4.4数学归纳法 同步练习2023——2024学年上学期高二数学人教A版（2019）选择性必修第二册（含解析）
文档属性
| 名称 | 4.4数学归纳法 同步练习2023——2024学年上学期高二数学人教A版（2019）选择性必修第二册（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-23 17:14:09 | ||
图片预览
文档简介
4.4数学归纳法同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．数列满足，下列说法正确的是（ ）
A．若，则是递减数列，，使得时，
B．若，则是递增数列，，使得时，
C．若，则是递减数列，，使得时，
D．若，则是递增数列，，使得时，
2．用数学归纳法证明不等式：，从到时，不等式左边需要增加的项为（ ）
A． B．
C． D．
3．用数学归纳法证明，从到，左边需要增乘的代数式为（ ）
A． B． C． D．
4．在正项数列中，，，则（ ）
A．为递减数列 B．为递增数列
C．先递减后递增 D．先递增后递减
5．用数学归纳法证明“对任意的，”，第一步应该验证的等式是（ ）
A． B．
C． D．
6．用数学归纳法证明不等式的过程中，由递推到时，不等式左边（ ）
A．增加了 B．增加了
C．增加了 D．增加了
7．某个与自然数有关的命题，如果当时该命题成立，可推得时该命题也成立，那么，若已知时该命题不成立，则可推得（ ）
A．当时，该命题不成立 B．当时，该命题成立
C．当时，该命题不成立 D．当时，该命题成立
8．用数学归纳法证明“”的过程中，从到时，左边增加的项数为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知数列的首项为，且满足，则以下说法正确的是（ ）
A．数列的最大项为2 B．数列没有最小项
C．数列是递减数列 D．，都有
10．数列满足（且），则（ ）
A．若，则数列是等比数列 B．若，则数列是等差数列
C．若，则数列中存在最大项与最小项 D．若，则
11．已知数列满足，，则（ ）
A． B．
C． D．
12．“冰雹猜想”也称为“角谷猜想”，是指对于任意一个正整数，如果是奇数 乘以3再加1，如果是偶数就除以2，这样经过若干次操作后的结果必为1，犹如冰雹掉落的过程.参照“冰雹猜想”，提出了如下问题：设，各项均为正整数的数列满足，则（ ）
A．当时，
B．当时，
C．当为奇数时，
D．当为偶数时，是递增数列
三、填空题
13．用数学归纳法证明时，从 “到”左边需要增加的代数式是
14．用数学归纳法证明： 时，在第二步证明从到成立时，左边增加的项数是
15．若，，（是正整数），写出数列的前几项后猜测 ．
16．设数列的前n项和为，且对任意的正整数n都有，则 ；进一步通过计算求得，，猜想 .
四、解答题
17．对于数列定义为的差数列，为的累次差数列.如果的差数列满足，，则称是“绝对差异数列”；如果的累次差数列满足，，则称是“累差不变数列”.
(1)设数列：2，4，8，10，14，16；：6，1，5，2，4，3，判断数列和数列是否为“绝对差异数列”或“累差不变数列”，直接写出你的结论；
(2)若无穷数列既是“绝对差异数列”又是“累差不变数列”，且的前两项，，（为大于0的常数），求数列的通项公式；
(3)已知数列：是“绝对差异数列”，且.证明：的充要条件是.
18．数列满足为正整数.
(1)试确定实数的值，使得数列为等差数列；
(2)当数列为等差数列时，等比数列的通项公式为，对每个正整数，在和之间插入个2，得到一个新数列，设是数列的前项和，试求满足的所有正整数.
19．已知函数.
(1)依次求，，的值；
(2)对任意正整数n，记，即.猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明.
20．设，．
(1)当时，计算的值；
(2)你对的值有何猜想？用数学归纳法证明你的猜想．
21．设数列的各项均为正整数，且．记．如果对于所有的正整数均有．
(1)求，，，，；
(2)猜想的通项公式，并加以证明．
22．设数列满足，．
(1)计算，猜想的通项公式并加以证明；
(2)求数列，求的前项和．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．B
【分析】由，得到，再逐项判断.
【详解】解：因为，所以，
当时，则，，设，则，所以是递减数列，当，，故A错误；
当时，，，又，所以，设，则，即，又因为，所以，所以，，故B正确；
当时，，，所以是递减数列，当时，，故不存在，使得时，恒成立，故C错误；
当时，则，，设，则，所以是递增数列，当，，故D错误；
故选：B
2．D
【分析】根据归纳法即可得到答案.
【详解】解：根据数学归纳法可知：
当时，
当时，
相比从到，可知多增加的项为
故选：D
3．B
【分析】分别求出时左端的表达式，和时左端的表达式，比较可得“n从到”左端需增乘的代数式．
【详解】解：当时，左端＝，
当时，左端＝，
故左边要增乘的代数式为.
故选：B．
4．A
【分析】先判断大小关系，进而假设数列单调性，利用数学归纳法证明即可得结论.
【详解】由，且，
显然成立，
假设，成立，
当时，则，
所以，故为递减数列.
故选：A
5．B
【分析】由数学归纳法相关步骤可得答案.
【详解】因，则第一步应验证当时，是否成立.
故选：B
6．C
【分析】列出和的情况，比较得到答案.
【详解】当时，，
当时，，
故增加了，但减少了.
故选：C.
7．C
【分析】根据逆否命题与原命题真假性一致可得出结论.
【详解】可得题干等价于其逆否命题：当时该命题不成立，则可推得时该命题也不成立．
所以，当时该命题不成立，则当时，该命题也不成立，
当时，该命题不成立，则当时，该命题也不成立.
故选：C.
8．A
【分析】运用数学归纳法，分别给出和时的表达式，来确定增加的项数
【详解】解：时，可得：
时，可得：，
故增加了项.
故选：A
9．ACD
【分析】根据题意利用数学归纳法可得，，进而判断ABD；对于C：根据题意结合数列单调性的定义分析判断.
【详解】因为，，令，可得，
且
1.先证，证明如下：
当时，；
假设当时，；
则当时，则有：
因为，可得，
所以；
2.再证，证明如下：
当时，；
假设当时，；
则当时，则有
因为，可得，
所以；
综上所述：，，
可在数列的最大项为2，最小项为1，故A正确，B错误；
对，都有，故D正确；
因为当时，，可知，
即当时，，
可得，则，
可得，
可知，
对于，可知其开口向上，对称轴为，
且，则对任意恒成立，
所以对于任意恒成立，
可得，即，
所以数列是递减数列，故C正确；
故选：ACD.
10．ABD
【分析】由等比数列和等差数列的概念可判断A，B，利用B中结论求得，利用函数单调性可判断C，利用数学归纳法及作差法判断选项D．
【详解】选项A，因为若，，
所以，，…，，
即，，是等比数列，故A正确；
选项B，令，而，
，
又，数列是以1为公差的等差数列，故B正确；
选项C，由选项B的结论及可知：，
，显然，数列在上单调递减，
故当时，有最大值2，没有最小值，故C错误；
选项D，用数学归纳法证明，
(1)当时，，
(2)假设当，时，不等式成立，即，即，
当时，，满足，
故当时，不等式也成立，
综合(1)(2)，对任意，有，
下面证明，
，
，上面不等式中的等号不成立，
，，
故，故D正确．
故选：ABD．
11．BCD
【分析】先证明是递增数列，且各项均为正，由递推公式求得发现A错误，然后由递推关系利用基本不等式变成不等式，让依次减1进行归纳得出B正确，由递推式适当放缩得，这样对进行归纳得出，此不等式两边取以2为底的对数可证明选项D，对由指数幂运算法则变形为，然后证明，再结合是正整数可得证C．
【详解】，∴，是递增数列，
又，所以，，，，，A显然错误；
，∴，B正确；
对选项C，，
∴，依此类推：
，
，下证，
时，，
时，，
时，，
假设时，成立，，
则时，，
所以对任意不小于3的正整数，，
所以，又是正整数，所以，C正确；
对选项D，由选项C得，所以， D正确．
故选：BCD．
12．ACD
【分析】当时，结合条件求出可判断A，求出可判断B；由数学归纳法可证明C；据与零的关系，判断数列单调递增可判断D.
【详解】对于A，当时，，
，，，，
，故A正确；
对于B，当时，由A选项知：，故B不正确；
对于C，因为，当为奇数时，且为偶数，．
假设为奇数时， ；为偶数时，．
当为奇数时，，且为偶数；
当为偶数时，．
所以若为奇数，则；若为偶数，则．
因此对都有，故C正确；
对于D，当为偶数时，若为奇数，则为奇数．
因为为奇数，所以归纳可得，对，均为奇数，则，
所以，
所以数列单调递增，故D正确.
故选：ACD.
13．
【分析】利用数学归纳法的步骤计算即可.
【详解】把和代入等式左边分别可得：
①
②
两式作差得.
故答案为：
14．
【分析】分别写出和时不等式的左边的式子，比较即可求得答案.
【详解】由题意知时，左边式子为，
时，左边式子为，
故增加的项数为 ，
故答案为：
15．3
【分析】计算出前几项，得出是周期为6的数列，即可根据周期得出答案.
【详解】，，
则，
，
，
，
，
，
即，，所以是周期为6的数列，
，
，
故答案为：3.
16． /0.5
【分析】根据给定递推公式结合计算即得；由给定递推公式及当时依次计算即可得解.
【详解】因数列的前n项和为，且都有，
则有，解得，
所以；
因当时，则由及，解得，
由及，解得，
由，，，猜想.
故答案为：；
17．(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据定义分析判断即可；
（2）根据题意分析可知为定值，利用累加法结合等差数列运算求解；
（3）根据“绝对差异数列”结合充分、必要条件分析证明.
【详解】（1）对于数列：2，4，8，10，14，16；可得：
差数列为：2，4，2，4，2，不满足，所以不是“绝对差异数列”；
累次差数列为：2，，2，，满足，所以是“累差不变数列”，
对于数列：6，1，5，2，4，3；可得：
差数列为：，4，，2，，不满足，所以不是“绝对差异数列”；
累次差数列为：9，，5，，不满足，所以不是“累差不变数列”.
（2）因为，则，
反证：假设不是定值，即存在，使得，
可得，即，
这与既是“绝对差异数列”相矛盾，假设不成立，所以为定值，
①若，即，
可知数列是以首项为，公差为的等差数列，
当时，则
，
当时，符合上式，
综上所述：；
②若，同理可得；
综上所述：若，；
若，.
（3）因为，根据集合的互异性可知，，
则，
又因为数列是“绝对差异数列”，则，，
充分性：若，
可得，
即，所以，
若差数列为，符合的排序只能为；
若差数列为，符合的排序只能为或，
若差数列为，符合的排序只能为或，
若差数列为，符合的排序只能为或或或，
若排序为，则当差数列为时，无法排序，不合题意；
若排序为，则当差数列为时，无法排序，不合题意；
所以符合的排序只能为或，
利用数学归纳法证明：当差数列为，符合的排序为，
显然，符合题意；
假设在差数列有意义的前提下：
当差数列为，符合的排序为；
则当差数列为时，符合的排序为或，
当差数列为时，
对于可得符合的排序为；
对于，无法排序；
所以符合的排序为，
即当差数列为，符合的排序为；
所以当差数列为，符合的排序为，成立；
同理可证：当差数列为，符合的另一种排序为；
依次类推，可得其排列为或，
所以，故充分性成立；
若，则，
若差数列为，则符合的排序为或，
若差数列为，则符合的排序为或或或，
若差数列为，则符合的排序为或，
因为的排序为，不合题意，
的排序为，不合题意，
所以若差数列为，则符合的排序为，
若差数列为，则符合的排序为或，
若差数列为，则符合的排序为或，
利用数学归纳法证明：当差数列为时，符合的的排序为，
当时，成立；
假设在差数列有意义的前提下：
当差数列为，符合的排序为；
当差数列为，符合的排序为或，
当差数列为，
对于可得排序为，
对于则无法排序，
所以当差数列为，符合的排序为；
同理可证：当差数列为，符合的排序为；
此时满足数列是“绝对差异数列”的排序只有两种：
或，
则
，必要性成立；
所以的充要条件是.
【点睛】方法点睛：本题主要考查数列新定义的问题，处理此类问题时，通常根据题中新定义的概念，结合已知结论求解，根据题中的定义，结合等差数的通项公式与求和公式进行求解.
18．(1)；
(2).
【分析】（1）由已知有，写出前3项并利用等差中项的性质列方程求t即可.
（2）根据（2）和题设列举数列，易判断不合题意，适合题意，要使时成立，必为中一项得整理化简有，结合数学归纳法判断上述等式恒不成立，即可得结果.
【详解】（1）由，得，于是，
由，可得，此时，
由知：此时数列为等差数列.
（2）由（2）及题设知：为，
则，显然不合题意，适合题意，
当时，若后添入，则，不合题意，
从而必是数列中的某一项，则，
则 即，整理，
显然k=1，2，3，4不是该方程的解，而当时，成立，证明如下：
当n = 5时，，左边大于右边，不等式成立；
假设时，成立，
当时，
因此当时，不等式成立，
所以恒成立，即无正整数解．
所以满足题意的正整数仅有.
【点睛】关键点睛：涉及给出递推公式探求数列规律的问题，按条件写出变量的前几个取值对应数列，认真分析每个变量对应的数列，找准变化规律是解决问题的关键.
19．(1)，，；
(2)猜想，证明见解析
【详解】（1），，，，
，，，
所以，，；
（2），，，
所以猜想，
当时，，成立，
假设当时，命题成立，即，
即
那么当时，，
，
，
，
所以当时，猜想成立，
综合以上可知，当时，成立.
20．(1)8，32，144，680；
(2)猜想：当时，能被8整除，证明见解析.
【分析】（1）根据给定关系式，代入计算作答.
（2）由（1）的结果，猜想结论，再利用数学归纳法证明作答.
【详解】（1）由，，得；
；；
．
（2）由（1）猜想：当时，能被8整除．
①当时，有，能被8整除，命题成立；
②假设当时命题成立，即能被8整除，
则当时，
，
显然和均为奇数，它们的和必为偶数，从而能被8整除，
又依归纳假设，能被8整除，所以能被8整除，因此当时命题也成立，
由①②知，当时，能被8整除.
21．(1)，，，，
(2)，证明见解析
【分析】（1）利用代入法进行求解即可；
（2）根据前五项的特点进行猜想，然后利用数学归纳法进行证明即可.
【详解】（1）因为数列的各项均为正整数，
所以数列是递增数列，
因为，，
所以舍去，
同理可得：舍去，舍去，舍去，
所以，，，，；
（2）猜想：，证明过程如下：
当时，显然成立，
假设当时成立，即，
当时，，
解得：，或，
因为数列的各项均为正整数，
所以数列是递增数列，
显然，
所以，舍去，
所以当时，成立，
综上所述：
22．(1)，，，猜想，证明见解析
(2)
【分析】（1）利用递推关系式可求得，由此可猜想得到通项公式；利用数学归纳法可证得通项公式成立；
（2）由（1）可得，采用错位相减法可求得.
【详解】（1）由，得：；；；
由此可猜想，证明如下：
当时，，即成立；
假设当时，成立，
那么当时，，即成立；
综上所述：当时，.
（2）由（1）得：，
，，
两式作差得：，
.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．数列满足，下列说法正确的是（ ）
A．若，则是递减数列，，使得时，
B．若，则是递增数列，，使得时，
C．若，则是递减数列，，使得时，
D．若，则是递增数列，，使得时，
2．用数学归纳法证明不等式：，从到时，不等式左边需要增加的项为（ ）
A． B．
C． D．
3．用数学归纳法证明，从到，左边需要增乘的代数式为（ ）
A． B． C． D．
4．在正项数列中，，，则（ ）
A．为递减数列 B．为递增数列
C．先递减后递增 D．先递增后递减
5．用数学归纳法证明“对任意的，”，第一步应该验证的等式是（ ）
A． B．
C． D．
6．用数学归纳法证明不等式的过程中，由递推到时，不等式左边（ ）
A．增加了 B．增加了
C．增加了 D．增加了
7．某个与自然数有关的命题，如果当时该命题成立，可推得时该命题也成立，那么，若已知时该命题不成立，则可推得（ ）
A．当时，该命题不成立 B．当时，该命题成立
C．当时，该命题不成立 D．当时，该命题成立
8．用数学归纳法证明“”的过程中，从到时，左边增加的项数为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知数列的首项为，且满足，则以下说法正确的是（ ）
A．数列的最大项为2 B．数列没有最小项
C．数列是递减数列 D．，都有
10．数列满足（且），则（ ）
A．若，则数列是等比数列 B．若，则数列是等差数列
C．若，则数列中存在最大项与最小项 D．若，则
11．已知数列满足，，则（ ）
A． B．
C． D．
12．“冰雹猜想”也称为“角谷猜想”，是指对于任意一个正整数，如果是奇数 乘以3再加1，如果是偶数就除以2，这样经过若干次操作后的结果必为1，犹如冰雹掉落的过程.参照“冰雹猜想”，提出了如下问题：设，各项均为正整数的数列满足，则（ ）
A．当时，
B．当时，
C．当为奇数时，
D．当为偶数时，是递增数列
三、填空题
13．用数学归纳法证明时，从 “到”左边需要增加的代数式是
14．用数学归纳法证明： 时，在第二步证明从到成立时，左边增加的项数是
15．若，，（是正整数），写出数列的前几项后猜测 ．
16．设数列的前n项和为，且对任意的正整数n都有，则 ；进一步通过计算求得，，猜想 .
四、解答题
17．对于数列定义为的差数列，为的累次差数列.如果的差数列满足，，则称是“绝对差异数列”；如果的累次差数列满足，，则称是“累差不变数列”.
(1)设数列：2，4，8，10，14，16；：6，1，5，2，4，3，判断数列和数列是否为“绝对差异数列”或“累差不变数列”，直接写出你的结论；
(2)若无穷数列既是“绝对差异数列”又是“累差不变数列”，且的前两项，，（为大于0的常数），求数列的通项公式；
(3)已知数列：是“绝对差异数列”，且.证明：的充要条件是.
18．数列满足为正整数.
(1)试确定实数的值，使得数列为等差数列；
(2)当数列为等差数列时，等比数列的通项公式为，对每个正整数，在和之间插入个2，得到一个新数列，设是数列的前项和，试求满足的所有正整数.
19．已知函数.
(1)依次求，，的值；
(2)对任意正整数n，记，即.猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明.
20．设，．
(1)当时，计算的值；
(2)你对的值有何猜想？用数学归纳法证明你的猜想．
21．设数列的各项均为正整数，且．记．如果对于所有的正整数均有．
(1)求，，，，；
(2)猜想的通项公式，并加以证明．
22．设数列满足，．
(1)计算，猜想的通项公式并加以证明；
(2)求数列，求的前项和．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．B
【分析】由，得到，再逐项判断.
【详解】解：因为，所以，
当时，则，，设，则，所以是递减数列，当，，故A错误；
当时，，，又，所以，设，则，即，又因为，所以，所以，，故B正确；
当时，，，所以是递减数列，当时，，故不存在，使得时，恒成立，故C错误；
当时，则，，设，则，所以是递增数列，当，，故D错误；
故选：B
2．D
【分析】根据归纳法即可得到答案.
【详解】解：根据数学归纳法可知：
当时，
当时，
相比从到，可知多增加的项为
故选：D
3．B
【分析】分别求出时左端的表达式，和时左端的表达式，比较可得“n从到”左端需增乘的代数式．
【详解】解：当时，左端＝，
当时，左端＝，
故左边要增乘的代数式为.
故选：B．
4．A
【分析】先判断大小关系，进而假设数列单调性，利用数学归纳法证明即可得结论.
【详解】由，且，
显然成立，
假设，成立，
当时，则，
所以，故为递减数列.
故选：A
5．B
【分析】由数学归纳法相关步骤可得答案.
【详解】因，则第一步应验证当时，是否成立.
故选：B
6．C
【分析】列出和的情况，比较得到答案.
【详解】当时，，
当时，，
故增加了，但减少了.
故选：C.
7．C
【分析】根据逆否命题与原命题真假性一致可得出结论.
【详解】可得题干等价于其逆否命题：当时该命题不成立，则可推得时该命题也不成立．
所以，当时该命题不成立，则当时，该命题也不成立，
当时，该命题不成立，则当时，该命题也不成立.
故选：C.
8．A
【分析】运用数学归纳法，分别给出和时的表达式，来确定增加的项数
【详解】解：时，可得：
时，可得：，
故增加了项.
故选：A
9．ACD
【分析】根据题意利用数学归纳法可得，，进而判断ABD；对于C：根据题意结合数列单调性的定义分析判断.
【详解】因为，，令，可得，
且
1.先证，证明如下：
当时，；
假设当时，；
则当时，则有：
因为，可得，
所以；
2.再证，证明如下：
当时，；
假设当时，；
则当时，则有
因为，可得，
所以；
综上所述：，，
可在数列的最大项为2，最小项为1，故A正确，B错误；
对，都有，故D正确；
因为当时，，可知，
即当时，，
可得，则，
可得，
可知，
对于，可知其开口向上，对称轴为，
且，则对任意恒成立，
所以对于任意恒成立，
可得，即，
所以数列是递减数列，故C正确；
故选：ACD.
10．ABD
【分析】由等比数列和等差数列的概念可判断A，B，利用B中结论求得，利用函数单调性可判断C，利用数学归纳法及作差法判断选项D．
【详解】选项A，因为若，，
所以，，…，，
即，，是等比数列，故A正确；
选项B，令，而，
，
又，数列是以1为公差的等差数列，故B正确；
选项C，由选项B的结论及可知：，
，显然，数列在上单调递减，
故当时，有最大值2，没有最小值，故C错误；
选项D，用数学归纳法证明，
(1)当时，，
(2)假设当，时，不等式成立，即，即，
当时，，满足，
故当时，不等式也成立，
综合(1)(2)，对任意，有，
下面证明，
，
，上面不等式中的等号不成立，
，，
故，故D正确．
故选：ABD．
11．BCD
【分析】先证明是递增数列，且各项均为正，由递推公式求得发现A错误，然后由递推关系利用基本不等式变成不等式，让依次减1进行归纳得出B正确，由递推式适当放缩得，这样对进行归纳得出，此不等式两边取以2为底的对数可证明选项D，对由指数幂运算法则变形为，然后证明，再结合是正整数可得证C．
【详解】，∴，是递增数列，
又，所以，，，，，A显然错误；
，∴，B正确；
对选项C，，
∴，依此类推：
，
，下证，
时，，
时，，
时，，
假设时，成立，，
则时，，
所以对任意不小于3的正整数，，
所以，又是正整数，所以，C正确；
对选项D，由选项C得，所以， D正确．
故选：BCD．
12．ACD
【分析】当时，结合条件求出可判断A，求出可判断B；由数学归纳法可证明C；据与零的关系，判断数列单调递增可判断D.
【详解】对于A，当时，，
，，，，
，故A正确；
对于B，当时，由A选项知：，故B不正确；
对于C，因为，当为奇数时，且为偶数，．
假设为奇数时， ；为偶数时，．
当为奇数时，，且为偶数；
当为偶数时，．
所以若为奇数，则；若为偶数，则．
因此对都有，故C正确；
对于D，当为偶数时，若为奇数，则为奇数．
因为为奇数，所以归纳可得，对，均为奇数，则，
所以，
所以数列单调递增，故D正确.
故选：ACD.
13．
【分析】利用数学归纳法的步骤计算即可.
【详解】把和代入等式左边分别可得：
①
②
两式作差得.
故答案为：
14．
【分析】分别写出和时不等式的左边的式子，比较即可求得答案.
【详解】由题意知时，左边式子为，
时，左边式子为，
故增加的项数为 ，
故答案为：
15．3
【分析】计算出前几项，得出是周期为6的数列，即可根据周期得出答案.
【详解】，，
则，
，
，
，
，
，
即，，所以是周期为6的数列，
，
，
故答案为：3.
16． /0.5
【分析】根据给定递推公式结合计算即得；由给定递推公式及当时依次计算即可得解.
【详解】因数列的前n项和为，且都有，
则有，解得，
所以；
因当时，则由及，解得，
由及，解得，
由，，，猜想.
故答案为：；
17．(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据定义分析判断即可；
（2）根据题意分析可知为定值，利用累加法结合等差数列运算求解；
（3）根据“绝对差异数列”结合充分、必要条件分析证明.
【详解】（1）对于数列：2，4，8，10，14，16；可得：
差数列为：2，4，2，4，2，不满足，所以不是“绝对差异数列”；
累次差数列为：2，，2，，满足，所以是“累差不变数列”，
对于数列：6，1，5，2，4，3；可得：
差数列为：，4，，2，，不满足，所以不是“绝对差异数列”；
累次差数列为：9，，5，，不满足，所以不是“累差不变数列”.
（2）因为，则，
反证：假设不是定值，即存在，使得，
可得，即，
这与既是“绝对差异数列”相矛盾，假设不成立，所以为定值，
①若，即，
可知数列是以首项为，公差为的等差数列，
当时，则
，
当时，符合上式，
综上所述：；
②若，同理可得；
综上所述：若，；
若，.
（3）因为，根据集合的互异性可知，，
则，
又因为数列是“绝对差异数列”，则，，
充分性：若，
可得，
即，所以，
若差数列为，符合的排序只能为；
若差数列为，符合的排序只能为或，
若差数列为，符合的排序只能为或，
若差数列为，符合的排序只能为或或或，
若排序为，则当差数列为时，无法排序，不合题意；
若排序为，则当差数列为时，无法排序，不合题意；
所以符合的排序只能为或，
利用数学归纳法证明：当差数列为，符合的排序为，
显然，符合题意；
假设在差数列有意义的前提下：
当差数列为，符合的排序为；
则当差数列为时，符合的排序为或，
当差数列为时，
对于可得符合的排序为；
对于，无法排序；
所以符合的排序为，
即当差数列为，符合的排序为；
所以当差数列为，符合的排序为，成立；
同理可证：当差数列为，符合的另一种排序为；
依次类推，可得其排列为或，
所以，故充分性成立；
若，则，
若差数列为，则符合的排序为或，
若差数列为，则符合的排序为或或或，
若差数列为，则符合的排序为或，
因为的排序为，不合题意，
的排序为，不合题意，
所以若差数列为，则符合的排序为，
若差数列为，则符合的排序为或，
若差数列为，则符合的排序为或，
利用数学归纳法证明：当差数列为时，符合的的排序为，
当时，成立；
假设在差数列有意义的前提下：
当差数列为，符合的排序为；
当差数列为，符合的排序为或，
当差数列为，
对于可得排序为，
对于则无法排序，
所以当差数列为，符合的排序为；
同理可证：当差数列为，符合的排序为；
此时满足数列是“绝对差异数列”的排序只有两种：
或，
则
，必要性成立；
所以的充要条件是.
【点睛】方法点睛：本题主要考查数列新定义的问题，处理此类问题时，通常根据题中新定义的概念，结合已知结论求解，根据题中的定义，结合等差数的通项公式与求和公式进行求解.
18．(1)；
(2).
【分析】（1）由已知有，写出前3项并利用等差中项的性质列方程求t即可.
（2）根据（2）和题设列举数列，易判断不合题意，适合题意，要使时成立，必为中一项得整理化简有，结合数学归纳法判断上述等式恒不成立，即可得结果.
【详解】（1）由，得，于是，
由，可得，此时，
由知：此时数列为等差数列.
（2）由（2）及题设知：为，
则，显然不合题意，适合题意，
当时，若后添入，则，不合题意，
从而必是数列中的某一项，则，
则 即，整理，
显然k=1，2，3，4不是该方程的解，而当时，成立，证明如下：
当n = 5时，，左边大于右边，不等式成立；
假设时，成立，
当时，
因此当时，不等式成立，
所以恒成立，即无正整数解．
所以满足题意的正整数仅有.
【点睛】关键点睛：涉及给出递推公式探求数列规律的问题，按条件写出变量的前几个取值对应数列，认真分析每个变量对应的数列，找准变化规律是解决问题的关键.
19．(1)，，；
(2)猜想，证明见解析
【详解】（1），，，，
，，，
所以，，；
（2），，，
所以猜想，
当时，，成立，
假设当时，命题成立，即，
即
那么当时，，
，
，
，
所以当时，猜想成立，
综合以上可知，当时，成立.
20．(1)8，32，144，680；
(2)猜想：当时，能被8整除，证明见解析.
【分析】（1）根据给定关系式，代入计算作答.
（2）由（1）的结果，猜想结论，再利用数学归纳法证明作答.
【详解】（1）由，，得；
；；
．
（2）由（1）猜想：当时，能被8整除．
①当时，有，能被8整除，命题成立；
②假设当时命题成立，即能被8整除，
则当时，
，
显然和均为奇数，它们的和必为偶数，从而能被8整除，
又依归纳假设，能被8整除，所以能被8整除，因此当时命题也成立，
由①②知，当时，能被8整除.
21．(1)，，，，
(2)，证明见解析
【分析】（1）利用代入法进行求解即可；
（2）根据前五项的特点进行猜想，然后利用数学归纳法进行证明即可.
【详解】（1）因为数列的各项均为正整数，
所以数列是递增数列，
因为，，
所以舍去，
同理可得：舍去，舍去，舍去，
所以，，，，；
（2）猜想：，证明过程如下：
当时，显然成立，
假设当时成立，即，
当时，，
解得：，或，
因为数列的各项均为正整数，
所以数列是递增数列，
显然，
所以，舍去，
所以当时，成立，
综上所述：
22．(1)，，，猜想，证明见解析
(2)
【分析】（1）利用递推关系式可求得，由此可猜想得到通项公式；利用数学归纳法可证得通项公式成立；
（2）由（1）可得，采用错位相减法可求得.
【详解】（1）由，得：；；；
由此可猜想，证明如下：
当时，，即成立；
假设当时，成立，
那么当时，，即成立；
综上所述：当时，.
（2）由（1）得：，
，，
两式作差得：，
.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页