苏教版（2019）必修第一册《7.4三角函数应用》2023年同步练习卷（含解析）

苏教版（2019）必修第一册《7.4三角函数应用》2023年同步练习卷
一、选择题
1．哈尔滨文化公园的摩天轮始建于2003年1月15日，2003年4月30日竣工，是当时中国第一高的巨型摩天轮．其旋转半径50米，最高点距地面110米，运行一周大约21分钟．某人在最低点的位置坐上摩天轮，则第14分钟时他距地面大约为（　　）米．
A．75 B．85 C．100 D．110
2．已知人的血压在不断地变化，心脏每收缩和舒张一次构成一个心动周期，血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压．已知某人某次测量自己的血压得到收缩压为126mmHg，舒张压为78mmHg，心动周期约为0.75s，假设他的血压p（mmHg）关于时间t（s）近似满足函数式p（t）＝b+asinωt（ω＞0），当t∈[0，0.75]时，此人的血压在[90，114]mmHg之间的时长约为（　　）
A．0.125s B．0.25s C．0.375s D．0.5s
3．函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图所示，其中A，B两点之间的距离为5，则ω＝（　　）
A． B． C． D．
4．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞卸货后落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时间与水深值（单位：m）记录表
时刻 0：00 3：00 6：00 9：00 12：00 15：00 18：00 21：00 24：00
水深值 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0
已知港口的水的深度随时间变化符合函数f（x）＝Asin（ωx+φ）+B．现有一条货船在吃水深度（船底与水面的距离）为4m，安全条例规定至少要有2m的安全间隙（船底与海底的距离），该船计划在中午12点之后按规定驶入港口，并开始卸货，卸货时，其吃水深度以每小时0.25m的速度减小，4小时卸完，则其在港口最多能停放（　　）
A．4小时 B．5小时 C．6小时 D．7小时
5．红河州个旧市是一个风景优美的宜，居城市，如图是个旧宝华公园的摩天轮，半径为20米，圆心O距地面的高度为25米，摩天轮运行时按逆时针匀速旋转，转一周需要10分钟．摩天轮上的点P的起始位置在最低点处．若游客在距离地面至少35米的高度能够将个旧市区美景尽收眼底，则摩天轮转动一周内具有最佳视觉效果的时间长度（单位：分钟）为（　　）
A． B．3 C． D．
二、填空题
6．220V交流电的电压E（单位：V）与时间t（单位：s）的关系可用E＝220sin（100πt+）表示，则t＝0时的电压为 　 　V，电压最大值重复出现一次的时间间隔为 　 　s．
7．已知某种交流电电流I（A）随时间t（s）的变化规律可以拟合为函数I＝5sin（100πt﹣），t∈[0，+∞），则这种交流电在0.5s内往复运动的次数为 　 　．
8．如图，一个大风车的半径为8米，它的最低点离地面2米，风车翼片静止时处于水平位置．风车启动后，按逆时针方向每12分钟旋转一周，则当启动17分钟时，风车翼片的端点P离地面距离为 　 　m；风车翼片的端点离地面距离h（米）与启动时间t（分钟）之间的函数关系式为 　 　．
三、解答题
9．某实验室白天的温度f（t）（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：，t∈[6，18]．
（1）求实验室白天的最大温差；
（2）若要求实验室温度高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？
10．在股票市场上，投资者常根据股价（每股的价格）走势图来操作，股民老张在研究某只股票时，发现其在平面直角坐标系内的走势图有如下特点：每日股价y（元）与时间x（天）的关系在ABC段可近似地用函数y＝asin（ωx+φ）+20（a＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象从最高点A到最低点C的一段来描述（如图），并且从C点到今天的D点在底部横盘整理，今天也出现了明显的底部结束信号．
老张预测这只股票未来一段时间的走势图会如图中虚线DEF段所示，且DEF段与ABC段关于直线l：x＝34对称，点B，D的坐标分别是（12，20），（44，12）．
（1）请你帮老张确定a，ω，φ的值，并写出ABC段的函数解析式；
（2）如果老张预测准确，且今天买入该只股票，那么买入多少天后股价至少是买入价的两倍？
11．某港口在一天之内的水深变化曲线近似满足函数，其中h为水深（单位：米），t为时间（单位：小时），该函数图像如图所示．
（1）求函数h（t）的解析式；
（2）若一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与水底的距离），则该船一天之内至多能在港口停留多久？
12．一半径为4m的水轮（如图所示），水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟逆时针转动三圈，且当水轮上点P从水中浮现时（图中点P）开始计算时间．
（1）将点P到水面的距离z（单位：m，在水下，则z为负数）表示为时间t（单位：s）的函数；
（2）点P第一次到达最高点大约需要多长时间？
13．如图所示，某小区为美化环境，准备在小区内的草坪的一侧修建一条直路OC，另一侧修建一条休闲大道．休闲大道的前一段OD是函数y＝k（k＞0）的图象的一部分，后一段DBC是函数y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜，x∈[4，8]）的图象，图象的最高点为，且DF⊥OC，垂足为点F．
（1）求函数y＝Asin（ωx+φ）的解析式；
（2）若在草坪内修建如图所示的矩形儿童乐园PMFE，点P在曲线OD上，其横坐标为，点E在OC上，求儿童乐园的面积．
14．已知弹簧下方挂的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的距离S与t的函数关系为：S＝Asin（ωt+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜，t≥0），如图是其图象的一部分，试根据图象回答下列问题：
（1）求小球振动时的振幅和周期；
（2）求S与t的函数解析式．
苏教版（2019）必修第一册《7.4三角函数应用》2023年同步练习卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．【分析】由题意作出图形，利用圆心角性质、三角函数性质、数形结合思想能求出结果．
【解答】解：如图，AF是地面，
圆O是巨型摩天轮．其旋转半径50米，
最高点距地面110米，运行一周大约21分钟．
∴AB＝10，
某人在最低点B的位置坐上摩天轮，则第14分钟时他到达D点，
此时∠COD＝30°，
过D作DF⊥AF，交CO于E，交地面AF于F，
则DE＝＝25，EF＝50+10＝60，
∴DF＝DE+EF＝25+60＝85（米）．
∴第14分钟时他距地面大约为85米．
故选：B．
2．【分析】先根据最值以及周期得出式p（t）＝24sint+102，根据正弦函数的图象解不等式﹣≤sint≤得出答案．
【解答】解：由题意可知，解得b＝102，a＝24，
由ω＝＝2π×＝，则p（t）＝24sint+102，
由90≤24sint+102≤114，得出﹣≤sint≤，
令x＝t，x∈[0，2π]，则﹣≤sinx≤，
函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图象如图所示，
由图可知，此人的血压在[90，114]mmHg之间的时长约为[+（﹣）+（2π﹣）]×＝0.25．
故选：B．
3．【分析】根据题意结合图形可求得A，B两点的横坐标的差，从而可求出周期，进而可求出ω的值．
【解答】解：由A，B两点之间的距离为5，A，B两点的纵坐标的差为4，
所以A，B两点的横坐标的差为，
所以函数的半个周期为，解得T＝6，
所以．
故选：B．
4．【分析】由已知表格中数据求得f（x），再由题意可得f（x）大于等于6，由此结合卸货时间即可得答案．
【解答】解：由表格中的数据可知，f（x）max＝7，f（x）min＝3，
则A＝，B＝，
由T＝12，∴ω＝，
故f（x）＝2sin（x+φ）+5，
当x＝3时，f（x）＝7，则2sin（+φ）+5＝7，
∴2cosφ＝2，即cosφ＝1，得φ＝0．
∴f（x）＝2sinx+5．
货船需要的安全水深为4+2＝6米，
由f（x）＝2sinx+5＝6，得sin＝，即或，k∈Z．
∴x＝12k+1或x＝12k+5，k∈Z．
又该船计划在中午12点之后按规定驶入港口，∴当k＝1时，x＝13，
即该船应在13点入港并开始卸货，4小时后为17点，此时水深为6米，
货船需要离港，则其在港口最多能停放4小时．
故选：A．
5．【分析】设f（t）＝Asin（ωt+φ）+h，由题可知A＝20，h＝25，t＝10，f（0）＝5，即可得到f（t）＝20sin（t﹣）+25（t＞0），解不等式20sin（t﹣）+25≥35，由解集区间的长度即最佳视觉效果的时间长度．
【解答】解：设f（t）＝Asin（ωt+φ）+h，
依题意，A＝20，h＝25，T＝10，
所以ω＝＝，又f（0）＝5，∴φ＝﹣，
∴f（t）＝20sin（t﹣）+25＝25﹣20cost（t＞0），
依题意25﹣20cost≥35，所以cost≤﹣又0≤t≤10，
解得≤t≤，
摩天轮转动一周内，有﹣＝分钟会有这种最佳视觉效果．
故选：C．
二、填空题
6．【分析】直接t＝0代入关系式即可；求周期即可．
【解答】解：t＝0时的电压为E＝220sin＝110；
由题意，电压的最大值为220，
T＝＝，
∴电压值重复出现一次的时间间隔s．
故答案为：110；．
7．【分析】由所给函数求周期，利用频率与周期关系得频率，可得所求．
【解答】解：∵周期 ，
∴频率为每秒 50 次，
∴0.5s 往复运行 25 次．
故答案为：25．
8．【分析】由实际问题设出P与地面高度与时间t的关系，f（t）＝Asin（ωt+φ）+B（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π）），由题意求出三角函数中的参数A，B，及周期T，利用三角函数的周期公式求出ω，通过初始位置求出φ
【解答】解：由题意，T＝12，∴ω＝，设f（t）＝Asin（ωt+φ）+B（A＞0），则，
∴A＝8，B＝10，∵t＝0时，f（t）＝10，∴φ＝0，
∴f（t）＝8sint+10，当t＝17时，f（17）＝14，
故答案为14；h＝8sint+10（t≥0）
三、解答题
9．【分析】（1）已知，求出相位的范围，利用三角函数的有界性求解函数的最值．
（2）依题意当f（t）＞11时，实验室需要降温，即，然后求解即可．
【解答】解：（1）已知，
因为6≤t≤18，所以，，
所以f（t）在t∈[6，18]上取得最大值为12，取得最小值为9，
故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为9℃，最大温差为3℃．
（2）依题意当f（t）＞11时，实验室需要降温，
即，，
∴，k∈Z，
∴24k+10＜t＜24k+18，k∈Z，又∵6≤t≤18，
∴10＜t＜18，即在10时到18时实验室需要降温．
10．【分析】（1）对照图象可求出a，ω，φ以及ABC的解析式；
（2）先根据对称性求出DEF段的解析式，再令函数值等于24，解出x＝60，可得．
【解答】解：（1）a＝20﹣12＝8，＝24﹣12＝12，
∴T＝48，ω＝＝，
由×24+φ＝可得φ＝，
∴f（x）＝8sin（x+）+20
＝8cosx+20，x∈[0，24]．
（2）由题意得DEF的解析式为：y＝8cos[（68﹣x）]+20，
由8cos[（68﹣x）]+20＝24，得x＝60，
故买入60﹣44＝16天后股价至少是买入价的两倍．
11．【分析】（1）由图易得A，B和周期T，由周期可求ω，然后代入最高点的坐标可求φ，从而求出解析式；
（2）由题意可知h（t）≥5.5，只要解此不等式即可得解．
【解答】解：（1）由图知，，，，
所以，将点（5，7）代入得，
由可得，
所以函数h（t）的解析式；
（2）因为货船需要的安全水深为4+1.5＝5.5米，
所以当h（t）≥5.5时货船可以停留在港口，
由h（t）≥5.5得，得，
即3+12k≤t≤7+12k（k∈Z），
当k＝0时，3≤t≤7，当k＝1时，15≤t≤19，
所以该船一天之内至多能在港口停留7﹣3+19﹣15＝8小时．
12．【分析】（1）由每分钟逆时针转3圈，可求得角速度ω，由水轮半径可得振幅，（0，0）代入可得φ，从而得函数解析式；
（2）令z＝6，求解t．
【解答】解：（1）由题意知，每分钟逆时针转3圈，即60s转动6π弧度，所以角速度，
水轮半径为4，所以振幅为4，故，
t＝0时，z＝4sinφ+2＝0，所以，
所以，．
（2）令z＝6，则，
所以，
所以，．，
所以点P第一次到达最高点大s．
13．【分析】（Ⅰ）由图易知，A＝，T＝＝12 ω＝，又5×+φ＝2kπ+，（k∈Z） φ＝2kπ﹣，（k∈Z），又|φ|＜，可求得φ＝﹣，即可求得函数的解析式；
（Ⅱ）在y＝sin（x﹣）中，令x＝4，可得D（4，4），从而曲线OD的方程为y＝2（0≤x≤4），进而可得EP和EF的长度以及儿童乐园的面积．
【解答】解：（Ⅰ）由图知，A＝，＝8﹣5＝3，所以最小正周期T＝12，
因为T＝，所以ω＝，
因为图象的最高点为，所以5×+φ＝2kπ+（k∈Z），解得φ＝2kπ﹣，（k∈Z），
又|φ|＜，所以k＝0，φ＝﹣，
故函数的解析式为y＝sin（x﹣）．
（Ⅱ）在y＝sin（x﹣）中，令x＝4，得D（4，4），
从而曲线OD的方程为y＝2（0≤x≤4），
把代入y＝2中，，所以点P的坐标为，
所以EP＝，EF＝．
故儿童乐园的面积S＝EP EF＝．
14．【分析】（1）利用函数的图象直接求小球振动时的振幅和周期；
（2）通过函数的周期求出ω，利用函数的图象经过的特殊点求出φ，即可求S与t的函数解析式．
【解答】解：（1）由题意可知振幅A＝2，周期T＝＝π．
（2）因为T＝π，所以ω＝2，S＝2sin（2t+φ），因为函数的图象经过（，2），
所以2sin（+φ）＝2，∵|φ|＜，所以，φ＝，∴S＝2sin（2t+），（t≥0）