5.1导数的概念及其意义 同步练习2023——2024学年上学期高二数学人教A版（2019）选择性必修第二册（含解析）

5.1导数的概念及其意义同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知函数与的图象关于直线对称，直线与的图象均相切，则的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．对于函数，若存在，则称点与点是函数的一对“隐对称点”，若时，函数的图象上恰有2对“隐对称点”，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3．设，函数的导函数为，若是偶函数，则曲线在原点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，过点作曲线的两条切线，切点分别为和，若，则实数（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．某种新产品的社会需求量是时间的函数，记作：．若，社会需求量的市场饱和水平估计为500万件，经研究可得，的导函数满足：（k为正的常数），则函数的图像可能为（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．①②④
6．函数为上的奇函数，过点作曲线的切线，可作切线条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．不确定
7．已知函数的图象在处的切线的斜率为，则（ ）
A．的最小值为6 B．的最大值为6
C．的最小值为4 D．的最大值为4
8．函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列大小关系正确的是（ ）

A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．若函数，，则函数在上平均变化率的取值可能为（ ）
A． B． C． D．
10．若过点 可作 3 条直线与函数 的图象相切， 则实数 可能是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数，，，则下列说法正确的有（ ）
A．，使得有2个零点 B．，使得有3个零点
C．若有3个零点，则 D．若有4个零点，则
12．设函数在区间上有定义，则（ ）
A．当导数存在时，曲线在点处存在切线
B．当曲线在点处存在切线时，导数存在
C．当导数存在时，函数在处的导数等于零
D．当函数在处的导数等于零时，导数存在
三、填空题
13．若曲线在点处的切线方程为，则 ．
14．已知函数，曲线在点处的切线方程是 ．
15．已知函数，若方程有两个不同根，则实数的取值范围是 .
16．一质点A沿直线运动，位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，则这段时间内的平均速度为 m/s；时的瞬时速度为 m/s．
四、解答题
17．设是定义域为的函数,如果对任意的,均成立,则称是“平缓函数”.
(1)若,试判断是否为“平缓函数”并说明理由;
(2)已知的导函数存在,判断下列命题的真假:若是“平缓函数”,则,并说明理由.
(3)若函数是“平缓函数”,且是以为周期的周期函数,证明:对任意的,均有.
18．已知函数．
(1)曲线在点处的切线方程为，求实数的值．
(2)在（1）的条件下，若，试探究在上零点的个数．
19．设，函数的图象与直线相切，其中是自然对数的底数．
(1)求实数的值；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围．
20．已知函数.
(1)判断函数的单调性；
(2)已知函数，其中，若存在，证明：.
21．已知函数，若点是函数的图像的两条互相垂直的切线的交点，则点是函数的“特征点”，记的所有“特征点”的集合为；
(1)若，求；
(2)若，求证：函数的所有“特征点”在一条定直线上，并求出这条直线的方程；
(3)若，记函数的所有点组成的集合为，且，求实数的取值范围．
22．有一个长方体的容器（如图），它的宽为10cm，高为100cm．右侧面为一活塞，容器中装有1000mL的水．活塞的初始位置（距左侧面）为，水面高度为100cm．当活塞位于距左侧面xcm的位置时，水面高度为ycm．
(1)写出y关于x的函数解析式
，
；
(2)活塞的位置x从1cm变为2cm，水面高度y改变了多少？活塞的位置x从8cm变为10cm，水面高度y改变了多少？以上哪个过程水面高度的变化较快？
(3)试估计当
时，水面高度y的瞬时变化率．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．B
【分析】根据与的图象关于直线对称，得到，设直线与函数的图象的切点坐标为，与函数的图象的切点坐标为，由斜率相等得到，然后再利用斜率和倾斜角的关系求解.
【详解】解：因为函数与的图象关于直线对称，
所以与互为反函数，所以，
则．由，得，
设直线与函数的图象的切点坐标为，
与函数的图象的切点坐标为，
则直线的斜率，故，
显然，故，
所以直线的倾斜角为，
故选：B．
2．A
【分析】由题意转化为与的图象有两个交点，求出的过原点的切线斜率后可得结论．
【详解】曲线关于原点对称的曲线的函数解析式为,
由题意与的图象有两个交点，
对而言，，设过原点的切线的切点为，
则，，所以切线斜率为，
由图象可知当时，满足题意．
故选：A．

3．A
【分析】对函数求导，利用偶函数性质求得，再根据导数的几何意义求切线方程.
【详解】由题设是偶函数，
∴，解得，
∴，
∴曲线在原点处的切线方程为.
故选：A
4．B
【分析】本题考查导数的计算及几何意义．
【详解】由题意知，
因为与曲线相切，
所以，整理得，
同理，
则，是方程的两个实数根，
所以，
所以．
故选：.
5．B
【分析】由得，，即单调递增，再结合基本不等式，即可求.
【详解】因为，依题知，所以，
即函数单调递增，④不合，
又，
当且仅当，即时，等号成立，
则若，则等号可以取得，即导函数在处取得最大值，
即在该处函数的变化最大，则③满足题意，②不合题意；
当时，等号取不了，但是单调递增的，①符合题意；
只有①③符合题意.
故选：B
6．A
【分析】根据奇函数确定，求导得到导函数，设出切点，根据切线方程公式计算，计算切线得到答案.
【详解】，故，，
，，
设切点为，则，且，
整理得到，解得，，
故切线方程为，
故选：A
7．C
【分析】求导，结合基本不等式即可求解.
【详解】，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为4．
故选：C
8．B
【分析】由函数图象及导函数几何意义得到，得到答案.
【详解】由图象可知在上单调递增，，

故，即．
故选：B．
9．BD
【分析】根据平均变化率得，结合该式的几何意义为在上任意一点与连线的斜率，数形结合及导数几何意义求其范围，即可得答案.
【详解】由在上平均变化率为，
故表示在上任意一点与连线的斜率，
图象如下：
最大为与连线的斜率，即为；
最小为在处的切线斜率，即；
所以.
故选：BD
10．BCD
【分析】由题设切点为，进而得，再构造函数，将问题转化为与的交点个数问题，数形结合求解即可.
【详解】设切点为，
因为，，
所以切线方程为，又切线过，
则，整理得，
所以令，则，
令得，
所以当或时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故当时，取极小值，当时，取极大值，
由可知当时，
所以函数的图象大致如图，

由图可知，当时，直线与函数的图象有3个交点，
此时过点可作3条直线与函数的图象相切，
由此可知，BCD符合题意，
故选：BCD
11．ABD
【分析】利用换元将问题转化为，，的交点情况，利用导数求解相切时的直线方程，即可根据平移求解的图象交点个数，结合的图象交点情况即可求解.
【详解】令，则，则，
的图象如下所示，

当时，有两个交点，
当时，有3个交点，
当时，有1个交点，
当时，有0个交点.
由于直线的斜率为1，
故当设斜率为1的切线的切点为，则，故切点为，切线方程为，
当，设斜率为1的切线的切点为，则，故切点为，切线方程为，
在图中作出在和的切线方程，如图：

的零点即为函数与的交点，
由图可知：当时，与有一个交点，且交点横坐标满足，
当时，与有2个交点，且交点横坐标满足，和，
当时，与有一个交点，且交点横坐标满足，
当时，与有一个交点，且交点横坐标满足，
当时，与有一个交点，且交点横坐标满足，
综上可知：当或时，有3个交点，
当时，有4个交点，
当时，有2个交点，
故选：ABD
【点睛】方法点睛：函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
12．AC
【分析】根据导数的几何意义可判断ABC的正误，根据特例可判断D的正误.
【详解】对于选项A，当导数存在时，曲线在点处存在切线，
所以选项A正确．
对于选项B，若曲线在点处的切线是轴，此时导数不存在，所以选项B错误．
对于选项C，令．当导数存在时，
因为，
所以选项C正确．
对于选项D，取，
则，此时在处的导数等于零，
但在处不可导，所以选项D错误．
故选：AC
13．
【分析】由导数求出参数，将切点代入切线方程即可求出.
【详解】,依题意得，即，
又因为，所以.
故答案为：
14．
【分析】根据导数的几何意义即可求解切线方程.
【详解】，，，
所以曲线在点处的切线方程是，
即.
故答案为：
15．
【分析】作出函数的图象，平移直线，数形结合可得到的取值范围.
【详解】解：先作出函数的图象：
由图可知，当时，与有两个交点，有两个不同的根，
当时，与有一个交点，有一个根，
当时，
因为当时，，，
故的图象与直线有且只有一个交点，此时有且只有一个实数根，
综上，所以的取值范围为，
故答案为：.
16． 6 8
【分析】先利用平均速度的计算公式求解平均速度，再求出的导数，将代入计算可得答案．
【详解】，，
物体在这段时间内的平均速度，
，则，
当时，，即质点在时的瞬时速度为，
故答案为：6；8．
17．(1)不是,证明见解析
(2)真命题,证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）可令,根据“平缓函数”的定义判断即可;
（2）根据导函数的定义,令,结合“平缓函数”的定义即可证明;
（3）因为是以为周期的周期函数,不妨设,分为,根据函数是“平缓函数”即可证明;
【详解】（1）令,因为,则,,不满足对任意的,均成立,故不是“平缓函数”.
（2）命题为真命题.
因为,
不妨令,
因为是“平缓函数”,
则,
所以,
故命题为真命题.
（3）因为是以为周期的周期函数,不妨设,
当时,因为函数是“平缓函数”,
则;
当时,不妨设,则,
因为是以为周期的周期函数,
则,
因为函数是“平缓函数”,
所以
,
所以对任意的,均有,
因为是以为周期的周期函数,
所以对任意的,均有.
【点睛】本题主要是根据函数是“平缓函数”的定义和性质进行判断和证明,考查了学生的逻辑推理能力、运算能力,关键点点睛:第二问借助导函数的定义进行证明;第三问利用是以为周期的周期函数得,进行适当放缩即可证明.
18．(1)
(2)只有1个零点
【分析】（1）求导，再利用导数的几何意义求解；
（2）由（1）知，再利用导数法求解.
【详解】（1）解：由，
得，则有
所以切线方程为．
又因为曲线在点处的切线方程为，
所以．
（2）由（1）知，
则．
令，则．
当时，，则单调递减，
所以．
所以在上单调递增．
当时，；当时，．
所以在上存在零点，且只有一个零点．
当时，，则单调递减，，，
所以存在，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减．
而，所以在上无零点．
综上，在上只有1个零点．
19．(1)
(2)
【分析】（1）求导，根据导数的几何意义列方程，再根据函数的单调性解方程；
（2）根据的最值情况可知时，不等式恒成立，再构造，可知当时，根据导数可知在上单调递增，所以，成立，当时，二次求导可得，根据导数可确定当时，，即，不成立.
【详解】（1）由，得，
设切点为，
则，
消去得，
令，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以在上单调递减，在上单调递增，
且，
当时，，
所以若，则，
所以；
（2）由（1）得，，
且，
所以函数在单调递增，
所以，
对于当时，恒成立，
当时，，所以恒成立；
若当时，恒成立，
则在恒成立，
，，
当时，，，
所以在上单调递增，所以，成立；
当时，设，，
在上恒成立，
所以在上单调递增，
因为，，
所以，使，
所以时，，单调递减，时，，单调递增，
所以当时，，即，与题设矛盾，
综上所述：
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
20．(1)函数在上单调递增
(2)证明见解析
【分析】（1）对函数进行求导，利用导数研究函数的单调性即可；
（2）先求出解析式，由，化简可得.不妨设，所以.再由函数单调递增，有，化简可得，再利用转化思想和换元法结合导数的性质求证即可.
【详解】（1）的定义域为，而，
由于，故，
所以函数在上单调递增.
（2）由（1）得，
又，即，
所以.
不妨设，所以.
由（1）得：当时，函数单调递增，故有：，
即，
所以
所以，故.
设, 则 , 因为 , 所以 , 即函数 在 上是增加的.
又, 所以 ,即 ,
所以，
故要证：，可证：，
要证，可证：
下证，
由于，
设，令，则，
所以函数在区间上单调递增，所以，
故，即成立.
综上有：，
故有，得证.
【点睛】关键点睛：第（2）问中，由函数单调递增，化简得，再利用转化思想和换元法是解题关键.本题考查转化思想，整体换元思想，考查利用导数研究函数的单调性，属于较难题..
21．(1)；
(2)证明见解析，
(3)
【分析】（1）假设存在，求出导函数，利用导数的几何意义推出矛盾即可判断；
（2）设“特征点”是在和处的切线的交点，求出切线方程，即可求出交点坐标，由切线互相垂直求出，即可得解；
（3）依题意不存在图象上的点，使得该点是“特征点”，先利用反证法证明：对任意的实数，若图象上的点是“特征点”，则该点本身一定是切点，假设，，处切线互相垂直，不妨令是两条切线的交点，即可得方程对无解，结合二次函数的性质计算可得.
【详解】（1）假设存在“特征点”，则存在两条互相垂直的切线，
设为和处的切线，
因为，所以，
所以不存在“特征点”，所以.
（2）设“特征点”是在和处的切线的交点，
因为，所以，
所以在和处的切线方程为，，
联立解得，即，
因为两条切线相互垂直，所以，
所以，所以的所有“特征点”在一条定直线上.
（3）因为，所以由题意可知不存在图象上的点，使得该点是“特征点”，
先证明：对任意的实数，若图象上的点是“特征点”，则该点本身一定是切点，
反证法：假设该点不是切点，则存在切线，
它与函数图象交于点，所以，
化简得，因为，所以，
同理可得，所以，两条切线重合，矛盾，所以该点本身一定是切点；
假设，处切线互相垂直，不妨令是两条切线的交点，
则由前文可知，所以，，
因为，
所以，即，
设，
则有，
由题意可知图象上的点都不是“特征点”，即不存在这样的点，
所以方程对无解，
设，其对称轴为，
所以当时取最小值，
要使得无解，只需，解得.
【点睛】关键点睛：本题解答的关键是理解定义，利用导数、反证法相关知识进行解答，以达到转化的目的.
22．(1)
(2),，前一个过程变化快
(3)
【分析】（1）根据题意，由水的体积恒定不变，列出方程即可；
（2）根据题意，分别求出活塞位置为1cm、2cm和7cm、8cm时的水面高度，计算可得答案；
（3）根据瞬时变化率的公式，求导计算可得答案.
【详解】（1）水的体积恒定不变，那么就有
，
（2）活塞位置为1cm时，
活塞位置为2cm时，
水面高度改变为
活塞位置为8cm时，
活塞位置为10cm时，
水面高度改变为
可见，前一个过程变化快
（3）瞬时变化率：如果当时，有极限，我们就说函数在点处的导数（即瞬时变化率，简称变化率），记作，，当时，瞬时变化率为此时，的值为，即时，瞬时变化率为
答案第1页，共2页
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