广东实验中学 2023—2024 学年（上）高二级期中考试（数学）
答案及说明
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C B B C A D A D AC ACD BD ABD
2
13．3或5 14． 15．5 + 2 6 16．3x+ 4y 7 = 0或 x = 1
3
17．解：（1）由题意可知，样本容量 ， ，
． …2分
； …4分
（2）在 ， 成绩分组的学生分别为 人， 人，
现要按分层抽样抽取 人，则在 ， 成绩分组中各抽取 人， 人； …5分
记成绩在 的学生为 ， ， ， ，成绩在 的学生为 ．
则从这 人中抽取 人
样本空间为Ω={ ， ， ， ， ， ， ， ， ， } 共
种情况． …7分
设时间 A 为 人成绩都在 ，
则 A={ ， ， ， ， ， } 共 种情况． …9分
3
所以从这 名学生中随机抽取 人， 人成绩都在 的概率 P(A) = ． …10分
5
18．解：（1）由题目可以得到 A(0,3)， B(3,4) …2分
∵ l1 为边 BC 上的高，则 l1 ⊥ l2
1
∴3a + a 2 = 0，则a = …3分
2
3
∴ l2 : 3x y 3 = 0 ，则C(1,0) …4 分
2
1
∴ BC 中点为 (2,2)，边 BC 上的中线所在直线方程为 y = x + 3 …6 分
2
第1页（共5页）
4a +1 2a + 5
（2）直线 BC 与 x 轴交点为C ,0 ，则中点坐标为 ,2 …7 分
3 3
2a + 5 1
∴ a + 2 3 = 0，解得a = 或 a = 3 …8 分
3 2
3
∴ l2 : 3x y 3 = 0 或3x 5y +11= 0 …10 分
2
1
∴边 BC 高的方程为 x + y 3 = 0或5x + 3y 9 = 0 …12分
2
19. （1）证明：取 AB 中点 O，连接 PO，CO，
∵ ，AB＝2，
∴PO⊥AB，PO＝1，BO＝1．
又∵四边形 ABCD 是菱形，∠ABC＝60°，
∴CO⊥AB， ． …2 分
∵PC＝2，∴ PC2＝PO2+CO2，即 PO⊥CO， …3 分
又∵AB 平面 ABCD，CO 平面 ABCD，AB∩CO＝O，
∴PO⊥平面 ABCD，且PO 面PAB …4 分
∴面PAB ⊥面ABCD …5 分
（2）以O 为坐标原点，以OC,OB,OP分别为 x, y, z轴正方向建立空间直角坐标系
由（1）得 P(0,0,1)， D( 3, 2,0)，C( 3,0,0)， B(0,1,0)
3 1
M , 1, …6分
2 2
3 1
∴ BD = ( 3,3,0)，CM = , 1,
2 2
BC = ( 3, 1,0)， BP = (0, 1,1) …7 分
设面CQM 的法向量为m = (x , y , z PCB1 1 1 )，面 的法向量为n = (x2 , y2 , z2 )
且由 BD //面CQM 得
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m CM = 0 n BC = 0
，
m BD = 0 n BP = 0
3x1 + 3y1 = 0
3x2 y = 0∴ 2 3 1 ，
x y + z = 0 y1 1 1 2 + z2 = 0
2 2
令 x1 = 3，x2 =1，
得m = ( 3,1,5)，面 PCB的法向量为n = (1, 3, 3) …11 分
m n 7 3 609
∴ cos m,n = = = …12分
m n 29 7 29
609
∴面CQM 与面 PCB夹角的余弦值为
29
20. 解：（1）圆 C 的标准方程为（x﹣2）2+y2＝4，所以圆心 C（2，0），半径为 2．
因为 l∥AB，A（﹣1，0），B（1，2），所以直线 l 的斜率为 ，
设直线 l 的方程为 x﹣y+m＝0，则圆心 C 到直线 l 的距离为 d ． …2分
因为 MN＝AB ，而 CM2＝d2+（ ）2，所以 4 2，…4 分
解得 m＝0 或 m＝﹣4，故直线 l 的方程为 x﹣y＝0 或 x﹣y﹣4＝0． …6 分
（2）假设圆 C 上存在点 P，设 P（x，y），则（x﹣2）2+y2＝4，
PA2+PB2＝（x+1）2+（y﹣0）2+（x﹣1）2+（y﹣2）2＝12，
即 x2+y2﹣2y﹣3＝0，即 x2+（y﹣1）2＝4， …8 分
因为|2﹣2| ， …10分
所以圆（x﹣2）2+y2＝4 与圆 x2+（y﹣1）2＝4 相交，所以点 P 的个数为 2． …12 分
5
21. （1）解：由正弦定理得2accos B + b2 = ac ， …1 分
2
5
又∵2accos B = a2 + c2 b2∴a 2 + c2 = ac，解得a = 2c或 2a = c
2
sin A a 1
∴ = = 2或 …4 分
sin C c 2
BA AD 1
（2）由题目条件得a = 2c，由BD为角平分线可得 = =
BC DC 2
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2 1 1要证BD = BA BC DA DC ，即证 BD2 = BC 2 DC 2 …5 分
2 2
在 BAD 和 BCD中，
BA2 + BD2 2BA BDcos ABD = AD 2①
BC 2 + BD2 2BC BDcos CBD = DC 2② …7分
① ×2-②得
2BA2 BC 2 + BD2 = AD 2 DC 2
BA AD 1
由 = = 得2BA2 BC 2 + BD2
1 1
= BC 2 BC 2 + BD2 = DC 2 DC 2
BC DC 2 2 2
2 1 1∴ BD = BC 2 DC 2，即BD2 = BA BC DA DC 成立 …9 分
2 2
2
若 a = 1，∵ DC = AC
3
1 2 2 1
∴ BD2 = AC 2 ，即 BD2 + AC 2 = …10分
2 9 9 2
∴ BD2
2 2 2 2 2+ AC 2 BD2 AC 2 = BD AC …11分
9 9 3
2 1 3 2
（当且仅当 BD = AC 时，即BD = , AC = 时等号成立）
3 2 4
1 3 3 2
∴ BD AC = …12 分
2 2 2 8
22. 解：（Ⅰ）设椭圆方程为 ，
左焦点 F1（﹣c，0），将横坐标﹣c 代入椭圆方程，得 y ，
所以 ①， ②，a2＝b2+c2③，联立①②③解得 a＝4， ，
所以椭圆方程为： ； …3 分
（Ⅱ）设 Q（t，0）（t＞0），圆的半径为 r，直线 PP′方程为：x＝m（m＞t），
则圆 Q 的方程为：（x﹣t）2+y2＝r2，
由 得 x2﹣4tx+2t2+16﹣2r2＝0，
第4页（共5页）
由Δ＝0，即 16t2﹣4（2t2+16﹣2r2）＝0，得 t2+r2＝8，①
把 x＝m 代入 ，得 ，
所以点 P 坐标为（m， ），代入（x﹣t）2+y2＝r2，得 ，②
由①②消掉 r2 得 4t2﹣4mt+m2＝0，即 m＝2t，
（m﹣t） …8分
t 2 ，
当且仅当 4﹣t2＝t2 即 t 时取等号，
此时 t+r 4，椭圆上除 P、P′外的点在圆 Q 外，
所以△PP'Q 的面积 S 的最大值为 ，圆 Q 的标准方程为： ．
当圆心 Q、直线 PP′在 y 轴左侧时，由对称性可得圆 Q 的方程为 ，△PP'Q 的
面积 S 的最大值仍为 ． …12分
第5页（共5页）广东实验中学 2023—2024 学年（上）高二级期中考试
数 学
命题：高一数学备课组 校对：高二数学备课组
本试卷共 4页，满分 150分，考试用时 120 分钟．
第一部分选择题（共 60分）
一．单项选择题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的)
1．若直线 l 的方向向量是e = ( 1, 3)，则直线 l 的倾斜角是 ( )
2 5
A． B． C． D．
6 3 3 6
x 2 y 2
2．已知椭圆C : + = 1(a b 0)的短轴长为 4 ，焦距为 2 ，则椭圆C 的上顶点到右焦点的距
a 2 b2
离为（ ）
A. 6 B. 5 C. 2 5 D. 4
3．已知e 为空间内三个不共线的向量，平面 和平面 的法向量分别为1 ,e2 ,e3 a = e1 + e2 + 3e 和3
b = e + 2e + e ，若 // ，则 + =（ ） 1 2 3
A. 5 B. 5 C. 3 D 3
4．为做好“甲型流感”传染防控工作，省实坚持每日测温报告，以下是高二一班、十班各 10 名同学的
体温记录（从低到高）：
高二一班：36.1,36.2,m,36.4,36.5,36.7,36.7,36.8,36.8,37.0（单位：℃），
高二十班：36.1,36.1,36.3,36.3,36.4,36.4,36.5,36.7,n,37.1（单位：℃）
若这两组数据的第 25 百分位数、第 90 百分位数都分别对应相等，则n m 为（ ）
A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3
2
5．已知 f (x) = sin 2x 3 cos2x，若方程 f (x) = 在 (0, )的解为 x1 , x2，则 sin(x1 + x2 ) =（ ）
3
1 1 3 3
A. B. C. D.
2 2 2 2
2
6．若命题“关于 x 的二次方程 x + 2mx + 2m+1= 0在 ( 1,3)上至多有一个解”是假命题，则m 的取
值范围是（ ）
5 5 5
A. 3， B. ( 3,1 2) C. ,1 D. ,1 2
4 4 4
第1页（共5页）
3
7．已知cos = ， 0, ,角 的顶点为坐标原点,始边与 轴的非负半轴重合,终边经过点
5 2
7 2 2
P , ,且 (0, ) ,则
= ( )
10 10
A. B. C. D.
4 4 6 6
8．“曼哈顿距离”是赫尔曼闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语，例如
在平面直角坐标系中，点 P(x , y )，Q(x , y )的曼哈顿距离为： LPQ = x1 x2 + y1 y1 1 2 2 2 ，若点
P(1,2) Q 2 2，点 为圆 x + y = 4上一动点，则 LPQ 的最大值为 ( )
A. 1+ 2 B. 1+ 2 2 C.3 + 2 D. 3 + 2 2
二．多项选择题（本题共 4小题，每小题 5 分，共 20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是
符合题目要求的，全部选对的得 5分，选对但不全的得 2分，有选错的得 0分）
z = m2 2m 3+ (m29．若复数 1) i，(m R )，则下列正确的是（ ）
A. 当m =1或m = 1时，z 为实数
B. 若 z 为纯虚数，则m = 1或m = 3
C. 若复数 z 对应的点位于第二象限，则1 m 3
D. 若复数 z 对应的点位于直线 y = 2x上，则 z =12+24i
10. 下列对各事件发生的概率的判断正确的是（ ）
A．一个袋子中装有 2 件正品和 2 件次品，任取 2 件，“两件都是正品”与“至少有 1 件是次品”
是对立事件;
1 1 1
B．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为 ，， ，假设他们破译密码是相互
5 3 4
2
独立的，则此密码被破译的概率为 ;
5
C．甲袋中有除颜色外其他均相同的 8 个白球，4 个红球，乙袋中有除颜色外其他均相同的 6 个
1
白球，6 个红球，从甲、乙两袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为 ;
2
1
D．设两个独立事件 A 和 B 都不发生的概率为 ，A 发生 B 不发生的概率与 B 发生 A 不发生的概
9
2
率相同，则事件 A 发生的概率是 .
3
第2页（共5页）
11. 已知 f (x)是定义在R 上的偶函数，g (x)是定义在R 上的奇函数，且 f (x)，g (x)在 ( ,0 单
调递减，.则（ ） A f ( f (1)) f ( f (2)) B. f (g (1)) f (g (2)) C. g ( f (1)) g ( f (2)) D. g (g (1)) g (g (2)) 12．如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1中，O 为正方体的中心，M 为 DD1 的中点，F 为侧
面正方形 AA1D1D 内一动点，且满足 B1F∥平面 BC1M，则（ ）
A．若 P 为面 ABCD 上一点，则满足△OPA 的面积为 的点的轨迹
是椭圆的一部分；
B．动点 F 的轨迹是一条线段；
C．三棱锥 F﹣BC1M 的体积是随点 F 的运动而变化的；
D．若过 A，M，C1三点作正方体的截面 Ω，Q 为截面 Ω 上一点，则
线段 A1Q 长度的取值范围为 .
第二部分非选择题（共 90分）
三.填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分）
13．已知直线 (a 3)x + (4 a)y +1 = 0与直线2(a 3)x 2y + 3 = 0 平行，则实数a 的值为______
x 2 y 2
14．已知椭圆C : + = 1(a b 0)的两个焦点分别为F , F ，椭圆上一点P 满足
a 2 b 2
1 2
1
PF2 = F1F2 ，且cos PF1F2 = ，则椭圆的离心率为___________
4
1 1 3a 4b
15．已知a 0,b 0， + =1，则 + 的最小值为____________
a 2b a 1 2b 1
2 2 2
16．已知圆C1 : (x +1) + (y 3m 3) = 4m (m 0)，直线 l 的方程 y = x+m+ 2，圆C1 关于直线
l 对称的圆为C2 ，则C2 所表示的一系列圆的公切线方程为______________
第3页（共5页）
四．解答题（本题共 6小题，共 70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本题 10 分）为增强学生的数学应用能力，某中学举行了一次“数学应用能力竞赛”为了解参加本
次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩 得分取正整数，满分 分 作为样本 样本容量
为 进行统计，按照 ， ， 的分组作出频率分布直方图，并作出
样本分数的茎叶图 茎叶图中仅列出了得分在 的数据 ，如下图所示．
（1）试估测本次竞赛学生成绩的平均数；
（2）在 内按分层抽样的方法抽取 名学生的成绩，从这 名学生中随机抽取 人，求 人
成绩都在 的概率．
18．（本题 12 分） 已知分别过定点 A, B的直线 l1 : ax + y 3 = 0, l2 : 3x + (a 2)y 4a 1 = 0，l2
与 x 轴交于C 点
（1）若 l1 为 ABC 中，边BC 上的高所在直线，求边BC 上的中线所在直线方程；
（2）若 l1 为 ABC 中，边BC 上的中线所在直线，求边BC 上的高所在直线方程．
19．（本题 12 分）如图，已知四棱锥P ABCD 的底面为
菱形，且 ABC = 60 ，AB = PC = 2，PA = PB = 2 .
（1）证明：面PAB ⊥面ABCD
（2）M 是棱PD上的中点，若过点C,M 的平面 与BD
平行，且交 PA 于点Q，求面CQM 与面PCB夹角的余弦值.
第4页（共5页）
2 2
20．（本题 12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 x + y 4x = 0 及点 A( 1,0), B(1,2)
（1）若直线 l 平行于 AB ，与圆C 相交于D,.E 两点，且DE = AB，求直线 l 的方程；
2 2
（2）在圆C 上是否存在点P ，使得 PA + PB =12？若存在，求点P 的个数；若不存在，说明理
由．
5
21．（本题 12 分）在 ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为a,b,c，2csin Acos B + bsin B = csin A
2
sin A
（1）求
sin C
（2）若a c，角B 的平分线交 AC 于 D（I）求证：BD2 = BA BC DA DC
（II）若a = 1，求DB AC 的最大值
2
22．（本题 12 分）如图，椭圆的中心为原点O ，长轴在 x 轴上，离心率e = ，过左焦点 F1作 x 轴的
2
垂线交椭圆于 A, A 两点， AA = 4．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）取平行于 y 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P, P ，过 P, P 作圆心为Q的圆，使椭圆上的其
余点均在圆Q外．求 PP Q 的面积 S 的最大值，并写出对应的圆Q的标准方程．
第5页（共5页）
