人教a版（2019）必修第一册《4.2指数函数》2023年同步练习卷（含解析）

人教A版（2019）必修第一册《4.2指数函数》2023年同步练习卷
一、选择题
1．下列函数中，是指数函数的（　　）
A．y＝2 3x B．y＝3x+1 C．y＝3x D．y＝x3
2．函数y＝的定义域和值域分别是（　　）
A．R，（0，+∞） B．（0，+∞），（0，+∞）
C．（0，+∞），R D．（﹣∞，+∞），（0，1）
3．如果函数f（x）是指数函数，且f（1）＝3，则f（﹣1）的值为（　　）
A．﹣3 B． C．3 D．
4．如果函数f（x）是指数函数，且，则f（﹣1）的值为（　　）
A．2 B． C． D．﹣2
5．某湖泊中的蓝藻在某个时期内以30%的增长率呈指数增长，则经过5天后，该湖泊的蓝藻会变为原来的（　　）倍
A．1.5 B．2.5 C．1+（30%）5 D．（1+30%）5
6．已知指数函数f（x）＝a﹣x（a＞0，且a≠1），且f（﹣2）＞f（﹣3），则a的取值范围（　　）
A．（0，1） B．（1，+∞） C．（0，+∞） D．（﹣∞，0）
7．将函数y＝3﹣x图象向上移3个单位，得到图象的解析式为（　　）
A．y＝3﹣x+3 B．y＝3﹣x﹣3 C．y＝3﹣x+3 D．y＝3﹣x﹣3
8．对于函数f（x）＝2x﹣2﹣x，下列描述中正确的是（　　）
A．是增函数又是奇函数 B．是增函数又是偶函数
C．是减函数又是奇函数 D．是减函数又是偶函数
二、填空题
9．指数函数f（x）经过点（﹣2，9），则f（2）＝　 　．
10．比较大小：40.9　 　
11．已知函数的图象关于坐标原点对称，则ab＝　 　．
三、多选题
（多选）12．若指数函数y＝ax在区间[﹣1，1]上的最大值和最小值的和为，则a的值可能是（　　）
A． B． C．3 D．2
（多选）13．若函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）ax是指数函数，则实数m的值为（　　）
A．2 B．3 C．﹣1 D．1
（多选）14．下列结论中，正确的是（　　）
A．函数y＝2x﹣1是指数函数
B．函数y＝ax+1（a＞1）的值域是（1，+∞）
C．若am＞an（a＞0，a≠1），则m＞n
D．函数f（x）＝ax﹣1﹣1（a＞0，a≠1）图像过定点（1，0）
（多选）15．若指数函数y＝ax（a＞0，a≠1）在区间[﹣1，1]上的最大值和最小值的和为，则a的值可能是（　　）
A．2 B． C．3 D．
四、解答题
16．已知指数函数f（x）＝（a2﹣a﹣1）ax．
（1）当a＝2时，求f（1）的值；
（2）若f（x）是指数函数，求f（x）解析式．
17．比较下列三个数的大小：
（Ⅰ），，；
（Ⅱ），，
18．当生物死后，它体内的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半．2010年考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料草裹泥）上提取的草茎遗存进行碳14检测，检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%，能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的？
19．已知当x＞0时，指数函数y＝（2a﹣3）x 的图像位于x轴和函数的图像之间，求实数a的取值范围．
人教A版（2019）必修第一册《4.2指数函数》2023年同步练习卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．【分析】形如y＝ax（a＞0，a≠1）的函数为指数函数，对照指数函数的定义即可得只有C选项符合
【解答】解：形如y＝ax（a＞0，a≠1）的函数为指数函数，
y＝2 3x的3x系数不为1，y＝3x+1的指数不是x，y＝x3是幂函数
只有y＝3x符合指数函数定义．
故选：C．
2．【分析】根据指数函数的图象和性质分别求函数的定义域和值域．
【解答】解：根据指数函数的定义和性质可知，函数y＝的定义域为R，值域为（0，+∞）．
故选：A．
3．【分析】设出指数函数，结合f（1）＝3，求出a，再将x＝﹣1代入指数函数，即可求解．
【解答】解：由题意可设f（x）＝ax（a＞0），
∵f（1）＝3，
∴a1＝3，解得a＝3，
∴f（x）＝3x，
∴f（﹣1）＝．
故选：D．
4．【分析】根据已知条件，设出指数函数，再结合，即可求解．
【解答】解：由题意可设f（x）＝ax（a＞0且a≠1），
∵，
∴，
∴f（x）＝2x，即f（﹣1）＝．
故选：B．
5．【分析】由已知结合指数式的运算即可直接求解．
【解答】解：湖泊中的蓝藻在某个时期内以30%的增长率呈指数增长，则经过5天后，该湖泊的蓝藻会变为原来的（1+30%）5倍．
故选：D．
6．【分析】根据指数函数图象性质可解决此题．
【解答】解：由指数函数f（x）＝a﹣x（a＞0，且a≠1），且f（﹣2）＞f（﹣3）得a2＞a3，
根据指数函数单调性可知a∈（0，1）．
故选：A．
7．【分析】根据题意，由函数图象平移变换的规律分析可得答案．
【解答】解：根据题意，将函数y＝3﹣x图象向上移3个单位，得到图象的解析式y＝3﹣x+3，
故选：C．
8．【分析】根据题意，分析函数f（x）的奇偶性和单调性，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝2x﹣2﹣x，其定义域为R，
有f（﹣x）＝2﹣x﹣2x＝﹣（2x﹣2﹣x）＝﹣f（x），函数f（x）为奇函数，
又由函数y＝2x在R上为增函数，函数y＝2﹣x在R上为减函数，则函数f（x）＝2x﹣2﹣x在R上为增函数，
故选：A．
二、填空题
9．【分析】设指数函数的解析式，把点代入可解．
【解答】解：设指数函数f（x）＝ax，（a＞0且a≠1），
又f（x）经过点（﹣2，9），则有a﹣2＝9，得a＝，
故f（x）＝，则f（2）＝，
故答案为：．
10．【分析】40.9＝21.8，，再结合指数函数的单调性，即可求解．
【解答】解：40.9＝21.8，，
由指数函数的单调性可知，21.8＞21.7．
故答案为：＞．
11．【分析】由f（x）的图象关于坐标原点对称得f（x）是一个奇函数，根据定义域关于原点对称及奇函数的性质求得结果．
【解答】解：依题意函数f（x）是一个奇函数，
又2x﹣a≠0，所以x≠log2a，
所以f（x）定义域为{x|x≠log2a}，
因为f（x）的图象关于坐标原点对称，所以log2a＝0，解得a＝1．
又f（﹣x）＝﹣f（x），所以，
所以，即，
所以，所以．
故答案为：．
三、多选题
12．【分析】对a进行讨论，结合指数函数单调性，即可求解最值，从而求解a的值
【解答】解：①当a＞1时，函数y＝ax在区间[﹣1，1]上为增函数，
∴当x＝1时，ymax＝a，当x＝﹣1时，ymin＝，
∴a+＝，即3a2﹣10a+3＝0，
∵a＞1，∴a＝3．
②当0＜a＜1时，函数y＝ax在区间[﹣1，1]上为减函数，
∴当x＝﹣1时，ymax＝，当x＝1时，ymin＝a，
∴a+＝，即3a2﹣10a+3＝0，
∵0＜a＜1，∴a＝．
综上：a的值可能为a＝3或a＝．
故选：BC．
13．【分析】利用指数函数的定义得m2﹣2m﹣2＝1，由此能求出m的值．
【解答】解：∵函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）ax是指数函数，
∴m2﹣2m﹣2＝1，
解得m＝﹣1或m＝3．
故选：BC．
14．【分析】根据指数函数的定义可判断A错误；
根据指数函数值域的求法可判断B正确；
根据指数函数的单调性可判断C错误；
根据指数函数过的定点可判断D错误．
【解答】解：对于A，形如y＝ax（a＞0，且a≠1）的函数是指数函数，
∴y＝2x﹣1不是指数函数，故A错误；
对于B，y＝ax+1（a＞1），
ax＞0，
则ax+1＞1，
故函数y＝ax+1（a＞1）的值域是（1，+∞），故B正确；
对于C，当0＜a＜1时，由am＞an得出m＜n，故C错误；
对于D，f（x）＝ax﹣1﹣1（a＞0，a≠1）图像过定点（1，0），故D正确．
故选：BD．
15．【分析】分a＞1和0＜a＜1两种情况，分别利用指数函数的单调性，求出最值，列式求解即可．
【解答】解：当a＞1时，指数函数y＝ax单调递增，
所以函数在区间[﹣1，1]上的最大值为a，最小值为，
所以a+，
解得a＝2或a＝（舍去）；
当0＜a＜1时，指数函数y＝ax单调递减，
所以函数在区间[﹣1，1]上的最大值为，最小值为a，
所以a+，
解得a＝2（舍去）或a＝．
综上所述，a＝2或a＝．
故选：AB．
四、解答题
16．【分析】（1）当a＝2时，可求得f（x）＝2x，进而可得f（1）的值；
（2）依题意，得a2﹣a﹣1＝1，解之即可．
【解答】解：（1）当a＝2时，f（x）＝2x，f（1）＝2；
（2）若f（x）是指数函数，则a2﹣a﹣1＝1，解得a＝2或a＝﹣1（舍去），
即f（x）＝2x．
17．【分析】（Ⅰ）根据题意，由根式的运算性质可得＝＝，（）﹣1＝，＝＝，由此分析可得答案；
（Ⅱ）根据题意，分析可得＝＝，＝＝，＝＝＝，进而分析可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）＝＝，（）﹣1＝，＝＝，
则有＜＝＜，故＜＜；
（Ⅱ）＝＝，＝＝，＝＝＝，
故＜＜．
18．【分析】根据碳14的半衰期是5730年，即每5730年含量减少一半，设原来量为1，经过t年后则变成了0.552，列出等式求出t的值．
【解答】解：根据题意可设原来量为1，则经过t年后变成了1×55.2%＝0.552，
所以＝0.552，
两边取对数，得＝log0.50.552，
解得t＝0.8573×5730≈4912，
4912﹣2010+1＝2903，
以此推断此水坝建成的年代大概是公元前2903年．
19．【分析】由已知结合指数函数的性质可建立关于a的不等式组，可求．
【解答】解：当x＞0时，指数函数y＝（2a﹣3）x 的图像位于x轴和函数的图像之间，
所以，
解得，
故a的取值范围为（）．