4.1数列的概念 同步练习2023——2024学年上学期高二数学人教A版（2019）选择性必修第二册（含解析）
文档属性
| 名称 | 4.1数列的概念 同步练习2023——2024学年上学期高二数学人教A版（2019）选择性必修第二册（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 984.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-23 16:06:37 | ||
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文档简介
4.1数列的概念同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知数列的前n项和为，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．已知数列满足，若，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．数列的通项公式可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知数列的通项公式为，则数列中的最大项的项数为（ ）
A．2 B．3 C．2或3 D．4
5．若数列满足，则使得“对任意，都有”成立的一个充分条件是（ ）
A． B． C． D．
6．已知数列满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
7．数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列：1，1，2，3，5，8…，其中从第3项起，每一项都等于它前面两项之和，即，，这样的数列称为“斐波那契数列”.若，则（ ）
A．175 B．176 C．177 D．178
8．已知数列满足 则集合 中元素的个数为（ ）
A．14 B．20 C．24 D．25
二、多选题
9．设函数，数列满足，则（ ）
A．当时，
B．若为常数数列，则或2
C．若为递减数列，则
D．当时，
10．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8…，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，现将中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为，则（ ）
A． B．
C． D．
11．已知正项数列满足：，则（ ）
A． B．是递增数列
C． D．
12．数列中，，，，则（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
13．已知数列的前项和，则数列的通项公式为 .
14．已知数列{}满足，若对任意正整数都有恒成立，则k的取值范围是 .
15．设是数列的前项和，且，则 .
16．定义“等和数列”：某一项与其后一项和为常数的数列，规定该常数为公和.问：对于等和数列，，公和为5，则 ，前n项和 .
四、解答题
17．设正项数列的前项和为，若．
(1)求数列的通项公式；
(2)若不等式对任意正整数均成立，求的取值范围．
18．数列与均为递增正整数数列.若对于B中任意一项，中存在唯一的一对，满足，则称B可以由A生成，记为.
(1)若，，，，，直接写出，，，中可以由A生成的数列；
(2)若，，求所有满足条件的数列A；
(3)证明：对于任意数列B，一定存在数列A，满足.
19．已知数列的前项之积为，且．
(1)求数列和的通项公式；
(2)求的最大值．
20．设数列满足：，其中表示不超过实数的最大整数．若被正整数除所得的余数为，则记，若数列中不同的两项被除所得余数相同，则记．
(1)直接写出；
(2)若，证明：；
(3)证明：数列有无穷多项是7的倍数．
21．已知数列的通项公式为，数列的前项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，问是否存在正整数，使得成立，并说明理由．
22．已知无穷数列（）的前n项和为，记，，…，中奇数的个数为．
(1)若，请写出数列的前5项；
(2)求证：“为奇数，，3，4，为偶数”是“数列是严格增数列的充分不必要条件；
(3)若，2，3，，求数列的通项公式．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．B
【分析】利用，求出即可.
【详解】因为，所以.
故选：B.
2．D
【分析】根据建立不等式，不等式转化为对一切恒成立，求出即可.
【详解】据题设知，对一切恒成立，
所以对一切恒成立，
即对一切恒成立．
又当时，，
所以，所以所求实数k的取值范围是．
故选:．
3．A
【分析】结合选项中，数列的通项公式，逐项验证，即可求解.
【详解】对于A中，由，可得，符合题意，所以A正确；
对于B中，由，可得，不符合题意，所以B错误；
对于C中，由，可得，不符合题意，所以C错误；
对于D中，由，可得，不符合题意，所以D错误.
故选：A.
4．C
【分析】利用差比较法确定正确答案.
【详解】；；，，
当时，，所以，
所以数列中的最大项的项数或.
故选：C
5．A
【分析】根据给定条件，解不等式求出的范围，结合排除法逐项判断即得.
【详解】数列中，，由，得，即，
整理得，即，解得，
因此任意，有，显然B，D不是；
而当时，，即C不是，选项A符合题意．
故选：A
6．B
【分析】根据题意，两边取倒数，然后累加即可得到结果.
【详解】，则，，，…，，以上各式相加可得，，.
故选：B
7．B
【分析】根据数列的特点，每个数等于它前面两个数的和，移项得： ，使用累加法求得，然后将中的倍展成和的形式（如）即可求解．
【详解】由从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，，
由，得 ，
所以，
，
，
，
将这个式子左右两边分别相加可得：
，
所以.
所以
.
故选：B．
8．C
【分析】利用累加法得到，即可得到，然后分为偶数和奇数两种情况列不等式求解即可.
【详解】由题意得，
所以
，，
所以，
当为偶数时，令，解得，
当为奇数时，令，因为函数的对称轴为，当时， ，当时，，所以，
综上可得集合中元素的个数为.
故选：C.
9．ABD
【分析】根据函数图像，数列递推关系式，及常数数列，递减数列概念可判断 A，B，C 选项，对D由递推关系，结合裂项求和可判断.
【详解】的图象如下图：
对A，当时，，
，
同理，…，，故A正确；
对B，若为常数数列，则，
当时，有无解，
当时，，解得或2，故B正确；
对C，若为递减数列，则，
当时，，
当时，，
所以或，故C不正确；
对D，当时，，
又由可得：，
，
故
，故D正确.
故选：ABD.
10．BCD
【分析】根据数列各项可知其是以为周期的周期数列，由此可判断A，B；根据斐波那契数列的定义，采用累加法可判断C；由斐波那契数列定义可推导得到，累加即可判断D.
【详解】斐波那契数列：，则
，即数列是以6为周期的周期数列，
对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，，，，
，故C正确；
对于D，因为，
所以，
所以，，，，
所以，
又，所以，故D正确，
故选：BCD.
【点睛】解题关键是能够根据斐波那契数列的定义，确定其数列前后项所满足的关系式，进而验证得到新定义的数列为周期数列.
11．BCD
【分析】利用递推公式计算，由结果判断是递增数列，再把的结果进行放大和缩小可判断C,D选项.
【详解】由得，即，解得，因为正项数列，所以，故A错误；
因为，又正项数列，
所以，即，因此是递增数列，故B正确；
由上可知，，所以，即，故C正确；
因为，即，
所以，，，…，，
因此，，即，故D正确.
故选：BCD.
12．ABD
【分析】根据递推公式可得数列是以3为周期的周期数列，再逐个选项判断即可.
【详解】由题意得：，，，，…，
∴数列是以3为周期的周期数列．
对于A，，A正确，
对于B，，B正确，
对于C，，C错误，
对于D，由递推关系式知：，
∴
，D正确．
故选：ABD
13．
【分析】根据题意，结合和，即可求得数列的通项公式.
【详解】由数列的前n项和为，
当时，可得；
当时，
所以数列的通项公式为.
故答案为：.
14．
【分析】先通过构造得到数列是一个以3为首项，3为公比的等比数列，再求的通项公式，代入到不等式可得，利用作差法可判断的最大值，则答案可求.
【详解】由可得，又因为，所以，
即数列是一个以3为首项，3为公比的等比数列，
所以，
对任意正整数都有，则，即，
设，则，
当时，，当时，，
即，所以，
所以
故答案为：.
15．/10.5
【分析】根据与之间的关系，结合诱导公式运算求解.
【详解】因为，则，
，
所以.
故答案为：.
16． 3
【分析】根据题意列出递推关系式，并求出前几项找规律即可计算，利用分组求和法即可求解前n项和.
【详解】由题意知，，又，所以，，，，…，
可知当n为奇数时，，当n为偶数时，，所以，
当n为奇数时，
，
当n为偶数时，
，
故.
故答案为：3，
17．(1)
(2)
【分析】（1） 应用得出等差数列再求数列通项公式即可;
（2）应用裂项相消求和结合不等式恒成立求解.
【详解】（1）当时，，所以；
当时，且，两式相减并整理可得．
因为为正项数列，所以，所以．
（2）有（1）可知，
，
，
故，可化为，
因为恒成立，所以．
18．(1)和
(2)和
(3)证明见解析
【分析】（1）根据题意给的条件，依次验证得到答案.
（2）确定，判断和中不能有，再列举，，，计算得到答案.
（3）取，构造，，，，满足条件，得到证明.
【详解】（1）对于：且，故不满足唯一性，不是；
对于：，，满足条件，
对于：且，故不满足唯一性，不是；
对于：，，，，满足条件，
综上所述：和是可以由A生成的数列.
（2）的共有个正整数，作差，刚好有个结果，与中的正整数一一对应，
故，故，
和中不能有，因为，这与唯一性矛盾，
当时，，不然会有，，不然，
故，验证满足条件；
当时，，不然会有，，验证满足条件；
当时，，此时，不满足.
综上所述：满足条件的数列为和.
（3）对于数列，取，
则，，，，，
即，，，
对于B中任意一项，中存在唯一的一对，满足，
构成的数列满足.
【点睛】关键点睛：本题考查了数列的新定义问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据已知条件构造新数列是解题的关键，取，排除重复是解题的关键.
19．(1)，
(2)
【分析】（1）利用退一作差法求得，由求得.
（2）先判断的单调性，由此求得的最大值.
【详解】（1）①，
②，
①-②可得也满足上式，③．
数列的前项之积为当时，，代入③可得，
．
（2），
，
，
，即单调递减，
的最大值为．
20．(1)
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据题意中的递推公式，依次计算即可得出；
（2）借助题意中的递推公式，根据除法的规则证明得之；
（3）在第（2）问的结论基础上进行推理，在数列中求出被7除所得余数不一样的7个数，则其中必有一个为7的倍数，运用这一方法证明其结论.
【详解】（1）当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
所以；
（2）因为，
所以，
又因为，
所以被7除所得余数与被7除所得余数一致，即，
同理：，
因为，
所以被7除所得余数与被7除所得余数一致，即，
故；
（3）设是7的倍数，
记，则由（2）得，，
若此时是7的倍数，则可以得到数列有无穷多项是7的倍数，
若不是7的倍数，设，
则有，
故，
同理可得：，
，
，
，
，
因此，，，，，，，中必有一个数是7的倍数，
从而序列中有无穷多项是7的倍数.
【点睛】方法点睛：本题主要考查递推数列的知识，属于难题.递推数列常见的处理方法为：
（1）根据递推关系，逐一列举，归纳出数列的通项公式；
（2）根据递推关系，构造出新的等差数列或等比数列，求解其通项公式；
（3）根据递推关系，构造成可以“累加、累积”等模型，求解其通项公式；
（4）根据递推关系进行迭代推理，求解出具有同一类性质的项.
21．(1)
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）根据，即可求解通项，
（2）根据数列的单调性，求解最值，即可作出判断.
【详解】（1）由可得：当时，，
当时，，也符合上式，
所以
（2），因此，
故，
故当时，，故，
当时，，故此时单调递减，
故当时，取最大值，，因此不存在正整数，使得成立.
22．(1)1，2，2，2，3
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据，求得列举求解；
（2）（充分性）由是奇数，，3，为偶数，得到对于任意，都是奇数证明；（不必要性）举例当数列中只有是奇数，其余项都是偶数时证明；
（3）先论证为奇数时，若为偶数，②为偶数，若为奇数，由是奇数，得到为奇数 ，为偶数，得到为偶数，与矛盾，从而得到与同奇偶，再由为奇数或偶数，以此类推求解.
【详解】（1）解：因为，
故当时，，则是第二项起的等差数列，
所以，
所以，
则，
即数列的前5项为：1，2，2，2，3；
（2）证明：（充分性）
是奇数，，3，为偶数，
对于任意，都是奇数，
，
数列是单调递增数列．
（不必要性）
当数列中只有是奇数，其余项都是偶数时，为偶数，，3，均为奇数，
，数列是单调递增数列，
“为奇数，，3，4，为偶数”是“数列是单调递增数列”的不必要条件．
综上，“为奇数，，3，4，为偶数”是“数列是单调递增数列”的充分不必要条件．
（3）①当为奇数时，若为偶数，
若是奇数，则为奇数，为偶数，与矛盾；
若为偶数，则为偶数，为奇数，与矛盾．
当为奇数时，不能为偶数；
②当为偶数，若为奇数，
若为奇数，则为偶数，为偶数，与矛盾，
若为偶数，则为奇数，为奇数，与矛盾，
当为偶数时，不能是奇数．
综上，与同奇偶，
若为奇数，则，若与同为奇数，则此时，与为奇数矛盾，
若与同为偶数，则此时，与为偶数矛盾，
所以为偶数，则，若与同为奇数，则此时，
若与同为奇数，则此时，与为奇数矛盾，若与同为偶数，则此时，与为偶数矛盾，
所以与同为偶数，则，
以此类推，，2，3，...
得到当时，，当时，为偶数即可满足.
所以.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知数列的前n项和为，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．已知数列满足，若，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．数列的通项公式可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知数列的通项公式为，则数列中的最大项的项数为（ ）
A．2 B．3 C．2或3 D．4
5．若数列满足，则使得“对任意，都有”成立的一个充分条件是（ ）
A． B． C． D．
6．已知数列满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
7．数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列：1，1，2，3，5，8…，其中从第3项起，每一项都等于它前面两项之和，即，，这样的数列称为“斐波那契数列”.若，则（ ）
A．175 B．176 C．177 D．178
8．已知数列满足 则集合 中元素的个数为（ ）
A．14 B．20 C．24 D．25
二、多选题
9．设函数，数列满足，则（ ）
A．当时，
B．若为常数数列，则或2
C．若为递减数列，则
D．当时，
10．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8…，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，现将中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为，则（ ）
A． B．
C． D．
11．已知正项数列满足：，则（ ）
A． B．是递增数列
C． D．
12．数列中，，，，则（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
13．已知数列的前项和，则数列的通项公式为 .
14．已知数列{}满足，若对任意正整数都有恒成立，则k的取值范围是 .
15．设是数列的前项和，且，则 .
16．定义“等和数列”：某一项与其后一项和为常数的数列，规定该常数为公和.问：对于等和数列，，公和为5，则 ，前n项和 .
四、解答题
17．设正项数列的前项和为，若．
(1)求数列的通项公式；
(2)若不等式对任意正整数均成立，求的取值范围．
18．数列与均为递增正整数数列.若对于B中任意一项，中存在唯一的一对，满足，则称B可以由A生成，记为.
(1)若，，，，，直接写出，，，中可以由A生成的数列；
(2)若，，求所有满足条件的数列A；
(3)证明：对于任意数列B，一定存在数列A，满足.
19．已知数列的前项之积为，且．
(1)求数列和的通项公式；
(2)求的最大值．
20．设数列满足：，其中表示不超过实数的最大整数．若被正整数除所得的余数为，则记，若数列中不同的两项被除所得余数相同，则记．
(1)直接写出；
(2)若，证明：；
(3)证明：数列有无穷多项是7的倍数．
21．已知数列的通项公式为，数列的前项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，问是否存在正整数，使得成立，并说明理由．
22．已知无穷数列（）的前n项和为，记，，…，中奇数的个数为．
(1)若，请写出数列的前5项；
(2)求证：“为奇数，，3，4，为偶数”是“数列是严格增数列的充分不必要条件；
(3)若，2，3，，求数列的通项公式．
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参考答案：
1．B
【分析】利用，求出即可.
【详解】因为，所以.
故选：B.
2．D
【分析】根据建立不等式，不等式转化为对一切恒成立，求出即可.
【详解】据题设知，对一切恒成立，
所以对一切恒成立，
即对一切恒成立．
又当时，，
所以，所以所求实数k的取值范围是．
故选:．
3．A
【分析】结合选项中，数列的通项公式，逐项验证，即可求解.
【详解】对于A中，由，可得，符合题意，所以A正确；
对于B中，由，可得，不符合题意，所以B错误；
对于C中，由，可得，不符合题意，所以C错误；
对于D中，由，可得，不符合题意，所以D错误.
故选：A.
4．C
【分析】利用差比较法确定正确答案.
【详解】；；，，
当时，，所以，
所以数列中的最大项的项数或.
故选：C
5．A
【分析】根据给定条件，解不等式求出的范围，结合排除法逐项判断即得.
【详解】数列中，，由，得，即，
整理得，即，解得，
因此任意，有，显然B，D不是；
而当时，，即C不是，选项A符合题意．
故选：A
6．B
【分析】根据题意，两边取倒数，然后累加即可得到结果.
【详解】，则，，，…，，以上各式相加可得，，.
故选：B
7．B
【分析】根据数列的特点，每个数等于它前面两个数的和，移项得： ，使用累加法求得，然后将中的倍展成和的形式（如）即可求解．
【详解】由从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，，
由，得 ，
所以，
，
，
，
将这个式子左右两边分别相加可得：
，
所以.
所以
.
故选：B．
8．C
【分析】利用累加法得到，即可得到，然后分为偶数和奇数两种情况列不等式求解即可.
【详解】由题意得，
所以
，，
所以，
当为偶数时，令，解得，
当为奇数时，令，因为函数的对称轴为，当时， ，当时，，所以，
综上可得集合中元素的个数为.
故选：C.
9．ABD
【分析】根据函数图像，数列递推关系式，及常数数列，递减数列概念可判断 A，B，C 选项，对D由递推关系，结合裂项求和可判断.
【详解】的图象如下图：
对A，当时，，
，
同理，…，，故A正确；
对B，若为常数数列，则，
当时，有无解，
当时，，解得或2，故B正确；
对C，若为递减数列，则，
当时，，
当时，，
所以或，故C不正确；
对D，当时，，
又由可得：，
，
故
，故D正确.
故选：ABD.
10．BCD
【分析】根据数列各项可知其是以为周期的周期数列，由此可判断A，B；根据斐波那契数列的定义，采用累加法可判断C；由斐波那契数列定义可推导得到，累加即可判断D.
【详解】斐波那契数列：，则
，即数列是以6为周期的周期数列，
对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，，，，
，故C正确；
对于D，因为，
所以，
所以，，，，
所以，
又，所以，故D正确，
故选：BCD.
【点睛】解题关键是能够根据斐波那契数列的定义，确定其数列前后项所满足的关系式，进而验证得到新定义的数列为周期数列.
11．BCD
【分析】利用递推公式计算，由结果判断是递增数列，再把的结果进行放大和缩小可判断C,D选项.
【详解】由得，即，解得，因为正项数列，所以，故A错误；
因为，又正项数列，
所以，即，因此是递增数列，故B正确；
由上可知，，所以，即，故C正确；
因为，即，
所以，，，…，，
因此，，即，故D正确.
故选：BCD.
12．ABD
【分析】根据递推公式可得数列是以3为周期的周期数列，再逐个选项判断即可.
【详解】由题意得：，，，，…，
∴数列是以3为周期的周期数列．
对于A，，A正确，
对于B，，B正确，
对于C，，C错误，
对于D，由递推关系式知：，
∴
，D正确．
故选：ABD
13．
【分析】根据题意，结合和，即可求得数列的通项公式.
【详解】由数列的前n项和为，
当时，可得；
当时，
所以数列的通项公式为.
故答案为：.
14．
【分析】先通过构造得到数列是一个以3为首项，3为公比的等比数列，再求的通项公式，代入到不等式可得，利用作差法可判断的最大值，则答案可求.
【详解】由可得，又因为，所以，
即数列是一个以3为首项，3为公比的等比数列，
所以，
对任意正整数都有，则，即，
设，则，
当时，，当时，，
即，所以，
所以
故答案为：.
15．/10.5
【分析】根据与之间的关系，结合诱导公式运算求解.
【详解】因为，则，
，
所以.
故答案为：.
16． 3
【分析】根据题意列出递推关系式，并求出前几项找规律即可计算，利用分组求和法即可求解前n项和.
【详解】由题意知，，又，所以，，，，…，
可知当n为奇数时，，当n为偶数时，，所以，
当n为奇数时，
，
当n为偶数时，
，
故.
故答案为：3，
17．(1)
(2)
【分析】（1） 应用得出等差数列再求数列通项公式即可;
（2）应用裂项相消求和结合不等式恒成立求解.
【详解】（1）当时，，所以；
当时，且，两式相减并整理可得．
因为为正项数列，所以，所以．
（2）有（1）可知，
，
，
故，可化为，
因为恒成立，所以．
18．(1)和
(2)和
(3)证明见解析
【分析】（1）根据题意给的条件，依次验证得到答案.
（2）确定，判断和中不能有，再列举，，，计算得到答案.
（3）取，构造，，，，满足条件，得到证明.
【详解】（1）对于：且，故不满足唯一性，不是；
对于：，，满足条件，
对于：且，故不满足唯一性，不是；
对于：，，，，满足条件，
综上所述：和是可以由A生成的数列.
（2）的共有个正整数，作差，刚好有个结果，与中的正整数一一对应，
故，故，
和中不能有，因为，这与唯一性矛盾，
当时，，不然会有，，不然，
故，验证满足条件；
当时，，不然会有，，验证满足条件；
当时，，此时，不满足.
综上所述：满足条件的数列为和.
（3）对于数列，取，
则，，，，，
即，，，
对于B中任意一项，中存在唯一的一对，满足，
构成的数列满足.
【点睛】关键点睛：本题考查了数列的新定义问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据已知条件构造新数列是解题的关键，取，排除重复是解题的关键.
19．(1)，
(2)
【分析】（1）利用退一作差法求得，由求得.
（2）先判断的单调性，由此求得的最大值.
【详解】（1）①，
②，
①-②可得也满足上式，③．
数列的前项之积为当时，，代入③可得，
．
（2），
，
，
，即单调递减，
的最大值为．
20．(1)
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据题意中的递推公式，依次计算即可得出；
（2）借助题意中的递推公式，根据除法的规则证明得之；
（3）在第（2）问的结论基础上进行推理，在数列中求出被7除所得余数不一样的7个数，则其中必有一个为7的倍数，运用这一方法证明其结论.
【详解】（1）当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
所以；
（2）因为，
所以，
又因为，
所以被7除所得余数与被7除所得余数一致，即，
同理：，
因为，
所以被7除所得余数与被7除所得余数一致，即，
故；
（3）设是7的倍数，
记，则由（2）得，，
若此时是7的倍数，则可以得到数列有无穷多项是7的倍数，
若不是7的倍数，设，
则有，
故，
同理可得：，
，
，
，
，
因此，，，，，，，中必有一个数是7的倍数，
从而序列中有无穷多项是7的倍数.
【点睛】方法点睛：本题主要考查递推数列的知识，属于难题.递推数列常见的处理方法为：
（1）根据递推关系，逐一列举，归纳出数列的通项公式；
（2）根据递推关系，构造出新的等差数列或等比数列，求解其通项公式；
（3）根据递推关系，构造成可以“累加、累积”等模型，求解其通项公式；
（4）根据递推关系进行迭代推理，求解出具有同一类性质的项.
21．(1)
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）根据，即可求解通项，
（2）根据数列的单调性，求解最值，即可作出判断.
【详解】（1）由可得：当时，，
当时，，也符合上式，
所以
（2），因此，
故，
故当时，，故，
当时，，故此时单调递减，
故当时，取最大值，，因此不存在正整数，使得成立.
22．(1)1，2，2，2，3
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据，求得列举求解；
（2）（充分性）由是奇数，，3，为偶数，得到对于任意，都是奇数证明；（不必要性）举例当数列中只有是奇数，其余项都是偶数时证明；
（3）先论证为奇数时，若为偶数，②为偶数，若为奇数，由是奇数，得到为奇数 ，为偶数，得到为偶数，与矛盾，从而得到与同奇偶，再由为奇数或偶数，以此类推求解.
【详解】（1）解：因为，
故当时，，则是第二项起的等差数列，
所以，
所以，
则，
即数列的前5项为：1，2，2，2，3；
（2）证明：（充分性）
是奇数，，3，为偶数，
对于任意，都是奇数，
，
数列是单调递增数列．
（不必要性）
当数列中只有是奇数，其余项都是偶数时，为偶数，，3，均为奇数，
，数列是单调递增数列，
“为奇数，，3，4，为偶数”是“数列是单调递增数列”的不必要条件．
综上，“为奇数，，3，4，为偶数”是“数列是单调递增数列”的充分不必要条件．
（3）①当为奇数时，若为偶数，
若是奇数，则为奇数，为偶数，与矛盾；
若为偶数，则为偶数，为奇数，与矛盾．
当为奇数时，不能为偶数；
②当为偶数，若为奇数，
若为奇数，则为偶数，为偶数，与矛盾，
若为偶数，则为奇数，为奇数，与矛盾，
当为偶数时，不能是奇数．
综上，与同奇偶，
若为奇数，则，若与同为奇数，则此时，与为奇数矛盾，
若与同为偶数，则此时，与为偶数矛盾，
所以为偶数，则，若与同为奇数，则此时，
若与同为奇数，则此时，与为奇数矛盾，若与同为偶数，则此时，与为偶数矛盾，
所以与同为偶数，则，
以此类推，，2，3，...
得到当时，，当时，为偶数即可满足.
所以.
答案第1页，共2页
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