苏教版（2019）选择性必修第一册《3.2 双曲线》2023年同步练习卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 苏教版（2019）选择性必修第一册《3.2 双曲线》2023年同步练习卷（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 418.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-23 16:38:54 | ||
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文档简介
苏教版（2019）选择性必修第一册《3.2 双曲线》2023年同步练习卷
一、选择题
1．已知双曲线C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为C的右支上一点，且|PF2|＝|F1F2|，则△PF1F2的面积等于（ ）
A．24 B．36 C．48 D．96
2．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P是该双曲线上的一点，且|PF1|＝10，则|PF2|＝（ ）
A．2或18 B．2 C．18 D．4
3．定义焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线为一对相关曲线．已知F1，F2是一对相关曲线的焦点，P是这对相关曲线在第一象限的交点，则点P与以F1F2为直径的圆的位置关系是（ ）
A．在圆外 B．在圆上 C．在圆内 D．不确定
4．已知点P是双曲线﹣＝1右支上一点，F1是双曲线的左焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段PF1的中垂线，则该双曲线的渐近线方程是（ ）
A．y＝x B．y＝±x C．y＝x D．y＝±2x
5．已知双曲线的左焦点为F，过F的直线l交双曲线C的左、右两支分别于点Q，P，若|FQ|＝t|QP|，则实数t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且F1P＞F2P，线段F1P的垂直平分线过F2.若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则的最小值为（ ）
A． B．3 C．6 D．
7．双曲线的左、右焦点为F1、F2，点P是C右支上异于顶点的任意一点，PQ是∠F1PF2的平分线，过点F1作PQ的垂线，垂足为Q，O为坐标原点，则|OQ|的值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．不确定，随P点位置变化而变化
8．如图所示，F1和F2分别是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．+1
9．已知常数k1，k2满足0＜k1＜k2，k1k2＝1．设C1和C2分别是以y＝±k1（x﹣1）+1和y＝±k2（x﹣1）+1为渐近线且通过原点的双曲线，则C1和C2的离心率之比＝（ ）
A． B．
C．1 D．
二、多选题
（多选）10．已知F1，F2分别是双曲线C：x2﹣y2＝1的左、右焦点，点P是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且 ＝0，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线C的渐近线方程为y＝±x
B．以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2＝1
C．F1到双曲线的一条渐近线的距离为1
D．△PF1F2的面积为1
（多选）11．P为双曲线﹣y2＝1上一点，A（﹣2，0），B（2，0），令∠PAB＝α，∠PBA＝β，下列为定值的是（ ）
A．tanαtanβ B．tantan
C．S△PABtan（α+β） D．S△PABcos（α+β）
三、填空题
12．设直线x﹣3y+m＝0（m≠0）与双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A，B，若点P（﹣m，0）满足|PA|＝|AB|，则该双曲线的渐近线方程为 ．
13．过双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，若|AB|≥|CD|，则双曲线离心率的取值范围为 ．
14．双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作F1F2的垂线，交双曲线于A，B两点，D是双曲线的右顶点，连接AD，BD，并延长分别交y轴于点M，N．若点P（﹣3a，0）在以MN为直径的圆上，则双曲线C的离心率为 ．
四、解答题
15．已知双曲线的实轴长为2，点在此双曲线上．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）已知直线x﹣y+m＝0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB中点N在圆x2+y2＝5上，求实数m的值．
16．已知直线y＝ax+1与双曲线3x2﹣y2＝1交于A、B两点，
（1）若以AB线段为直径的圆过坐标原点，求实数a的值．
（2）是否存在这样的实数a，使A、B两点关于直线对称？说明理由．
17．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，实轴长为2；
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）已知直线x﹣y+m＝0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2+y2＝5上，求实数m的值．
苏教版（2019）选择性必修第一册《3.2 双曲线》2023年同步练习卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．【分析】先根据双曲线方程求出焦点坐标，再利用双曲线的第一定义求得||PF1|，作PF1边上的高AF2，则可知AF1的长度，进而利用勾股定理求得AF2，则△PF1F2的面积可得．
【解答】解：∵双曲线中a＝3，b＝4，c＝5，
∴F1（﹣5，0），F2（5，0），
∵|PF2|＝|F1F2|，
∴|PF1|＝2a+|PF2|＝6+10＝16，
作PF1边上的高AF2，则AF1＝8，
∴，
∴△PF1F2的面积为，
故选：C．
2．【分析】判断P所在位置，然后利用双曲线的定义转化求解即可．
【解答】解：因为|PF1|＝10＜a+c＝12，所以点P在该双曲线左支上，则|PF2|＝2a+|PF1|＝2×4+10＝18．
故选：C．
3．【分析】设椭圆的长轴长为2a1，椭圆的焦距为2c，双曲线的实轴长为2a2，根据题意可得c2＝a1a2，设|PF |＝x，|PF2|＝y，x＞y＞0，根据椭圆与双曲线的定义将x，y分别用a1，a2表示，设P（m，n），m＞0，n＞0，再根据两点的距离公式将P点的坐标用a1，a2，c表示，从而可判断出点与圆的位置关系．
【解答】解：设椭圆的长轴长为2a1，椭圆的焦距为2c，双曲线的实轴长为2a2，
设椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，
则，所以c2＝a1a2，
以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2＝c2，
设|PF1|＝x，|PF2|＝y，x＞y＞0，
则有，所以，
设P（m，n），m＞0，n＞0，F1（﹣c，0），F2（c，0），
所以 ①
，②
①﹣②得，，
所以，所以m＝c，
将m＝c代入②得，
所以n＝|a1﹣a2|，P（c，|a1﹣a2|），
则点P到圆心O的距离为，
所以点P在以F1F2为直径的圆外，
故选：A．
4．【分析】画出图形，利用已知条件，求出渐近线方程，利用中垂线的性质结合双曲线的定义转化求解即可．
【解答】解：因双曲线线的渐近线为，
双曲线的一条渐近线恰是线段PF1的中垂线，交点为M，如图所示，
对于|OF1|＝c，直线PF1：，
由原点O（0，0）到直线PF1：ax﹣by+ac＝0的距离得，因此|OM|＝a，|F1M|＝b，
则根据几何图形的性质可得|F1P|＝2b，|F2P|＝2a，
根据双曲线的定义得|F1P|﹣|F2P|＝2a＝2b﹣2a，
因此可得b＝2a，则双曲线的线近线为y＝±2x．
故选：D．
5．【分析】设P（x1，y1），Q（x2，y2），利用坐标向量法表示可得x2＝，y2＝，代入双曲线可得x1＝≥，解得即可．
【解答】解：根据条件可得F（﹣2，0），设P（x1，y1），Q（x2，y2），
则＝（x2+2，y2），＝（x1﹣x2，y1﹣y2），
因为|FQ|＝t|QP|，
则（x2+2，y2）＝t（x1﹣x2，y1﹣y2），
所以x2＝，y2＝，
又因为P、Q都在双曲线上，
所以，整理可得x1＝，
易知x1≥，所以≥，
又t＞0，所以0＜t≤，
即实数t的取值范围是（0，），
故选：A．
6．【分析】根据椭圆与双曲线的定义可得|F1P|+2c＝2a1，|F1P|﹣2c＝2a2，两式相减可得a1﹣a2＝2c，可化简为，由基本不等式可求得最值．
【解答】解：设椭圆长轴长为2a1，双曲线实轴长为2a2，不妨设点P在第一象限，如图，
由题意可知|F1F2|＝|F2P|＝2c，
又因为|F1P|+|F2P|＝2a1，|F1P|﹣|F2P|＝2a2，
所以|F1P|+2c＝2a1，①，
|F1P|﹣2c＝2a2，②，
两式相减得a1﹣a2＝2c，
所以+＝，
又因为，当且仅当，即c＝2a2时等号成立，
所以的最小值为6，
故选：C．
7．【分析】先画出双曲线和焦点三角形，由题意可知PQ是MF1的中垂线，再利用双曲线的定义和中位线定理，数形结合即可得结果．
【解答】解：过点F1作PQ的垂线，垂足为Q，交PF2的延长线于M，
由三角形PF1M为等腰三角形，可得Q为F1M的中点，
由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝|F2M|＝2a＝6，
由三角形的中位线定理可得|OQ|＝|F2M|＝a＝3，
故选：A．
8．【分析】连接AF1，根据△F2AB是等边三角形可知∠AF2B＝60°，F1F2是圆的直径可表示出|AF1|、|AF2|，再由双曲线的定义可得c﹣c＝2a，从而可求双曲线的离心率．
【解答】解：连接AF1，则∠F1AF2＝90°，∠AF2B＝60°，
∴|AF1|＝c，|AF2|＝c，
∴c﹣c＝2a，
∴e＝＝+1，
故选：D．
9．【分析】由题意可得曲线C1和C2的中心（1，1），且C1为实轴在直线x＝1上的双曲线，C2为实轴在直线y＝1上的双曲线，可用k1，k2表示离心率，进而求出离心率之比．
【解答】解：由题意知双曲线C1和C2的中心为（1，1），
由双曲线过原点可知C1为实轴在直线x＝1上的双曲线，所以＝，
＝＝1+＝1+，
C2为实轴在直线y＝1上的双曲线，所以＝，＝1+，
又因为k1k2＝1，
所以＝＝＝1，
故选：C．
二、多选题
10．【分析】给出双曲线方程，可以得出abc的值，左右焦点的坐标，渐近线方程，由 ＝0，得P的横纵坐标的关系，再由P在双曲线上，可求出P的坐标．进而得命题的真假．
【解答】解：A中双曲线x2﹣y2＝1，可得焦点在x轴上，a2＝b2，a＞0，b＞0，a是实半轴长，b虚半轴长，
所以渐近线方程为y＝±x即y＝±x，所以A 正确；
B中，x2﹣y2＝1，可得左焦点F1（﹣，0），右焦点F2（，0），所以以F1F2为直径的圆的圆心是（0，0），半径为，
所以圆的方程为x2+y2＝2，所以B不正确；
C中，F1（﹣，0）到一条渐近线为x﹣y＝0的距离d＝＝1，所以C正确；
D中， ＝0，设P坐标（x，y），＝（﹣﹣x，﹣y），＝（﹣x，﹣y），
∴ ＝（﹣﹣x） （）+（﹣y）2＝0 x2+y2＝2①，又P在双曲线上，所以x2﹣y2＝1（y≠0）②，由①②得，|y|＝，
∴S△PF1F2＝|F1F2| |y|＝＝1，∴D正确；
故选：ACD．
11．【分析】可设P（m，n），代入双曲线的方程，求得直线PA，PB的斜率之积为定值，即可得到所求结论．
【解答】解：可设P（m，n），可得﹣n2＝1，
即m2﹣4＝4n2，
则kPAkPB＝ ＝＝＝，
可得tanαtanβ＝﹣为定值，
由S△PABtan（α+β）＝×4|n| ＝2|n| （﹣）＝± ＝±，
故选：AC．
三、填空题
12．【分析】先求出A，B的坐标，可得AB中点坐标，利用点P（﹣m，0）满足|PA|＝|PB|，可得＝﹣3，从而可求双曲线的渐近线方程．
【解答】解：双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线方程为y＝±x，则
与直线x﹣3y+m＝0联立，可得A（，），B（﹣，），
∴AB中点坐标为（，），
∵点P（﹣m，0）满足|PA|＝|AB|，
∴＝﹣3，∴a＝b，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x．
故答案为：y＝±x．
13．【分析】设出双曲线的右焦点和渐近线方程，令x＝c，联立方程求出A，B，C，D的坐标，结合距离关系和条件，运用离心率公式和a，b，c的关系，进行求解即可．
【解答】解：设双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为（c，0），
当x＝c时代入双曲线﹣＝1得y＝±，则A（c，），B（c，﹣），
则AB＝，
将x＝c代入y＝±x得y＝±，则C（c，），D（c，﹣），
则|CD|＝，
∵|AB|≥|CD|，
∴≥ ，即b≥c，
则b2＝c2﹣a2≥c2，
即c2≥a2，
则e2＝≥，
则e≥．
故答案为：[，+∞）．
14．【分析】求得M，N点的坐标，根据P在以MN为直径的圆上列方程，化简求得双曲线C的离心率．
【解答】解：由得，
不妨设，而D（a，0），
所以直线AD的方程为，
令x＝0得，则，同理可求得，
所以以MN为直径的圆的方程为，
将P（﹣3a，0）代入上式得：
，
即c2+2ac﹣8a2＝0，（c﹣2a）（c+4a）＝0，则．
故答案为：2．
四、解答题
15．【分析】（Ⅰ）根据双曲线的性质，求出a，b即可求双曲线C的方程；
（Ⅱ）根据直线与双曲线的位置关系，求出中点坐标，结合中点坐标在圆上的关系进行求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）依题意知：2a＝2，∴a＝1，
又点在双曲线上，
∴，
∴双曲线方程为：
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），N（x0，y0）
由消y有x2﹣2mx﹣m2﹣2＝0，
∴Δ＝（﹣2m）2+4（m2+2）＞0，
∴，
∵N为AB中点，∴，
∵N在圆x2+y2＝5上即m2+（2m）2＝5，
∴m＝±1，经检验，符合题意．
所以，实数m的值为±1．
16．【分析】（1）联立方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），根据方程的根与系数关系可求x1+x2，x1x2，代入直线y＝ax+1可求y1y2＝（ax1+1）（ax2+1），由题意可得，，即x1x2+y1y2＝0，代入可求a的值．
（2）假定存在这样的a，使A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线对称．则由，两式相减得：3（﹣）＝﹣，由题意可知，整理可求
【解答】解：（1）联立方程，消去y得：（3﹣a2）x2﹣2ax﹣2＝0．…（2分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），那么：…（4分）
由于以AB线段为直径的圆经过原点，那么：，即x1x2+y1y2＝0．
所以：x1x2+（ax1+1）（ax2+1）＝0，
∴，
∴﹣2（a2+1）+2a2+3﹣a2＝0
即a2＝1
解得a＝±1…（6分）
（2）假定存在这样的a，使A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线对称．…（8分）
那么：，两式相减得：3（﹣）＝﹣，从而
因为A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线对称，所以
代入（*）式得到：﹣2＝6，矛盾．
也就是说：不存在这样的a，使A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线对称．…（12分）
17．【分析】（1）依题意得2a＝2，，由此能求出双曲线方程．
（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2）AB的中点M（x0，y0），由，得x2﹣2mx﹣m2﹣2＝0，由此能求出实数m的值．
【解答】解：（1）依题意得2a＝2，a＝1，…（1分）
，∴，…（2分）
∴b2＝c2﹣a2＝2，…（4分）
∴双曲线方程为：…（5分）
（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2）AB的中点M（x0，y0），…（6分）
由得x2﹣2mx﹣m2﹣2＝0…（8分）
，…（10分）
∵点M在圆上，∴，
∴m2+（2m）2＝5，∴m＝±1．…（12分）
一、选择题
1．已知双曲线C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为C的右支上一点，且|PF2|＝|F1F2|，则△PF1F2的面积等于（ ）
A．24 B．36 C．48 D．96
2．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P是该双曲线上的一点，且|PF1|＝10，则|PF2|＝（ ）
A．2或18 B．2 C．18 D．4
3．定义焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线为一对相关曲线．已知F1，F2是一对相关曲线的焦点，P是这对相关曲线在第一象限的交点，则点P与以F1F2为直径的圆的位置关系是（ ）
A．在圆外 B．在圆上 C．在圆内 D．不确定
4．已知点P是双曲线﹣＝1右支上一点，F1是双曲线的左焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段PF1的中垂线，则该双曲线的渐近线方程是（ ）
A．y＝x B．y＝±x C．y＝x D．y＝±2x
5．已知双曲线的左焦点为F，过F的直线l交双曲线C的左、右两支分别于点Q，P，若|FQ|＝t|QP|，则实数t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且F1P＞F2P，线段F1P的垂直平分线过F2.若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则的最小值为（ ）
A． B．3 C．6 D．
7．双曲线的左、右焦点为F1、F2，点P是C右支上异于顶点的任意一点，PQ是∠F1PF2的平分线，过点F1作PQ的垂线，垂足为Q，O为坐标原点，则|OQ|的值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．不确定，随P点位置变化而变化
8．如图所示，F1和F2分别是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．+1
9．已知常数k1，k2满足0＜k1＜k2，k1k2＝1．设C1和C2分别是以y＝±k1（x﹣1）+1和y＝±k2（x﹣1）+1为渐近线且通过原点的双曲线，则C1和C2的离心率之比＝（ ）
A． B．
C．1 D．
二、多选题
（多选）10．已知F1，F2分别是双曲线C：x2﹣y2＝1的左、右焦点，点P是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且 ＝0，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线C的渐近线方程为y＝±x
B．以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2＝1
C．F1到双曲线的一条渐近线的距离为1
D．△PF1F2的面积为1
（多选）11．P为双曲线﹣y2＝1上一点，A（﹣2，0），B（2，0），令∠PAB＝α，∠PBA＝β，下列为定值的是（ ）
A．tanαtanβ B．tantan
C．S△PABtan（α+β） D．S△PABcos（α+β）
三、填空题
12．设直线x﹣3y+m＝0（m≠0）与双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A，B，若点P（﹣m，0）满足|PA|＝|AB|，则该双曲线的渐近线方程为 ．
13．过双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，若|AB|≥|CD|，则双曲线离心率的取值范围为 ．
14．双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作F1F2的垂线，交双曲线于A，B两点，D是双曲线的右顶点，连接AD，BD，并延长分别交y轴于点M，N．若点P（﹣3a，0）在以MN为直径的圆上，则双曲线C的离心率为 ．
四、解答题
15．已知双曲线的实轴长为2，点在此双曲线上．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）已知直线x﹣y+m＝0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB中点N在圆x2+y2＝5上，求实数m的值．
16．已知直线y＝ax+1与双曲线3x2﹣y2＝1交于A、B两点，
（1）若以AB线段为直径的圆过坐标原点，求实数a的值．
（2）是否存在这样的实数a，使A、B两点关于直线对称？说明理由．
17．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，实轴长为2；
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）已知直线x﹣y+m＝0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2+y2＝5上，求实数m的值．
苏教版（2019）选择性必修第一册《3.2 双曲线》2023年同步练习卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．【分析】先根据双曲线方程求出焦点坐标，再利用双曲线的第一定义求得||PF1|，作PF1边上的高AF2，则可知AF1的长度，进而利用勾股定理求得AF2，则△PF1F2的面积可得．
【解答】解：∵双曲线中a＝3，b＝4，c＝5，
∴F1（﹣5，0），F2（5，0），
∵|PF2|＝|F1F2|，
∴|PF1|＝2a+|PF2|＝6+10＝16，
作PF1边上的高AF2，则AF1＝8，
∴，
∴△PF1F2的面积为，
故选：C．
2．【分析】判断P所在位置，然后利用双曲线的定义转化求解即可．
【解答】解：因为|PF1|＝10＜a+c＝12，所以点P在该双曲线左支上，则|PF2|＝2a+|PF1|＝2×4+10＝18．
故选：C．
3．【分析】设椭圆的长轴长为2a1，椭圆的焦距为2c，双曲线的实轴长为2a2，根据题意可得c2＝a1a2，设|PF |＝x，|PF2|＝y，x＞y＞0，根据椭圆与双曲线的定义将x，y分别用a1，a2表示，设P（m，n），m＞0，n＞0，再根据两点的距离公式将P点的坐标用a1，a2，c表示，从而可判断出点与圆的位置关系．
【解答】解：设椭圆的长轴长为2a1，椭圆的焦距为2c，双曲线的实轴长为2a2，
设椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，
则，所以c2＝a1a2，
以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2＝c2，
设|PF1|＝x，|PF2|＝y，x＞y＞0，
则有，所以，
设P（m，n），m＞0，n＞0，F1（﹣c，0），F2（c，0），
所以 ①
，②
①﹣②得，，
所以，所以m＝c，
将m＝c代入②得，
所以n＝|a1﹣a2|，P（c，|a1﹣a2|），
则点P到圆心O的距离为，
所以点P在以F1F2为直径的圆外，
故选：A．
4．【分析】画出图形，利用已知条件，求出渐近线方程，利用中垂线的性质结合双曲线的定义转化求解即可．
【解答】解：因双曲线线的渐近线为，
双曲线的一条渐近线恰是线段PF1的中垂线，交点为M，如图所示，
对于|OF1|＝c，直线PF1：，
由原点O（0，0）到直线PF1：ax﹣by+ac＝0的距离得，因此|OM|＝a，|F1M|＝b，
则根据几何图形的性质可得|F1P|＝2b，|F2P|＝2a，
根据双曲线的定义得|F1P|﹣|F2P|＝2a＝2b﹣2a，
因此可得b＝2a，则双曲线的线近线为y＝±2x．
故选：D．
5．【分析】设P（x1，y1），Q（x2，y2），利用坐标向量法表示可得x2＝，y2＝，代入双曲线可得x1＝≥，解得即可．
【解答】解：根据条件可得F（﹣2，0），设P（x1，y1），Q（x2，y2），
则＝（x2+2，y2），＝（x1﹣x2，y1﹣y2），
因为|FQ|＝t|QP|，
则（x2+2，y2）＝t（x1﹣x2，y1﹣y2），
所以x2＝，y2＝，
又因为P、Q都在双曲线上，
所以，整理可得x1＝，
易知x1≥，所以≥，
又t＞0，所以0＜t≤，
即实数t的取值范围是（0，），
故选：A．
6．【分析】根据椭圆与双曲线的定义可得|F1P|+2c＝2a1，|F1P|﹣2c＝2a2，两式相减可得a1﹣a2＝2c，可化简为，由基本不等式可求得最值．
【解答】解：设椭圆长轴长为2a1，双曲线实轴长为2a2，不妨设点P在第一象限，如图，
由题意可知|F1F2|＝|F2P|＝2c，
又因为|F1P|+|F2P|＝2a1，|F1P|﹣|F2P|＝2a2，
所以|F1P|+2c＝2a1，①，
|F1P|﹣2c＝2a2，②，
两式相减得a1﹣a2＝2c，
所以+＝，
又因为，当且仅当，即c＝2a2时等号成立，
所以的最小值为6，
故选：C．
7．【分析】先画出双曲线和焦点三角形，由题意可知PQ是MF1的中垂线，再利用双曲线的定义和中位线定理，数形结合即可得结果．
【解答】解：过点F1作PQ的垂线，垂足为Q，交PF2的延长线于M，
由三角形PF1M为等腰三角形，可得Q为F1M的中点，
由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝|F2M|＝2a＝6，
由三角形的中位线定理可得|OQ|＝|F2M|＝a＝3，
故选：A．
8．【分析】连接AF1，根据△F2AB是等边三角形可知∠AF2B＝60°，F1F2是圆的直径可表示出|AF1|、|AF2|，再由双曲线的定义可得c﹣c＝2a，从而可求双曲线的离心率．
【解答】解：连接AF1，则∠F1AF2＝90°，∠AF2B＝60°，
∴|AF1|＝c，|AF2|＝c，
∴c﹣c＝2a，
∴e＝＝+1，
故选：D．
9．【分析】由题意可得曲线C1和C2的中心（1，1），且C1为实轴在直线x＝1上的双曲线，C2为实轴在直线y＝1上的双曲线，可用k1，k2表示离心率，进而求出离心率之比．
【解答】解：由题意知双曲线C1和C2的中心为（1，1），
由双曲线过原点可知C1为实轴在直线x＝1上的双曲线，所以＝，
＝＝1+＝1+，
C2为实轴在直线y＝1上的双曲线，所以＝，＝1+，
又因为k1k2＝1，
所以＝＝＝1，
故选：C．
二、多选题
10．【分析】给出双曲线方程，可以得出abc的值，左右焦点的坐标，渐近线方程，由 ＝0，得P的横纵坐标的关系，再由P在双曲线上，可求出P的坐标．进而得命题的真假．
【解答】解：A中双曲线x2﹣y2＝1，可得焦点在x轴上，a2＝b2，a＞0，b＞0，a是实半轴长，b虚半轴长，
所以渐近线方程为y＝±x即y＝±x，所以A 正确；
B中，x2﹣y2＝1，可得左焦点F1（﹣，0），右焦点F2（，0），所以以F1F2为直径的圆的圆心是（0，0），半径为，
所以圆的方程为x2+y2＝2，所以B不正确；
C中，F1（﹣，0）到一条渐近线为x﹣y＝0的距离d＝＝1，所以C正确；
D中， ＝0，设P坐标（x，y），＝（﹣﹣x，﹣y），＝（﹣x，﹣y），
∴ ＝（﹣﹣x） （）+（﹣y）2＝0 x2+y2＝2①，又P在双曲线上，所以x2﹣y2＝1（y≠0）②，由①②得，|y|＝，
∴S△PF1F2＝|F1F2| |y|＝＝1，∴D正确；
故选：ACD．
11．【分析】可设P（m，n），代入双曲线的方程，求得直线PA，PB的斜率之积为定值，即可得到所求结论．
【解答】解：可设P（m，n），可得﹣n2＝1，
即m2﹣4＝4n2，
则kPAkPB＝ ＝＝＝，
可得tanαtanβ＝﹣为定值，
由S△PABtan（α+β）＝×4|n| ＝2|n| （﹣）＝± ＝±，
故选：AC．
三、填空题
12．【分析】先求出A，B的坐标，可得AB中点坐标，利用点P（﹣m，0）满足|PA|＝|PB|，可得＝﹣3，从而可求双曲线的渐近线方程．
【解答】解：双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线方程为y＝±x，则
与直线x﹣3y+m＝0联立，可得A（，），B（﹣，），
∴AB中点坐标为（，），
∵点P（﹣m，0）满足|PA|＝|AB|，
∴＝﹣3，∴a＝b，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x．
故答案为：y＝±x．
13．【分析】设出双曲线的右焦点和渐近线方程，令x＝c，联立方程求出A，B，C，D的坐标，结合距离关系和条件，运用离心率公式和a，b，c的关系，进行求解即可．
【解答】解：设双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为（c，0），
当x＝c时代入双曲线﹣＝1得y＝±，则A（c，），B（c，﹣），
则AB＝，
将x＝c代入y＝±x得y＝±，则C（c，），D（c，﹣），
则|CD|＝，
∵|AB|≥|CD|，
∴≥ ，即b≥c，
则b2＝c2﹣a2≥c2，
即c2≥a2，
则e2＝≥，
则e≥．
故答案为：[，+∞）．
14．【分析】求得M，N点的坐标，根据P在以MN为直径的圆上列方程，化简求得双曲线C的离心率．
【解答】解：由得，
不妨设，而D（a，0），
所以直线AD的方程为，
令x＝0得，则，同理可求得，
所以以MN为直径的圆的方程为，
将P（﹣3a，0）代入上式得：
，
即c2+2ac﹣8a2＝0，（c﹣2a）（c+4a）＝0，则．
故答案为：2．
四、解答题
15．【分析】（Ⅰ）根据双曲线的性质，求出a，b即可求双曲线C的方程；
（Ⅱ）根据直线与双曲线的位置关系，求出中点坐标，结合中点坐标在圆上的关系进行求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）依题意知：2a＝2，∴a＝1，
又点在双曲线上，
∴，
∴双曲线方程为：
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），N（x0，y0）
由消y有x2﹣2mx﹣m2﹣2＝0，
∴Δ＝（﹣2m）2+4（m2+2）＞0，
∴，
∵N为AB中点，∴，
∵N在圆x2+y2＝5上即m2+（2m）2＝5，
∴m＝±1，经检验，符合题意．
所以，实数m的值为±1．
16．【分析】（1）联立方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），根据方程的根与系数关系可求x1+x2，x1x2，代入直线y＝ax+1可求y1y2＝（ax1+1）（ax2+1），由题意可得，，即x1x2+y1y2＝0，代入可求a的值．
（2）假定存在这样的a，使A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线对称．则由，两式相减得：3（﹣）＝﹣，由题意可知，整理可求
【解答】解：（1）联立方程，消去y得：（3﹣a2）x2﹣2ax﹣2＝0．…（2分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），那么：…（4分）
由于以AB线段为直径的圆经过原点，那么：，即x1x2+y1y2＝0．
所以：x1x2+（ax1+1）（ax2+1）＝0，
∴，
∴﹣2（a2+1）+2a2+3﹣a2＝0
即a2＝1
解得a＝±1…（6分）
（2）假定存在这样的a，使A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线对称．…（8分）
那么：，两式相减得：3（﹣）＝﹣，从而
因为A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线对称，所以
代入（*）式得到：﹣2＝6，矛盾．
也就是说：不存在这样的a，使A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线对称．…（12分）
17．【分析】（1）依题意得2a＝2，，由此能求出双曲线方程．
（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2）AB的中点M（x0，y0），由，得x2﹣2mx﹣m2﹣2＝0，由此能求出实数m的值．
【解答】解：（1）依题意得2a＝2，a＝1，…（1分）
，∴，…（2分）
∴b2＝c2﹣a2＝2，…（4分）
∴双曲线方程为：…（5分）
（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2）AB的中点M（x0，y0），…（6分）
由得x2﹣2mx﹣m2﹣2＝0…（8分）
，…（10分）
∵点M在圆上，∴，
∴m2+（2m）2＝5，∴m＝±1．…（12分）