人教a版（2019）必修第一册《3.3幂函数》2023年同步练习卷（含解析）

人教A版（2019）必修第一册《3.3幂函数》2023年同步练习卷
一、选择题
1．下列结论中，正确的是（　　）
A．幂函数的图象都通过点（0，0），（1，1）
B．幂函数的图象可以出现在第四象限
C．当幂指数α取1，3，时，幂函数y＝xa在定义域上是增函数
D．当幂指数α＝﹣1时，幂函数y＝xa在定义域上是减函数
2．下列幂函数在区间（0，+∞）内单调递减的是（　　）
A．y＝x B．y＝x2 C．y＝x3 D．y＝x﹣1
3．设函数f（x）＝x5，则f（x）是（　　）
A．奇函数
B．偶函数
C．既不是奇函数也不是偶函数
D．既是奇函数也是偶函数
4．已知幂函数f（x）的图象经过点，则f（4）的值为（　　）
A．16 B． C． D．2
5．已知m＝（a2+3）﹣1（a≠0），n＝3﹣1，则（　　）
A．m＞n B．m＜n
C．m＝n D．m与n的大小不确定
二、填空题
6．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）是幂函数，且图象过点，则f（x）在R上的解析式为 　 　．
7．已知幂函数y＝f（x）的图象过点（2，2），则这个函数解析式为 　 　．
三、解答题
8．已知幂函数y＝f（x）的图象过点（9，3）．
（1）试求出此函数的解析式；
（2）判断此函数的奇偶性并证明．
9．利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：
（1）（）3与（）3；
（2）（﹣）﹣1与（﹣）﹣1．
10．把下列各数按由小到大的顺序排列：，，，．
11．若＜，求实数a的取值范围．
12．点（2，4）在幂函数f（x）的图象上，点（2，）在幂函数g（x）的图象上，那么求当x为何值时，有：
（1）f（x）＞g（x）；
（2）f（x）＝g（x）；
（3）f（x）＜g（x）．
13．已知点（，2）在幂函数f（x）的图象上，点（2，）在幂函数g（x）的图象上．
（1）求出幂函数f（x）及g（x）的解析式；
（2）在同一坐标系中画出f（x）及g（x）的图象；
（3）观察（2）中的图象，写出当f（x）＞g（x）时，x的取值范围（不用说明理由）
14．若点（，2）在幂函数f（x）的图象上，点（﹣2，）在幂函数g（x）的图象上，定义函数h（x）＝，你能求出函数h（x）的最大值和单调递减区间吗？
15．利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：
（1）（﹣1.5）3，（﹣1.4）3；
（2），．
人教A版（2019）必修第一册《3.3幂函数》2023年同步练习卷参考答案与试题解析
一、选择题
1．【分析】根据幂函数的图象和性质，逐一分析四个答案的正误，可得结论．
【解答】解：幂函数的图象都通过点（1，1），但a≤0时不经过（0，0）点，故A错误；
幂函数的图象不会出现在第四象限，故B错误；
当幂指数α取1，3，时，幂函数y＝xa在定义域上是增函数，故C正确；
当幂指数α＝﹣1时，幂函数y＝xa在（﹣∞，0）和（0，+∞）上均为减函数，但在定义域上不是减函数，故D错误；
故选：C．
2．【分析】由题意利用幂函数的单调性，得出结论．
【解答】解：函数y＝x在区间（0，+∞）内单调递增，故排除A；
函数y＝x2 在区间（0，+∞）内单调递增，故排除B；
函数y＝x3在区间（0，+∞）内单调递增，故排除C；
函数y＝x﹣1＝在区间（0，+∞）内单调递减，故D满足题意，
故选：D．
3．【分析】先写出函数的定义域，再计算f（﹣x），并与f（x）进行比较，得解．
【解答】解：函数的定义域为R，
f（﹣x）＝（﹣x）5＝﹣x5＝﹣f（x），是奇函数．
故选：A．
4．【分析】设幂函数f（x）＝xa，由幂函数f（x）过点，列出关于a的方程，求解即可得到f（x）的解析式，再将x＝4代入，即可求得答案．
【解答】解：设幂函数f（x）＝xa，
∵幂函数f（x）的图象经过点，
∴＝2a，即2a＝，
∴a＝，
故f（x）＝，
∴f（4）＝＝．
故选：C．
5．【分析】由幂函数y＝x﹣1在（0，+∞）上是减函数判断两个数的大小即可．
【解答】解：∵幂函数y＝x﹣1在（0，+∞）上是减函数，
又∵a2+3＞3（a≠0），
∴（a2+3）﹣1＜3﹣1，
即m＜n，
故选：B．
二、填空题
6．【分析】由题意设当x＞0时，f（x）＝xα（α是常数），把点代入解析式求出α的值，即可求出x＞0时的解析式，设x＜0则﹣x＞0，利用奇函数的性质求出x＜0、x＝0时的解析式，利用分段函数表示出来．
【解答】解：由题意设当x＞0时，f（x）＝xα（α是常数），
因为当x＞0时，图象过点，
所以f（3）＝3α＝，解得，
则当x＞0时，f（x）＝，
设x＜0，则﹣x＞0，即f（x）＝，
因为f（x）是定义在R上的奇函数，
所以f（﹣x）＝﹣f（x）＝，且x＝0时，f（0）＝0，
所以，
故答案为：．
7．【分析】设出幂函数f（x）＝xn，通过幂函数经过的点，即可求解幂函数的解析式．
【解答】解：设幂函数为y＝xn，因为幂函数图象过点（2，2），
所以2n＝2，解得n＝1，
所以幂函数的解析式为y＝x．
故答案为：y＝x．
三、解答题
8．【分析】（1）由题意，利用待定系数法求幂函数的解析式
（2）根据函数的定义进行奇偶性的判断和证明．
【解答】解：（1）根据幂函数y＝f（x）＝xα 的图象过点（9，3），可得9α＝3，∴α＝，
故f（x）＝＝．
（2）根据f（x）＝的定义域为[0，+∞），不关于原点对称，故此函数为非奇非偶函数．
9．【分析】（1）根据幂函数y＝x3的单调性，得解；
（2）根据幂函数y＝x﹣1在（﹣∞，0）上的单调性，得解．
【解答】解：（1）因为y＝x3单调递增，且＞，
所以（）3＞（）3；
（2）因为y＝x﹣1在（﹣∞，0）上单调递减，且﹣＜﹣，
所以（﹣）﹣1＞（﹣）﹣1．
10．【分析】根据幂函数y＝在（0，+∞）上单调递增判断1＜＜，再化简＝，判断0＜＜1，＜0，即可得出结论．
【解答】解：根据幂函数y＝在（0，+∞）上单调递增，且1＜＜2，所以1＜＜；
又因为＝＜1，所以0＜＜1；
又＜0，
所以＜＜＜．
11．【分析】根据已知条件，结合幂函数的性质，即可求解．
【解答】解：y＝f（x）＝在[0，+∞）上单调递增，
∵＜，
∴3a﹣2＞a+1≥0，解得a，
故实数a的取值范围为（，+∞）．
12．【分析】求函数f（x），g（x）的解析式，由于已知两函数是幂函数，故可用待定系数法设出两函数的解析式，代入点的坐标求出函数的解析式．由于两个函数在第一象限一个是减函数一个是增函数，故可令两者相等，解出它们的交点坐标，再由函数的单调性得出f（x）＜g（x）的解集，对于f（x）＞g（x）同样可以利用图象法求解．
【解答】解：设f（x）＝xα，由点（2，4）在幂函数f（x）的图象上，2α＝4，
∴α＝2，则f（x）＝x2，同理得g（x）＝x﹣1，
在同一坐标系中作出这两个函数的图象，如图所示：
观察图象可得：
（1）x＜0，x＞1时，f（x）＞g（x），
（2）x＝1时，f（x）＝g（x），
（3）0＜x＜1时，f（x）＜g（x）．
13．【分析】（1）分别设f（x）＝xα，g（x）＝xβ，代值计算即可，
（2）画图，
（3）由图象可得答案．
【解答】解：（1）设f（x）＝xα，g（x）＝xβ，
∵点（，2）在幂函数f（x）的图象上，点（2，）
∴2＝，＝2β，
解得α＝2，β＝﹣1，
∴f（x）＝x2，g（x）＝，
（2）图象如图所示
（3）由图象可知当f（x）＞g（x）时，x＜0或x＞1．
14．【分析】由待定系数法分别求得f（x），g（x）的解析式，由新定义可得h（x）的解析式和图象，由图象可得最大值和递减区间．
【解答】解：由点（，2）在幂函数f（x）的图象上，可设f（x）＝xm（m为有理数），
则（）m＝2，解得m＝2，即有f（x）＝x2；
点（﹣2，）在幂函数g（x）的图象上，可设g（x）＝xn（n为有理数），
则（﹣2）n＝，解得n＝﹣2，即有g（x）＝x﹣2．
由h（x）的定义可得h（x）＝，h（x）的图象如右图：
则h（x）的最大值为1，单调递减区间为（﹣1，0），（1，+∞）．
15．【分析】（1）根据函数y＝x3是定义域R上的单调增函数，判断（﹣1.5）3＜（﹣1.4）3；
（2）根据函数y＝x﹣1在（﹣∞，0）上是单调减函数，判断＞．
【解答】解：（1）因为函数y＝x3是定义域R上的单调增函数，且﹣1.5＜﹣1.4，
所以（﹣1.5）3＜（﹣1.4）3；
（2）因为函数y＝x﹣1在（﹣∞，0）上是单调减函数，且﹣1.5＜﹣1.4，
所以＞．