
（3）用向量法求点到直线的距离；
【详解】（1）证明：取的中点，连接，，
因为四边形为矩形，
则且，
因为，分别是，的中点，
则且，
又是正方形的中心，
则，
所以且，
则四边形是平行四边形，
故，
又平面，平面，
故平面；
（2）解：以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，所以，，
设平面的法向量为，
则，即，不妨令，则，
因为平面，
则平面的一个法向量为，
所以，
则二面角的正弦值为；
（3）解：因为，，，
则，，
所以，
所以点到直线的距离为；