3.2双曲线 同步练习2023——2024学年上学期高二数学人教A版（2019）选择性必修1（含解析）
文档属性
| 名称 | 3.2双曲线 同步练习2023——2024学年上学期高二数学人教A版（2019）选择性必修1（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-23 11:24:22 | ||
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文档简介
3.2双曲线同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．当时，方程表示的曲线不可能是（ ）
A．圆 B．直线
C．焦点在轴的椭圆 D．焦点在轴的双曲线
2．已知双曲线的离心率为，则渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
3．双曲线C：（，）的一条渐近线过点，，是C的左右焦点，且，若双曲线上一点M满足，则（ ）
A．或 B． C． D．
4．若双曲线（，）的右焦点到其渐近线的距离为，则（ ）
A． B． C． D．
5．双曲线的左、右焦点分别为，，点是其右支上一点．若，，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知为椭圆和双曲线的公共焦点，P为它们的公共点，且，则的面积为( )
A． B． C． D．
7．若方程所表示的曲线为，则下面四个命题中正确的是（ ）
A．若为椭圆，则
B．若为双曲线，则或
C．曲线不可能是圆
D．若为椭圆，且长轴在轴上，则
8．已知双曲线的离心率为，则其渐近线的倾斜角为（ ）
A． B． C．或 D．或
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．直线的倾斜角的范围是
C．方程表示的曲线是双曲线
D．曲线与曲线恰有三条公切线，则
10．已知点是双曲线上任意一点，，是的左、右焦点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．的离心率为
C． D．的渐近线方程为
11．过双曲线的右焦点作直线与该双曲线交于、两点，则（ ）
A．存在四条直线，使
B．存在直线，使弦的中点为
C．与该双曲线有相同渐近线且过点的双曲线的标准方程为
D．若，都在该双曲线的右支上，则直线斜率的取值范围是
12．在平面直角坐标系中，已知，分别为曲线（且）的左、右焦点，则下列说法正确的是（ ）
A．若为双曲线，且它的一条渐近线方程为，则的焦距为
B．若，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则的面积为
C．若为椭圆，且与双曲线有相同的焦点，则的值为
D．若，为曲线上一点，则的取值范围是
三、填空题
13．已知分别为双曲线的左右焦点，过且斜率为的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆半径为的内切圆半径为．若，则
14．已知双曲线E：的左、右焦点分别为，，E上存在点P，使得，且的内切圆与y轴相切，则E的离心率为 .
15．以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的标准方程为 ．
16．已知双曲线，过原点的直线l与双曲线交于B，C两点，A为双曲线的右顶点，F为双曲线的左焦点，直线AB，AC的斜率之积为，则b＝ ；若，则的面积为 .
四、解答题
17．已知双曲线：，其渐近线方程为，点在上.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点的两条直线AP，AQ分别与双曲线交于P，Q两点（不与点A重合），且两条直线的斜率之和为1，求证：直线PQ过定点.
18．设双曲线：，点，是双曲线的左，右顶点，点在双曲线上.
(1)若，点，求双曲线C的方程；
(2)当P异于点，时，直线与的斜率之积为2，求双曲线的离心率.
19．已知双曲线的一个顶点为，D，E是C上关于原点O对称的两点，且直线AD，AE的斜率之积为．
(1)求C的标准方程．
(2)设Q是C上任意一点，过Q作与C的两条渐近线平行的直线，与x轴分别交于点M，N，判断x轴上是否存在点G，使得为定值．
20．（1）动点与定点的距离和M到定直线x=的距离的比是常数，求动点M的轨迹方程;
（2）动点与定点的距离和M到定直线x=的距离的比是常数，求动点M的轨迹方程;
（3）点与定点的距离和M到定直线x=的距离的比是常数（），求动点M的轨迹方程.
21．双曲线：的渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为1.
(1)求的方程；
(2)是否存在直线，经过点且与双曲线于A，两点，为线段的中点，若存在，求的方程；若不存在，说明理由.
22．已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且双曲线过点．
(1)求双曲线的标准方程．
(2)过定点的直线与双曲线交于两点，在轴上是否存在定点，使得，若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．D
【分析】分、、和四种情况讨论，结合直线、圆、椭圆与双曲线方程的特点即可判断.
【详解】对于方程，
当时，，方程为表示圆心在原点，半径为1的圆；
当时，，则，
此时方程，即表示焦点在轴的椭圆；
当时，，方程为，即表示两条直线；
当时，，则，
此时方程，即表示焦点在轴的双曲线.
故选：D.
2．C
【分析】根据条件得出，即可求出结果.
【详解】由双曲线方程，知渐近线方程为，
又因为，，所以，得到，
所以双曲线渐近线方程为，
故选：C.
3．B
【分析】先根据已知条件求解出双曲线的方程，然后根据在双曲线的左右支上进行分类讨论，由此确定出的值.
【详解】因为，，所以，所以或（舍），
又因为双曲线的渐近线过点，所以，所以，
所以，所以，所以，
若在左支上，，符合要求，所以，
若在右支上，，不符合要求，
所以，
故选：B.
4．A
【分析】利用点到直线的距离公式及双曲线的性质计算即可.
【详解】易知双曲线的一条渐近线为，
故到其距离为，
所以.
故选：A
5．B
【分析】利用向量法得：，然后结合双曲线定义：和余弦定理即可求解.
【详解】由双曲线的几何性质，可知点是线段的中点，则，
即:，
所以：，解得：，
所以：，故，
由，解得：，
所以：，故B项正确.
故选：B.
6．C
【分析】利用椭圆以及双曲线定义可求得，即可求出的面积为.
【详解】根据题意如下图所示：
利用椭圆定义可知，由双曲线定义可知；
解得，
由三角形面积公式可得；
即的面积为.
故选：C
7．B
【分析】A选项，根据方程表示椭圆得到不等式，求出取值范围；B选项，根据方程表示双曲线得到不等式，求出取值范围；C选项，当时，方程表示圆；D选项，根据方程为焦点在轴上的椭圆得到不等式，求出取值范围.
【详解】A选项，若为椭圆，则，
解得或，A错误；
B选项，若为双曲线，则，解得或，B正确；
C选项，当，即时，方程为，为圆，C错误；
D选项，若为椭圆，且长轴在轴上，则，
解得，D错误.
故选：B
8．D
【分析】由离心率求出，再表示出渐近线方程，即可得到渐近线的斜率，从而得到其倾斜角.
【详解】依题意离心率，则，
所以（负值舍去），
又双曲线的渐近线方程为，即，
即渐近线的斜率为或，所以其渐近线的倾斜角为或.
故选：D
9．BD
【分析】代入验证知A错误，确定得到B正确，轨迹为两条射线，C错误，确定两圆外切，根据圆心距与半径的关系得到D正确，得到答案.
【详解】对选项A：将代入验证不成立，错误；
对选项B：直线的斜率为，
直线倾斜角为，，，则，正确；
对选项C：，
表示到点和的距离之差的绝对值为，轨迹为两条射线，错误；
对选项D：，，
两圆有三条公切线，故两圆外切，故，解得，正确；
故选：BD
10．ABC
【分析】根据方程可得的值，结合选项可得答案.
【详解】在中，，，，，A正确；
的离心率，B正确；
由双曲线的定义或，C正确；
的渐近线方程为，即，D错误.
故选：ABC．
11．ACD
【分析】由双曲线的性质，直线与双曲线的位置关系逐项分析即可.
【详解】对于A，通径，实轴故有四条，
对于B，假设存在直线l，使弦AB的中点为，
设直线的方程为，与联立得：
恒成立.
所以，
，
所以，所以直线方程为，但是由于不在直线上，
故不存在这样的直线l，故B错误.
对于C，设与该双曲线有相同渐近线的双曲线的标准方程为：，
代入点可得，所以该双曲线的标准方程为，故C正确；
对于D，设直线l方程为：.
联立得：，恒成立.
所以，，则，.
若A、B都在该双曲线的右支上，则，
即，所以，解得，故D正确；
故选：ACD.
12．BC
【分析】根据双曲线渐近线方程即可判断选项AB，利用椭圆和双曲线方程中的关系即可判断选项C，根据椭圆定义，化简求解即可判断选项D.
【详解】设曲线的半焦距为.
对于A，若为双曲线，则，
所以，解得，则，
双曲线的焦距为，所以A错误；
对于B，的一条渐近线方程为，，
所以点到渐近线的距离，
又，则，
所以，所以B正确；
对于C，因为椭圆与双曲线有相同的焦点，
所以，解得，故C正确；
对于D，设，，则，
，
又，
所以当时，，
当或时，，
所以的取值范围是，故D错误.
故选：BC
13．
【分析】利用平面几何图形的性质解题，由同一点出发的圆的切线长相等，可得，再结合双曲线的定义得，从而可求得的内心的横坐标，即有轴，在，中，运用解直角三角形知识，及正切函数的定义和二倍角公式化简即可得到直线的斜率．
【详解】如图，记的内切圆圆心为，
内切圆在边上的切点分别为，
易知两点横坐标相等，，
由，即，
得，即，
记点的横坐标为，则，
则，得．
记的内切圆圆心为，同理得内心的横坐标也为，则轴，
设直线的倾斜角为，则，
在中，，同理，在中，，
所以，即，所以．
故答案为：
14．/
【分析】根据向量的运算得到，然后利用双曲线的性质和三角形内切圆的几何关系得到有关的方程求解即可.
【详解】不妨设点在第一象限，
因为，所以，
所以，，
又，联立可得：，
所以，即，
设的内切圆半径为，过圆心往三边作垂线，垂足分别为，如图所示，
因为的内切圆与y轴相切，故，
，，
所以，
即，即，
两边平方得，
即，则，
两边同时除以，得，解得，
因为，所以.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题考查双曲线中三角形内切圆和离心率相关问题的求解，解题关键是能够利用三角形内切圆的知识点结合双曲线的性质，求得之间的等量关系从而求得结果.
15．
【分析】根据给定的椭圆方程求出双曲线的顶点及焦点坐标，即可求出双曲线方程.
【详解】椭圆的长轴端点为，焦点为，
因此以为顶点，为焦点的双曲线虚半轴长为，方程为.
故答案为：
16．
【分析】设坐标，利用斜率之积和双曲线方程求解即可求得第一空，利用双曲线焦点三角形面积公式计算即可求得第二空.
【详解】令，则，∴①，
又②，联立①②得；
令双曲线的右焦点为，如图所示，由B、C关于原点对称，则,
易证，，
设,由余弦定理得：，
∴.
故答案为：；.
17．(1)；
(2)证明见解析
【分析】（1）根据双曲线的渐近线与过一点列方程组即可得的值，从而得双曲线方程；
（2）设直线的方程为，，，联立直线与椭圆得交点坐标关系，再根据斜率与坐标运算从而得的关系来确定直线定点即可.
【详解】（1）∵，，依题意，
解得：，，
所以双曲线C的方程为
（2）依题意可知斜率存在，设方程为，，，
则，即①，
所以
设直线AP，AQ的斜率分别为，，由题意知：，故有：
，
整理得
当，，过舍去，
当，，过点，
此时，将代入①得，得，满足题意.
∴直线PQ过定点
18．(1)；
(2).
【分析】（1）由实轴长、点在双曲线上列方程求双曲线参数，即可得双曲线方程；
（2）设点，根据点在双曲线上有，再由得到双曲线参数的齐次方程，进而求离心率.
【详解】（1）由题意，解得，故双曲线的方程为.
（2）设点，则，即，
又，，则有，
∴，从而.
∴双曲线的离心率为.
19．(1)
(2)存在
【分析】（1）由顶点得，由对称性设点的坐标分别为，，由直线AD，AE的斜率之积为，可得，进而得椭圆方程；
（2）假设存在，设出点，由分别平行于渐近线，可得的坐标， 用表示，利用曲线方程消去，根据定值特点，对变量的系数进行参数赋值，进而找到定点.
【详解】（1）因为双曲线C的一个顶点为，所以．
设，则．
所以，即．
整理得．
因为直线AD，AE的斜率之积为，
所以，所以双曲线C的标准方程为．
（2）假设x轴上存在点，使得为定值．
设，则，即，
设，．
因为C的两条渐近线的斜率为，
不妨设，，
则，，
所以，
所以当，即时，为定值4．
【点睛】
解决是否存在某点使得与线段长度有关的式子为定值的问题，一般先假设此点存在，根据点的特点设出其坐标（含参数），根据给定的曲线方程求出相关代数式，对参数赋值，判断是否可得到定值，若可得定值，则也可得到存在的该点坐标．
20．（1）；（2）；（3），
【分析】直接根据条件列式，然后整理化简即可.
【详解】（1）由已知得，
整理得，即动点M的轨迹方程为；
（2）由已知得，
整理得，即动点M的轨迹方程为；
（3）由已知得，
整理得，，即动点M的轨迹方程为，.
21．(1)
(2)存在，.
【分析】（1）利用双曲线的性质及点到直线距离公式计算即可；
（2）利用点差法计算即可.
【详解】（1）令，所以，
又由题意可知双曲线的焦点到渐近线的距离，
所以双曲线的标准方程为：；
（2）假设存在，
由题意知：该直线的斜率存在，设，，直线的斜率为，
则，，
又有，，
两式相减得，即
即，所以，解得，
所以直线的方程为，即，
联立直线与双曲线方程得：
，
即直线与双曲线有两个交点，满足条件，
所以存在直线，其方程为.
22．(1)
(2)在轴上存在点，使得，理由见解析.
【分析】（1）由双曲线的基本性质即可得解.
（2）先讨论斜率为0的情况，再联立方程即可求解.
【详解】（1）因为双曲线的离心率为，
设双曲线的方程为，
代入点，解得
故双曲线的方程为
（2）由直线过定点，当斜率为0时，符合条件，
故设直线为：
设，代直线入双曲线得
设轴上的点，，同理
由，则即
要对任意的都成立，则
在轴上存在点，使得
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．当时，方程表示的曲线不可能是（ ）
A．圆 B．直线
C．焦点在轴的椭圆 D．焦点在轴的双曲线
2．已知双曲线的离心率为，则渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
3．双曲线C：（，）的一条渐近线过点，，是C的左右焦点，且，若双曲线上一点M满足，则（ ）
A．或 B． C． D．
4．若双曲线（，）的右焦点到其渐近线的距离为，则（ ）
A． B． C． D．
5．双曲线的左、右焦点分别为，，点是其右支上一点．若，，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知为椭圆和双曲线的公共焦点，P为它们的公共点，且，则的面积为( )
A． B． C． D．
7．若方程所表示的曲线为，则下面四个命题中正确的是（ ）
A．若为椭圆，则
B．若为双曲线，则或
C．曲线不可能是圆
D．若为椭圆，且长轴在轴上，则
8．已知双曲线的离心率为，则其渐近线的倾斜角为（ ）
A． B． C．或 D．或
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．直线的倾斜角的范围是
C．方程表示的曲线是双曲线
D．曲线与曲线恰有三条公切线，则
10．已知点是双曲线上任意一点，，是的左、右焦点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．的离心率为
C． D．的渐近线方程为
11．过双曲线的右焦点作直线与该双曲线交于、两点，则（ ）
A．存在四条直线，使
B．存在直线，使弦的中点为
C．与该双曲线有相同渐近线且过点的双曲线的标准方程为
D．若，都在该双曲线的右支上，则直线斜率的取值范围是
12．在平面直角坐标系中，已知，分别为曲线（且）的左、右焦点，则下列说法正确的是（ ）
A．若为双曲线，且它的一条渐近线方程为，则的焦距为
B．若，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则的面积为
C．若为椭圆，且与双曲线有相同的焦点，则的值为
D．若，为曲线上一点，则的取值范围是
三、填空题
13．已知分别为双曲线的左右焦点，过且斜率为的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆半径为的内切圆半径为．若，则
14．已知双曲线E：的左、右焦点分别为，，E上存在点P，使得，且的内切圆与y轴相切，则E的离心率为 .
15．以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的标准方程为 ．
16．已知双曲线，过原点的直线l与双曲线交于B，C两点，A为双曲线的右顶点，F为双曲线的左焦点，直线AB，AC的斜率之积为，则b＝ ；若，则的面积为 .
四、解答题
17．已知双曲线：，其渐近线方程为，点在上.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点的两条直线AP，AQ分别与双曲线交于P，Q两点（不与点A重合），且两条直线的斜率之和为1，求证：直线PQ过定点.
18．设双曲线：，点，是双曲线的左，右顶点，点在双曲线上.
(1)若，点，求双曲线C的方程；
(2)当P异于点，时，直线与的斜率之积为2，求双曲线的离心率.
19．已知双曲线的一个顶点为，D，E是C上关于原点O对称的两点，且直线AD，AE的斜率之积为．
(1)求C的标准方程．
(2)设Q是C上任意一点，过Q作与C的两条渐近线平行的直线，与x轴分别交于点M，N，判断x轴上是否存在点G，使得为定值．
20．（1）动点与定点的距离和M到定直线x=的距离的比是常数，求动点M的轨迹方程;
（2）动点与定点的距离和M到定直线x=的距离的比是常数，求动点M的轨迹方程;
（3）点与定点的距离和M到定直线x=的距离的比是常数（），求动点M的轨迹方程.
21．双曲线：的渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为1.
(1)求的方程；
(2)是否存在直线，经过点且与双曲线于A，两点，为线段的中点，若存在，求的方程；若不存在，说明理由.
22．已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且双曲线过点．
(1)求双曲线的标准方程．
(2)过定点的直线与双曲线交于两点，在轴上是否存在定点，使得，若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．
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参考答案：
1．D
【分析】分、、和四种情况讨论，结合直线、圆、椭圆与双曲线方程的特点即可判断.
【详解】对于方程，
当时，，方程为表示圆心在原点，半径为1的圆；
当时，，则，
此时方程，即表示焦点在轴的椭圆；
当时，，方程为，即表示两条直线；
当时，，则，
此时方程，即表示焦点在轴的双曲线.
故选：D.
2．C
【分析】根据条件得出，即可求出结果.
【详解】由双曲线方程，知渐近线方程为，
又因为，，所以，得到，
所以双曲线渐近线方程为，
故选：C.
3．B
【分析】先根据已知条件求解出双曲线的方程，然后根据在双曲线的左右支上进行分类讨论，由此确定出的值.
【详解】因为，，所以，所以或（舍），
又因为双曲线的渐近线过点，所以，所以，
所以，所以，所以，
若在左支上，，符合要求，所以，
若在右支上，，不符合要求，
所以，
故选：B.
4．A
【分析】利用点到直线的距离公式及双曲线的性质计算即可.
【详解】易知双曲线的一条渐近线为，
故到其距离为，
所以.
故选：A
5．B
【分析】利用向量法得：，然后结合双曲线定义：和余弦定理即可求解.
【详解】由双曲线的几何性质，可知点是线段的中点，则，
即:，
所以：，解得：，
所以：，故，
由，解得：，
所以：，故B项正确.
故选：B.
6．C
【分析】利用椭圆以及双曲线定义可求得，即可求出的面积为.
【详解】根据题意如下图所示：
利用椭圆定义可知，由双曲线定义可知；
解得，
由三角形面积公式可得；
即的面积为.
故选：C
7．B
【分析】A选项，根据方程表示椭圆得到不等式，求出取值范围；B选项，根据方程表示双曲线得到不等式，求出取值范围；C选项，当时，方程表示圆；D选项，根据方程为焦点在轴上的椭圆得到不等式，求出取值范围.
【详解】A选项，若为椭圆，则，
解得或，A错误；
B选项，若为双曲线，则，解得或，B正确；
C选项，当，即时，方程为，为圆，C错误；
D选项，若为椭圆，且长轴在轴上，则，
解得，D错误.
故选：B
8．D
【分析】由离心率求出，再表示出渐近线方程，即可得到渐近线的斜率，从而得到其倾斜角.
【详解】依题意离心率，则，
所以（负值舍去），
又双曲线的渐近线方程为，即，
即渐近线的斜率为或，所以其渐近线的倾斜角为或.
故选：D
9．BD
【分析】代入验证知A错误，确定得到B正确，轨迹为两条射线，C错误，确定两圆外切，根据圆心距与半径的关系得到D正确，得到答案.
【详解】对选项A：将代入验证不成立，错误；
对选项B：直线的斜率为，
直线倾斜角为，，，则，正确；
对选项C：，
表示到点和的距离之差的绝对值为，轨迹为两条射线，错误；
对选项D：，，
两圆有三条公切线，故两圆外切，故，解得，正确；
故选：BD
10．ABC
【分析】根据方程可得的值，结合选项可得答案.
【详解】在中，，，，，A正确；
的离心率，B正确；
由双曲线的定义或，C正确；
的渐近线方程为，即，D错误.
故选：ABC．
11．ACD
【分析】由双曲线的性质，直线与双曲线的位置关系逐项分析即可.
【详解】对于A，通径，实轴故有四条，
对于B，假设存在直线l，使弦AB的中点为，
设直线的方程为，与联立得：
恒成立.
所以，
，
所以，所以直线方程为，但是由于不在直线上，
故不存在这样的直线l，故B错误.
对于C，设与该双曲线有相同渐近线的双曲线的标准方程为：，
代入点可得，所以该双曲线的标准方程为，故C正确；
对于D，设直线l方程为：.
联立得：，恒成立.
所以，，则，.
若A、B都在该双曲线的右支上，则，
即，所以，解得，故D正确；
故选：ACD.
12．BC
【分析】根据双曲线渐近线方程即可判断选项AB，利用椭圆和双曲线方程中的关系即可判断选项C，根据椭圆定义，化简求解即可判断选项D.
【详解】设曲线的半焦距为.
对于A，若为双曲线，则，
所以，解得，则，
双曲线的焦距为，所以A错误；
对于B，的一条渐近线方程为，，
所以点到渐近线的距离，
又，则，
所以，所以B正确；
对于C，因为椭圆与双曲线有相同的焦点，
所以，解得，故C正确；
对于D，设，，则，
，
又，
所以当时，，
当或时，，
所以的取值范围是，故D错误.
故选：BC
13．
【分析】利用平面几何图形的性质解题，由同一点出发的圆的切线长相等，可得，再结合双曲线的定义得，从而可求得的内心的横坐标，即有轴，在，中，运用解直角三角形知识，及正切函数的定义和二倍角公式化简即可得到直线的斜率．
【详解】如图，记的内切圆圆心为，
内切圆在边上的切点分别为，
易知两点横坐标相等，，
由，即，
得，即，
记点的横坐标为，则，
则，得．
记的内切圆圆心为，同理得内心的横坐标也为，则轴，
设直线的倾斜角为，则，
在中，，同理，在中，，
所以，即，所以．
故答案为：
14．/
【分析】根据向量的运算得到，然后利用双曲线的性质和三角形内切圆的几何关系得到有关的方程求解即可.
【详解】不妨设点在第一象限，
因为，所以，
所以，，
又，联立可得：，
所以，即，
设的内切圆半径为，过圆心往三边作垂线，垂足分别为，如图所示，
因为的内切圆与y轴相切，故，
，，
所以，
即，即，
两边平方得，
即，则，
两边同时除以，得，解得，
因为，所以.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题考查双曲线中三角形内切圆和离心率相关问题的求解，解题关键是能够利用三角形内切圆的知识点结合双曲线的性质，求得之间的等量关系从而求得结果.
15．
【分析】根据给定的椭圆方程求出双曲线的顶点及焦点坐标，即可求出双曲线方程.
【详解】椭圆的长轴端点为，焦点为，
因此以为顶点，为焦点的双曲线虚半轴长为，方程为.
故答案为：
16．
【分析】设坐标，利用斜率之积和双曲线方程求解即可求得第一空，利用双曲线焦点三角形面积公式计算即可求得第二空.
【详解】令，则，∴①，
又②，联立①②得；
令双曲线的右焦点为，如图所示，由B、C关于原点对称，则,
易证，，
设,由余弦定理得：，
∴.
故答案为：；.
17．(1)；
(2)证明见解析
【分析】（1）根据双曲线的渐近线与过一点列方程组即可得的值，从而得双曲线方程；
（2）设直线的方程为，，，联立直线与椭圆得交点坐标关系，再根据斜率与坐标运算从而得的关系来确定直线定点即可.
【详解】（1）∵，，依题意，
解得：，，
所以双曲线C的方程为
（2）依题意可知斜率存在，设方程为，，，
则，即①，
所以
设直线AP，AQ的斜率分别为，，由题意知：，故有：
，
整理得
当，，过舍去，
当，，过点，
此时，将代入①得，得，满足题意.
∴直线PQ过定点
18．(1)；
(2).
【分析】（1）由实轴长、点在双曲线上列方程求双曲线参数，即可得双曲线方程；
（2）设点，根据点在双曲线上有，再由得到双曲线参数的齐次方程，进而求离心率.
【详解】（1）由题意，解得，故双曲线的方程为.
（2）设点，则，即，
又，，则有，
∴，从而.
∴双曲线的离心率为.
19．(1)
(2)存在
【分析】（1）由顶点得，由对称性设点的坐标分别为，，由直线AD，AE的斜率之积为，可得，进而得椭圆方程；
（2）假设存在，设出点，由分别平行于渐近线，可得的坐标， 用表示，利用曲线方程消去，根据定值特点，对变量的系数进行参数赋值，进而找到定点.
【详解】（1）因为双曲线C的一个顶点为，所以．
设，则．
所以，即．
整理得．
因为直线AD，AE的斜率之积为，
所以，所以双曲线C的标准方程为．
（2）假设x轴上存在点，使得为定值．
设，则，即，
设，．
因为C的两条渐近线的斜率为，
不妨设，，
则，，
所以，
所以当，即时，为定值4．
【点睛】
解决是否存在某点使得与线段长度有关的式子为定值的问题，一般先假设此点存在，根据点的特点设出其坐标（含参数），根据给定的曲线方程求出相关代数式，对参数赋值，判断是否可得到定值，若可得定值，则也可得到存在的该点坐标．
20．（1）；（2）；（3），
【分析】直接根据条件列式，然后整理化简即可.
【详解】（1）由已知得，
整理得，即动点M的轨迹方程为；
（2）由已知得，
整理得，即动点M的轨迹方程为；
（3）由已知得，
整理得，，即动点M的轨迹方程为，.
21．(1)
(2)存在，.
【分析】（1）利用双曲线的性质及点到直线距离公式计算即可；
（2）利用点差法计算即可.
【详解】（1）令，所以，
又由题意可知双曲线的焦点到渐近线的距离，
所以双曲线的标准方程为：；
（2）假设存在，
由题意知：该直线的斜率存在，设，，直线的斜率为，
则，，
又有，，
两式相减得，即
即，所以，解得，
所以直线的方程为，即，
联立直线与双曲线方程得：
，
即直线与双曲线有两个交点，满足条件，
所以存在直线，其方程为.
22．(1)
(2)在轴上存在点，使得，理由见解析.
【分析】（1）由双曲线的基本性质即可得解.
（2）先讨论斜率为0的情况，再联立方程即可求解.
【详解】（1）因为双曲线的离心率为，
设双曲线的方程为，
代入点，解得
故双曲线的方程为
（2）由直线过定点，当斜率为0时，符合条件，
故设直线为：
设，代直线入双曲线得
设轴上的点，，同理
由，则即
要对任意的都成立，则
在轴上存在点，使得
答案第1页，共2页
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