湖北省部分省级示范高中2023~2024学年上学期高二期中测试
数学试卷
考试时间：2023年11月23日
试卷满分：150分
★祝考试顺利★
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在
答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写
在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸
和答题卡上的非答题区域均无效。
4考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.)
1.已知点A(2,0),B(0,4),若过P(-6,-8)的直线1与线段AB相交，则直线斜率k的取值范围
为()
A.k≤1
B.1≤k≤2C.k≥2或k≤1D.k≥2
2.圆C:x+2}+0y-2)2=4和圆C2:(x-2)2+0y-5)2=16的位置关系是()
A.内切
B.相离
C.相交sD.外切
3.若圆C经过点A(2,5),B(4,3),且圆心在直线1：3x-y-3=0上，则圆C的方程为(
A.(x-2)2+(y-3)2=4
B.（x-2)2+(y-3)2=8
C.(x-3)2+(y-6)2=2
D.(x-3)2+(y-6)2=10
4.己知直线ax+3y+2a=0和2x+(a+1)y-2=0平行，则实数a的值等于()
A.a=2或a=-3B.a=2C.a=-3D.a=-2或a=3
5.如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点，若A正=d,AD=,
AA1=c,则BM=（)
数学试卷第1页共6页
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0【一9M心8
B
B
A.拉-B+
B.五+拓+
C.-a-拓+
D.-a+拓4
6.若椭圆号+苦=1的弦AB被点P(1,1)平分，则AB所在直线的方程为《)
A.4x+9y-13=0
B.9x+4y-13=0
C.x+2y-3=0
D.x+3y一4=0以阳3径3点
7.若直线上：：-y-2=0与曲线C:V1-y-)2=x-1有两个不同的交点，则实数k的取值范围
是()
Ak>月
B音Kk≤2
C.音D.8.吹奏乐器“埙”（如图1）在古代通常是用陶土烧制的，一种埙的外轮廓的上部是半椭圆，
下部是半圆.半椭圆酷+节=1(y≥0，a>b>0且为常数)和半圆x2+2=b20<0)组成的
曲线D如图2所示，曲线D交x轴的负半轴于点A,交'轴的正半轴于点C,点M是半圆上任意
一点，当点M的坐标为（受，一》时，△ACM的面积最大，则半椭圆的方程是《）
小安南思
图1
图2
数学试卷第2页共6页
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数学试卷参考答案
1．B
【详解】根据题意，，，，
则，，
结合图象可得直线的斜率k的取值范围是.
故选：B.
2．C
【详解】易得圆C1的圆心为C1(－2，2)，半径r1＝2，圆C2的圆心为C2(2，5)，半径r2＝4，圆心距|C1C2|＝＝53．A
【详解】圆经过点，，
可得线段的中点为，又，
所以线段的中垂线的方程为，
即，
由，解得，
即，圆的半径，
所以圆的方程为.故选：A.(本题代入法更好)
4． A
【详解】 因为直线ax＋3y＋2a＝0和2x＋(a＋1)y－2＝0平行，所以得a＝2或a＝－3．故选A.
5．D
【详解】由题意可得：
.故选：D.
6.A
【详解】设，则
所以，整理得，
因为为弦的中点，所以，
所以，
所以弦所在直线的方程为，即.故选：A.
7．B
【详解】直线l：恒过定点，
由，得到，
所以曲线表示以点为圆心，半径为1，且位于直线右侧的半圆（包括点，），如下图所示：
当直线l经过点时，l与曲线C有两个不同的交点，此时，
当l与半圆相切时，由，得，
由图可知，当时，l与曲线C有两个不同的交点，故选：B
8. D
【详解】由点在半圆上，所以，，
要使的面积最大，可平行移动AC，当AC与半圆相切于时，M到直线AC的距离最大， 此时，即，
又
，
所以半椭圆的方程为,故选：D
9．BD
【详解】对于A，由互斥事件的定义可知，事件A，B互斥，A与也是互斥事件不成立，故A错误；特别地，若事件A，B对立，则A与是同一事件，显然不互斥.
对于B，若A与B相互独立，则A与，B与，与都是相互独立事件，故B正确；
对于C，如果A与B相互独立，则
=0.68，故C错误；
对于D，如果A与B相互独立，
则，故D正确．
故选：BD．
10．BCD
【详解】直线，恒过点，所以A不正确；
圆的圆心坐标为，，，所以B正确；
圆的圆心坐标为，圆的半径为2．
直线，恒过点，圆的圆心到定点的距离为：，
直线被圆截得的最短弦长为，所以C正确；
当时，直线方程为：，经过圆的圆心，所以圆上存在无数对点关于直线对称，所以D正确．
故选：BCD．
11. ACD
【详解】 设椭圆的左焦点为F′，连接AF′，则|AF′|＝|BF|，
∴|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF′|＝2a＝6，A正确；
△ABF的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|，
∵|AF|＋|BF|为定值6，|AB|的取值范围是(0，6)，
∴△ABF的周长的取值范围是(6，12)，B错误；
将y＝1与椭圆方程联立，得x＝±，不妨设A，B的坐标为(－，1)，(，1)．
∴S△ABF＝×2×1＝，C正确，
将y＝与椭圆方程联立，可得x＝±，不妨设A，B的坐标为(－，)，(，)．
又∵F(，0)，∴·＝(＋)(－)＋()2＝0，
∴△ABF为直角三角形，D正确；故选ACD.
12．BCD
【详解】对于A：如图将平面展开与平面处于一个平面，连接与交于点，此时取得最小值，即，故A错误；
对于B：如图取的中点，连接、、、，
因为点是棱的中点，所以且，
又且，所以四边形为平行四边形，所以，
所以，所以四边形即为平面截正方体所得截面，
又，，，
所以截面周长为，故B正确；
对于C：如图，，平面，平面，
所以，又，平面，
所以平面，因为平面平面，
平面，平面，
又，所以在直线上，即动点的轨迹是一条直线，故C正确；
对于D：如图建立空间直角坐标系，则，，设，
所以，，
所以到棱的距离，
所以当时，故D正确；故选：BCD
13．
【详解】基本事件总数为，且每种结果出现的可能性都相等．记事件为“点落在圆内”，则事件所包含的基本事件为:，共8个，故．
14.－或－
【详解】 由点到直线的距离公式得＝，解得a＝－或－.
15．或（写出一条即可）
【详解】因为，点满足，设，则，化简得，因为圆上恰有三个点到直线的距离为1，所以圆心到直线的距离为1.若直线的斜率不存在，直线的方程为;若直线的斜率存在,设直线的方程为，即， ，解得,
直线的方程为:
16．
【详解】 如图，点P在椭圆上，所以|PF1|＋|PF2|＝2a，
又|PF1|＝|PA|＝|PF2|＋|AF2|，|AF1|＝|AF2|＝a，代入上式，得|PF1|＝，|PF2|＝.
在△APF1中，cos∠PAF1＝＝＝，
又cos∠PAF1＝1－2sin2∠OAF1＝，所以sin∠OAF1＝，即sin∠OAF1＝＝e＝.
另外，求出点P的坐标,代入椭圆方程亦可求出离心率.
17. (1)0.032(2)0.92
【详解】（1）记“甲第次复原成功”为事件，“乙第次复原成功”为事件，依题意，，．
“甲第三次才成功”为事件，且三次复原过程相互独立，
．……………………5分
（2）“甲、乙两人在第一次复原中至少有一人成功”为事件．
所以．
18.(1)(2)…………………………………….…..10分
【详解】（1）因为，，
所以，
因为是边上的高，
所以，
所以高所在直线的方程为；……..6分
（2）设因为点为边的中点，
所以，
因此边所在直线的方程为…………………12分
19．(1)(2)
【详解】（1）由题意，建立如图所示空间直角坐标系，，
设直线与直线所成角为，则……6分
（2）由题意，设平面的法向量为，
则，令，可得，又，
所以到平面的距离为………………………………..……12分
20．（1）或 （2）
【详解】（1）由题意得在圆外，则，即
又，即或
所以或………………………………………………………….6分
（2）时，圆方程为，则圆的半径，圆心，
直线方程为，设圆心到直线的距离为，
，
...................................................12分
21. (1)＋y2＝1 (2)x＋y－1＝0或3x－5y－3＝0
【详解】(1)由题可知c＝，＝2，a2＝b2＋c2，∴a＝2，b＝1.
∴椭圆C的方程为＋y2＝1…………………………………………………………..4分
(2)易知当直线l的斜率为0或直线l的斜率不存在时，不合题意．故直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为x＝my＋1，M(x1，y1)，N(x2，y2)．
联立消去x可得(4＋m2)y2＋2my－3＝0.
Δ＝16m2＋48>0，y1＋y2＝，y1y2＝...........................................................6分
∵点B在以MN为直径的圆上，
∴·＝0……………………………………………………………………………8分
∵·＝(my1＋1，y1－1)·(my2＋1，y2－1)＝(m2＋1)y1y2＋(m－1)(y1＋y2)＋2＝0，
∴(m2＋1)·＋(m－1)·＋2＝0，整理得3m2－2m－5＝0，解得m＝－1或m＝
∴直线l的方程为x＋y－1＝0或3x－5y－3＝0…………………………………….12分
22．(1)证明见解析(2)或.
【详解】（1）∵由图1得：，，且，∴在图2中平面，是二面角的平面角，则，∴是正三角形，且N是BC的中点，，又平面BCF，平面BCF，可得，而，平面ABCD.∴平面ABCD，而平面，
∴…………………………………………………………………….……..6分
（2）因为平面ABCD，过点N做AB平行线NP，所以以点N为原点，NP，NB、NF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，设
∴，，,.
∵，∴.
∴，∴，
设平面的法向量为
则，取，
设直线BM与平面ADE所成角为，
∴，
∴，∴或……………………………..…………..12分
答案第2页，共8页
