4.2等差数列 同步练习2023——2024学年上学期高二数学人教A版（2019）选择性必修第二册（含解析）
文档属性
| 名称 | 4.2等差数列 同步练习2023——2024学年上学期高二数学人教A版（2019）选择性必修第二册（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 805.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-23 16:14:49 | ||
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文档简介
4.2等差数列同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知数列的前项和，，则使成立的的最大值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
2．已知等差数列的前项和为，，则（ ）
A．78 B．100 C．116 D．120
3．在和之间插入个数，组成首项为，末项为的等差数列，若这个数列的前项的和，后项的和之比为，则插入数的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
4．已知等差数列的前项和为，且，，则（ ）
A．81 B．86 C．88 D．192
5．设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A． B．4 C． D．
6．设是公差为2的等差数列，为其前n项和，若为递增数列，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知五个数成等差数列，这五个数之和为100，其中较大的三个数之和的是较小的两个数之和，则这五个数中最大的数为（ ）
A． B．20 C． D．
8．数列满足（），则等于（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．从1，2，3，4……2024这些数数据中选出“被3整除余2”且“被4整除余2”的数，并按从小到大的顺序排成一列，构成数列，其前项和为，则下面对该数列描述正确的是（ ）
A． B．数列为等差数列
C．数列为等差数列 D．该数列共有170项
10．已知是等差数列的前n项和，且，则下列选项不正确的是（ ）
A．数列为递减数列 B．
C．的最大值为 D．
11．已知数列的前项和，，数列的前项和为，则下列命题正确的是（ ）
A．
B．当为奇数时，
C．
D．数列的最大项为第10项
12．已知等差数列是递增数列，其前n项和为，且满足，则下列结论正确（ ）
A． B．
C．当时，最小 D．当时，n的最小值为8
三、填空题
13．已知等差数列的前项和分别为，且，则 ．
14．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.为了纪念数学家高斯，我们把取整函数，称为高斯函数，其中表示不超过x的最大整数，例如，.已知等差数列满足，，，则 .
15．在递增的等差数列中，是方程的根，则公差d的值为 ．
四、双空题
16．已知公差大于零的等差数列的前n项和为，且满足，．则数列的通项公式是 ；若数列满足，且为等差数列，则c的值是
五、解答题
17．已知数列的前项和为，，且.
(1)求的通项公式；
(2)设，为数列的前项和，求证：当时，.
18．已知数列满足，．
(1)设，证明：是等差数列；
(2)设数列的前项和为，求．
19．设数列的前项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求证：．
20．已知为数列的前项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)若，，求数列的前项和．
21．数列满足.
(1)求的值；
(2)设，证明是等差数列.
22．数列 的前n项和，已知，，k为常数.
(1)求常数k和数列的通项公式；
(2)数列 的前n项和为，证明：
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．B
【分析】根据与之间的关系求得，再结合裂项相消法运算求解.
【详解】因为数列的前项和，
当时，则；
当时，则；
且符合上式，所以.
当时，，符合题意；
当时，可得，
所以，
若，解得；
综上所述：的最大值为7.
故选：B.
2．D
【分析】先利用等差数列的通项公式及求和公式列方程组求出首项和公差，进而用求和公式求出即可.
【详解】设等差数列的公差为，
，
解得，
则.
故选：D.
3．B
【分析】设插入的这个数分别记为、、、，计算出这个数列的公差，计算出这个数列前项的和与所有项的和，根据这个数列的前项的和占所有项之和的可得出关于的等式，解出的值，即可得解.
【详解】设插入的这个数分别记为、、、，
由等差数列的性质可得，
这个数列的公差为，这个数列所有项的和为，
这个数列的前项的和为，
因为这个数列的前项的和与后项的和之比为，
则，即，解得，
所有，插入数的个数是个.
故选：B.
4．C
【分析】利用等差数列前n项和、通项公式求基本量，再由通项公式求对应项.
【详解】设等差数列的公差为.
因为，，
所以两式相减得，所以.
又，所以，
所以.
故选：C
5．C
【分析】由已知条件利用等差数列前项和公式推导出，由此能求出的值
【详解】设等差数列的首项为，公差为，
∵等差数列的前项和为，，
∴，整理得，
∴．
故选：.
6．A
【分析】求得和，结合题意转化为对恒成立，令，得到，令，结合函数的单调性，求得最大值，即可求解.
【详解】由数列是公差为2的等差数列，
可得，则，
因为数列为递增数列，
可得对恒成立，
即对恒成立，
令，则，
令，可得在为单调递减函数，
所以，当时，取得最大值，所以，即的取值范围为.
故选：A.
7．C
【分析】根据题意，设这五个数分别为，根据条件列出方程，代入计算，即可得到结果.
【详解】设这五个数分别为，，
由题意可得，解得，
且，解得，
则最大的数为.
故选：C
8．A
【分析】先求，再由已知仿写作差得到，验证是否符合，最后再用等差数列的求和公式求解.
【详解】由，，得，
当时，
，
两式相减得，
则，
显然满足上式，
因此，
所以.
故选：A
9．AB
【分析】由题意确定构成首项为2，公差为12的等差数列，即可判断A；求出，即可得，判断B；结合，计算，判断C；利用列不等式，求出的范围，判断D。
【详解】将1到2024这2024个数中能被3除余2且被4除余2的数按从小到大的顺序排成一列，
构成首项为2，公差为12的等差数列，
则数列的通项公式为，故A正确；
则，则数列为等差数列，B正确；
，不为常数，故数列不是等差数列，C错误；
由知，数列共有169项，故D错误．
故选：AB
10．ABC
【分析】根据等差数列的性质可得，则，即可判断AB，根据数列的单调性即可判断C，根据等差数列前n项求和公式计算即可判断D.
【详解】因为，故，，所以等差数列为递增数列，故AB错误；
因为时，，当时，，所以的最小值为，故C错误；
因为，故D正确.
故选：ABC
11．ACD
【分析】利用与的关系可求得，即可判断A选项；利用分组求和可求得，即可判断C选项；利用求得为偶数时的，进而由可得为奇数时的，即可判断B选项；设数列的最大项为第项，由求得的取值，即可判断D选项.
【详解】由，
当时，，
当时，，满足上式，
所以，故A正确；
由，
所以，
则
，故C正确；
当为偶数时，，
当为奇数时，，故B错误；
设数列的最大项为第项，
由，解得，
又，则，所以数列的最大项为第10项，故D正确.
故选：ACD.
12．ABD
【分析】由递增的等差数列可知；由结合等差数列通项公式可得；最后根据等差数列求和公式与可求得最值，即可判断CD
【详解】因为是递增数列，所以.因为，
所以，所以，所以，故A，B正确；
又因为，所以，且为的最小值，故C错误；
又，故D正确.
故选：ABD
13．
【分析】根据给定条件，利用等差数列性质及前项和公式计算即得.
【详解】等差数列的前项和分别为，且，
所以.
故答案为：
14．8
【分析】根据等差数列的通项公式得到，根据得到，然后利用裂项相消的方法得到，随后根据定义求即可.
【详解】根据题意得，
因为，所以，
所以，
所以.
故答案为：8.
15．
【分析】由已知易得，应用等差数列通项公式求公差即可.
【详解】由题设，，可得，
所以.
故答案为：
16． 或0
【分析】利用等差数列定义并根据公差大于零可求得数列的首项为，公差，即得数列的通项公式；求出前n项和为，再根据等差数列性质即可求得或.
【详解】设等差数列的首项为，公差为；
由，可得，解得；
所以可得，
即数列的通项公式是
可知数列的前n项和，
即，所以；
因为为等差数列，所以可得，
即，解得或，
经检验时，；时，都符合题意；
故答案为：；或0
17．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据与的关系结合累乘法即可得解；
（2）分，，和四种情况讨论，进而可得出结论.
【详解】（1）∵，∴，
∴，
∴，即，
∴，∴，
当时，上式也成立，
∴；
（2）由条件知，
则当或时，，
当或时，，
注意到当时，，
∴当时，，；
当时，，
显然成立；
当时，，
从而当时，；
当（且）时，，.
综上可知，当时，.
18．(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）由可得，则即可证明是等差数列；
（2）由（1）知，通过裂项相消法即可求得数列的前项和为.
【详解】（1）由得，
，，所以，
所以是以为首项，1为公差的等差数列.
（2）由（1）知，
所以，
所以数列的前项和为，
所以
19．(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，结合探讨数列的特征，再求出通项公式即得.
（2）由（1）的结论，利用裂项相消法求和，再借助单调性推理即得.
【详解】（1）依题意，当时，，解得，
当时，，
整理得，即有，两式相减得，
因此数列为等差数列，由，，得公差，
所以数列的通项公式．
（2）由（1）知，，
因此
，
则，显然数列是递增数列，即有，而，
所以．
20．(1)
(2)
【分析】（1）法一：根据得到，从而得到，可得的奇数项和偶数项分别为等差数列，求出奇数项和偶数项的通项公式，得到答案；
法二：变形得到，结合，得到，利用求出答案；
（2）变形得到，当为奇数时，，当为偶数时，，分为奇数和偶数两种情况，求和，得到答案.
【详解】（1）法一: 当时，，即，由，得，
由，得，
两式相减得：．又，满足上式．
所以当时，，
又当时，，
两式相减得：，
所以数列的奇数项是以为首项，4为公差的等差数列，
所以 （n为奇数），
数列的偶数项是以为首项，4为公差的等差数列，
所以 （n为偶数），
所以，即的通项公式是．
法二：因为，
所以，
同理可得，
故，
因为，所以，即，
当时，，
当时，适合上式，所以的通项公式是.
（2）因为，
故当时，①，
当时，②，
①、②两式相减得：，
因为，，所以，
因为，所以当为奇数时，，
当为偶数时，，
所以，
所以；
当n为偶数时，
,
当n为奇数时，
，
综上，.
21．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据数列的递推关系式求解即可；
（2）结合递推关系式与等差数列的定义证明即可.
【详解】（1）数列满足
所以，
（2）∵
∴为等差数列.
22．(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）利用，和累加法求，然后根据等差数列求和公式求；
（2）利用裂项相消和放缩的思路证明.
【详解】（1）由得，，
两式相减的，整理得，
当时，得，，
当时，，
，，，
相加得，
所以，，
当，2时符合，
所以，
则，，
则，即.
（2）由（1）得，
所以，
因为，，
所以，
综上可得，.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知数列的前项和，，则使成立的的最大值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
2．已知等差数列的前项和为，，则（ ）
A．78 B．100 C．116 D．120
3．在和之间插入个数，组成首项为，末项为的等差数列，若这个数列的前项的和，后项的和之比为，则插入数的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
4．已知等差数列的前项和为，且，，则（ ）
A．81 B．86 C．88 D．192
5．设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A． B．4 C． D．
6．设是公差为2的等差数列，为其前n项和，若为递增数列，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知五个数成等差数列，这五个数之和为100，其中较大的三个数之和的是较小的两个数之和，则这五个数中最大的数为（ ）
A． B．20 C． D．
8．数列满足（），则等于（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．从1，2，3，4……2024这些数数据中选出“被3整除余2”且“被4整除余2”的数，并按从小到大的顺序排成一列，构成数列，其前项和为，则下面对该数列描述正确的是（ ）
A． B．数列为等差数列
C．数列为等差数列 D．该数列共有170项
10．已知是等差数列的前n项和，且，则下列选项不正确的是（ ）
A．数列为递减数列 B．
C．的最大值为 D．
11．已知数列的前项和，，数列的前项和为，则下列命题正确的是（ ）
A．
B．当为奇数时，
C．
D．数列的最大项为第10项
12．已知等差数列是递增数列，其前n项和为，且满足，则下列结论正确（ ）
A． B．
C．当时，最小 D．当时，n的最小值为8
三、填空题
13．已知等差数列的前项和分别为，且，则 ．
14．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.为了纪念数学家高斯，我们把取整函数，称为高斯函数，其中表示不超过x的最大整数，例如，.已知等差数列满足，，，则 .
15．在递增的等差数列中，是方程的根，则公差d的值为 ．
四、双空题
16．已知公差大于零的等差数列的前n项和为，且满足，．则数列的通项公式是 ；若数列满足，且为等差数列，则c的值是
五、解答题
17．已知数列的前项和为，，且.
(1)求的通项公式；
(2)设，为数列的前项和，求证：当时，.
18．已知数列满足，．
(1)设，证明：是等差数列；
(2)设数列的前项和为，求．
19．设数列的前项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求证：．
20．已知为数列的前项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)若，，求数列的前项和．
21．数列满足.
(1)求的值；
(2)设，证明是等差数列.
22．数列 的前n项和，已知，，k为常数.
(1)求常数k和数列的通项公式；
(2)数列 的前n项和为，证明：
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．B
【分析】根据与之间的关系求得，再结合裂项相消法运算求解.
【详解】因为数列的前项和，
当时，则；
当时，则；
且符合上式，所以.
当时，，符合题意；
当时，可得，
所以，
若，解得；
综上所述：的最大值为7.
故选：B.
2．D
【分析】先利用等差数列的通项公式及求和公式列方程组求出首项和公差，进而用求和公式求出即可.
【详解】设等差数列的公差为，
，
解得，
则.
故选：D.
3．B
【分析】设插入的这个数分别记为、、、，计算出这个数列的公差，计算出这个数列前项的和与所有项的和，根据这个数列的前项的和占所有项之和的可得出关于的等式，解出的值，即可得解.
【详解】设插入的这个数分别记为、、、，
由等差数列的性质可得，
这个数列的公差为，这个数列所有项的和为，
这个数列的前项的和为，
因为这个数列的前项的和与后项的和之比为，
则，即，解得，
所有，插入数的个数是个.
故选：B.
4．C
【分析】利用等差数列前n项和、通项公式求基本量，再由通项公式求对应项.
【详解】设等差数列的公差为.
因为，，
所以两式相减得，所以.
又，所以，
所以.
故选：C
5．C
【分析】由已知条件利用等差数列前项和公式推导出，由此能求出的值
【详解】设等差数列的首项为，公差为，
∵等差数列的前项和为，，
∴，整理得，
∴．
故选：.
6．A
【分析】求得和，结合题意转化为对恒成立，令，得到，令，结合函数的单调性，求得最大值，即可求解.
【详解】由数列是公差为2的等差数列，
可得，则，
因为数列为递增数列，
可得对恒成立，
即对恒成立，
令，则，
令，可得在为单调递减函数，
所以，当时，取得最大值，所以，即的取值范围为.
故选：A.
7．C
【分析】根据题意，设这五个数分别为，根据条件列出方程，代入计算，即可得到结果.
【详解】设这五个数分别为，，
由题意可得，解得，
且，解得，
则最大的数为.
故选：C
8．A
【分析】先求，再由已知仿写作差得到，验证是否符合，最后再用等差数列的求和公式求解.
【详解】由，，得，
当时，
，
两式相减得，
则，
显然满足上式，
因此，
所以.
故选：A
9．AB
【分析】由题意确定构成首项为2，公差为12的等差数列，即可判断A；求出，即可得，判断B；结合，计算，判断C；利用列不等式，求出的范围，判断D。
【详解】将1到2024这2024个数中能被3除余2且被4除余2的数按从小到大的顺序排成一列，
构成首项为2，公差为12的等差数列，
则数列的通项公式为，故A正确；
则，则数列为等差数列，B正确；
，不为常数，故数列不是等差数列，C错误；
由知，数列共有169项，故D错误．
故选：AB
10．ABC
【分析】根据等差数列的性质可得，则，即可判断AB，根据数列的单调性即可判断C，根据等差数列前n项求和公式计算即可判断D.
【详解】因为，故，，所以等差数列为递增数列，故AB错误；
因为时，，当时，，所以的最小值为，故C错误；
因为，故D正确.
故选：ABC
11．ACD
【分析】利用与的关系可求得，即可判断A选项；利用分组求和可求得，即可判断C选项；利用求得为偶数时的，进而由可得为奇数时的，即可判断B选项；设数列的最大项为第项，由求得的取值，即可判断D选项.
【详解】由，
当时，，
当时，，满足上式，
所以，故A正确；
由，
所以，
则
，故C正确；
当为偶数时，，
当为奇数时，，故B错误；
设数列的最大项为第项，
由，解得，
又，则，所以数列的最大项为第10项，故D正确.
故选：ACD.
12．ABD
【分析】由递增的等差数列可知；由结合等差数列通项公式可得；最后根据等差数列求和公式与可求得最值，即可判断CD
【详解】因为是递增数列，所以.因为，
所以，所以，所以，故A，B正确；
又因为，所以，且为的最小值，故C错误；
又，故D正确.
故选：ABD
13．
【分析】根据给定条件，利用等差数列性质及前项和公式计算即得.
【详解】等差数列的前项和分别为，且，
所以.
故答案为：
14．8
【分析】根据等差数列的通项公式得到，根据得到，然后利用裂项相消的方法得到，随后根据定义求即可.
【详解】根据题意得，
因为，所以，
所以，
所以.
故答案为：8.
15．
【分析】由已知易得，应用等差数列通项公式求公差即可.
【详解】由题设，，可得，
所以.
故答案为：
16． 或0
【分析】利用等差数列定义并根据公差大于零可求得数列的首项为，公差，即得数列的通项公式；求出前n项和为，再根据等差数列性质即可求得或.
【详解】设等差数列的首项为，公差为；
由，可得，解得；
所以可得，
即数列的通项公式是
可知数列的前n项和，
即，所以；
因为为等差数列，所以可得，
即，解得或，
经检验时，；时，都符合题意；
故答案为：；或0
17．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据与的关系结合累乘法即可得解；
（2）分，，和四种情况讨论，进而可得出结论.
【详解】（1）∵，∴，
∴，
∴，即，
∴，∴，
当时，上式也成立，
∴；
（2）由条件知，
则当或时，，
当或时，，
注意到当时，，
∴当时，，；
当时，，
显然成立；
当时，，
从而当时，；
当（且）时，，.
综上可知，当时，.
18．(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）由可得，则即可证明是等差数列；
（2）由（1）知，通过裂项相消法即可求得数列的前项和为.
【详解】（1）由得，
，，所以，
所以是以为首项，1为公差的等差数列.
（2）由（1）知，
所以，
所以数列的前项和为，
所以
19．(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，结合探讨数列的特征，再求出通项公式即得.
（2）由（1）的结论，利用裂项相消法求和，再借助单调性推理即得.
【详解】（1）依题意，当时，，解得，
当时，，
整理得，即有，两式相减得，
因此数列为等差数列，由，，得公差，
所以数列的通项公式．
（2）由（1）知，，
因此
，
则，显然数列是递增数列，即有，而，
所以．
20．(1)
(2)
【分析】（1）法一：根据得到，从而得到，可得的奇数项和偶数项分别为等差数列，求出奇数项和偶数项的通项公式，得到答案；
法二：变形得到，结合，得到，利用求出答案；
（2）变形得到，当为奇数时，，当为偶数时，，分为奇数和偶数两种情况，求和，得到答案.
【详解】（1）法一: 当时，，即，由，得，
由，得，
两式相减得：．又，满足上式．
所以当时，，
又当时，，
两式相减得：，
所以数列的奇数项是以为首项，4为公差的等差数列，
所以 （n为奇数），
数列的偶数项是以为首项，4为公差的等差数列，
所以 （n为偶数），
所以，即的通项公式是．
法二：因为，
所以，
同理可得，
故，
因为，所以，即，
当时，，
当时，适合上式，所以的通项公式是.
（2）因为，
故当时，①，
当时，②，
①、②两式相减得：，
因为，，所以，
因为，所以当为奇数时，，
当为偶数时，，
所以，
所以；
当n为偶数时，
,
当n为奇数时，
，
综上，.
21．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据数列的递推关系式求解即可；
（2）结合递推关系式与等差数列的定义证明即可.
【详解】（1）数列满足
所以，
（2）∵
∴为等差数列.
22．(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）利用，和累加法求，然后根据等差数列求和公式求；
（2）利用裂项相消和放缩的思路证明.
【详解】（1）由得，，
两式相减的，整理得，
当时，得，，
当时，，
，，，
相加得，
所以，，
当，2时符合，
所以，
则，，
则，即.
（2）由（1）得，
所以，
因为，，
所以，
综上可得，.
答案第1页，共2页
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