3.3抛物线 同步练习2023——2024学年上学期高二数学人教A版（2019）选择性必修1（含解析）

3.3抛物线同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若抛物线上两点，关于直线对称，且，则中点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．设抛物线的焦点为，直线过点与抛物线交于两点，以为直径的圆与轴交于两点，且，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
3．已知焦点为的抛物线上有一点，准线交轴于点.若，则直线的斜率（ ）
A． B． C． D．
4．已知F是抛物线C：的焦点，A，B是抛物线C上的两点，，则线段AB的中点到x轴的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．抛物线的焦点为F，点P在双曲线C：的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为（ ）
A．1 B． C．或 D．或
6．已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在抛物线上，且，，则（ ）
A． B． C． D．
7．若点满足方程，则点的轨迹是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
8．关于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．开口向右 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为x轴
二、多选题
9．已知抛物线E：的焦点为F，准线与坐标轴交于点C，过点C且斜率为k的直线l与抛物线E交于A，B两点（点B在点A和点C之间），则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C．若B为的中点，则 D．若B为的中点，则
10．过点且与抛物线只有一个交点的直线方程可能是（ ）
A． B． C． D．
11．在直角坐标系中，已知抛物线：的焦点为，过点的倾斜角为的直线与相交于，两点，且点在第一象限，的面积是，则（ ）
A． B．
C． D．
12．对于抛物线，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为
C．准线方程为 D．准线方程为
三、填空题
13．已知抛物线C：的焦点为F，O为原点，点M是抛物线C准线上的一动点，点A在抛物线C上，且，则的最小值为 .
14．若抛物线上的点到其焦点的距离为3，则 .
15．已知点是抛物线的焦点，点，在上，且，则点到直线的距离可以为 ．
16．已知抛物线上有，A，B三点，且直线过抛物线的焦点F，抛物线的准线与轴交于点C，若，则 ， ．
四、解答题
17．已知抛物线的焦点为，抛物线上一点横坐标为，且点到焦点的距离为.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点作直线交抛物线于点，求面积的最小值（其中为坐标原点）.
18．设O为坐标原点，直线与抛物线C：交于A，B两点，若.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若斜率为的直线l过抛物线C的焦点，且与抛物线C交于D，E两点，求的值.
19．在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线的距离相等，记动点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)直线与相交异于坐标原点的两点，，若，证明：直线恒过定点，并求出定点坐标．
20．已知抛物线：，坐标原点为，焦点为，直线：.
(1)若直线与抛物线只有一个公共点，求的值；
(2)过点作斜率为的直线交抛物线于,两点，求的面积．
21．已知抛物线的顶点为，过点的直线交于两点.
(1)判断是否为定值，并说明理由；
(2)设直线分别与直线交于点，求的最小值.
22．已知双曲线：的一个焦点与抛物线：的焦点重合.
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线：交抛物线于A、B两点，O为原点，求证：以为直径的圆经过原点O.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．B
【分析】根据已知条件求得，进而求得中点坐标.
【详解】因为抛物线上两点，关于直线对称，
故和直线垂直，
所以，故，
又，所以，
故中点坐标是，即
故选：B
2．A
【分析】设，作y轴，过A，B向准线作垂线，垂足为，，由梯形中位线得到，然后求得r，进而得到，然后，利用韦达定理求解.
【详解】解：如图所示：

设，作y轴，过A，B向准线作垂线，垂足为，，
则，所以，
则，即，
解得或（舍去），则，
设，
由，消去y得，
则，解得，
所以直线方程为，即，
故选：A
3．B
【分析】根据抛物线的简单几何性质、直线的斜率求解.
【详解】由抛物线的性质，得，所以，则.
设，则，所以，所以，解得，
所以直线的斜率.
故选:B.
4．B
【分析】根据给定条件，利用抛物线的定义求出线段AB的中点纵坐标即得.
【详解】抛物线C：的准线方程为，设，
由抛物线定义，得，由，得，
解得，因此线段AB的中点纵坐标为，
所以线段AB的中点到x轴的距离为4.
故选：B
5．D
【分析】确定焦点和渐近线方程，设，，再计算面积即可.
【详解】抛物线的焦点为，双曲线C：的渐近线为，
不妨取，设，，
解得或，或.
故选：D
6．A
【分析】设出直线方程与抛物线方程联立，并由，结合根与系数的关系求解.
【详解】根据抛物线，得:，
因为：，得三点共线，所以直线过点且斜率不为，故设直线的方程为：，
与抛物线方程联立得：，化简得：，
设，此时，根据根与系数的关系得：．
由，知，即，化简得：，
又因为点在抛物线上，所以：，
所以：，所以（舍去负值）．
由，得：，即：，
所以：，所以：，所以：.
故选：A
7．D
【分析】根据轨迹方程所代表的意义和抛物线的定义可得答案.
【详解】等式左侧表示点与点间的距离，
等式右侧表示到直线的距离，
整个等式表示点到点的距离和到直线的距离相等，
且点不在直线上，
所以点轨迹为抛物线.
故选：D.
8．D
【分析】根据抛物线的方程结合抛物线的性质逐项分析判断.
【详解】因为抛物线方程为，则，即，
所以开口向左，焦点坐标为，准线为，对称轴为x轴，
即D正确，ABC错误.
故选：D.
9．BCD
【分析】由题意，设出直线的方程，将直线与抛物线联立，利用根的判别式得到且，设，，根据韦达定理得到和的表达式，结合抛物线的焦半径对选项进行逐一分析，进而即可求解.
【详解】依题意得，，，设直线的方程为，联立得，
消去得，因为直线与抛物线相交于，两点，
所以，解得且，即，故选项A错误；
，因为且，所以，
则，故选项B正确；
若B为的中点，则，由韦达定理知，所以，
解得，从而，所以，
所以，故选项C正确；
又，所以即，解得，满足题意，故选项D正确.

故选：BCD
10．ABC
【分析】由已知当直线与抛物线对称轴平行时成立，当直线与抛物线对称轴不平行时，设点斜式，联立方程，利用判别式确定方程只有一个解时的斜率，即可得解.
【详解】由已知抛物线方程为，其对称轴为，
当直线与抛物线对称轴平行时，直线方程为，此时与抛物线只有一个交点成立，
当直线与抛物线对称轴不平行时，可知直线斜率存在，
设直线方程为，
联立直线与抛物线，得，
由直线与抛物线只有一个交点，可知，
解得或，
所以直线方程为或，即，或，
综上所述：直线方程为或，或，
故选：ABC.
11．AC
【分析】根据和点到直线的距离公式结合的面积是可得，；
由公式，可得，.
【详解】由题意得，设直线：即，
则点到直线的距离是，
所以，得，所以，
，，所以AC正确，
故选：AC.
12．AD
【分析】把抛物线的方程化为标准方程，结合性质可得答案.
【详解】因为，所以抛物线开口向上，焦点为，其准线方程为，结合选项可得A，D正确.
故选：AD
13．
【分析】根据条件先确定点坐标和准线方程，然后通过作关于准线的对称点结合三点共线求解出线段和的最小值.
【详解】因为，所以，所以，所以，
不妨取，，准线，
作关于准线的对称点，则，
所以的最小值即为，
当且仅当三点共线时取最小值，
所以的最小值为，
故答案为：.
14．2
【分析】根据抛物线方程及抛物线定义有，求参数即可.
【详解】由题设及抛物线定义知：且.
故答案为：
15．或
【命题意图】本题考查抛物线的定义、几何性质，直线的方程，点到直线的距离公式，体现了数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养．
【详解】易知抛物线的准线方程为，
由抛物线的性质可知，，
因为，
所以，解得，
所以抛物线的方程为，
则，，，
当，时，直线的方程为，
即，
则点到直线的距离；
当，时，由抛物线的对称性，可得点到直线的距离；
当，时，直线的方程为，
即，则点到直线的距离；
当，时，由抛物线的对称性，可得点到直线的距离；
综上可知，点到直线的距离可以为或，
故答案为：或．
16． 8 /
【分析】先根据条件求出抛物线的方程，作图，再根据图中的几何关系求解.
【详解】由题意，将点代入，得，解得，所以抛物线的方程为，准线l的方程为；
如图，过A作于M，过B作于N，过B作于，交x轴于G，连接，BC，
设，则由，得，，，所以，
显然，，
所以 ，解得，
所以，，，，，
，，
在中，由余弦定理得，
所以，

故答案为：8，.
17．(1)
(2)
【分析】（1）借助抛物线的定义即可求解；
（2）设直线的方程为，与抛物线方程联立，再用韦达定理表示面积，借助基本不等式即可求解.
【详解】（1）由题意知，准线方程：，
由抛物线定义可知：点到焦点的距离即为点到准线的距离，
所以 ， 解得.
所以.
（2）由（1） 知， 抛物线，直线过，
可设直线的方程为，，不妨设，
联立消得，
所以，，
∴，
当且仅当，即时取等号，
∴面积最小值为.

18．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意分析可得，代入方程运算求解；
（2）根据题意可得，联立方程，利用韦达定理结合抛物线的定义分析求解.
【详解】（1）因为与抛物线交于A，B，且，
根据对称性可得 ，
，
代入得，解得，
所以抛物线C的方程.
（2）由（1）知抛物线的焦点为，
可知直线的方程为 ，设，，
联立方程，消去y得，
则，可得，
所以.

19．(1)
(2)证明见解析，
【分析】（1）利用抛物线的定义或者直接把条件转化可得答案；
（2）设出方程，利用垂直可得，进而得到定点或者利用直线的两点式方程，结合韦达定理可得定点.
【详解】（1）法一因为到点的距离与到直线的距离相等；
所以的轨迹是以为焦点为准线的抛物线故可设的方程为,
则有 所以,
故的方程为.
法二设的坐标为则有,
所以.
即, 所以的方程为.
（2）法一设方程为，
因为，所以，即.
所以，即；
由得，
所以.
所以，即，所以；
所以方程为，
故恒过定点.
法二设，因为，所以；
所以，所以.
所以的方程为，
整理得，
所以，即，
所以直线恒过定点.
20．(1)或
(2)
【分析】（1）联立直线方程与抛物线方程，分别讨论当或，即可求解；
（2）由抛物线的标准方程可得到焦点坐标，从而得到直线方程，联立直线方程与抛物线方程，根据韦达定理及即可求解.
【详解】（1）依题意，联立，消去，得：，即：，
①当时，有：，显然方程只有一个解，满足条件；
②当时，要使得直线与抛物线只有一个公共点，
则方程只有一个解，
所以，解得：；
综上所述，当或时，直线与抛物线只有一个公共点．
（2）由于抛物线：的焦点的坐标为，
所以过点且斜率为的直线方程为：，
设，，
联立，消去，得：，
则由韦达定理得：，，
所以，
所以.
21．(1)为定值，理由见解析
(2)
【分析】（1）考虑直线斜率为0和不为0，设出直线方程，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，求出；
（2）求出点和点的横坐标，表达出，换元后求出最小值.
【详解】（1）当过点的直线斜率为0时，与抛物线只有1个交点，不合要求，舍去，
设直线的方程为，
联立得，
设，则，
所以，
所以为定值-4.

（2）直线的方程为，直线的方程为，
由，得点的横坐标，

同理：点的横坐标为，
于是
，
令，则，
所以，
综上所述：当，即时，的最小值为.
22．(1)
(2)见解析.
【分析】（1）根据双曲线方程求出其焦点坐标，即也是抛物线焦点，得到抛物线方程.
（2）直线l与抛物线联立后，利用韦达定理求出即可得证.
【详解】（1）由双曲线方程知其焦点在x轴上且焦点坐标为，，所以为抛物线：的焦点，得，
所以抛物线的方程为.
（2）设，
联立，
由韦达定理得，
所以
所以，
所以以为直径的圆经过原点O.得证
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