江苏省镇江市句容碧桂园学校2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 江苏省镇江市句容碧桂园学校2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 822.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-23 15:36:41 | ||
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文档简介
句容碧桂园学校2023-2024学年高二上学期期中考试
数 学
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.经过点，倾斜角为的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
2.以为圆心，4为半径的圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
3.已知直线：，：，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
4.若直线与圆 相切，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
5.已知点分别是椭圆的左、右焦点，点在此椭圆上，则的周长等于（ ）
A．20 B．16 C．18 D．14
6.双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
7.已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图， 设直线与抛物线 (为常数) 交于不同的两点， 且当时， 抛物线的焦点到直线的距离为. 过点的直线交抛物线于另一点， 且直线过点， 则直线过点（ ）
A． B． C． D．
第8题图 第15题图 第16题图
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知，直线：，直线：，则（ ）
A．若，则或 B．若，则与间距离为
C．若，则或 D．若在x轴和y轴上的截距相等，则
10.若圆：与圆：的交点为A，B，则（ ）
A．线段AB中垂线方程为
B．公共弦AB所在直线方程为
C．若实数x，y满足圆：，则的最大值为
D．过点作圆：的切线方程为圆
11.已知双曲线的焦点分别为，则下列结论正确的是（ ）
A．渐近线方程为
B．双曲线与椭圆的离心率互为倒数
C．若双曲线上一点满足，则的周长为28
D．若从双曲线的左 右支上任取一点，则这两点的最短距离为6
12.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点且垂直于轴的直线与该椭圆相交于，两点，且，点在该椭圆上，则下列说法正确的是（ ）
A．存在点，使得 B．若，则
C．满足为等腰三角形的点只有2个 D．的取值范围为
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.已知抛物线上的点到准线的距离为4，则点的横坐标为 .
14.直线被圆截得的弦长为 .
15.如图，在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点，若光线经过的重心，则长为 .
16.如图，椭圆：()的右焦点为F，离心率为e，点P是椭圆上第一象限内任意一点且，，．若，则离心率e的最小值是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.已知的三个顶点是．
(1)求AB边的高所在直线的方程；
(2)若直线l过点C，且点A，B到直线l的距离相等，求直线l的方程．
18.已知圆的圆心在轴上，且经过点，
求圆的标准方程； 若直线过点，且与圆相切，求直线方程．
19.已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到焦点的最小距离是．
(1)求椭圆的方程；
(2)倾斜角为的直线交椭圆于两点，已知，求直线的一般式方程．
20.已知双曲线 的渐近线方程为，且双曲线 过点．
求双曲线 的方程；
若直线 与双曲线 只有一个公共点，求实数 的值．
21.已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，且.
（1）求抛物线的方程.
（2）过点的直线与抛物线交于两点，以线段为直径的圆过，求直线的方程.
22.已知双曲线与直线有唯一的公共点．
(1)点在直线l上，求直线l的方程；
(2)设点分别为双曲线C的左右焦点，E为右顶点，过点的直线与双曲线C的右支交于A，B两点（其中点A在第一象限），设M，N分别为的内心．
①点M的横坐标是否为定值？若是，求出横坐标的值；若不是，请说明理由．
②求的取值范围．
参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A B C C C A A A BC BD CD ABD
8．A【详解】直线，即，依题意，到直线的距离为，所以抛物线方程为，直线，
由消去并化简得，，且，
设，则.由，
直线的方程为，所以，即，则，故，所以，所以，
直线的方程为，即，
则，故，
所以，也即直线过定点.故选：A.
12．ABD【详解】由椭圆的左右焦点分别为、，则，
将代入，则，解得，则，，
由，则，即，将其代入，可得，
化简可得，由，解的，所以.
对于A，当点为椭圆的上顶点时，最大，如下图：
由椭圆，则，，在中，，
易知此时，所以的取值范围为，故A正确；
对于B，根据题意可作图如下：
设，，则，，
在中，根据余弦定理，则，
所以，整理可得，
则，故B正确；
对于C，设，，则，，
当时，为等腰三角形，易知此时的坐标为或，
当时，为等腰三角形，此时，设，
则，消去化简可得，由，则方程有解，故C错误；对于D，设，，则，则，
在中，根据余弦定理可得：，则，
化简可得，由选项A可知，
则，，所以，解得，故D正确.故选：ABD.
13．3 14．8
15.．【详解】以为坐标原点，以所在的直线分别为轴、轴，建立平面直角坐标系，
如图所示，则，所以直线的方程为，且的重心，
设分别是点关于直线和轴的对称点， 设，
设，可得，解得，即，
又由，根据光的反射原理，可知四点共线，所以，即，解得，即长为，所以长为.故答案为：.
16．【详解】∵点P是上第一象限内任意一点且，∴，设直线OP的斜率为k，则．由可得，故，∴，
∵，故，∴，解得，
∵对任意的恒成立，故，
整理得到对任意的恒成立，
故只需，即，即，故离心率e最小值为．故答案为：
17．【详解】（1）直线的斜率为，所以边的高所在直线的斜率为，
所以边的高所在直线的方程为.
（2）直线的斜率为，若直线与直线平行，则直线的方程为.
线段的中点坐标为，若直线过，则直线的方程为.
18.【详解】根据题意，圆的圆心在轴上，设其坐标为，圆的半径为，
又圆经过点，，则有，解可得，则，
则圆的标准方程为，
根据题意，圆的标准方程为，
若直线的斜率不存在，则直线的方程为，不符合题意；
若直线的斜率存在，设直线的方程为，即，
若直线与圆相切，且有，解可得：或，则直线的方程为或．
19．【详解】（1）由椭圆的离心率为，即，可得，
由椭圆上的点到焦点的最小距离是，可得，
解得，，，所以椭圆的方程．
（2）解：因为直线的倾斜角为，可设的方程，
由方程组，整理得，
可得，解得，
设，，则，，
又由，
解得，满足，
所以直线的一般式方程为或．
20.【详解】由题意得，解得双曲线的方程为；
由，得．当，即时，直线与双曲线的渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个公共点；
当，即时，由题意得，．
综上所述，实数的取值范围为．
21.【详解】（1）由抛物线定义可知：，解得：，
抛物线的方程为：；
（2）由抛物线方程知：，
设直线，，，
联立方程得：，，，
以线段为直径的圆过点，，
，
解得：，直线的方程为：，即
22．【详解】（1）联立方程得；
得：，
；
；又，
，即.
（2）①P为的内切圆与x轴的切点，由定义知：
，
与E重合，，
同理：.
②设，
．
下求的范围,
当直线AB斜率不存在时，满足题意，
当直线AB斜率存在时，设为，
即代入（1）中求的，
，
或，，
数 学
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.经过点，倾斜角为的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
2.以为圆心，4为半径的圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
3.已知直线：，：，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
4.若直线与圆 相切，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
5.已知点分别是椭圆的左、右焦点，点在此椭圆上，则的周长等于（ ）
A．20 B．16 C．18 D．14
6.双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
7.已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图， 设直线与抛物线 (为常数) 交于不同的两点， 且当时， 抛物线的焦点到直线的距离为. 过点的直线交抛物线于另一点， 且直线过点， 则直线过点（ ）
A． B． C． D．
第8题图 第15题图 第16题图
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知，直线：，直线：，则（ ）
A．若，则或 B．若，则与间距离为
C．若，则或 D．若在x轴和y轴上的截距相等，则
10.若圆：与圆：的交点为A，B，则（ ）
A．线段AB中垂线方程为
B．公共弦AB所在直线方程为
C．若实数x，y满足圆：，则的最大值为
D．过点作圆：的切线方程为圆
11.已知双曲线的焦点分别为，则下列结论正确的是（ ）
A．渐近线方程为
B．双曲线与椭圆的离心率互为倒数
C．若双曲线上一点满足，则的周长为28
D．若从双曲线的左 右支上任取一点，则这两点的最短距离为6
12.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点且垂直于轴的直线与该椭圆相交于，两点，且，点在该椭圆上，则下列说法正确的是（ ）
A．存在点，使得 B．若，则
C．满足为等腰三角形的点只有2个 D．的取值范围为
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.已知抛物线上的点到准线的距离为4，则点的横坐标为 .
14.直线被圆截得的弦长为 .
15.如图，在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点，若光线经过的重心，则长为 .
16.如图，椭圆：()的右焦点为F，离心率为e，点P是椭圆上第一象限内任意一点且，，．若，则离心率e的最小值是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.已知的三个顶点是．
(1)求AB边的高所在直线的方程；
(2)若直线l过点C，且点A，B到直线l的距离相等，求直线l的方程．
18.已知圆的圆心在轴上，且经过点，
求圆的标准方程； 若直线过点，且与圆相切，求直线方程．
19.已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到焦点的最小距离是．
(1)求椭圆的方程；
(2)倾斜角为的直线交椭圆于两点，已知，求直线的一般式方程．
20.已知双曲线 的渐近线方程为，且双曲线 过点．
求双曲线 的方程；
若直线 与双曲线 只有一个公共点，求实数 的值．
21.已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，且.
（1）求抛物线的方程.
（2）过点的直线与抛物线交于两点，以线段为直径的圆过，求直线的方程.
22.已知双曲线与直线有唯一的公共点．
(1)点在直线l上，求直线l的方程；
(2)设点分别为双曲线C的左右焦点，E为右顶点，过点的直线与双曲线C的右支交于A，B两点（其中点A在第一象限），设M，N分别为的内心．
①点M的横坐标是否为定值？若是，求出横坐标的值；若不是，请说明理由．
②求的取值范围．
参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A B C C C A A A BC BD CD ABD
8．A【详解】直线，即，依题意，到直线的距离为，所以抛物线方程为，直线，
由消去并化简得，，且，
设，则.由，
直线的方程为，所以，即，则，故，所以，所以，
直线的方程为，即，
则，故，
所以，也即直线过定点.故选：A.
12．ABD【详解】由椭圆的左右焦点分别为、，则，
将代入，则，解得，则，，
由，则，即，将其代入，可得，
化简可得，由，解的，所以.
对于A，当点为椭圆的上顶点时，最大，如下图：
由椭圆，则，，在中，，
易知此时，所以的取值范围为，故A正确；
对于B，根据题意可作图如下：
设，，则，，
在中，根据余弦定理，则，
所以，整理可得，
则，故B正确；
对于C，设，，则，，
当时，为等腰三角形，易知此时的坐标为或，
当时，为等腰三角形，此时，设，
则，消去化简可得，由，则方程有解，故C错误；对于D，设，，则，则，
在中，根据余弦定理可得：，则，
化简可得，由选项A可知，
则，，所以，解得，故D正确.故选：ABD.
13．3 14．8
15.．【详解】以为坐标原点，以所在的直线分别为轴、轴，建立平面直角坐标系，
如图所示，则，所以直线的方程为，且的重心，
设分别是点关于直线和轴的对称点， 设，
设，可得，解得，即，
又由，根据光的反射原理，可知四点共线，所以，即，解得，即长为，所以长为.故答案为：.
16．【详解】∵点P是上第一象限内任意一点且，∴，设直线OP的斜率为k，则．由可得，故，∴，
∵，故，∴，解得，
∵对任意的恒成立，故，
整理得到对任意的恒成立，
故只需，即，即，故离心率e最小值为．故答案为：
17．【详解】（1）直线的斜率为，所以边的高所在直线的斜率为，
所以边的高所在直线的方程为.
（2）直线的斜率为，若直线与直线平行，则直线的方程为.
线段的中点坐标为，若直线过，则直线的方程为.
18.【详解】根据题意，圆的圆心在轴上，设其坐标为，圆的半径为，
又圆经过点，，则有，解可得，则，
则圆的标准方程为，
根据题意，圆的标准方程为，
若直线的斜率不存在，则直线的方程为，不符合题意；
若直线的斜率存在，设直线的方程为，即，
若直线与圆相切，且有，解可得：或，则直线的方程为或．
19．【详解】（1）由椭圆的离心率为，即，可得，
由椭圆上的点到焦点的最小距离是，可得，
解得，，，所以椭圆的方程．
（2）解：因为直线的倾斜角为，可设的方程，
由方程组，整理得，
可得，解得，
设，，则，，
又由，
解得，满足，
所以直线的一般式方程为或．
20.【详解】由题意得，解得双曲线的方程为；
由，得．当，即时，直线与双曲线的渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个公共点；
当，即时，由题意得，．
综上所述，实数的取值范围为．
21.【详解】（1）由抛物线定义可知：，解得：，
抛物线的方程为：；
（2）由抛物线方程知：，
设直线，，，
联立方程得：，，，
以线段为直径的圆过点，，
，
解得：，直线的方程为：，即
22．【详解】（1）联立方程得；
得：，
；
；又，
，即.
（2）①P为的内切圆与x轴的切点，由定义知：
，
与E重合，，
同理：.
②设，
．
下求的范围,
当直线AB斜率不存在时，满足题意，
当直线AB斜率存在时，设为，
即代入（1）中求的，
，
或，，
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