人教a版（2019）必修第一册《3.2 函数的基本性质》2023年同步练习卷（含解析）

人教A版（2019）必修第一册《3.2 函数的基本性质》2023年同步练习卷
一、选择题
1．记函数f（x）＝在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为M、m，则的值为（　　）
A． B． C． D．
2．函数f（x）＝的图象关于（　　）
A．原点对称 B．轴对称
C．y轴对称 D．直线y＝x对称
3．已知函数f（x）＝ax2+bx+3a+b是定义域为[a﹣1，2a]的偶函数，a+b的值是（　　）
A．0 B． C．1 D．﹣1
4．如果奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f（x）在区间[﹣7，﹣3]上是（　　）
A．增函数且最小值为﹣5 B．增函数且最大值为﹣5
C．减函数且最小值为﹣5 D．减函数且最大值为﹣5
5．已知函数y＝f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，则y＝f（|x+2|）的单调递减区间是（　　）
A．（﹣∞，+∞） B．[﹣2，+∞） C．[2，+∞） D．（﹣∞，﹣2]
6．若函数y＝f（x）的值域是，则函数的值域是（　　）
A． B． C． D．
7．函数f（x）＝ax+（1﹣x），其中a＞0，记f（x）在区间[0，1]上的最小值为g（a），则函数g（a）的最大值为（　　）
A． B．0 C．1 D．2
二、多选题
（多选）8．如果f（x）是定义在R上的奇函数，那么下列函数为奇函数的是（　　）
A．g（x）＝x+f（x） B．g（x）＝xf（x）
C．g（x）＝x2+f（x） D．g（x）＝x2f（x）
三、填空题
9．用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值，设f（x）＝min{x+2，10﹣x}，则当x＝　 　时，f（x）的最大值为 　 　．
四、解答题
10．已知点P在反比例函数的图象上．
（1）求该函数f（x）的解析式；
（2）判断该函数f（x）在（0，+∞）上的单调性并用定义证明．
11．如图 （1）（2）分别为函数y1＝f（x）和y2＝g（x）的图象，试分别写出函数y1＝f（x）和y2＝g（x）的单调增区间．
12．已知函数．
（1）用函数的单调性的定义证明f（x）在（1，+∞）上是减函数．
（2）求函数f（x）在[2，6]上的最大值和最小值．
13．判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）＝（x+1）
（2）f（x）＝
（3）f（x）＝．
14．已知函数f（x）＝．
（1）在下面的坐标系中，作出函数f（x）的图象并写出单调区间；
（2）若f（a）＝2，求实数a的值．
人教A版（2019）必修第一册《3.2 函数的基本性质》2023年同步练习卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．【分析】利用f（x）在[3，4]上为减函数，即可得出结论．
【解答】解：f（x）＝＝2（1+）＝2+，
∴f（x）在[3，4]上为减函数，
∴M＝f（3）＝2+＝6，
m＝f（4）＝2+＝4，
∴＝＝，
故选：D．
2．【分析】根据题意，由函数的解析式可得f（﹣x）＝﹣，进而有f（﹣x）＝﹣f（x），由奇函数的性质分析可得答案．
【解答】解：根据题意，f（x）＝，有f（﹣x）＝﹣，
则有f（﹣x）＝﹣f（x），
其图象关于原点对称，
故选：A．
3．【分析】根据偶函数的特点：不含奇次项得到b＝0，偶函数的定义域关于原点对称，列出方程得到a的值，求出a+b．
【解答】解：∵函数f（x）＝ax2+bx+3a+b是定义域为[a﹣1，2a]的偶函数
∴a﹣1＝﹣2a，b＝0
解得，b＝0
∴a+b＝
故选：B．
4．【分析】由题意结合奇函数的对称性和所给函数的性质即可求得最终结果．
【解答】解：奇函数的函数图象关于坐标原点中心对称，
则若奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，
那么f（x）在区间[﹣7，﹣3]上是增函数且最大值为﹣5．
故选：B．
5．【分析】因为y＝f（|x+2|）是复合函数，可根据复合函数同增异减原则来判断单调区间．
【解答】解：y＝f（|x+2|）是复合函数，外层函数为y＝f（x），定义域为R，且为减函数；
内层函数为h（x）＝|x+2|，h（x）∈[0，+∞），h（x）在（﹣∞，﹣2]上为减函数，在[﹣2，+∞）上单调递增；
根据复合函数同增异减原则，所以y＝f（|x+2|）的单调减区间为[﹣2，+∞）．
故选：B．
6．【分析】先换元，转化成积定和的值域，利用基本不等式．
【解答】解：令t＝f（x），则，
则y＝t+≥＝2
当且仅当t＝即t＝1时取“＝”，
所以y的最小值为2
故选：B．
7．【分析】把函数变形为f（x）＝（a﹣）x+，分三种情况：a＞1；a＝1；0＜a＜1进行讨论，由一次函数单调性即可求得g（a），据g（a）特征可求其最大值．
【解答】解：f（x）＝（a﹣）x+，
（1）当a＞1时，a＞，f（x）是增函数，
∴f（x）在[0，1]的最小值为f（0）＝，g（a）＝，
（2）当a＝1时，f（x）＝1，∴g（a）＝1；
（3）当0＜a＜1时，a﹣＜0，f（x）是减函数，
f（x）在[0，1]上的最小值为f（1）＝a，∴g（a）＝a，
所以g（a）＝
因此g（a）最大值为1，
故选：C．
二、多选题
8．【分析】根据函数奇偶性定义证明即可解决此题．
【解答】解：根据题意得分（﹣x）＝﹣f（x），
定义选项A，g（﹣x）＝﹣x+f（﹣x）＝﹣[x+f（x）]＝﹣g（x），∴函数g（x）为奇函数，∴A对；
对于选项B，g（﹣x）＝﹣xf（﹣x）＝xf（x）＝g（x），），∴函数g（x）为偶函数，∴B错；
对于选项C，g（﹣x）＝（﹣x）2+f（﹣x）＝x2﹣f（x），∴函数g（x）既不是奇函数又不是偶函数，∴C错；
对于选项D，g（﹣x）＝（﹣x）2f（﹣x）＝﹣x2f（x），），∴函数g（x）为奇函数，∴D对．
故选：AD．
三、填空题
9．【分析】在坐标系内画出函数y＝x+2，y＝10﹣x的图象，根据图象求出f（x）的最大值．
【解答】解：在坐标系内画出函数y＝x+2，y＝10﹣x的图象，如图；
由图象知，f（x）＝min{x+2，10﹣x}＝，
∴f（x）的最大值为f（x）max＝f（4）＝6，
故答案为：4，6．
四、解答题
10．【分析】（1）将点P代入求出k值，可得函数f（x）的解析式；
（2）函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，利用作差法，可判断结论．
【解答】解：（1）∵点P在反比例函数的图象上．
∴k＝﹣2，
故；
（2）函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，
证明如下：设0＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝．
因为0＜x1＜x2，
所以x1﹣x2＜0，x1x2＞0，
所以f（x1）﹣f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），
故f（x）在（0，+∞）上单调递增．
11．【分析】直接由函数的图象写出两函数的单调增区间．
【解答】解：（1）函数y1＝f（x）的单调增区间为[1，4]，（4，6]；
（2）函数y2＝g（x）的单调增区间为[﹣1，0]，[1，2]．
12．【分析】（1）任取x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，依据减函数的定义，利用作差证明f（x1）＞f（x2）即可；
（2）由（1）知函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，进而得到f（x）在[2，6]上的单调性，由单调性即可求得其最值；
【解答】（1）证明：任取x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）＝
＝＝．
由1＜x1＜x2，得x2﹣x1＞0，x1﹣1＞0，x2﹣1＞0，
所以，，即f（x1）﹣f（x2）＞0．
所以f（x1）＞f（x2）．
所以f（x）在（1，+∞）上是减函数．
（2）解：由（1）得f（x）在（1，+∞）上是减函数，
所以，f（x）在[2，6]上是减函数．
所以，当x＝2时，f（x）取得最大值，最大值是2；
当x＝6时，f（x）取得最小值，最小值是．
13．【分析】（1）根据题意，先分析函数的定义域为（﹣1，1]，不关于原点对称，由奇偶性的定义可得结论，
（2）根据题意，结合函数的解析式，分x＜0、x＞0和x＝0三种情况讨论f（x）与f（﹣x）的关系，可得结论，
（3）根据题意，先分析函数的定义域，进而可得f（﹣x）＝f（x），即可得函数为偶函数．
【解答】解：（1）对于f（x）＝（x+1），有≥0，解可得﹣1＜x≤1，
即函数的定义域为（﹣1，1]，不关于原点对称，则f（x）是非奇非偶函数，
（2）f（x）＝
x＜0时，﹣x＞0，有f（x）＝x2+2x﹣1，f（﹣x）＝﹣（﹣x）2+2（﹣x）+1＝﹣x2﹣2x+1，有f（﹣x）＝﹣f（x），
x＞0时，﹣x＜0，有f（x）＝﹣x2+2x+1，f（﹣x）＝（﹣x）2+2（﹣x）﹣1＝x2﹣2x﹣1，有f（﹣x）＝﹣f（x），
但x＝0时，f（0）＝﹣1≠0，不满足f（﹣x）＝﹣f（x），
则f（x）是非奇非偶函数，
（3）f（x）＝，有＞0，解可得﹣2≤x≤2且x≠0，其定义域为[﹣2，0）∪（0，2]，
有f（﹣x）＝＝f（x），故f（x）为偶函数．
14．【分析】（1）分段做出f（x）的函数图象，根据函数图象得出f（x）的单调区间；
（2）对a的范围进行讨论列出方程解出a．
【解答】解：（1）做出f（x）的函数图象如图所示：
由图象得f（x）的增区间为（，1]，（1，+∞），减区间为（﹣∞，]．
（2）∵f（a）＝2，
∴或．
解得a＝﹣1或a＝5．