5.2导数的运算 同步练习2023——2024学年上学期高二数学人教A版（2019）选择性必修第二册（含解析）
文档属性
| 名称 | 5.2导数的运算 同步练习2023——2024学年上学期高二数学人教A版（2019）选择性必修第二册（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 958.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-23 17:18:02 | ||
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文档简介
5.2导数的运算同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．函数的图像上仅存在唯一一点，使得的图像在点处的切线斜率为1，则（ ）
A．1 B． C． D．
2．曲线在点处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数，且满足，，，则（ ）
A．28 B． C． D．
4．设将函数的图像绕原点顺时针旋转后得到的曲线是函数的图象．若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．过点作曲线的切线有且只有两条，切点分别为，，则（ ）
A． B．1 C． D．
6．已知函数及其导函数的定义域均为，若函数为奇函数，函数为偶函数，，则（ ）
A． B．
C． D．
7．设为的导函数，若，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，则曲线在点处的切线经过定点（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．是定义在上的连续可导函数，为其导函数，下列说法正确的有（ ）
A．若，则
B．若为偶函数，则为奇函数
C．若是周期为的函数，则也是周期为的函数
D．已知且，则
10．已知函数及其导函数的定义域均为，记.若满足，的图象关于直线对称，且，则（ ）
A． B．是奇函数
C． D．
11．已知函数及其导函数的定义域均为，记，若均为奇函数，则以下结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．已知定义在上的函数可导，且不恒为为奇函数，为偶函数，则（ ）
A．的周期为4
B．的图象关于直线对称
C．
D．
三、填空题
13．函数，则在处的切线方程为 ．
14．设为函数的导函数，若，则 ．
15．函数在点处的切线与直线平行．则实数
16．已知函数及其导函数的定义域均为，对任意的，，恒有，则必为 函数（用“偶、奇、非奇非偶”填空）；若，则 ．
四、解答题
17．已知.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)设P为曲线上的点，求曲线C在点P处切线的斜率的最小值及倾斜角的取值范围.
18．已知函数.
(1)讨论函数的零点个数．
(2)是否存在直线，使得该直线与曲线切于两点？若存在，求，的值；若不存在，请说明理由．
19．经研究发现所有的一元三次函数的图象都有对称中心，设是一元三次函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数根，则称为一元三次函数的图象的对称中心．根据以上信息和相关知识解答下列问题：已知函数．
(1)求函数图象的对称中心和的值；
(2)若，解关于的不等式．
20．汽水放入冰箱后，其摄氏温度x（单位：℃）与时间t（单位：h）的函数关系为：．
(1)求汽水温度x在处的导数；
(2)已知摄氏温度x与华氏温度y（单位：℉）的函数关系为．写出y关于t的函数解析式，并求y对t的导数．
21．已知，其中，，，且满足，．
(1)求的解析式；
(2)若关于的方程在区间上总有实数解，求实数的取值范围．
22．一辆正在加速的汽车在5s内速度从0提高到了90．下表给出了它在不同时刻的速度，为了方便起见，已将速度单位转化成了，时间单位为s．
时间t/s 0 1 2 3 4 5
速度v/（m/s） 0 9 15 21 23 25
(1)分别计算当t从0s变到1s、从3s变到5s时，速度v关于时间t的平均变化率，并解释它们的实际意义；
(2)根据上面的数据，可以得到速度v关于时间t的函数近似表示式为，求，并解释它的实际意义．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．A
【分析】根据函数解析式求得其导数，结合题意建立方程，利用一元二次方程的解法，可得答案.
【详解】因为，所以．
由题意得有唯一实根，所以，解得，
所以，所以．
故选：A．
2．A
【分析】应用导数的几何意义求点处的切线方程.
【详解】由题设，则，又时，
所以点处的切线方程是，即.
故选：A
3．B
【分析】根据和定义域R得到，，然后根据，得到，最后求函数值即可.
【详解】由，知函数为奇函数，（提示：的图象关于点中心对称，故函数为奇函数）
又的定义域R，所以，得．
由得，所以，，
由，，得，得，所以，
于是.
故选：B．
4．A
【分析】首先将的最小值等价于图象上的点到直线的最小距离，
然后通过求解与平行且与相切的直线，进而求解出的取值范围.
【详解】因为，所以．
由题意知，的最小值等价于图象上的点到直线的最小距离．
设直线与直线平行，且与曲线切于点，
则直线的斜率为，
解得，从而，
因此图象上的点到直线的最小距离为点到直线的距离，
即为，因此．
故选：A
5．A
【分析】设切点坐标为，根据导数的几何意义列式可得，再根据韦达定理即可得答案.
【详解】由题意得，
过点作曲线的切线，设切点坐标为，
则，即，
由于，故，
因为过点作曲线的切线有且只有两条，
所以为的两个解，且，
所以，
所以.
故选：A.
6．C
【分析】由为奇函数，可知，可得函数图像关于直线对称，再由，可得，函数图像关于点对称，再代入特值，可判断各选项.
【详解】由为奇函数可得，即，
，即，即，
所以函数的图像关于直线对称，
由是偶函数可得为奇函数，
，
即，
所以函数的图像关于点对称；
将代入，得，
将代入，得，B选项错误；
将代入得，得，A选项错误；
，C选项正确；
将代入，得，故，，D选项错误；
故选：C.
7．D
【分析】求导，令，求得，则可求，进而求出切线方程.
【详解】因为，
所以，
令，
，，
所以曲线在点处的切线方程为：，即.
故选：D
8．A
【分析】利用导数的几何意义求切线斜率，由点斜式得切线方程，再由直线方程不受参数的影响找到定点.
【详解】因为，
所以，则，
又，直线过，
则直线方程为，即，
令，得，即直线不受参数的影响，恒过定点.
故选：A.
9．AD
【分析】对于A，等式两边对进行求导即可得出，
对于B，列举反例，，
对于C，列举反例，
对于D，等式两边对进行求导，分别令和即可求出.
【详解】对于A，等式两边对进行求导，则，所以，选项A正确，
对于B，列举反例，若，所以，此时为偶函数，但，并不是奇函数，所以选项B错误，
对于C，若，则，此时是以为周期的函数，但并不是周期函数，所以选项C错误，
对于D，因为，等式两边对进行求导，即，
令则，所以，
又因为，等式两边对进行求导，则，
令则，所以，所以，所以选项D正确.
故选：AD
10．ACD
【分析】对于A由，得，等式两边同时求导，即可得到的图象关于点对称；对于B由函数的性质可知应满足（为常数），当时，不是奇函数；对于C可知，，所以；对于D由对称性和周期性即可判断.
【详解】对于A：由，得，等式两边同时求导，得，即，故的图象关于点对称，故A正确；
对于B：由的图象关于直线对称，故的图象关于直线对称，
即为偶函数，则，所以应满足（为常数），当时，不是奇函数，故B错误；
对于C：由，，
则，得，令替换得，则
则，故C正确；
对于D：由的图象关于点对称，的图象关于直线对称，且，，令得，
，，
在一个周期内，，
所以，故D正确．
故选：ACD
11．BD
【分析】确定不一定为0，A错误，确定，取计算得到B正确，计算为偶函数，周期为，得到C错误，根据奇偶性和周期性得到D正确，得到答案.
【详解】对选项A：为奇函数，故，
则，故，即，
所以不一定为0，错误；
对选项B：令，得，即，正确；
对选项C：，故，
则，所以，
为奇函数，所以，故，
，又，
所以的周期为4．又，所以为偶函数，
不一定为，错误；
对选项D：，D正确；
故选：BD.
12．AC
【分析】根据已知可得的图象关于对称、关于直线对称，利用对称性可得的周期可判断A；对两边求导可判断B；根据，可判断CD.
【详解】为奇函数，则的图象关于对称.又为偶函数，则的图象关于直线对称，
所以，可得
，
则的周期为4，故A选项正确；
又，则的图象关于对称，故选项B错误；
又，所以，故选项C正确；
由以上可知，，但是不知道等于多少，
函数的周期为4，则，故D错误.
故选：AC.
13．
【分析】先求导，再求斜率，进而可得直线方程.
【详解】依题知切点为，
则，则，
则切线方程为：，
即.
故答案为：
14．4
【分析】由题意可得，令，分别求出、即可求解.
【详解】由题意知，令，则，
，令，
则，解得，
所以.
故答案为：4.
15．1
【分析】求出函数的导函数，依题意可得，即可得解.
【详解】因为，所以，
依题意可得，即，解得.
故答案为：
16． 奇
【分析】根据赋值法，结合奇、偶函数的定义、数列的周期性进行求解即可.
【详解】在中，
令，则有，或，
当时，在中，
令，则有，
所以函数是既是奇函数又是偶函数；
当时，在中，令，则有
，所以函数是奇函数，
因此函数必为奇函数；
若，在中，
令，得，
令，得，
令，得，
令，得，
令，得，
令，得，
令，得，
所以具有周期性，周期为6，
且，
，
故答案为：奇；
【点睛】关键点睛：本题的关键就是运用赋值法，利用数列的周期性.
17．(1)
(2)1，
【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，利用点斜式求解切线方程即可；
（2）利用基本不等式求解切线的斜率范围，根据正切函数的性质结合倾斜角的范围求解即可.
【详解】（1）∵，∴，
当时，，，
∴曲线在处的切线方程为，即；
（2）由题意，，
∴，当且仅当即时，等号成立，
∴曲线C在点P处切线的斜率的最小值为1，
∴，又，
∴，即倾斜角的取值范围为.
18．(1)答案见解析
(2)存在，，．
【分析】（1）函数的零点，即为函数与的交点横坐标，做出函数图像，数形结合，可得交点个数，进而确定函数两点个数；
（2）方法一：由已知相切于两点，可知直线与函数有且只有一个公共点，分别联立方程，利用判别式解方程即可；方法二：分段求函数的切线方程，由公切线，列方程，解方程即可.
【详解】（1）当时，的最小值为；
当时，的最大值为．
作出的大致图象，如图所示．
由，得．
当或时，的零点个数为；
当时，的零点个数为；
当时，的零点个数为．
（2）假设存在直线，使得该直线与曲线切于，两点，
方法一：联立与，得，
则．
联立与，得，
则．
联立方程组，解得或，
当，时，此时，，则切点，的坐标分别为，，
当时，，此时，这与矛盾，不符合题意，
综上，存在直线满足题意，且，．
方法二：设函数，则，
则曲线在处的切线方程为，即，
设函数，则，
则曲线在处的切线方程为，即．
依题意可得，
消去，得，因为，所以，，
所以，，
即存在直线满足题意，且，．
19．(1)，
(2)答案见解析
【分析】（1）根据三次函数对称中心的定义连续求导得，令其等于0即可求出对称中心，再根据对称中心的性质即可求解.
（2）将不等式转化为含有参数的一元二次不等式，因式分解并对参数分类讨论即可求解.
【详解】（1）对求导得，
继续求导得，令可得，
因为为三次函数，且，
所以由题意图象的对称中心为，
故，
设，
则，
所以，
所以，
故．
（2）由（1）可知，
所以可将不等式化为：，且，
即：．
①当时，解得，
②当时，不等式的解集为，
③当时，解得；
综上所述，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为.
20．(1)
(2)，
【分析】（1）求导得出，代入即可得出答案；
（2）由已知得出，将代入即可得出y关于t的函数解析式；求导即可得出导函数.
【详解】（1）求导可得，
所以，汽水温度x在处的导数为.
（2）由可得，，
所以，.
求导可得，.
21．(1)；
(2)．
【分析】（1）利用三角函数的倍角公式对原函数化简，可求得与的关系式，再结合导数的运算法则即可求解；
（2）利用正弦函数的单调性可得出函数的值域，再利用对数函数得单调性即可得解.
【详解】（1）由题意，函数
，
由得，，
又因为，
由，得：，
所以，
所以的解析式为：.
（2）由（1）得，
因为，所以，
所以，则有，
即
又因为方程在区间上总有实数解，
所以在区间上成立，
所以，，
所以，
所以实数的取值范围为.
22．(1)平均变化率分别为，，它们分别表示在相应的时间内，时间每经过1s，速度增加9和2，也就是加速度分别为
(2)，它的意义是在t＝1s这一时刻，每过1s，汽车的速度增加8，也就是这一时刻汽车的加速度为
【分析】（1）根据平均变化率的公式及意义求解；
（2）根据导数公式及导数的实际意义求解.
【详解】（1）当t从0s变到1s、从3s变到5s时，速度v关于时间t的平均变化率分别为，，
它们分别表示在相应的时间内，时间每经过1s，速度增加9和2，也就是加速度分别为.
（2）∵，∴，
它的意义是在s这一时刻，每过1s，汽车的速度增加8，也就是这一时刻汽车的加速度为.
答案第1页，共2页
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．函数的图像上仅存在唯一一点，使得的图像在点处的切线斜率为1，则（ ）
A．1 B． C． D．
2．曲线在点处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数，且满足，，，则（ ）
A．28 B． C． D．
4．设将函数的图像绕原点顺时针旋转后得到的曲线是函数的图象．若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．过点作曲线的切线有且只有两条，切点分别为，，则（ ）
A． B．1 C． D．
6．已知函数及其导函数的定义域均为，若函数为奇函数，函数为偶函数，，则（ ）
A． B．
C． D．
7．设为的导函数，若，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，则曲线在点处的切线经过定点（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．是定义在上的连续可导函数，为其导函数，下列说法正确的有（ ）
A．若，则
B．若为偶函数，则为奇函数
C．若是周期为的函数，则也是周期为的函数
D．已知且，则
10．已知函数及其导函数的定义域均为，记.若满足，的图象关于直线对称，且，则（ ）
A． B．是奇函数
C． D．
11．已知函数及其导函数的定义域均为，记，若均为奇函数，则以下结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．已知定义在上的函数可导，且不恒为为奇函数，为偶函数，则（ ）
A．的周期为4
B．的图象关于直线对称
C．
D．
三、填空题
13．函数，则在处的切线方程为 ．
14．设为函数的导函数，若，则 ．
15．函数在点处的切线与直线平行．则实数
16．已知函数及其导函数的定义域均为，对任意的，，恒有，则必为 函数（用“偶、奇、非奇非偶”填空）；若，则 ．
四、解答题
17．已知.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)设P为曲线上的点，求曲线C在点P处切线的斜率的最小值及倾斜角的取值范围.
18．已知函数.
(1)讨论函数的零点个数．
(2)是否存在直线，使得该直线与曲线切于两点？若存在，求，的值；若不存在，请说明理由．
19．经研究发现所有的一元三次函数的图象都有对称中心，设是一元三次函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数根，则称为一元三次函数的图象的对称中心．根据以上信息和相关知识解答下列问题：已知函数．
(1)求函数图象的对称中心和的值；
(2)若，解关于的不等式．
20．汽水放入冰箱后，其摄氏温度x（单位：℃）与时间t（单位：h）的函数关系为：．
(1)求汽水温度x在处的导数；
(2)已知摄氏温度x与华氏温度y（单位：℉）的函数关系为．写出y关于t的函数解析式，并求y对t的导数．
21．已知，其中，，，且满足，．
(1)求的解析式；
(2)若关于的方程在区间上总有实数解，求实数的取值范围．
22．一辆正在加速的汽车在5s内速度从0提高到了90．下表给出了它在不同时刻的速度，为了方便起见，已将速度单位转化成了，时间单位为s．
时间t/s 0 1 2 3 4 5
速度v/（m/s） 0 9 15 21 23 25
(1)分别计算当t从0s变到1s、从3s变到5s时，速度v关于时间t的平均变化率，并解释它们的实际意义；
(2)根据上面的数据，可以得到速度v关于时间t的函数近似表示式为，求，并解释它的实际意义．
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参考答案：
1．A
【分析】根据函数解析式求得其导数，结合题意建立方程，利用一元二次方程的解法，可得答案.
【详解】因为，所以．
由题意得有唯一实根，所以，解得，
所以，所以．
故选：A．
2．A
【分析】应用导数的几何意义求点处的切线方程.
【详解】由题设，则，又时，
所以点处的切线方程是，即.
故选：A
3．B
【分析】根据和定义域R得到，，然后根据，得到，最后求函数值即可.
【详解】由，知函数为奇函数，（提示：的图象关于点中心对称，故函数为奇函数）
又的定义域R，所以，得．
由得，所以，，
由，，得，得，所以，
于是.
故选：B．
4．A
【分析】首先将的最小值等价于图象上的点到直线的最小距离，
然后通过求解与平行且与相切的直线，进而求解出的取值范围.
【详解】因为，所以．
由题意知，的最小值等价于图象上的点到直线的最小距离．
设直线与直线平行，且与曲线切于点，
则直线的斜率为，
解得，从而，
因此图象上的点到直线的最小距离为点到直线的距离，
即为，因此．
故选：A
5．A
【分析】设切点坐标为，根据导数的几何意义列式可得，再根据韦达定理即可得答案.
【详解】由题意得，
过点作曲线的切线，设切点坐标为，
则，即，
由于，故，
因为过点作曲线的切线有且只有两条，
所以为的两个解，且，
所以，
所以.
故选：A.
6．C
【分析】由为奇函数，可知，可得函数图像关于直线对称，再由，可得，函数图像关于点对称，再代入特值，可判断各选项.
【详解】由为奇函数可得，即，
，即，即，
所以函数的图像关于直线对称，
由是偶函数可得为奇函数，
，
即，
所以函数的图像关于点对称；
将代入，得，
将代入，得，B选项错误；
将代入得，得，A选项错误；
，C选项正确；
将代入，得，故，，D选项错误；
故选：C.
7．D
【分析】求导，令，求得，则可求，进而求出切线方程.
【详解】因为，
所以，
令，
，，
所以曲线在点处的切线方程为：，即.
故选：D
8．A
【分析】利用导数的几何意义求切线斜率，由点斜式得切线方程，再由直线方程不受参数的影响找到定点.
【详解】因为，
所以，则，
又，直线过，
则直线方程为，即，
令，得，即直线不受参数的影响，恒过定点.
故选：A.
9．AD
【分析】对于A，等式两边对进行求导即可得出，
对于B，列举反例，，
对于C，列举反例，
对于D，等式两边对进行求导，分别令和即可求出.
【详解】对于A，等式两边对进行求导，则，所以，选项A正确，
对于B，列举反例，若，所以，此时为偶函数，但，并不是奇函数，所以选项B错误，
对于C，若，则，此时是以为周期的函数，但并不是周期函数，所以选项C错误，
对于D，因为，等式两边对进行求导，即，
令则，所以，
又因为，等式两边对进行求导，则，
令则，所以，所以，所以选项D正确.
故选：AD
10．ACD
【分析】对于A由，得，等式两边同时求导，即可得到的图象关于点对称；对于B由函数的性质可知应满足（为常数），当时，不是奇函数；对于C可知，，所以；对于D由对称性和周期性即可判断.
【详解】对于A：由，得，等式两边同时求导，得，即，故的图象关于点对称，故A正确；
对于B：由的图象关于直线对称，故的图象关于直线对称，
即为偶函数，则，所以应满足（为常数），当时，不是奇函数，故B错误；
对于C：由，，
则，得，令替换得，则
则，故C正确；
对于D：由的图象关于点对称，的图象关于直线对称，且，，令得，
，，
在一个周期内，，
所以，故D正确．
故选：ACD
11．BD
【分析】确定不一定为0，A错误，确定，取计算得到B正确，计算为偶函数，周期为，得到C错误，根据奇偶性和周期性得到D正确，得到答案.
【详解】对选项A：为奇函数，故，
则，故，即，
所以不一定为0，错误；
对选项B：令，得，即，正确；
对选项C：，故，
则，所以，
为奇函数，所以，故，
，又，
所以的周期为4．又，所以为偶函数，
不一定为，错误；
对选项D：，D正确；
故选：BD.
12．AC
【分析】根据已知可得的图象关于对称、关于直线对称，利用对称性可得的周期可判断A；对两边求导可判断B；根据，可判断CD.
【详解】为奇函数，则的图象关于对称.又为偶函数，则的图象关于直线对称，
所以，可得
，
则的周期为4，故A选项正确；
又，则的图象关于对称，故选项B错误；
又，所以，故选项C正确；
由以上可知，，但是不知道等于多少，
函数的周期为4，则，故D错误.
故选：AC.
13．
【分析】先求导，再求斜率，进而可得直线方程.
【详解】依题知切点为，
则，则，
则切线方程为：，
即.
故答案为：
14．4
【分析】由题意可得，令，分别求出、即可求解.
【详解】由题意知，令，则，
，令，
则，解得，
所以.
故答案为：4.
15．1
【分析】求出函数的导函数，依题意可得，即可得解.
【详解】因为，所以，
依题意可得，即，解得.
故答案为：
16． 奇
【分析】根据赋值法，结合奇、偶函数的定义、数列的周期性进行求解即可.
【详解】在中，
令，则有，或，
当时，在中，
令，则有，
所以函数是既是奇函数又是偶函数；
当时，在中，令，则有
，所以函数是奇函数，
因此函数必为奇函数；
若，在中，
令，得，
令，得，
令，得，
令，得，
令，得，
令，得，
令，得，
所以具有周期性，周期为6，
且，
，
故答案为：奇；
【点睛】关键点睛：本题的关键就是运用赋值法，利用数列的周期性.
17．(1)
(2)1，
【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，利用点斜式求解切线方程即可；
（2）利用基本不等式求解切线的斜率范围，根据正切函数的性质结合倾斜角的范围求解即可.
【详解】（1）∵，∴，
当时，，，
∴曲线在处的切线方程为，即；
（2）由题意，，
∴，当且仅当即时，等号成立，
∴曲线C在点P处切线的斜率的最小值为1，
∴，又，
∴，即倾斜角的取值范围为.
18．(1)答案见解析
(2)存在，，．
【分析】（1）函数的零点，即为函数与的交点横坐标，做出函数图像，数形结合，可得交点个数，进而确定函数两点个数；
（2）方法一：由已知相切于两点，可知直线与函数有且只有一个公共点，分别联立方程，利用判别式解方程即可；方法二：分段求函数的切线方程，由公切线，列方程，解方程即可.
【详解】（1）当时，的最小值为；
当时，的最大值为．
作出的大致图象，如图所示．
由，得．
当或时，的零点个数为；
当时，的零点个数为；
当时，的零点个数为．
（2）假设存在直线，使得该直线与曲线切于，两点，
方法一：联立与，得，
则．
联立与，得，
则．
联立方程组，解得或，
当，时，此时，，则切点，的坐标分别为，，
当时，，此时，这与矛盾，不符合题意，
综上，存在直线满足题意，且，．
方法二：设函数，则，
则曲线在处的切线方程为，即，
设函数，则，
则曲线在处的切线方程为，即．
依题意可得，
消去，得，因为，所以，，
所以，，
即存在直线满足题意，且，．
19．(1)，
(2)答案见解析
【分析】（1）根据三次函数对称中心的定义连续求导得，令其等于0即可求出对称中心，再根据对称中心的性质即可求解.
（2）将不等式转化为含有参数的一元二次不等式，因式分解并对参数分类讨论即可求解.
【详解】（1）对求导得，
继续求导得，令可得，
因为为三次函数，且，
所以由题意图象的对称中心为，
故，
设，
则，
所以，
所以，
故．
（2）由（1）可知，
所以可将不等式化为：，且，
即：．
①当时，解得，
②当时，不等式的解集为，
③当时，解得；
综上所述，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为.
20．(1)
(2)，
【分析】（1）求导得出，代入即可得出答案；
（2）由已知得出，将代入即可得出y关于t的函数解析式；求导即可得出导函数.
【详解】（1）求导可得，
所以，汽水温度x在处的导数为.
（2）由可得，，
所以，.
求导可得，.
21．(1)；
(2)．
【分析】（1）利用三角函数的倍角公式对原函数化简，可求得与的关系式，再结合导数的运算法则即可求解；
（2）利用正弦函数的单调性可得出函数的值域，再利用对数函数得单调性即可得解.
【详解】（1）由题意，函数
，
由得，，
又因为，
由，得：，
所以，
所以的解析式为：.
（2）由（1）得，
因为，所以，
所以，则有，
即
又因为方程在区间上总有实数解，
所以在区间上成立，
所以，，
所以，
所以实数的取值范围为.
22．(1)平均变化率分别为，，它们分别表示在相应的时间内，时间每经过1s，速度增加9和2，也就是加速度分别为
(2)，它的意义是在t＝1s这一时刻，每过1s，汽车的速度增加8，也就是这一时刻汽车的加速度为
【分析】（1）根据平均变化率的公式及意义求解；
（2）根据导数公式及导数的实际意义求解.
【详解】（1）当t从0s变到1s、从3s变到5s时，速度v关于时间t的平均变化率分别为，，
它们分别表示在相应的时间内，时间每经过1s，速度增加9和2，也就是加速度分别为.
（2）∵，∴，
它的意义是在s这一时刻，每过1s，汽车的速度增加8，也就是这一时刻汽车的加速度为.
答案第1页，共2页
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