2022-2023学年第二学期第三次月考高一数学试卷
温馨提示：
1、本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟；
2、本试卷命题范围：必修一，必修二第六章；
3、请考生选择题答案填涂在答题卡规定的位置，否则视为无效答案；
4、正式开考前，请在规定位置填写姓名、班号，正式开考后才允许答题.
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（每小题5分，共40分）
1. 设命题，，则命题的否定为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2. 若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A B. C. D.
3. 对于非零向量， “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
5. 平面向量与的夹角为，，，则等于（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数f(x)是偶函数，且f(x)在上是增函数，若，则不等式的解集为（ ）
A. {x|x>2} B. C. {或x>2} D. {或x>2}
7. 已知函数在上满足：对任意，都有，则实数的取值范围是（ ）
A B. C. D.
8. 如图，摩天轮的半径为40米.摩天轮的中心O点距离地面的高度为45米，摩天轮匀速逆时针旋转.每30分钟转一圈.若摩天轮上点P的起始位置在最低点处.下面有关结论正确的是（ ）
A. 经过10分钟，点P距离地面高度为45米
B. 第25分钟和第70分钟点P距离地面的高度相同
C. 从第10分钟至第20分钟，点P距离地面高度一直在上升
D. 摩天轮旋转一周，点P距离地面的高度不低于65米的时间为10分钟
二、多选题（全部答对得5分，部分答对得2分，有错选或不选得0分，共20分）
9. 已知两点、，与平行，且方向相反的向量可能是（ ）
A. B.
C D.
10. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B的值为（ ）
A. B. C. D.
11. 下列说法中正确的是（ ）
A. 若是第二象限角，则点在第三象限
B. 圆心角为，半径为2的扇形面积为2
C. 利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是
D. 若，且，则
12. 函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合，则下列结论正确的是（ ）
A. 的一个周期为；
B. 的图象关于对称；
C. 是的一个零点；
D. 在单调递减；
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（每小题5分，共20分）
13. 已知，则________.
14. 若关于的方程有一正根和一负根，则的取值范围为__________．
15. 在中，为中点，若，则实数的值为___________.
16. 若两个正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是__________．
四、解答题（17题满分10分，18--22每小题12分，共60分）
17. 已知向量，，其中，．
（1）求，；
（2）求与的夹角的余弦值．
18. 已知在中，角，，所对的边分别为，，，向量，，且．
（1）求角；
（2）若，，求的面积．
19. 已知平面向量，，，且，
（1）若，且，求向量的坐标；
（2）若，求在方向的投影向量（用坐标表示）.
20. 十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，年某企业计划引进新能源汽车生产设备看，通过市场分析，全年需投入固定成本万元，每生产（百辆）需另投入成本（万元），且.由市场调研知，每辆车售价万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.
（1）求出年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润=销售额—成本）
（2）当年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
21. 已知函数.
（1）求的值；
（2）在△ABC中，若，求的最大值.
22. 已知定义域为的函数是奇函数.
(1)求的值；
(2)判断函数的单调性并证明；
(3)若关于的不等式在有解，求实数的取值范围.2022-2023学年第二学期第三次月考高一数学试卷
温馨提示：
1、本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟；
2、本试卷命题范围：必修一，必修二第六章；
3、请考生选择题答案填涂在答题卡规定的位置，否则视为无效答案；
4、正式开考前，请在规定位置填写姓名、班号，正式开考后才允许答题.
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（每小题5分，共40分）
1. 设命题，，则命题的否定为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】根据命题的否定的定义判断．
【详解】全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定为，，
故选：B.
2. 若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据图中阴影部分表示求解即可.
【详解】由题知：图中阴影部分表示，
，则.
故选：A
3. 对于非零向量， “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量共线的相关知识直接判断.
【详解】对于非零向量，当时，，一定成立，即充分性成立；
当时，，不一定满足，即必要性不成立.
所以对于非零向量， “”是“”的充分不必要条件.
故选：A
4. 已知，则（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用指对数的运算，结合指数、对数的性质即可判断大小关系.
【详解】，，，
∴，
故选：D
【点睛】本题考查了比较指对数的大小，应用了指对数运算及性质，属于简单题.
5. 平面向量与的夹角为，，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】转化为平面向的数量积可求出结果.
【详解】因为，所以，
.
故选：B
6. 已知函数f(x)是偶函数，且f(x)在上是增函数，若，则不等式的解集为（ ）
A. {x|x>2} B. C. {或x>2} D. {或x>2}
【答案】C
【解析】
【分析】利用函数的奇偶性和单调性将不等式等价为，进而可求得结果.
【详解】依题意，不等式，
又在上是增函数，所以，
即或，解得或.
故选：C.
7. 已知函数在上满足：对任意，都有，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，得到在上单调递减，进而可求出结果.
【详解】由题意，得到在上单调递减，
因此只需，解得.
故选：C.
【点睛】本题主要考查由分段函数单调性求参数，属于基础题型.
8. 如图，摩天轮的半径为40米.摩天轮的中心O点距离地面的高度为45米，摩天轮匀速逆时针旋转.每30分钟转一圈.若摩天轮上点P的起始位置在最低点处.下面有关结论正确的是（ ）
A. 经过10分钟，点P距离地面的高度为45米
B. 第25分钟和第70分钟点P距离地面的高度相同
C. 从第10分钟至第20分钟，点P距离地面的高度一直在上升
D. 摩天轮旋转一周，点P距离地面的高度不低于65米的时间为10分钟
【答案】D
【解析】
【分析】若转动分钟，P距离地面的高度为可得，结合各选项的描述，利用余弦型函数的性质判断正误.
【详解】由题设，摩天轮每分钟的角速度为，若转动分钟，P距离地面的高度为，则，
所以，经过10分钟米，A错误；
第25分钟米；第70分钟米，B错误；
由，则，即P距离地面的高度先增大后减小，C错误；
由题设，，即，在一周内P距离地面的高度不低于65米有，可得，故时间长度为10分钟，D正确.
故选：D
二、多选题（全部答对得5分，部分答对得2分，有错选或不选得0分，共20分）
9. 已知两点、，与平行，且方向相反的向量可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】求出向量的坐标，利用平面向量共线的基本定理可得出结论.
【详解】由题意可得.
A选项，，故满足题意；
D选项，，故满足题意；
BC选项中的不与平行.
故选：AD.
10. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】利用余弦定理代入式子中能得到，结合范围即能得到答案
【详解】解：根据余弦定理可知，代入，可得，即，
因为，所以或，
故选：BD.
11. 下列说法中正确的是（ ）
A. 若是第二象限角，则点在第三象限
B. 圆心角为，半径为2的扇形面积为2
C. 利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是
D. 若，且，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据任意角的定义、扇形面积的计算公式、二分法以及之间的关系，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对A：若是第二象限角，则，
故点在第三象限，则正确；
对：根据题意，扇形面积，故正确；
对：对，当时，，当时，，
故可以取的一个区间是，则正确；
对D：，且，则，解得，
则，故D错误；
故选：ABC.
12. 函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合，则下列结论正确的是（ ）
A. 的一个周期为；
B. 的图象关于对称；
C. 是的一个零点；
D. 在单调递减；
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据图象的平移得出函数的解析式，利用正弦型函数的周期判断A，利用对称性判断B，根据零点定义判断C，利用正弦型函数对称性判断D.
【详解】函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合，
，
的一个周期为，故A正确；
的对称轴满足：，，
当时，的图象关于对称，故B正确；
由，得，是的一个零点，故C正确；
当时，，在上单调递增，故D错误.
故选：ABC
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（每小题5分，共20分）
13. 已知，则________.
【答案】
【解析】
【分析】本题可根据诱导公式得出结果.
【详解】，
故答案为：
14. 若关于的方程有一正根和一负根，则的取值范围为__________．
【答案】-1
【解析】
【分析】主要考查一元二次方程根的分布、一元二次不等式解法．
【详解】令f(x)= x2+ax+a2-1,由题意得f(0)<0即a2-1<0∴-1【点睛】基本题型，借助于二次函数图象，建立参数的不等式．数形结合思想的应用．
15. 在中，为中点，若，则实数的值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】由题知，，进而根据题意，结合向量数量积运算律得.
【详解】解：因为为中点，
所以，，
，
因为，
所以，
因为
所以，，解得.
故答案为：
16. 若两个正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，只要即可，再根据基本不等式中的“”的妙用，求得，解不等式即可得解.
【详解】根据题意先求得最小值，
由，
得
，
所以若要不等式恒成立，
只要，即，
解得，所以.
故答案为：
四、解答题（17题满分10分，18--22每小题12分，共60分）
17. 已知向量，，其中，．
（1）求，；
（2）求与的夹角的余弦值．
【答案】（1）10，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题干中已知条件，用坐标表示与，用坐标法求解即可.
（2）设与的夹角为，分别求得与，利用平面向量的数量积即可求解.
【小问1详解】
解：因为，，
则，，，
故，
【小问2详解】
设与的夹角为，
由（1）得，，
则.
18. 已知在中，角，，所对的边分别为，，，向量，，且．
（1）求角；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用平行向量的坐标关系得，结合正弦定理与角度关系，即可得角；
（2）根据余弦定理求得边长，再利用面积公式求解即可.
【小问1详解】
解：因为向量，，且
所以，由正弦定理得，
又，则，即，又，所以；
【小问2详解】
解：由余弦定理的，整理得，解得或（舍），
所以的面积.
19. 已知平面向量，，，且，
（1）若，且，求向量的坐标；
（2）若，求在方向的投影向量（用坐标表示）.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）设，利用平面向量的共线定理及坐标表示即可求解;
（2）利用平面向量数量积的坐标表示求解在方向的投影向量即可.
【小问1详解】
设，
因为，且，
所以，解得或，
所以或.
【小问2详解】
在方向的投影向量为.
20. 十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，年某企业计划引进新能源汽车生产设备看，通过市场分析，全年需投入固定成本万元，每生产（百辆）需另投入成本（万元），且.由市场调研知，每辆车售价万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.
（1）求出年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润=销售额—成本）
（2）当年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
【答案】（1）
（2）百辆，最大利润万
【解析】
【分析】（1）根据题意分情况列式即可；
（2）根据分段函数的性质分别计算最值.
【小问1详解】
由题意得当时，，
当时，，
所以,
【小问2详解】
由（1）得当时，，
当时，，
当时，
，当且仅当，即时等号成立，
，时，，，
时，即年产量为百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为万元.
21. 已知函数.
（1）求的值；
（2）在△ABC中，若，求的最大值.
【答案】（1）1 （2）
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式、倍角公式与辅助角公式将函数解析式化简，再可求的值即可；
（2）由A，B为三角形的内角，，可求得，从而，展开后利用三角函数的辅助角公式即可求得的最大值.
【小问1详解】
∵
，
∴.
【小问2详解】
由题意可知，，
而可得：，即，
∴，
∵，∴，，
∴的最大值为.
22. 已知定义域为的函数是奇函数.
(1)求的值；
(2)判断函数的单调性并证明；
(3)若关于的不等式在有解，求实数的取值范围.
【答案】(1)1；(2)为减函数，证明见解析；(3).
【解析】
【分析】
(1)由奇函数的性质可知，，从而求解值，然后检验证即可.
(2)根据定义法证明函数的单调性，即可.
(3)根据函数为奇偶性，以及单调性，将不等式等价变形为，即，，原问题转化为在上有解，根据的单调性，求解最大值，即可.
【详解】(1)由为定义在上奇函数可知，，解得.
经检验，此时对任意的都有
故.
(2)由递增可知在上减函数，证明如下：
对于任意实数，，不妨设
∵递增，且
∴即，，
∴,
∴
故在上为减函数.
(3)由为奇函数得：
等价于.
又由在上为减函数得：
即
因为，所以.
若使得关于的不等式在有解
则需上有解
在区间上单调递增，在区间上单调递减
∴当时，取得最大值.
∴，解得
∴的取值范围是.
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的证明及其应用，属于较难的题.