2023年秋学期期中学业检测
八年级数学试卷
注意事项：
1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．
2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．
3．答题前，务必将姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
1．对称的形式被公认为是和谐、美丽且真实的，在图案设计中被广泛运用。以下手机应用的标志（logo）是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．5，12，13 B．7，9，11 C．6，9，12 D．0．3，0．4，0．5
3．已知，则下列说法错误的是（ ）
． ． ． ．
4如图，通过尺规作图得到的依据是（ ）
A．AAS B．SAS C．ASA D．SSS
5．已知等腰三角形一边长为3，周长为12，那么它的腰长为（ ）
．3 ．4.5 ．3或4.5 ．无法确定
6．如图，到△ABC距离相等的点P应该是（ ）
A．△ABC三边的垂直平分线的交点 B．△ABC三个内角平分线的交点
C．△ABC三条中线的交点 D．△ABC三条高所在直线的交点
7．如图，点P是∠ACB的平分线CD上一点，PE⊥BC于点E，点F为射线CA上一点．若PE＝6，则PF长的最小值是（ ）
A．4 B．5．5 C．6 D．8
8．如图，在△ABC中，∠A＝90°，BC的垂直平分线DE交BC于E，交AB于D，若BC＝15，AC＝9，则△ACD的周长为 （ ）
A．16 B．21 C．24 D．26
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．如图，镜子中号码的实际号码是 ．
10．勾股定理在《九章算术》中的表述是：“勾股术曰：勾股各自乘，并而开方除之，即弦”．即（a为勾，b为股，c为弦），若“勾”为6，“股”为8，则“弦”是 ．
11．如图，已知两个三角形全等，则等于 ．
12．如图，ABC中，，CD是AB边上的中线且CD=6，则AB的长为 ．
13．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别足4、6、2、4，则正方形的边长是 ．
14．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为70°，则其顶角的度数为 °．
15．如图，在中，∠C=34°，D为边上一点，连接，将沿AD所在直线翻折，点B恰好落在边上的点E处，且满足，那么的度数为 °．
16．数学兴趣小组的小华同学某天在家观察到这样一个问题：如图一个棱长为8cm的无盖正方体铁盒 不计铁盒厚度 ，有一只蚂蚁在铁盒上爬行。已知蚂蚁从点C出发，沿着外壁面正方形ABCD爬行，爬到边AB上再在边AB上爬行3cm，最后再沿着内壁正方形ABCD爬行，最终到达内壁的中点P，蚂蚁所走的最短路程是 cm．
三、解答题（本大题共有11小题，共102分．解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）
17．（6分）如图，AB=BC，，求证：△ABD≌△BCE．
18．（6分）如图已知，，，求证.．
19．（8分）如图所示，已知CD＝BD，点E、F分别是CD、BD的中点，∠CAE＝∠BAF，∠B＝∠C．求证：（1）AE＝AF；（2）△ACD≌△ABD．
20．（8分）如图，点C在上，．
求证：；
请写出线段AB、DE、BD之间的数量关系，并说明理由．
21．（8分）如图，在中，为的中点，
求的长．
请直接写出线段BC与线段AB之间的数量关系．
22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边的中点，P是AD上任意一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．
求证：（1）PE＝PF；
（2）PD平分∠BPC．
23．（10分）大丰施耐庵公园是许多青少年喜爱的场所。如图是公园内一个滑梯的示意图，左边是楼梯，中间是过道，右边是滑道，已知滑道AC与AE的长度一样，滑梯的高度BC＝3m，BE＝1m．
（1）要想求AC的长度，我们可以设AC为x，则AB= ；
（2）请求出滑梯AC的长度．
24．（10分）有一款线上军事游戏，我们可以把游戏地图模拟为一个边长为1的小正方形所组成的10×10网格（我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点），此地图以直线l为分界线．我方玩家根据地可模拟为格点△ABC，请利用网格线和无刻度的直尺画图．
（1）对方玩家根据地△A′B′C′与△ABC关于直线l成轴对称，请画出△A′B′C′；
（2）为使得我方资源更加平衡，现需要在图中找一个能量补给站，使其到A、B、C三点距离相等，请在图中用点O表示，并指出O点是否越过分界线l；
（3）在界线l上安插一名侦察兵，并使其到点A、点B的距离之和最小，请找出侦察兵的位置P．
25．（10分）如图，在△BAC中，，是边上的中线，于，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
26．（12分）我们对同一个图形的面积可以从不同的角度思考，用不同的式子表示．
（1）用不同的方法计算图1的面积，我们能得到等式： ；
（2）如图2所示，两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形可以拼成一个直角梯形，用不同的方法计算这个图形的面积，能得到等式： ；（结果为最简）
（3）根据上面两个结论，解决下面问题：
①在直角△ABC中，∠C＝90°，三边长分别为a、b、c，已知ab＝10，c＝4，求a+b的值．
②如图3，四边形ABCD中，对角线AC，BD互相垂直，垂足为O，AC＝BD＝4，在直角△AOD中，OA＝x，OD＝y，若△AOD的周长为4，则△BOC的面积＝ ．
（14分）【阅读理解】倍长中线是初中数学一种重要的数学思想。小聪在学习过程中，遇到这样一个问题：如图，△ABC中，AB=6，AC=4，求边上的中线的取值范围，经过和小组同学的探讨，共同得到了这样的解决办法：延长AD到点E，使DE=AD．请根据小聪的方法解决以下问题：
（1）求得的取值范围是___________；
【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决下列三个问题
如图，已知，AB=AC，DC=DE，P为BE的中点．
（2）如图1，若A，C，D共线，，，求四边形ABED的面积；
（3）如图2，若A，C，D不共线，AP=PD，求证：AB⊥AC；
（4）如图3，若点C在BE上，记锐角，且AB=AC=CD=DE，则∠PDC的度数是 ．（用含α的代数式表示）2023－2024学年度第一学期期中学情调研
八年级数学答案
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
1． D 2． A 3． C 4． D 5． B 6． A 7． C 8． B
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9． 3265 10．10 11．55° 12．12
13．4 14．20°或 160° 15．68° 16．16
三、解答题（本大题共有11小题，共102分．解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）
17．（6分）解：
∵，
∴∠A=∠EBC，
∵，
∴∠DBA=∠C，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE(ASA)．……………………………………6分
18.（6分）证明：，
∴，
即，
在和中
，
．……………………………………6分
19．（8分）（1）解：∵CD＝BD，点E、F分别是CD、BD的中点，
∴CE＝BF，
在△ACE和△ABF中．
，
∴△ACE≌△ABF（AAS），
∴AE＝AF．……………………………………4分
∵△ACE≌△ABF，
∴AB=AC
在△ACD和△ABD中
∴△ACD≌△ABD（SSS）．……………………………………8分
20．（8分）解：（1）∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，
∴∠B=∠D=∠ACE=90°，
∴∠BAC+∠BCA=90°=∠BCA+∠DCE，
∴∠BAC=∠DCE，
在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（ASA）．………………………………4分
BD=AB+DE
由（1）可知，△ABC≌△CDE
∴AB=CD，BC=DE
∴BD=BC+CD=AB+DE．……………………………………8分
（8分）解： （1）∵∠ACB=90°，D为AB的中点，
∴AD=BD=CD
∵∠A=30°，
∴∠B=180°-90°-30°=60°，
∴△BDC为等边三角形，
∴CD=BC=2．………………………………5分
（2）BC= AB. ………………………………8分
22．（8分）解：证明：（1），是边的中点，
平分，
又于，于，
；………………………………4分
(2)∵AB=AC,D是BC边的中点，
∴AD⊥BC
∴线段PD在BC的垂直平分线上，
∴PB=PC
∴PD平分∠BPC．………………………………8分
23．（10分）解： （1）x-1；……………………………………2分
（2）由题意得：∠ABC＝90°，
在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，
即（x﹣1）2+42＝x2，
解得x＝5，
∴AC＝5m．
答：滑道AC的长度为5cm．……………………………………10分
（10分）解：
如图所示，△A′B′C′即为所求；……………………………………3分
（2）如图所示，作AB和BC的垂直平分线，交于点O，则点O即为所求；………………6分
（3）如图所示，连接A'B，与直线l的交点P即为所求．……………………………………10分
25.（10分）解：证明：（1）连接DE，
∵AD是边BC上的高，
∴∠ADB＝90°，
∵点E是AC的中点，
∴DE＝AC＝BD，
∵BD＝AE，
∴BD＝DE，
∵DF⊥BE．
∴BF=EF；……………………………………5分
∵BE⊥AC，BE为AC边上的中线，
∴线段BE在AC的垂直平分线上，
∴AB=CB，
同理可证，AB=AC,得AD平分∠BAC，
∴AB=AC=CB，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠CAD=∠BAC=30°．……………………………………10分
26．（12分）解：（1）（a+b）2＝a2+b2+2ab；……………………………………2分
（2）a2+b2＝c2；……………………………………4分
（3）①6；……………………………………8分
②4．……………………………………12分
27．（14分）解：
（1）．……………………………………2分
（2）如下图，交延长线于点
，
（同旁内角互补，两直线平行），
，，
为的中点，
，
，
，，，
∵，
，
则
．……………………………………6分
（3）延长至点，使得，连接、、
由（1）同理易知，
，，
，且，
，
，，
，
，，
，
，
同理可得，，
．……………………………………10分
（4）．…………………………………14分
