【名师备课】人教版数学七上《1.5有理数的乘方》教学设计+同步测试题
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| 名称 | 【名师备课】人教版数学七上《1.5有理数的乘方》教学设计+同步测试题 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 42.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2015-04-11 15:43:05 | ||
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文档简介
1.5 有理数的乘防
教学任务分析
教学目标 知识技能 掌握有理数混合运算的法则，并能熟练地进行有理数加、减、乘、除、乘方的混合运算．
数学思考 在运算过程中能合理使用运算律简化运算，体会运算律的作用．
解决问题 在理解有理数乘方的基础上进行有理数准确计算．
情感态度 在探索有理数的乘方法则的过程中培养学生的探索精神，同时培养学生良好的学习习惯．
重点 有理数的乘方法则的发现和有理数的混合运算．
难点 乘方法则的发现，混合运算中最佳运算方法的寻找．
教学流程安排
活动流程图 活动内容和目的
问题1 复习有理数的乘法问题2 引入乘方 问题3 计算 问题4 计算探索 问题5 解决问题 问题6 独立计算、思考 问题7 巩固练习 问题8 解决相关问题 小结、作业 创设情境、自主探索，引入本节课的研究问题． 探索乘方法则． 探索幂的符号，培养探索精神． 区别底数和幂，加深对幂的认识． 通过计算总结在有理数混合运算时运算顺序． 通过巩固练习加深对新知的理解和掌握． 知识拓展创新、培养学生思维的深刻性以及灵活性． 培养归纳能力、巩固新知．
教学过程设计
一、创设情境、自主探索，引入本节课的研究问题
问题1：几个不是0的有理数相乘，积的符号是由什么确定的？
学生探索活动：学生回忆，经过回忆发现积的 ( http: / / www.21cnjy.com )符号是由负因数的个数确定的，若负因数的个数为偶数时，积的符号为正；当负因数的个数为奇数时，积的符号为负．
问题2：2×2×……×2（10个2）我们可以如何表示？你能举出类似的例子吗？
学生探索活动：学生根据小学中学过的正方形的 ( http: / / www.21cnjy.com )面积a·a，读作a的平方（二次方），即：a2，立方体的体积a·a·a，读作a的立方(或a的三次方)，即a3，依次可以猜想：2×2×……×2（10个2）＝210，表示10个2相乘．
根据学生所举的例子的共同特点（求几个相同因式乘积的运算），由学生自主进行归纳．
学生归纳（必要时教师进行启发补充等）：
归纳1：n相同的因数相乘，即aa……a（n个a）记作：an，读作a的n次方．
归纳2：求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在an中，a叫作底数，n叫作指数，当an看作一个结果时，也可以读作a的n次幂．
注意：一个数可以看成这个数本身的一次方实际上是一种规定．也可以这样来理解：指数就是指相乘的因数的个数，指数是1，就是指只有一个因数．
二、知识应用、巩固新知、引出新的要探究的问题
问题3：
计算：
（1）（－4）3 ； （2）（－2）4；
（3） ； （4）（－1）7．
学生活动：乘方就是几个相同因数的积的运算，故可用有理数的乘法运算来进行乘方运算．
解答过程略 ．
注意：表示负数的乘方，书写时一定要把整个负数（连同符号）用括号括起来，例如，（-4）×（-4）×（-4）×（-4）=（-4）3．
问题4： 不计算下列各式的值，你能确定其符号吗？你能得到什么规律吗？说出你的根据．
（1）（－2）51 ； （2）（－2）50 ； （3）250 ； （4）251．
教师活动设计：这两个问题主要让学生探索乘方 ( http: / / www.21cnjy.com )的符号法则，开始时一部分学生可能找不到解决问题的思路，此时可以让学生充分的思考，必要时可以进行适当的讨论，然后进行交流，学生在交流中逐步得到正确的结果，从而归纳出一定的规律．
注意：－250和（－2）50的区别．
学生活动：学生独立思考，在 ( http: / / www.21cnjy.com )独立思考的基础上进行交流，发现可以利用“几个不是零的有理数的积的符号”法则来确定乘方法则，（－2）51 表示有51个－2相乘，当然有奇数个（51个）负因数，于是结果的符号应是负号，而（－2）50表示有50个－2相乘，当然有偶数个（50个）负因数，结果的符号应是正号，再进一步归纳．
归纳：
（1）正数的任何次幂是正数；
（2）负数的偶次幂是正数；负数的奇次幂是负数；
（3）0的任何次幂等于零； l的任何次幂等于1．
从而可得有理数乘方的符号法则．
问题5： 解决下列问题，你能从中发现什么？
（1） 2×32和（2×3）2 有什么区别？各等于什么？
（2）32与23有什么区别？各等于什么？
（3）-34和(-3) 4有什么区别？各等于什么？
学生活动设计：
（1） 2×32表示 2与3的平方之积，等于18；而（2×3）2表示2与3的积的平方，等于36．
注意：没有括号时，应按先乘方，再乘除，后加减的顺序计算．
（2）32表示3的2次幂；而23表示2的3次幂，它们的结果分别是9和8．
（3）-34表示4个3相乘的积的相反数 ( http: / / www.21cnjy.com )或3的4次幂的相反数；而(-3) 4则表示4个(-3)相乘的积或(-3)的4次幂，结果分别是-81和81．因此，不要出现-34= (-3) 4这样的错误．
归纳：在进行有理数的乘方运算时要辨别清楚底数和指数，以及符号问题，避免出错．
三、知识混合应用、培养学生的综合计算的能力以及灵活运用知识的能力
问题6： 计算下列各题，请总结在有理数混合运算时运算顺序应是怎样的？
(1)3+22×(－) ；
(2)-72十2×(－3)2＋(－6)÷(－)2 ；
（3）(－3)2×[ ] ．
教师活动：（１）鼓励学生独立完成； ( http: / / www.21cnjy.com )（２）指定三名学生到黑板演示；（３）待黑板上学生完成后，教师评析：1）强调运算顺序；2）注意－72＝－（7×7）＝－49；（4）第（3）小题还可以运用乘法分配律来计算．
学生活动：学生独立完成上述问题的解 ( http: / / www.21cnjy.com )决，在解决问题的过程中进一步熟练法则，同时体会在运算过程中应该遵循一定的运算顺序，从而归纳出有理数混合运算时的运算顺序．
归纳运算顺序：
1. 先乘方、再乘除、最后加减；
2. 同级运算，从左到右进行；
3. 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
问题7：巩固练习：
(1)8十(－3)2×(－2)；
(2)100÷(－2)2－(－2)÷(－)；
(3)－34÷2×(－)2．
四、拓展创新、引导学生解决新的问题，培养学生思维的灵活性和深刻性
问题8： 解决下列问题：
1．观察下列三行数
－2，4，－8，16，－32，64……①；
0， 6，－6，18，－30，66……②；
－1，2，－4，8， －16，32……③．
（1） 第①行数是按什么规律排列的？
（2） 第②、③行数与第①行数分别有什么关系？
（3） 取每行数的第10个数，计算这3个数的和．
学生活动设计：
让学生充分观察、独立思考（必要时可以让学生进行小范围讨论），对于第一个问题，通过观察发现第①行数的排列规律为：
－2，（－2）2，（－2）3，（－2）4，（－2）5，（－2）6……
对于第二个问题，对比第②行与第①行对应位置的数可以发现第②行的数是第①行对应位置的数加2，即：
－2＋2，（－2）2+2，（－2）3+2，（－2）4+2，（－2）5+2，（－2）6+2……．
对比第③行与第①行对应位置的数可以发现第③行的数是第①行对应位置的数0.5倍，即：
－2×0.5，（－2）2×0.5，（－2）3×0.5，（－2）4×0.5，（－2）5×0.5，（－2）6×0.5……．
对于第三个问题，首先可以确定第①行中的第10 ( http: / / www.21cnjy.com )个数为（－2）10，于是可以得到第②行的第10个数是（－2）10＋2，同理利用得到第③行第10个数是（－2）10×0.5．
于是有：
（－2）10+[（－2）10＋2]+[（－2）10×0.5]=2562．
〔解答〕略．
2． 有一张厚度是0.1毫米的纸，将它对折1 次后，厚度为2×0.1毫米．
（1）对折2次后，厚度为多少毫米？
（2）对折20次后，厚度为多少毫米？二、讲授新课：
学生活动设计：
探索：根据问题容易得到当对折两次后厚度为4×0.1＝22×0.1毫米．
当考虑对折20次时的厚度时 ( http: / / www.21cnjy.com )，给学生充分思考的时间和空间，同时必要时可以让学生进行讨论，经过讨论可以发现（关键时老师提醒、启发）对折3次时厚度变为8×0.1＝23×0.1毫米，对折4次是16×0.1＝24×0.1毫米，对折5次是32×0.1＝25×0.1毫米……
归纳：对折20次应是220×0.1毫米．
教师活动设计：在上述问题 ( http: / / www.21cnjy.com )的解决过程中教师要作好参与者、引导者的角色，当学生没有思路时应适时的引导和启发，开拓学生的思路，帮助学生更好的解决问题．
五、小结与作业
小结：
1. 有理数的乘方；
2. 乘方的符号法则；
3. 有理数的混合运算．
作业：
第54页 练习；
第58页 习题1.5 第1、3、11题．
《1.5有理数的乘方》测试题
一、填空题
1.用幂的形式可表示为______.
考查说明：本题考查把乘方用幂的形式表示。
答案与解析：。要强调的是负数的乘方一定要打括号。
2.平方得9的数是_____，立方得－64的数是________。
考查说明：本题考查的知识点是平方得正数的数有两个，它们互为相反数。而任何数的立方都只有一个。
答案与解析：±3；-4。前一个空很容易把正负号写掉。
3.2006年，外国来中国留学的人数创历史新高，共计16.27万人，用科学记数法表示这个数应为 人.
考查说明：本题主要考察科学记数法的表示方法。
答案与解析：1.627×。在a×的形式中,a的范围是1<10,而n是正整数，不要数错位数。
4.今年1～5月份，深圳市累计完成地方 ( http: / / www.21cnjy.com )一般预算收入216.58亿元，数据 216.50亿精确到__________，有效数字有 个。
考查说明：本题考查的知识点是近似数与有效数字。
答案与解析：百万位 ；5。精确到哪 ( http: / / www.21cnjy.com )一位就看数的最后一位在什么位上；而有效数字是指从左边第一个不是0的数起，到右边精确到的数位止，中间所有的数字都叫有效数字。
5.如果2+=0，那么2003+2004=________.
考查说明：本题考查一种题型：几个非负数的和等于零，这几个非负数都等于零。完全平方和绝对值是两种非负数。
答案与解析：2。因为≥0，≥0，2+=0，所以=0，
=0，所以x=1,b=-1,所以2003+2004=1+1=2。
二、选择题
6.下列说法正确的是（ ）
A.一个数的平方一定大于这个数 ( http: / / www.21cnjy.com ) B. 一个数的平方一定大于这个数的相 反数 C.一个数的平方只能是正数 D.一个数的平方不能是负数
考查说明：本题考查对平方的认识，除了零是特殊值之外，还要考虑纯小数的平方越来越小。
答案与解析：D。A是错的，反例可以举0，也可以举纯小数。B是错的，还是可以想一想0。C是错的，0不是。D是对的,任何数的平方都是非负数。
7.蟑螂的生命力很旺盛，它繁衍后代的方法 ( http: / / www.21cnjy.com )为下一代的数目永远是上一代数目的5倍也就是说，如果蟑螂始祖（第一代）有5只，则下一代（第二代）就有25只，依次类推，推算蟑螂第10代有（ ）.
A.512 B.511 C.510 D.59
考查说明：本题是一个找规律的题，主要用到数的乘方。
答案与解析：C。因为第一代是，第二代是，以此类推得出答案。
三、解答题
8. 计算
考查说明：本题主要考察乘方的应用和乘法的运算律。
答案与解析：原式=××8×（-1）×=×8）×（-2）=-2
教学任务分析
教学目标 知识技能 掌握有理数混合运算的法则，并能熟练地进行有理数加、减、乘、除、乘方的混合运算．
数学思考 在运算过程中能合理使用运算律简化运算，体会运算律的作用．
解决问题 在理解有理数乘方的基础上进行有理数准确计算．
情感态度 在探索有理数的乘方法则的过程中培养学生的探索精神，同时培养学生良好的学习习惯．
重点 有理数的乘方法则的发现和有理数的混合运算．
难点 乘方法则的发现，混合运算中最佳运算方法的寻找．
教学流程安排
活动流程图 活动内容和目的
问题1 复习有理数的乘法问题2 引入乘方 问题3 计算 问题4 计算探索 问题5 解决问题 问题6 独立计算、思考 问题7 巩固练习 问题8 解决相关问题 小结、作业 创设情境、自主探索，引入本节课的研究问题． 探索乘方法则． 探索幂的符号，培养探索精神． 区别底数和幂，加深对幂的认识． 通过计算总结在有理数混合运算时运算顺序． 通过巩固练习加深对新知的理解和掌握． 知识拓展创新、培养学生思维的深刻性以及灵活性． 培养归纳能力、巩固新知．
教学过程设计
一、创设情境、自主探索，引入本节课的研究问题
问题1：几个不是0的有理数相乘，积的符号是由什么确定的？
学生探索活动：学生回忆，经过回忆发现积的 ( http: / / www.21cnjy.com )符号是由负因数的个数确定的，若负因数的个数为偶数时，积的符号为正；当负因数的个数为奇数时，积的符号为负．
问题2：2×2×……×2（10个2）我们可以如何表示？你能举出类似的例子吗？
学生探索活动：学生根据小学中学过的正方形的 ( http: / / www.21cnjy.com )面积a·a，读作a的平方（二次方），即：a2，立方体的体积a·a·a，读作a的立方(或a的三次方)，即a3，依次可以猜想：2×2×……×2（10个2）＝210，表示10个2相乘．
根据学生所举的例子的共同特点（求几个相同因式乘积的运算），由学生自主进行归纳．
学生归纳（必要时教师进行启发补充等）：
归纳1：n相同的因数相乘，即aa……a（n个a）记作：an，读作a的n次方．
归纳2：求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在an中，a叫作底数，n叫作指数，当an看作一个结果时，也可以读作a的n次幂．
注意：一个数可以看成这个数本身的一次方实际上是一种规定．也可以这样来理解：指数就是指相乘的因数的个数，指数是1，就是指只有一个因数．
二、知识应用、巩固新知、引出新的要探究的问题
问题3：
计算：
（1）（－4）3 ； （2）（－2）4；
（3） ； （4）（－1）7．
学生活动：乘方就是几个相同因数的积的运算，故可用有理数的乘法运算来进行乘方运算．
解答过程略 ．
注意：表示负数的乘方，书写时一定要把整个负数（连同符号）用括号括起来，例如，（-4）×（-4）×（-4）×（-4）=（-4）3．
问题4： 不计算下列各式的值，你能确定其符号吗？你能得到什么规律吗？说出你的根据．
（1）（－2）51 ； （2）（－2）50 ； （3）250 ； （4）251．
教师活动设计：这两个问题主要让学生探索乘方 ( http: / / www.21cnjy.com )的符号法则，开始时一部分学生可能找不到解决问题的思路，此时可以让学生充分的思考，必要时可以进行适当的讨论，然后进行交流，学生在交流中逐步得到正确的结果，从而归纳出一定的规律．
注意：－250和（－2）50的区别．
学生活动：学生独立思考，在 ( http: / / www.21cnjy.com )独立思考的基础上进行交流，发现可以利用“几个不是零的有理数的积的符号”法则来确定乘方法则，（－2）51 表示有51个－2相乘，当然有奇数个（51个）负因数，于是结果的符号应是负号，而（－2）50表示有50个－2相乘，当然有偶数个（50个）负因数，结果的符号应是正号，再进一步归纳．
归纳：
（1）正数的任何次幂是正数；
（2）负数的偶次幂是正数；负数的奇次幂是负数；
（3）0的任何次幂等于零； l的任何次幂等于1．
从而可得有理数乘方的符号法则．
问题5： 解决下列问题，你能从中发现什么？
（1） 2×32和（2×3）2 有什么区别？各等于什么？
（2）32与23有什么区别？各等于什么？
（3）-34和(-3) 4有什么区别？各等于什么？
学生活动设计：
（1） 2×32表示 2与3的平方之积，等于18；而（2×3）2表示2与3的积的平方，等于36．
注意：没有括号时，应按先乘方，再乘除，后加减的顺序计算．
（2）32表示3的2次幂；而23表示2的3次幂，它们的结果分别是9和8．
（3）-34表示4个3相乘的积的相反数 ( http: / / www.21cnjy.com )或3的4次幂的相反数；而(-3) 4则表示4个(-3)相乘的积或(-3)的4次幂，结果分别是-81和81．因此，不要出现-34= (-3) 4这样的错误．
归纳：在进行有理数的乘方运算时要辨别清楚底数和指数，以及符号问题，避免出错．
三、知识混合应用、培养学生的综合计算的能力以及灵活运用知识的能力
问题6： 计算下列各题，请总结在有理数混合运算时运算顺序应是怎样的？
(1)3+22×(－) ；
(2)-72十2×(－3)2＋(－6)÷(－)2 ；
（3）(－3)2×[ ] ．
教师活动：（１）鼓励学生独立完成； ( http: / / www.21cnjy.com )（２）指定三名学生到黑板演示；（３）待黑板上学生完成后，教师评析：1）强调运算顺序；2）注意－72＝－（7×7）＝－49；（4）第（3）小题还可以运用乘法分配律来计算．
学生活动：学生独立完成上述问题的解 ( http: / / www.21cnjy.com )决，在解决问题的过程中进一步熟练法则，同时体会在运算过程中应该遵循一定的运算顺序，从而归纳出有理数混合运算时的运算顺序．
归纳运算顺序：
1. 先乘方、再乘除、最后加减；
2. 同级运算，从左到右进行；
3. 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
问题7：巩固练习：
(1)8十(－3)2×(－2)；
(2)100÷(－2)2－(－2)÷(－)；
(3)－34÷2×(－)2．
四、拓展创新、引导学生解决新的问题，培养学生思维的灵活性和深刻性
问题8： 解决下列问题：
1．观察下列三行数
－2，4，－8，16，－32，64……①；
0， 6，－6，18，－30，66……②；
－1，2，－4，8， －16，32……③．
（1） 第①行数是按什么规律排列的？
（2） 第②、③行数与第①行数分别有什么关系？
（3） 取每行数的第10个数，计算这3个数的和．
学生活动设计：
让学生充分观察、独立思考（必要时可以让学生进行小范围讨论），对于第一个问题，通过观察发现第①行数的排列规律为：
－2，（－2）2，（－2）3，（－2）4，（－2）5，（－2）6……
对于第二个问题，对比第②行与第①行对应位置的数可以发现第②行的数是第①行对应位置的数加2，即：
－2＋2，（－2）2+2，（－2）3+2，（－2）4+2，（－2）5+2，（－2）6+2……．
对比第③行与第①行对应位置的数可以发现第③行的数是第①行对应位置的数0.5倍，即：
－2×0.5，（－2）2×0.5，（－2）3×0.5，（－2）4×0.5，（－2）5×0.5，（－2）6×0.5……．
对于第三个问题，首先可以确定第①行中的第10 ( http: / / www.21cnjy.com )个数为（－2）10，于是可以得到第②行的第10个数是（－2）10＋2，同理利用得到第③行第10个数是（－2）10×0.5．
于是有：
（－2）10+[（－2）10＋2]+[（－2）10×0.5]=2562．
〔解答〕略．
2． 有一张厚度是0.1毫米的纸，将它对折1 次后，厚度为2×0.1毫米．
（1）对折2次后，厚度为多少毫米？
（2）对折20次后，厚度为多少毫米？二、讲授新课：
学生活动设计：
探索：根据问题容易得到当对折两次后厚度为4×0.1＝22×0.1毫米．
当考虑对折20次时的厚度时 ( http: / / www.21cnjy.com )，给学生充分思考的时间和空间，同时必要时可以让学生进行讨论，经过讨论可以发现（关键时老师提醒、启发）对折3次时厚度变为8×0.1＝23×0.1毫米，对折4次是16×0.1＝24×0.1毫米，对折5次是32×0.1＝25×0.1毫米……
归纳：对折20次应是220×0.1毫米．
教师活动设计：在上述问题 ( http: / / www.21cnjy.com )的解决过程中教师要作好参与者、引导者的角色，当学生没有思路时应适时的引导和启发，开拓学生的思路，帮助学生更好的解决问题．
五、小结与作业
小结：
1. 有理数的乘方；
2. 乘方的符号法则；
3. 有理数的混合运算．
作业：
第54页 练习；
第58页 习题1.5 第1、3、11题．
《1.5有理数的乘方》测试题
一、填空题
1.用幂的形式可表示为______.
考查说明：本题考查把乘方用幂的形式表示。
答案与解析：。要强调的是负数的乘方一定要打括号。
2.平方得9的数是_____，立方得－64的数是________。
考查说明：本题考查的知识点是平方得正数的数有两个，它们互为相反数。而任何数的立方都只有一个。
答案与解析：±3；-4。前一个空很容易把正负号写掉。
3.2006年，外国来中国留学的人数创历史新高，共计16.27万人，用科学记数法表示这个数应为 人.
考查说明：本题主要考察科学记数法的表示方法。
答案与解析：1.627×。在a×的形式中,a的范围是1<10,而n是正整数，不要数错位数。
4.今年1～5月份，深圳市累计完成地方 ( http: / / www.21cnjy.com )一般预算收入216.58亿元，数据 216.50亿精确到__________，有效数字有 个。
考查说明：本题考查的知识点是近似数与有效数字。
答案与解析：百万位 ；5。精确到哪 ( http: / / www.21cnjy.com )一位就看数的最后一位在什么位上；而有效数字是指从左边第一个不是0的数起，到右边精确到的数位止，中间所有的数字都叫有效数字。
5.如果2+=0，那么2003+2004=________.
考查说明：本题考查一种题型：几个非负数的和等于零，这几个非负数都等于零。完全平方和绝对值是两种非负数。
答案与解析：2。因为≥0，≥0，2+=0，所以=0，
=0，所以x=1,b=-1,所以2003+2004=1+1=2。
二、选择题
6.下列说法正确的是（ ）
A.一个数的平方一定大于这个数 ( http: / / www.21cnjy.com ) B. 一个数的平方一定大于这个数的相 反数 C.一个数的平方只能是正数 D.一个数的平方不能是负数
考查说明：本题考查对平方的认识，除了零是特殊值之外，还要考虑纯小数的平方越来越小。
答案与解析：D。A是错的，反例可以举0，也可以举纯小数。B是错的，还是可以想一想0。C是错的，0不是。D是对的,任何数的平方都是非负数。
7.蟑螂的生命力很旺盛，它繁衍后代的方法 ( http: / / www.21cnjy.com )为下一代的数目永远是上一代数目的5倍也就是说，如果蟑螂始祖（第一代）有5只，则下一代（第二代）就有25只，依次类推，推算蟑螂第10代有（ ）.
A.512 B.511 C.510 D.59
考查说明：本题是一个找规律的题，主要用到数的乘方。
答案与解析：C。因为第一代是，第二代是，以此类推得出答案。
三、解答题
8. 计算
考查说明：本题主要考察乘方的应用和乘法的运算律。
答案与解析：原式=××8×（-1）×=×8）×（-2）=-2