河北省保定市保定师范附属学校2023-2024学年九年级上学期开学数学试卷
一、选择题（本大题共20小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2022八下·嵊州期末）中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023九上·保定开学考）一元二次方程的解是（ ）
A． B．
C．， D．，
3．（2020八下·建湖月考）菱形具有而矩形不一定具有的性质是 ( )
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．对角互补
4．（2023九上·保定开学考）课堂上老师在黑板上布置了如框所示的题目，小聪马上发现了其中有一道题目错了，你知道是哪道题目吗？（ ）
用平方差公式分解下列各式：
A．第道题 B．第道题 C．第道题 D．第道题
5．（2023九上·保定开学考）如图，已知菱形的周长为，，则对角线的长是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023九上·保定开学考）如图所表示的是下面那一个不等式组的解集（ ）
A． B． C． D．
7．（2023九上·保定开学考）如图所示，中，，将绕点按顺时针方向旋转，得到，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．（2018-2019学年数学人教版九年级上册21.3 实际问题与一元二次方程（1） 同步训练）有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感.设每轮传染中平均一个人传染了 个人，列出的方程是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023九上·保定开学考）如图，任意四边形各边中点分别是、、、若对角线、的长分别是、，则四边形的周长是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023九上·保定开学考）用求根公式解一元二次方程时，，的值是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
11．（2023九上·保定开学考）下列命题中，假命题是（ ）
A．平行四边形的对角线互相垂直平分
B．矩形的对角线相等
C．菱形的面积等于两条对角线乘积的一半
D．对角线相等的菱形是正方形
12．（2023九上·保定开学考）小明解方程的过程如下：
解：去分母，得，
去括号，得，
合并同类项，得，
移项，得，
系数化为，得
他的解答过程中开始出现错误的是步骤（ ）
A． B． C． D．
13．（2023九上·保定开学考）如图，在正方形外侧，作等边三角形，、相交于点，则为（ ）
A． B． C． D．
14．（2023九上·保定开学考）九章算术中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到里外的城市，能够刚好在规定时间送到，如果用快马送，所需的时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求两匹马的速度设慢马的速度为里天，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
15．（2022·鄂伦春模拟）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
16．（2019八下·罗湖期中）如图在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以M、N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D，若CD＝2，AB＝8，则△ABD的面积是（ ）
A．16 B．32 C．8 D．4
17．（2023九上·保定开学考）若不等式组无解，则的值可能（ ）
A． B． C． D．
18．（2023九上·保定开学考）如图，将一个边长为和的长方形纸片折叠，使点与点重合，则的长是（ ）
A． B． C． D．
19．（2023九上·保定开学考）如图，直线交轴于点，直线交轴于点，这两条直线相交于点，则不等式组的解集为（ ）
A． B． C． D．
20．（2022·安顺）如图，在平面直角坐标系中，将边长为2的正六边形绕点顺时针旋转个，得到正六边形，当时，正六边形的顶点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
二、解答题（本大题共3小题，共40.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21．（2023九上·保定开学考）计算：
（1）因式分解：；
（2）解一元二次方程：；
（3）解一元二次方程：；
（4）解分式方程：．
22．（2023九上·大朗开学考）台风“杜苏芮”牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动，第一天收到捐款3000元，第三天收到捐款4320元．
（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；
（2）按照（1）中收到的捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？
23．（2023九上·保定开学考）如图
【问题情境】如图，在矩形中，，，点为边上一动点，连接，将沿翻折，得到，点的对应点为点，射线交边于点．
（1）【实践探究】：
①如图，若点与点重合，则 ；
②当平分时，则的面积 ；
（2）【拓展提升】：
若点从图中的位置开始向右运动直至点停止；
①在运动过程中，点的对应点到边的最小值 ；
②整个运动过程中，点运动的路径长 ．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此一一判断得出答案.
2．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x（x-2）=0
x=0或x-2=0
∴ x1=0或x2=2
故答案为：C.
【分析】本题考查一元二次方程的解法---因式分解法。把一元二次方程分解成（x-a）（x-b）=0的形式，分别求根即可。
3．【答案】A
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【分析】根据菱形对角线垂直平分的性质及矩形对交线相等平分的性质对各个选项进行分析，从而得到最后的答案．
【解答】A、菱形对角线相互垂直，而矩形的对角线则不垂直；故本选项符合要求；
B、矩形的对角线相等，而菱形的不具备这一性质；故本选项不符合要求；
C、菱形和矩形的对角线都互相平分；故本选项不符合要求；
D、菱形对角相等；但菱形不具备对角互补，故本选项不符合要求；
故选A．
【点评】此题主要考查了学生对菱形及矩形的性质的理解及运用．菱形和矩形都具有平行四边形的性质，但是菱形的特性是：对角线互相垂直、平分，四条边都相等．
4．【答案】C
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：
（1）
（2）
（3），不能再分解；
（4）；
则错误的是（3）
故答案为：C.
【分析】本题考查平方差公式的应用。熟悉是关键。
5．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD的周长为8
∴ AB=AD=2
∵ ∠A=60°
∴为等边三角形
∴ BD=2
故答案为：C.
【分析】本题考查菱形的性质和等边三角形的判定。根据菱形的周长和性质可知AB=AD=2，结合∠A=60°可得等边三角形，可得BD。
6．【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：从数轴可知，-2＜x≤1
即：x＞-2，x≤1
故答案为：D.
【分析】本题考查不等式组的解集。根据数轴可得解集，则可得出结果。
7．【答案】B
【知识点】图形的旋转；旋转的性质
【解析】【解答】解： ∵将绕点按顺时针方向旋转，得到
∴ ∠B'AB=50°
∵ ∠BAC= 33°
∴ ∠B'AC=17°
故答案为：B.
【分析】本题考查旋转的性质和旋转角。旋转前后的图形全等，以旋转中心为顶点，旋转前后的对应边的夹角是旋转角。
8．【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】根据题意列方程，
∴x+1+（x+1）x=64
整理得，（1+x）2=64．
故答案为：C
【分析】平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，第一轮后有（x+1）人患流感，第二轮后共有x+1+（x+1）x人患流感，根据经过两轮传染后共有64人患了流感，列出方程。
9．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】
解：∵ G、F分别是CD、CB的中点
H、E分别是AD、AB的中点，BD=20cm
∴ GF=HE==10cm
∵ G、H分别是CD、AD的中点
F、E分别是CB、AB的中点，AC=10cm
∴ GH=FE==5cm
∴四边形EFGH的周长=2GF+2GH=30cm
故答案为：B.
【分析】本题考查三角形中位线定理：三角形的中位线平行且等于三角形底边的一半。根据中位线定理可得GF、GH长，可得四边形周长。
10．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵
∴
∴ a=3，b=-4，c=-2
故答案为：C.
【分析】本题考查一元二次方程a，b，c的值。把一元二次方程整理成一般式的形式，则可知a，b，c的值。
11．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质；真命题与假命题
【解析】【解答】A：平行四边形的对角线互相平分，选项是假命题，符合题意；
B：矩形的对角线相等，选项是真命题，不合题意；
C：菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，选项是真命题，不合题意；
D：对角线相等的菱形是正方形，选项是真命题，不合题意；
故答案为：A.
【分析】本题考查真命题和假命题。 如果一个命题的题设成立时，不能保证结论一定成立，那么这样的命题叫作假命题。 如果一个命题的题设成立时，结论一定成立，那么这样的命题叫作真命题。平行四边形的对角线互相平分，熟悉平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定与性质是关键。
12．【答案】A
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：
去分母，得 ， 第步错误，符合题意；
故答案为：A.
【分析】本题考查解分式方程。解分式方程时，先去分母，把分式方程整理成整式方程，再结合方程的特点，用恰当的方法求解即可。题目中第一步，去分母，每一项乘以公分母，不可漏乘，造成错误。
13．【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD为正方形
∴ AB=AD，∠BAD=90°
∵为等边三角形
∴ AD=AE，∠DAE=60°
∴ AB=AE，∠BAE=150°
∴ ∠BEA=15°
故答案为：A.
【分析】本题考查正方形和等边三角形、等腰三角形的性质，熟练掌握正方形和等边三角形、等腰三角形的性质是解题关键。
14．【答案】A
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设慢马的速度为x里/天，则快马的速度为2x里/天，
根据题意可得：
故答案为：A.
【分析】本题考查分式方程的应用行程问题。根据题意，找出慢马和快马的速度关系，快马时间比慢马时间少3天，则可得分式方程，理清数量关系很重要。
15．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有实数根，
∴且，
解得且，
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程有实数根，可得根的判别式 ：且，解之即可。
16．【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：作DH⊥AB于H．
由作图可知：PA平分∠CAB，
∵DC⊥AC，DH⊥AB，
∴DH＝DC＝2，
∴S△ABD＝ AB DH＝ ×8×2＝8，
故答案为：C．
【分析】作DH⊥AB于H．利用角平分线的性质定理证明DH＝DC＝2即可解决问题．
17．【答案】C
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】
解： 不等式组
由①得：x≥2
由②得：x＜
∴ 2≤x＜
∵此不等式组无解
∴≤2
解得：m≤4
故答案为：C.
【分析】本题考查不等式组的特殊解。根据不等式组，求出解集，根据不等式组无解，可得m的范围，则可得正确选项。
18．【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵ 把矩形ABCD沿EF折叠
∴ AE=EC
∵ AB=4，BC=8
设CE=x，则AE=x，BE=8-x
∴
则
解得：x=5
则CE=5
故答案为：C.
【分析】本题考查折叠的性质和勾股定理。根据折叠，可得AE=CE，结合AB、BC长，设CE=x，可得勾股定理，求解即可。
19．【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：
∵直线交轴于点，直线交轴于点
∴的解集是x＜-2
的解集是x＜4
∴不等式组的解集是x＜-2
故答案为：B.
【分析】本题考查一次函数与不等式组的关系。根据一次函数的图象，可知的解集是x＜-2
的解集是x＜4，则可得不等组的解集。
20．【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；锐角三角函数的定义；探索图形规律
【解析】【解答】解：如图，过点D作DF⊥x于F，过点D6作D6F6⊥y轴于点F6，
将边长为2的正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转n个45°，
∵360°÷45°=8，
∵当n=2022时，2022÷8=252· · ·6，
则D2022的坐标与D6的坐标相同，
∵∠DOD6=2×45°=90°，
则OD⊥OD，
∵OE=DE=2，OD= OD，
∴△ODF≌△△OD6F6，
∴DF=D6F6，OF= O6F6，
∵正六边形OABCDE的一 个外角，
∴DF=DEsin∠DEF=2×=，
∴∠DEO=180°-∠DEF=120°，DE= EO，
∴∠DOF=30°，
∴，
∴D6F6= DF= ， OF6=OF=3，
∴D6（-，-3），
∴D2022（-，-3），
故答案为：A.
【分析】由于正六边形每次转45°，根据2022÷8=252· · ·6，则D2022的坐标与D6的坐标相同，求得D6的坐标，即可解答.
21．【答案】（1）解：原式；
（2）解：，
，
或，
解得，；
（3）解：，
，
，
，
解得，；
（4）解：方程两边同时乘以得，
，
，
，
解得，
经检验是原分式方程的解．
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解法解一元二次方程；解分式方程
【解析】【分析】本题考查因式分解、因式分解法解一元二次方程和分式方程。因式分解的方法：提公因式，公式法，十字相乘法，公式法包括平方差和完全平方公式。熟悉方法是关键。
22．【答案】（1）解：设捐款增长率为x，根据题意列方程得，
3000×(1+x)2=4320，
解得x1=0.2，
x2=-2.2(不合题意，舍去)；
答：捐款增长率为20%；
（2）解：第四天收到捐款为：
4320×(1+20%)=5184(元)，
答：该单位四天能收到5184元捐款.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）设捐款增长率为x，此题是一道平均增长率的问题， 根据公式a(1+x)n=p，其中a是平均增长开始的量，x是增长率，n是增长次数，P是增长结束达到的量，根据公式列出方程，进而再利用直接开平方法求解并检验可得答案；
（2）用第三天收到的捐款数×（1+20％）=第四天收到的捐款钱数，列式计算可得答案.
23．【答案】（1）3；
（2）6；7.2
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：（1） ①∵ 矩形ABCD，
∴ AB=DC=9，AD=BC=15
∵将沿翻折，得到
∴，
∴ AB=A'B=9，AP=A'P
∴ A'C=
设AP=x，则PD=15-x，PC=12+x
在Rt中，
∴
解得：x=3
则AP=3
② 如图所示，连接AA'交BP于点H
∵平分，
∴ ∠A'BP=∠A'BC
∵将沿翻折，得到
∴∠ABP=∠A'BP，AB=A'B
∵ 矩形ABCD， ∠ABC=90°
∴ ∠ABP=∠A'BP=∠A'BC=30°
∴ 是等边三角形.
∴ AA'=9，A'H=
∴ BH=
∴
（2）①点从图中的位置开始向右运动直至点停止；在运动过程中，点在BC边上时，A'到边距离最小，此时距离=BC-BA'=15-9=6
② 如图所示，当PA'⊥BC，A'与E重合时，点E运动的距离为6；
当点P从上图位置开始运动到与D重合时，此时，AP=15，如下图所示：
由矩形和折叠可知： ∠PDB=∠DBC=∠BDE
∴ BE=DE
则DE=15-CE
在Rt中，，即
解得：EC=4.8
则点P从AP=9的位置运动到D时，点E运动的距离是6-4.8=1.2
∴ 点E运动的路径长为6+1.2=7.2
【分析】本题考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、等边三角形的性质与面积，掌握图形的性质，巧妙运用等边三角形的面积公式，准确计算勾股定理是解题关键。（1）①根据矩形ABCD和翻折的性质，设AP=x，则PD=15-x，PC=12+x，根据勾股定理得 ，则AP=3；② 根据平分和翻折的性质、矩形的性质，得 是等边三角形，则得面积 ；（2）① 点P从图2中的位置开始向右运动直至点D停止；在运动过程中，点在BC边上时，A'到边CD距离最小，此时距离=BC-BA'=15-9=6；② 结合点折叠的情况，分类讨论E的运动情况。当PA'⊥BC，A'与E重合时，点E运动的距离为6；当点P从上图位置开始运动到与D重合时，AP=15，由矩形和折叠可知： ∠PDB=∠DBC=∠BDE，则 BE=DE，可知DE=15-CE，根据勾股定理得得EC=4.8，则点P从AP=9的位置运动到D时，点E运动的距离是6-4.8=1.2，则点E运动的路径长为6+1.2=7.2.【小知识】当等边三角形边长为a时，则
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一、选择题（本大题共20小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2022八下·嵊州期末）中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此一一判断得出答案.
2．（2023九上·保定开学考）一元二次方程的解是（ ）
A． B．
C．， D．，
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x（x-2）=0
x=0或x-2=0
∴ x1=0或x2=2
故答案为：C.
【分析】本题考查一元二次方程的解法---因式分解法。把一元二次方程分解成（x-a）（x-b）=0的形式，分别求根即可。
3．（2020八下·建湖月考）菱形具有而矩形不一定具有的性质是 ( )
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．对角互补
【答案】A
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【分析】根据菱形对角线垂直平分的性质及矩形对交线相等平分的性质对各个选项进行分析，从而得到最后的答案．
【解答】A、菱形对角线相互垂直，而矩形的对角线则不垂直；故本选项符合要求；
B、矩形的对角线相等，而菱形的不具备这一性质；故本选项不符合要求；
C、菱形和矩形的对角线都互相平分；故本选项不符合要求；
D、菱形对角相等；但菱形不具备对角互补，故本选项不符合要求；
故选A．
【点评】此题主要考查了学生对菱形及矩形的性质的理解及运用．菱形和矩形都具有平行四边形的性质，但是菱形的特性是：对角线互相垂直、平分，四条边都相等．
4．（2023九上·保定开学考）课堂上老师在黑板上布置了如框所示的题目，小聪马上发现了其中有一道题目错了，你知道是哪道题目吗？（ ）
用平方差公式分解下列各式：
A．第道题 B．第道题 C．第道题 D．第道题
【答案】C
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：
（1）
（2）
（3），不能再分解；
（4）；
则错误的是（3）
故答案为：C.
【分析】本题考查平方差公式的应用。熟悉是关键。
5．（2023九上·保定开学考）如图，已知菱形的周长为，，则对角线的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD的周长为8
∴ AB=AD=2
∵ ∠A=60°
∴为等边三角形
∴ BD=2
故答案为：C.
【分析】本题考查菱形的性质和等边三角形的判定。根据菱形的周长和性质可知AB=AD=2，结合∠A=60°可得等边三角形，可得BD。
6．（2023九上·保定开学考）如图所表示的是下面那一个不等式组的解集（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：从数轴可知，-2＜x≤1
即：x＞-2，x≤1
故答案为：D.
【分析】本题考查不等式组的解集。根据数轴可得解集，则可得出结果。
7．（2023九上·保定开学考）如图所示，中，，将绕点按顺时针方向旋转，得到，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】图形的旋转；旋转的性质
【解析】【解答】解： ∵将绕点按顺时针方向旋转，得到
∴ ∠B'AB=50°
∵ ∠BAC= 33°
∴ ∠B'AC=17°
故答案为：B.
【分析】本题考查旋转的性质和旋转角。旋转前后的图形全等，以旋转中心为顶点，旋转前后的对应边的夹角是旋转角。
8．（2018-2019学年数学人教版九年级上册21.3 实际问题与一元二次方程（1） 同步训练）有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感.设每轮传染中平均一个人传染了 个人，列出的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】根据题意列方程，
∴x+1+（x+1）x=64
整理得，（1+x）2=64．
故答案为：C
【分析】平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，第一轮后有（x+1）人患流感，第二轮后共有x+1+（x+1）x人患流感，根据经过两轮传染后共有64人患了流感，列出方程。
9．（2023九上·保定开学考）如图，任意四边形各边中点分别是、、、若对角线、的长分别是、，则四边形的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】
解：∵ G、F分别是CD、CB的中点
H、E分别是AD、AB的中点，BD=20cm
∴ GF=HE==10cm
∵ G、H分别是CD、AD的中点
F、E分别是CB、AB的中点，AC=10cm
∴ GH=FE==5cm
∴四边形EFGH的周长=2GF+2GH=30cm
故答案为：B.
【分析】本题考查三角形中位线定理：三角形的中位线平行且等于三角形底边的一半。根据中位线定理可得GF、GH长，可得四边形周长。
10．（2023九上·保定开学考）用求根公式解一元二次方程时，，的值是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵
∴
∴ a=3，b=-4，c=-2
故答案为：C.
【分析】本题考查一元二次方程a，b，c的值。把一元二次方程整理成一般式的形式，则可知a，b，c的值。
11．（2023九上·保定开学考）下列命题中，假命题是（ ）
A．平行四边形的对角线互相垂直平分
B．矩形的对角线相等
C．菱形的面积等于两条对角线乘积的一半
D．对角线相等的菱形是正方形
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质；真命题与假命题
【解析】【解答】A：平行四边形的对角线互相平分，选项是假命题，符合题意；
B：矩形的对角线相等，选项是真命题，不合题意；
C：菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，选项是真命题，不合题意；
D：对角线相等的菱形是正方形，选项是真命题，不合题意；
故答案为：A.
【分析】本题考查真命题和假命题。 如果一个命题的题设成立时，不能保证结论一定成立，那么这样的命题叫作假命题。 如果一个命题的题设成立时，结论一定成立，那么这样的命题叫作真命题。平行四边形的对角线互相平分，熟悉平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定与性质是关键。
12．（2023九上·保定开学考）小明解方程的过程如下：
解：去分母，得，
去括号，得，
合并同类项，得，
移项，得，
系数化为，得
他的解答过程中开始出现错误的是步骤（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：
去分母，得 ， 第步错误，符合题意；
故答案为：A.
【分析】本题考查解分式方程。解分式方程时，先去分母，把分式方程整理成整式方程，再结合方程的特点，用恰当的方法求解即可。题目中第一步，去分母，每一项乘以公分母，不可漏乘，造成错误。
13．（2023九上·保定开学考）如图，在正方形外侧，作等边三角形，、相交于点，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD为正方形
∴ AB=AD，∠BAD=90°
∵为等边三角形
∴ AD=AE，∠DAE=60°
∴ AB=AE，∠BAE=150°
∴ ∠BEA=15°
故答案为：A.
【分析】本题考查正方形和等边三角形、等腰三角形的性质，熟练掌握正方形和等边三角形、等腰三角形的性质是解题关键。
14．（2023九上·保定开学考）九章算术中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到里外的城市，能够刚好在规定时间送到，如果用快马送，所需的时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求两匹马的速度设慢马的速度为里天，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设慢马的速度为x里/天，则快马的速度为2x里/天，
根据题意可得：
故答案为：A.
【分析】本题考查分式方程的应用行程问题。根据题意，找出慢马和快马的速度关系，快马时间比慢马时间少3天，则可得分式方程，理清数量关系很重要。
15．（2022·鄂伦春模拟）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有实数根，
∴且，
解得且，
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程有实数根，可得根的判别式 ：且，解之即可。
16．（2019八下·罗湖期中）如图在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以M、N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D，若CD＝2，AB＝8，则△ABD的面积是（ ）
A．16 B．32 C．8 D．4
【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：作DH⊥AB于H．
由作图可知：PA平分∠CAB，
∵DC⊥AC，DH⊥AB，
∴DH＝DC＝2，
∴S△ABD＝ AB DH＝ ×8×2＝8，
故答案为：C．
【分析】作DH⊥AB于H．利用角平分线的性质定理证明DH＝DC＝2即可解决问题．
17．（2023九上·保定开学考）若不等式组无解，则的值可能（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】
解： 不等式组
由①得：x≥2
由②得：x＜
∴ 2≤x＜
∵此不等式组无解
∴≤2
解得：m≤4
故答案为：C.
【分析】本题考查不等式组的特殊解。根据不等式组，求出解集，根据不等式组无解，可得m的范围，则可得正确选项。
18．（2023九上·保定开学考）如图，将一个边长为和的长方形纸片折叠，使点与点重合，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵ 把矩形ABCD沿EF折叠
∴ AE=EC
∵ AB=4，BC=8
设CE=x，则AE=x，BE=8-x
∴
则
解得：x=5
则CE=5
故答案为：C.
【分析】本题考查折叠的性质和勾股定理。根据折叠，可得AE=CE，结合AB、BC长，设CE=x，可得勾股定理，求解即可。
19．（2023九上·保定开学考）如图，直线交轴于点，直线交轴于点，这两条直线相交于点，则不等式组的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：
∵直线交轴于点，直线交轴于点
∴的解集是x＜-2
的解集是x＜4
∴不等式组的解集是x＜-2
故答案为：B.
【分析】本题考查一次函数与不等式组的关系。根据一次函数的图象，可知的解集是x＜-2
的解集是x＜4，则可得不等组的解集。
20．（2022·安顺）如图，在平面直角坐标系中，将边长为2的正六边形绕点顺时针旋转个，得到正六边形，当时，正六边形的顶点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；锐角三角函数的定义；探索图形规律
【解析】【解答】解：如图，过点D作DF⊥x于F，过点D6作D6F6⊥y轴于点F6，
将边长为2的正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转n个45°，
∵360°÷45°=8，
∵当n=2022时，2022÷8=252· · ·6，
则D2022的坐标与D6的坐标相同，
∵∠DOD6=2×45°=90°，
则OD⊥OD，
∵OE=DE=2，OD= OD，
∴△ODF≌△△OD6F6，
∴DF=D6F6，OF= O6F6，
∵正六边形OABCDE的一 个外角，
∴DF=DEsin∠DEF=2×=，
∴∠DEO=180°-∠DEF=120°，DE= EO，
∴∠DOF=30°，
∴，
∴D6F6= DF= ， OF6=OF=3，
∴D6（-，-3），
∴D2022（-，-3），
故答案为：A.
【分析】由于正六边形每次转45°，根据2022÷8=252· · ·6，则D2022的坐标与D6的坐标相同，求得D6的坐标，即可解答.
二、解答题（本大题共3小题，共40.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21．（2023九上·保定开学考）计算：
（1）因式分解：；
（2）解一元二次方程：；
（3）解一元二次方程：；
（4）解分式方程：．
【答案】（1）解：原式；
（2）解：，
，
或，
解得，；
（3）解：，
，
，
，
解得，；
（4）解：方程两边同时乘以得，
，
，
，
解得，
经检验是原分式方程的解．
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解法解一元二次方程；解分式方程
【解析】【分析】本题考查因式分解、因式分解法解一元二次方程和分式方程。因式分解的方法：提公因式，公式法，十字相乘法，公式法包括平方差和完全平方公式。熟悉方法是关键。
22．（2023九上·大朗开学考）台风“杜苏芮”牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动，第一天收到捐款3000元，第三天收到捐款4320元．
（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；
（2）按照（1）中收到的捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？
【答案】（1）解：设捐款增长率为x，根据题意列方程得，
3000×(1+x)2=4320，
解得x1=0.2，
x2=-2.2(不合题意，舍去)；
答：捐款增长率为20%；
（2）解：第四天收到捐款为：
4320×(1+20%)=5184(元)，
答：该单位四天能收到5184元捐款.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）设捐款增长率为x，此题是一道平均增长率的问题， 根据公式a(1+x)n=p，其中a是平均增长开始的量，x是增长率，n是增长次数，P是增长结束达到的量，根据公式列出方程，进而再利用直接开平方法求解并检验可得答案；
（2）用第三天收到的捐款数×（1+20％）=第四天收到的捐款钱数，列式计算可得答案.
23．（2023九上·保定开学考）如图
【问题情境】如图，在矩形中，，，点为边上一动点，连接，将沿翻折，得到，点的对应点为点，射线交边于点．
（1）【实践探究】：
①如图，若点与点重合，则 ；
②当平分时，则的面积 ；
（2）【拓展提升】：
若点从图中的位置开始向右运动直至点停止；
①在运动过程中，点的对应点到边的最小值 ；
②整个运动过程中，点运动的路径长 ．
【答案】（1）3；
（2）6；7.2
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：（1） ①∵ 矩形ABCD，
∴ AB=DC=9，AD=BC=15
∵将沿翻折，得到
∴，
∴ AB=A'B=9，AP=A'P
∴ A'C=
设AP=x，则PD=15-x，PC=12+x
在Rt中，
∴
解得：x=3
则AP=3
② 如图所示，连接AA'交BP于点H
∵平分，
∴ ∠A'BP=∠A'BC
∵将沿翻折，得到
∴∠ABP=∠A'BP，AB=A'B
∵ 矩形ABCD， ∠ABC=90°
∴ ∠ABP=∠A'BP=∠A'BC=30°
∴ 是等边三角形.
∴ AA'=9，A'H=
∴ BH=
∴
（2）①点从图中的位置开始向右运动直至点停止；在运动过程中，点在BC边上时，A'到边距离最小，此时距离=BC-BA'=15-9=6
② 如图所示，当PA'⊥BC，A'与E重合时，点E运动的距离为6；
当点P从上图位置开始运动到与D重合时，此时，AP=15，如下图所示：
由矩形和折叠可知： ∠PDB=∠DBC=∠BDE
∴ BE=DE
则DE=15-CE
在Rt中，，即
解得：EC=4.8
则点P从AP=9的位置运动到D时，点E运动的距离是6-4.8=1.2
∴ 点E运动的路径长为6+1.2=7.2
【分析】本题考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、等边三角形的性质与面积，掌握图形的性质，巧妙运用等边三角形的面积公式，准确计算勾股定理是解题关键。（1）①根据矩形ABCD和翻折的性质，设AP=x，则PD=15-x，PC=12+x，根据勾股定理得 ，则AP=3；② 根据平分和翻折的性质、矩形的性质，得 是等边三角形，则得面积 ；（2）① 点P从图2中的位置开始向右运动直至点D停止；在运动过程中，点在BC边上时，A'到边CD距离最小，此时距离=BC-BA'=15-9=6；② 结合点折叠的情况，分类讨论E的运动情况。当PA'⊥BC，A'与E重合时，点E运动的距离为6；当点P从上图位置开始运动到与D重合时，AP=15，由矩形和折叠可知： ∠PDB=∠DBC=∠BDE，则 BE=DE，可知DE=15-CE，根据勾股定理得得EC=4.8，则点P从AP=9的位置运动到D时，点E运动的距离是6-4.8=1.2，则点E运动的路径长为6+1.2=7.2.【小知识】当等边三角形边长为a时，则
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