4.3等比数列 同步练习2023——2024学年上学期高二数学人教A版（2019）选择性必修第二册（含解析）
文档属性
| 名称 | 4.3等比数列 同步练习2023——2024学年上学期高二数学人教A版（2019）选择性必修第二册（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 897.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-23 17:09:04 | ||
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文档简介
4.3等比数列同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知等比数列的前项和为，且公比大于1．若，则（ ）
A．28 B．21 C．7 D．7或28
2．已知数列满足，设的前项和为，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．2
3．等比数列公比为，，若（），则“”是“数列为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．若，是函数的两个不同的零点，且，，这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
5．已知某公司第1年的销售额为a万元，假设该公司从第2年开始每年的销售额为上一年的倍，则该公司从第1年到第11年（含第11年）的销售总额为（ ）（参考数据：取）
A．万元 B．万元 C．万元 D．万元
6．在等比数列中，的前项之积为，则的公比（ ）
A． B． C．2 D．
7．已知数列满足，且，则下列说法中错误的是（ ）
A．若，则是等差数列
B．若，则是等差数列
C．若，则是等比数列
D．若，则是等比数列
8．已知数列满足，其前项和为，设函数，则（ ）
A．0 B．1 C．1012 D．2024
二、多选题
9．在等比数列中，，，记为数列的前项和，为数列的前项和，则下列结论正确的是（ ）
A． B．是等比数列 C． D．
10．已知等比数列的前项和为，若，则数列的公比可能是（ ）
A．1 B． C．3 D．
11．若数列满足为数列的前项和，则（ ）
A． B．
C． D．
12．设数列满足：，则（ ）
A．是递减数列 B．是等比数列
C． D．当时，
三、填空题
13．已知等比数列满足，公比为q，前n项和为，令，若为递增数列，则q的取值范围为 ．
14．若数列为首项为1，公比为3的等比数列，则 .
15．等比数列中，，，则 ．
16．已知数列的前项和为，且，，则 ；若，则的最小值为 .
四、解答题
17．已知数列满足，.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)若，求数列的前项和.
18．已知数列中，.
(1)求证：数列是等比数列；并求出数列的通项公式
(2)设数列的前项和为，求满足的的最小值.
19．已知等差数列的前项和为，，，数列的前项和为，且.
(1)求数列和的通项公式；
(2)令，证明：数列的前项和.
20．已知等差数列的前项和为，，正项等比数列满足，，．
(1)求数列，的通项公式．
(2)记，求数列的前项和．
21．记数列的前n项和为，对任意正整数n，有，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，求证：.
22．已知数列满足：对任意正整数，都有.
(1)若，求的值；
(2)设，且，求证：是等差数列，并求的前项和；
(3)若是公比为的等比数列，求的值.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．A
【分析】根据等比数列的性质和前n项和公式求解.
【详解】设等比数列的公比为．
因为，，
所以，
即，
化简，得，
即．
因为，所以，
所以．
故选：A．
2．D
【分析】将已知条件变形得到为等比数列，由此求解出的通项以及的表达式，从而可求解出结果.
【详解】因为，则，即，
得，且，
故是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以，
所以，
所以．
故选：D.
3．B
【分析】根据等比数列的通项公式，结合等差数列的前项和公式、充分性和必要性的定义进行判断即可.
【详解】因为等比数列公比为，
所以，
当时，，，显然数列为不是递增数列；
当“数列为递增数列”时，有，
因为，所以如果，例如，显然有，，显然数列为不是递增数列，
因此有，，
所以由，
当时，显然对于恒成立，
当时，对于不一定恒成立，例如；
当时，对于不一定恒成立，例如；
当时，对于恒不成立，
因此“”是“数列为递增数列”的必要不充分条件，
故选：B
4．C
【分析】根据韦达定理与判别式可得的关系，根据等差数列与等比数列分情况讨论，，满足的关系求得，即可求出，再解即可.
【详解】因为，是函数的两个不同的零点，
则，，且；
不妨设，因为，，可排列成等差数列，则等差数列为或，故，
又排成等比数列，则等比数列为或，故.
故， 即，解得，.
故，，则不等式，解得.
故选：C
5．D
【分析】根据题意，由条件可得数列是首项为a，公比为的等比数列，结合等比数列的前项和公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】设第年的销售额为万元，
依题意可得数列是首项为a，公比为的等比数列，
则该公司从第1年到第11年的销售总额为万元．
故选：D
6．D
【分析】根据题意，化简得到，进而求得数列的公比，得到答案.
【详解】由等比数列中，的前项之积为，可得，
因为，所以，可得.
故选：D.
7．B
【分析】根据题意给出的条件进行化简，并结合等差数列、等比数列知识进行逐项求解判断.
【详解】对于A项：，得：，
因为：，所以得：，
所以：为等差数列，故A项正确；
对于B项：，，所以：，，
不满足等差数列，故B项错误；
对于C项：，，所以：，故：，
数列为等比数列，故C项正确
对于D项：，得：，
因为：，所以：，即：，
所以：为等比数列，故D项正确.
故选：B.
8．C
【分析】由可得，从而可得，又由可得，从而利用倒序求和法即可求解.
【详解】因为，
所以，
所以，
因为，
所以，，…，，以上各式相加，
.
故选：C
9．BD
【分析】根据等比数列的定义、通项公式以及求和公式逐项分析判断.
【详解】设等比数列的公比为，
由题意可得，解得，
则，，
可得，，故AC错误；
又因为，所以是首项，4为公比的等比数列，
则，可得，故BD正确；
故选：BD.
10．AB
【分析】讨论与两种情况，求得或即可．
【详解】设数列的公比为，若，
则，满足题意；
若，由，得，解得，
综上，或．
故选：AB.
11．BCD
【分析】先用退位相减法求出，再用分组求和法求出，即可判定选项A,B；采取一定的放缩后裂项相消求和，即可判定选项C；用错位相减法即可求出，则选项D可判定.
【详解】因为
当时，，
当时，可得
原式与之相减可得
则可得
所以数列是从第二项开始为常数数列，
又，可得，即，
所以，
当时，
，
当时，也符合上式，故，
故选项A错误，选项B正确；
，
当时，
当时
，
故选项C正确；
因为，
所以；
所以
两式相减可得：
，
故选项D正确；
故选：BCD.
12．ACD
【分析】由数列的递推关系可得数列是以为首项，为公差的等差数列，则得，再根据数列的性质逐项判断即可.
【详解】因为，所以
则，所以，即
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，故B不正确；
则，故
所以，所以数列是递减数列，故A正确；
则，所以，故C正确；
则当时，，故D正确.
故选：ACD.
13．
【分析】需对和分类讨论，求出的通项公式，结合为递增数列，由即可求解.
【详解】由题可知，则有：
当时，，，，
要使为递增数列，则，显然满足，故符合题意；
当时，，则，，
要使为递增数列，
，
则，，故，
综上所述，
故答案为：
14．13
【分析】根据等比数列前项和公式即可.
【详解】由题意得，公比，
则数列前项和，所以，
故答案为：13.
15．108
【分析】根据等比数列的性质可得，求得，继而根据求得答案.
【详解】由题意等比数列中，，，
设等比数列的公比为q，则，
故，
故答案为：108
16． 4 8
【分析】求出，再由递推关系得出数列的奇数与偶数项分别成等比数列，从而可得数列的前几项，利用是递增数列，求出和在30左右的后可得的最小值．
【详解】∵，∴，，
∵，∴的奇数与偶数项分别成等比数列，，各项均为正，
因此是递增数列，数列的前几项依次为：
，，
∴的最小值是8，
故答案为：4；8
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）对两边取对数，即可得到，从而得证；
（2）由（1）可得，再利用错位相减法计算可得.
【详解】（1）因为，，
所以，即，又，
所以是以为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）可得，
所以，
则，
所以，
则上式作差得，
所以.
18．(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）利用等比数列的定义即可得证；利用等比数列的通项公式即可得解；
（2）利用等比数列的前项和公式将不等式转化为，从而得解.
【详解】（1）因为，
所以，则，
又，所以，易得，所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，则.
（2）由（1）得，
，
故由，得，
则，即，即，
因为，又，所以，
故的最小值为.
19．(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）根据条件列方程求出首项和公差可得数列的通项公式，通过可得数列是等比数列，利用等比数列的通项公式可得的通项公式；
（2）利用错位相减法可得，然后观察可证明结论.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
则，解得，
，
，
，
两式相减可得，即
又，得，，
数列是以为首项，2为公比的等比数列
；
（2）由（1）得，
，
，
两式相减得
，
，
.
20．(1)，
(2)
【分析】（1）依题意，设出等差数列的公差，由等比数列各项为正，设出等比数列的公比，，且，由已知条件列出方程组求解可得和的值，再利用通项公式写出通项即可.
（2）由（1）中所求通项，可求得，从而得出，采用裂项相消法即可求得.
【详解】（1）依题意，设等差数列的公差为，等比数列的公比为（且），
由题意得，即，
解得：或（舍去），
故，.
（2）由（1）知，，，则，
所以，
所以
所以．
21．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据数列递推式，利用可得，利用累乘法，结合验证首项，即可求得答案；
（2）由（1）可得的表达式，利用错位相减法可求得，即可证明结论.
【详解】（1）由题意对任意正整数n，有，
则时，，即；
当时，，则，
即，即，
故时，，
也适合上式，故；
（2）证明：由（1）可得，
故，
则，
故
，
故，由于，故，
故.
22．(1)，
(2)证明见解析，前项为
(3)
【分析】（1）利用计算可得答案；
（2）令可得，令，有，可求出，令可得是等差数列，再求前项和可得答案；
（3）设、，得关于的方程，解方程后验证可得答案.
【详解】（1）因为，
所以，
解得，
所以，所以；
（2）令，有，可得，
令，有，
所以，可得，
令，所以，
所以，可得，，
所以是以为首项为公差的等差数列，
且，
所以的前项和为；
（3）设，得，所以，
设，得，所以，
两式相减可得，
解得，或，或.
当，时，成立；
当，或时，若，
则对任意正整数恒成立，则为定值，
显然不成立，不符合题意；
所以.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知等比数列的前项和为，且公比大于1．若，则（ ）
A．28 B．21 C．7 D．7或28
2．已知数列满足，设的前项和为，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．2
3．等比数列公比为，，若（），则“”是“数列为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．若，是函数的两个不同的零点，且，，这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
5．已知某公司第1年的销售额为a万元，假设该公司从第2年开始每年的销售额为上一年的倍，则该公司从第1年到第11年（含第11年）的销售总额为（ ）（参考数据：取）
A．万元 B．万元 C．万元 D．万元
6．在等比数列中，的前项之积为，则的公比（ ）
A． B． C．2 D．
7．已知数列满足，且，则下列说法中错误的是（ ）
A．若，则是等差数列
B．若，则是等差数列
C．若，则是等比数列
D．若，则是等比数列
8．已知数列满足，其前项和为，设函数，则（ ）
A．0 B．1 C．1012 D．2024
二、多选题
9．在等比数列中，，，记为数列的前项和，为数列的前项和，则下列结论正确的是（ ）
A． B．是等比数列 C． D．
10．已知等比数列的前项和为，若，则数列的公比可能是（ ）
A．1 B． C．3 D．
11．若数列满足为数列的前项和，则（ ）
A． B．
C． D．
12．设数列满足：，则（ ）
A．是递减数列 B．是等比数列
C． D．当时，
三、填空题
13．已知等比数列满足，公比为q，前n项和为，令，若为递增数列，则q的取值范围为 ．
14．若数列为首项为1，公比为3的等比数列，则 .
15．等比数列中，，，则 ．
16．已知数列的前项和为，且，，则 ；若，则的最小值为 .
四、解答题
17．已知数列满足，.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)若，求数列的前项和.
18．已知数列中，.
(1)求证：数列是等比数列；并求出数列的通项公式
(2)设数列的前项和为，求满足的的最小值.
19．已知等差数列的前项和为，，，数列的前项和为，且.
(1)求数列和的通项公式；
(2)令，证明：数列的前项和.
20．已知等差数列的前项和为，，正项等比数列满足，，．
(1)求数列，的通项公式．
(2)记，求数列的前项和．
21．记数列的前n项和为，对任意正整数n，有，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，求证：.
22．已知数列满足：对任意正整数，都有.
(1)若，求的值；
(2)设，且，求证：是等差数列，并求的前项和；
(3)若是公比为的等比数列，求的值.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．A
【分析】根据等比数列的性质和前n项和公式求解.
【详解】设等比数列的公比为．
因为，，
所以，
即，
化简，得，
即．
因为，所以，
所以．
故选：A．
2．D
【分析】将已知条件变形得到为等比数列，由此求解出的通项以及的表达式，从而可求解出结果.
【详解】因为，则，即，
得，且，
故是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以，
所以，
所以．
故选：D.
3．B
【分析】根据等比数列的通项公式，结合等差数列的前项和公式、充分性和必要性的定义进行判断即可.
【详解】因为等比数列公比为，
所以，
当时，，，显然数列为不是递增数列；
当“数列为递增数列”时，有，
因为，所以如果，例如，显然有，，显然数列为不是递增数列，
因此有，，
所以由，
当时，显然对于恒成立，
当时，对于不一定恒成立，例如；
当时，对于不一定恒成立，例如；
当时，对于恒不成立，
因此“”是“数列为递增数列”的必要不充分条件，
故选：B
4．C
【分析】根据韦达定理与判别式可得的关系，根据等差数列与等比数列分情况讨论，，满足的关系求得，即可求出，再解即可.
【详解】因为，是函数的两个不同的零点，
则，，且；
不妨设，因为，，可排列成等差数列，则等差数列为或，故，
又排成等比数列，则等比数列为或，故.
故， 即，解得，.
故，，则不等式，解得.
故选：C
5．D
【分析】根据题意，由条件可得数列是首项为a，公比为的等比数列，结合等比数列的前项和公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】设第年的销售额为万元，
依题意可得数列是首项为a，公比为的等比数列，
则该公司从第1年到第11年的销售总额为万元．
故选：D
6．D
【分析】根据题意，化简得到，进而求得数列的公比，得到答案.
【详解】由等比数列中，的前项之积为，可得，
因为，所以，可得.
故选：D.
7．B
【分析】根据题意给出的条件进行化简，并结合等差数列、等比数列知识进行逐项求解判断.
【详解】对于A项：，得：，
因为：，所以得：，
所以：为等差数列，故A项正确；
对于B项：，，所以：，，
不满足等差数列，故B项错误；
对于C项：，，所以：，故：，
数列为等比数列，故C项正确
对于D项：，得：，
因为：，所以：，即：，
所以：为等比数列，故D项正确.
故选：B.
8．C
【分析】由可得，从而可得，又由可得，从而利用倒序求和法即可求解.
【详解】因为，
所以，
所以，
因为，
所以，，…，，以上各式相加，
.
故选：C
9．BD
【分析】根据等比数列的定义、通项公式以及求和公式逐项分析判断.
【详解】设等比数列的公比为，
由题意可得，解得，
则，，
可得，，故AC错误；
又因为，所以是首项，4为公比的等比数列，
则，可得，故BD正确；
故选：BD.
10．AB
【分析】讨论与两种情况，求得或即可．
【详解】设数列的公比为，若，
则，满足题意；
若，由，得，解得，
综上，或．
故选：AB.
11．BCD
【分析】先用退位相减法求出，再用分组求和法求出，即可判定选项A,B；采取一定的放缩后裂项相消求和，即可判定选项C；用错位相减法即可求出，则选项D可判定.
【详解】因为
当时，，
当时，可得
原式与之相减可得
则可得
所以数列是从第二项开始为常数数列，
又，可得，即，
所以，
当时，
，
当时，也符合上式，故，
故选项A错误，选项B正确；
，
当时，
当时
，
故选项C正确；
因为，
所以；
所以
两式相减可得：
，
故选项D正确；
故选：BCD.
12．ACD
【分析】由数列的递推关系可得数列是以为首项，为公差的等差数列，则得，再根据数列的性质逐项判断即可.
【详解】因为，所以
则，所以，即
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，故B不正确；
则，故
所以，所以数列是递减数列，故A正确；
则，所以，故C正确；
则当时，，故D正确.
故选：ACD.
13．
【分析】需对和分类讨论，求出的通项公式，结合为递增数列，由即可求解.
【详解】由题可知，则有：
当时，，，，
要使为递增数列，则，显然满足，故符合题意；
当时，，则，，
要使为递增数列，
，
则，，故，
综上所述，
故答案为：
14．13
【分析】根据等比数列前项和公式即可.
【详解】由题意得，公比，
则数列前项和，所以，
故答案为：13.
15．108
【分析】根据等比数列的性质可得，求得，继而根据求得答案.
【详解】由题意等比数列中，，，
设等比数列的公比为q，则，
故，
故答案为：108
16． 4 8
【分析】求出，再由递推关系得出数列的奇数与偶数项分别成等比数列，从而可得数列的前几项，利用是递增数列，求出和在30左右的后可得的最小值．
【详解】∵，∴，，
∵，∴的奇数与偶数项分别成等比数列，，各项均为正，
因此是递增数列，数列的前几项依次为：
，，
∴的最小值是8，
故答案为：4；8
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）对两边取对数，即可得到，从而得证；
（2）由（1）可得，再利用错位相减法计算可得.
【详解】（1）因为，，
所以，即，又，
所以是以为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）可得，
所以，
则，
所以，
则上式作差得，
所以.
18．(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）利用等比数列的定义即可得证；利用等比数列的通项公式即可得解；
（2）利用等比数列的前项和公式将不等式转化为，从而得解.
【详解】（1）因为，
所以，则，
又，所以，易得，所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，则.
（2）由（1）得，
，
故由，得，
则，即，即，
因为，又，所以，
故的最小值为.
19．(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）根据条件列方程求出首项和公差可得数列的通项公式，通过可得数列是等比数列，利用等比数列的通项公式可得的通项公式；
（2）利用错位相减法可得，然后观察可证明结论.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
则，解得，
，
，
，
两式相减可得，即
又，得，，
数列是以为首项，2为公比的等比数列
；
（2）由（1）得，
，
，
两式相减得
，
，
.
20．(1)，
(2)
【分析】（1）依题意，设出等差数列的公差，由等比数列各项为正，设出等比数列的公比，，且，由已知条件列出方程组求解可得和的值，再利用通项公式写出通项即可.
（2）由（1）中所求通项，可求得，从而得出，采用裂项相消法即可求得.
【详解】（1）依题意，设等差数列的公差为，等比数列的公比为（且），
由题意得，即，
解得：或（舍去），
故，.
（2）由（1）知，，，则，
所以，
所以
所以．
21．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据数列递推式，利用可得，利用累乘法，结合验证首项，即可求得答案；
（2）由（1）可得的表达式，利用错位相减法可求得，即可证明结论.
【详解】（1）由题意对任意正整数n，有，
则时，，即；
当时，，则，
即，即，
故时，，
也适合上式，故；
（2）证明：由（1）可得，
故，
则，
故
，
故，由于，故，
故.
22．(1)，
(2)证明见解析，前项为
(3)
【分析】（1）利用计算可得答案；
（2）令可得，令，有，可求出，令可得是等差数列，再求前项和可得答案；
（3）设、，得关于的方程，解方程后验证可得答案.
【详解】（1）因为，
所以，
解得，
所以，所以；
（2）令，有，可得，
令，有，
所以，可得，
令，所以，
所以，可得，，
所以是以为首项为公差的等差数列，
且，
所以的前项和为；
（3）设，得，所以，
设，得，所以，
两式相减可得，
解得，或，或.
当，时，成立；
当，或时，若，
则对任意正整数恒成立，则为定值，
显然不成立，不符合题意；
所以.
答案第1页，共2页
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