分式的概念和性质(江苏省苏州市)
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分式的概念和性质
一、分式的概念
1、用A、B表示两个整式，A÷B可以表示成的形式，其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母，如果除式B中含有字母，式子就叫做分式。这就是分式的概念。研究分式就从这里展开。
2、既然除式里含有字母的有理代数式叫做分式，那么，在分式里分母所包含的字母，就不一定可以取任意值。分式的分子A可取任意数值，但分母B不能为零，因为用零做除数没有意义。一般地说，在一个分式里，分子中的字母可取任意数值，但分母中的字母，只能取不使分母等于零的值。
3.（1）分式：，当B=0时，分式无意义。
（2）分式：，当B≠0时，分式有意义。
（3）分式：，当 时， 分式的值为零。
（4）分式：，当 时， 分式的值为1。
（5）分式：，当 时，即或时，为正数。
（6）分式：，当时，即或时，为负数。
（7）分式：，当时或时，为非负数。
三、分式的基本性质：
1、学习分式的基本性质应该与分数的基本性质类比。不同点在于同乘以或同除以同一个不等于零的整式，这个整式可以是数也可以是字母，只要是不为零的整式。
2、这个性质可用式子表示为：（M为不等于零的整式）
3、学习基本性质应注意几点：
（1）分子与分母同乘或同除的整式的值不能为零；
（2）易犯错误是只乘（或只除）分母或只乘（或只除）分子；
（3）如果分子或分母是多项式时，必须乘以多项式的每一项。
4、分式变号法则的依据是分式的基本性质。
5、分式的分子，分母和分式的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，如下列式子：
，。
四、约分：
1、约分是约去分子、分母中的公因式。就是用分式中分子和分母的公因式去除分子和分母，使分式化简为最简分式，最简分式又叫既约分式。
2、约分的理论依据是分式的基本性质。
3、约分的方法：
（1）如果分式的分子和分母都是几个因式乘积的形式，就约去分子和分母中相同因式的最低次幂，当分子和分母的系数是整数时，还要约去它们的最大公约数。
例1，请说出下列各式中哪些是整式，那些是分式？（1）（2）（3）（4）
（5）a2-a（6）。
解：根据分式定义知（1）、（2）、（3）是分式，（4）、（5）、（6）是整式。
说明：判断一个代数式是否是分式要紧紧抓住除式中含不含字母。这里是分式，不能因为==a+b，而认为是整式，a+b是分式的值。要区分分式的值和分式这两个不同的概念。另外是整式而不是分式。虽然分母中有π，但π不是字母而是无理数，是无限不循环小数，因此的除式中不含字母。
例2，在分式（1）（2）（3）中，字母x的值有什么限制？
解：（1）在中，当x=2时，使得分母x-2=0，∴ x≠2,
（2）在中，当x=-2时，使得分母x+2=0, ∴ x≠-2,
（3）在中，当x=-2或x=3时，使得分母(x+2)(x-3)=0，
∴ x≠-2且x≠3。
例3，x为何值时，分式，（1）无意义；（2）值为零；（3）值为1；（4）值为非负数。
解：（1）∵ 当分母2x+3=0时分式无意义，∴ x=-时，分式无意义。
（2）∵ 当时，分式值为零。∴ ，∴ x=1时分式值为零。
（3）∵ 当时，分式值为1，∴ x=-4时分式值为1。
（4）∵ 当或 时，分式值为非负数。
∴ 或∴ x≥1或x<-时分式值为非负数。
例4，当x取何值时，分式（1）值为零；（2）无意义；（3）有意义。
解：（1）∵ 当(x+3)(x-1)≠0时，分式有意义，∴ 当x≠-3且x≠1时分式有意义。
又∵ 6-2|x|=0时分式值为零，则3-|x|=0, ∴ |x|=3, ∴ x=±3。
∴ ， ∴ x=3时分式值为零。
（2）∵ (x+3)(x-1)=0分式无意义，
即x+3=0或x-1=0，∴ x=-3或x=1时分式无意义。
说明：对于（1）也可先令分子为零，求出字母的所有可能值为x=±3后，再逐一代入分母验证是否为零，不为零者即为所求。
对于（2）当x+3=0或x-1=0时，都会使分式的分母等于零，所以要注意“或”字的使用。
解：（3）∵ (x+3)(x-1)≠0时分式有意义。
即x+3≠0且x-1≠0时，∴ x≠-3且x≠1时分式有意义，
说明：对于（3）分母(x+3)(x-1)只有不为零时，分式有意义，而(x+3)(x-1)≠0，当x+3=0或x-1=0都会使(x+3)(x-1)=0，所以应将x=-3和x=1都同时排除掉，写成x≠-3且x≠1，用“且”字，而不用“或”字。意义为x不能为-3而且还不能为1，即-3和1都不能取。因为取任何其中一个值，分母(x+3)(x-1)都会为0，而使分式都会无意义。
例5，写出等式中未知的分子或分母：
（1）；（2）；（3）；
（1）分析：这类问题要从已知条件入手，根据分式的基本性质，分析变化的过程，如（1）右边分母x2-y2是(x+y)(x-y)，而左边分母为x+y，所以需将左式的分子和分母同乘以(x-y)。
解：，∴ 未知的分子是(x-y)2,
（2）分析：左边分子a2-ab=a(a-b)，而右边分子是a-b，所以需将左式的分子和分母同除以a。
解：=，未知的分母是b。
（3）∵ a2+ab=a(a+b)（将分子因式分解）
∴ （比较分子，发现分子、分母同乘以a）
=，2ab即为所求的分母。
例6，把下列分式的分子和分母中各项的系数都化为整数。
（1）；（2）；
（1）分析：先找到分式中分子和分母中的分母的最小公倍数为15，再据分数基本性质，分子和分母同乘以15。
解：=。
（2）解：==
注：必须乘以分子和分母的每一项，避免发生(0.2a+3b)×10=2a+3b这样的错误。
例7，不改变分式的值，使下列分式中分子与分母不含“-”号，（1）-；（2）-。
解：根据分式的符号法则得：
（1）-=；（2）-=-。
注意：分式、分子和分母的符号中，任意改变其中两个，分式的值不变。（1）中改变分式本身和分母两个负号，（2）中改变分子和分母两个负号。
例8，不改变分式的值，依照x的降幂排列，使分子和分母中x的最高项的系数都为正数。
（1）；（2）-。
解：（1）===；
（2）-=-=-
=-。
说明：解题可分为三步：（1）先将分式的分子和分母都按x的降幂排列，这步只是运用加法交换律，不改变符号。（2）将分子和分母的最高项系数化为正数，只要提取公因式-1即可，提取时注意每项都要变号。（3）运用符号法则进行变号。
注意：如果分子或分母的首项为负，则必须先将负号提到括号外面，再使用符号法则，要注意避免下列的错误：
=。
例9，约分：（1）（2）。
解：（1）===-3yz10。
注意：分母的因式约去后得1，分式变为整式。若化简分式时千万不要犯下列错误：
==0。
（2）===-。
注意：分母的负号一般要移去。
（2）如果分式的分子或分母是多项式，应先分解因式，然后再约分。
例10、约分：（1）；（2）；（3）；（4）；
（5）。
解：（1）=。
注意：不要把约成=，也不要将最后结果写成，因为分式的横线表示括号，再写括号就多余了。
（2）=。
注：不要将约做，因为这样是分子分母都减a2，不是同除以相同的整式。
（3）===x2+1。
注：不要犯下面的错误：=x3-x2。
（4）==
==-。
注意：这里应用到了(2-x)3=-(x-2)3的变形。
（5）=（分子按x的降幂排列）
=（分子提取公因式-1）
=（分子、分母都分解因式）
=（约去公因式：x-1）
=-（应用分式的符号法则）
说明：此题的解法，一方面显示出分式约分的一般步骤，另一方面在解题的右侧的括号内写出运算的算理，平日的化简是不写这些的，但不是它不存在，在思维上它是不可缺少的。
分数的乘除法的关键是约分，而分式乘除法的关键也是约分，就是说，分式乘除法运算的实质是约分，它能使运算的结果化为最简分式。同分数的约分一样，分式的约分是应用分式的基本性质，把分式的分子、分母同除以它们的公因式，把分式化简，因此约分的关键在于正确寻找到分式分子、分母中的公因式。
附录：
一、本讲教学内容及要求
单元 节次 知识要点 教学要求
分
式 分式 （1）分式概念
（2）有理式概念 A（了解）
A
分式的基本性质 （1）分式的基本性质
（2）分式的符号法则 D（灵活运用）
C（掌握）
分式的约分 （1）约分和最简分式
（2）约分的根据
（3）分式的约分 B（理解）
C
D
二、本讲技能要求
1、了解分式、有理式、最简分式、最简公分母的概念，会利用这些概念进行判断。
2、掌握分式有意义的条件，分式为零的条件及分式的基本性质，掌握分式的变号法则，能熟练地进行约分。
3、重要数学思想
通过本讲中分式性质及分式约分进一步理解转化思想；
对本章中数、式通性的理解，进一步掌握类比归纳的思维方法。
一、分式的概念
1、用A、B表示两个整式，A÷B可以表示成的形式，其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母，如果除式B中含有字母，式子就叫做分式。这就是分式的概念。研究分式就从这里展开。
2、既然除式里含有字母的有理代数式叫做分式，那么，在分式里分母所包含的字母，就不一定可以取任意值。分式的分子A可取任意数值，但分母B不能为零，因为用零做除数没有意义。一般地说，在一个分式里，分子中的字母可取任意数值，但分母中的字母，只能取不使分母等于零的值。
3.（1）分式：，当B=0时，分式无意义。
（2）分式：，当B≠0时，分式有意义。
（3）分式：，当 时， 分式的值为零。
（4）分式：，当 时， 分式的值为1。
（5）分式：，当 时，即或时，为正数。
（6）分式：，当时，即或时，为负数。
（7）分式：，当时或时，为非负数。
三、分式的基本性质：
1、学习分式的基本性质应该与分数的基本性质类比。不同点在于同乘以或同除以同一个不等于零的整式，这个整式可以是数也可以是字母，只要是不为零的整式。
2、这个性质可用式子表示为：（M为不等于零的整式）
3、学习基本性质应注意几点：
（1）分子与分母同乘或同除的整式的值不能为零；
（2）易犯错误是只乘（或只除）分母或只乘（或只除）分子；
（3）如果分子或分母是多项式时，必须乘以多项式的每一项。
4、分式变号法则的依据是分式的基本性质。
5、分式的分子，分母和分式的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，如下列式子：
，。
四、约分：
1、约分是约去分子、分母中的公因式。就是用分式中分子和分母的公因式去除分子和分母，使分式化简为最简分式，最简分式又叫既约分式。
2、约分的理论依据是分式的基本性质。
3、约分的方法：
（1）如果分式的分子和分母都是几个因式乘积的形式，就约去分子和分母中相同因式的最低次幂，当分子和分母的系数是整数时，还要约去它们的最大公约数。
例1，请说出下列各式中哪些是整式，那些是分式？（1）（2）（3）（4）
（5）a2-a（6）。
解：根据分式定义知（1）、（2）、（3）是分式，（4）、（5）、（6）是整式。
说明：判断一个代数式是否是分式要紧紧抓住除式中含不含字母。这里是分式，不能因为==a+b，而认为是整式，a+b是分式的值。要区分分式的值和分式这两个不同的概念。另外是整式而不是分式。虽然分母中有π，但π不是字母而是无理数，是无限不循环小数，因此的除式中不含字母。
例2，在分式（1）（2）（3）中，字母x的值有什么限制？
解：（1）在中，当x=2时，使得分母x-2=0，∴ x≠2,
（2）在中，当x=-2时，使得分母x+2=0, ∴ x≠-2,
（3）在中，当x=-2或x=3时，使得分母(x+2)(x-3)=0，
∴ x≠-2且x≠3。
例3，x为何值时，分式，（1）无意义；（2）值为零；（3）值为1；（4）值为非负数。
解：（1）∵ 当分母2x+3=0时分式无意义，∴ x=-时，分式无意义。
（2）∵ 当时，分式值为零。∴ ，∴ x=1时分式值为零。
（3）∵ 当时，分式值为1，∴ x=-4时分式值为1。
（4）∵ 当或 时，分式值为非负数。
∴ 或∴ x≥1或x<-时分式值为非负数。
例4，当x取何值时，分式（1）值为零；（2）无意义；（3）有意义。
解：（1）∵ 当(x+3)(x-1)≠0时，分式有意义，∴ 当x≠-3且x≠1时分式有意义。
又∵ 6-2|x|=0时分式值为零，则3-|x|=0, ∴ |x|=3, ∴ x=±3。
∴ ， ∴ x=3时分式值为零。
（2）∵ (x+3)(x-1)=0分式无意义，
即x+3=0或x-1=0，∴ x=-3或x=1时分式无意义。
说明：对于（1）也可先令分子为零，求出字母的所有可能值为x=±3后，再逐一代入分母验证是否为零，不为零者即为所求。
对于（2）当x+3=0或x-1=0时，都会使分式的分母等于零，所以要注意“或”字的使用。
解：（3）∵ (x+3)(x-1)≠0时分式有意义。
即x+3≠0且x-1≠0时，∴ x≠-3且x≠1时分式有意义，
说明：对于（3）分母(x+3)(x-1)只有不为零时，分式有意义，而(x+3)(x-1)≠0，当x+3=0或x-1=0都会使(x+3)(x-1)=0，所以应将x=-3和x=1都同时排除掉，写成x≠-3且x≠1，用“且”字，而不用“或”字。意义为x不能为-3而且还不能为1，即-3和1都不能取。因为取任何其中一个值，分母(x+3)(x-1)都会为0，而使分式都会无意义。
例5，写出等式中未知的分子或分母：
（1）；（2）；（3）；
（1）分析：这类问题要从已知条件入手，根据分式的基本性质，分析变化的过程，如（1）右边分母x2-y2是(x+y)(x-y)，而左边分母为x+y，所以需将左式的分子和分母同乘以(x-y)。
解：，∴ 未知的分子是(x-y)2,
（2）分析：左边分子a2-ab=a(a-b)，而右边分子是a-b，所以需将左式的分子和分母同除以a。
解：=，未知的分母是b。
（3）∵ a2+ab=a(a+b)（将分子因式分解）
∴ （比较分子，发现分子、分母同乘以a）
=，2ab即为所求的分母。
例6，把下列分式的分子和分母中各项的系数都化为整数。
（1）；（2）；
（1）分析：先找到分式中分子和分母中的分母的最小公倍数为15，再据分数基本性质，分子和分母同乘以15。
解：=。
（2）解：==
注：必须乘以分子和分母的每一项，避免发生(0.2a+3b)×10=2a+3b这样的错误。
例7，不改变分式的值，使下列分式中分子与分母不含“-”号，（1）-；（2）-。
解：根据分式的符号法则得：
（1）-=；（2）-=-。
注意：分式、分子和分母的符号中，任意改变其中两个，分式的值不变。（1）中改变分式本身和分母两个负号，（2）中改变分子和分母两个负号。
例8，不改变分式的值，依照x的降幂排列，使分子和分母中x的最高项的系数都为正数。
（1）；（2）-。
解：（1）===；
（2）-=-=-
=-。
说明：解题可分为三步：（1）先将分式的分子和分母都按x的降幂排列，这步只是运用加法交换律，不改变符号。（2）将分子和分母的最高项系数化为正数，只要提取公因式-1即可，提取时注意每项都要变号。（3）运用符号法则进行变号。
注意：如果分子或分母的首项为负，则必须先将负号提到括号外面，再使用符号法则，要注意避免下列的错误：
=。
例9，约分：（1）（2）。
解：（1）===-3yz10。
注意：分母的因式约去后得1，分式变为整式。若化简分式时千万不要犯下列错误：
==0。
（2）===-。
注意：分母的负号一般要移去。
（2）如果分式的分子或分母是多项式，应先分解因式，然后再约分。
例10、约分：（1）；（2）；（3）；（4）；
（5）。
解：（1）=。
注意：不要把约成=，也不要将最后结果写成，因为分式的横线表示括号，再写括号就多余了。
（2）=。
注：不要将约做，因为这样是分子分母都减a2，不是同除以相同的整式。
（3）===x2+1。
注：不要犯下面的错误：=x3-x2。
（4）==
==-。
注意：这里应用到了(2-x)3=-(x-2)3的变形。
（5）=（分子按x的降幂排列）
=（分子提取公因式-1）
=（分子、分母都分解因式）
=（约去公因式：x-1）
=-（应用分式的符号法则）
说明：此题的解法，一方面显示出分式约分的一般步骤，另一方面在解题的右侧的括号内写出运算的算理，平日的化简是不写这些的，但不是它不存在，在思维上它是不可缺少的。
分数的乘除法的关键是约分，而分式乘除法的关键也是约分，就是说，分式乘除法运算的实质是约分，它能使运算的结果化为最简分式。同分数的约分一样，分式的约分是应用分式的基本性质，把分式的分子、分母同除以它们的公因式，把分式化简，因此约分的关键在于正确寻找到分式分子、分母中的公因式。
附录：
一、本讲教学内容及要求
单元 节次 知识要点 教学要求
分
式 分式 （1）分式概念
（2）有理式概念 A（了解）
A
分式的基本性质 （1）分式的基本性质
（2）分式的符号法则 D（灵活运用）
C（掌握）
分式的约分 （1）约分和最简分式
（2）约分的根据
（3）分式的约分 B（理解）
C
D
二、本讲技能要求
1、了解分式、有理式、最简分式、最简公分母的概念，会利用这些概念进行判断。
2、掌握分式有意义的条件，分式为零的条件及分式的基本性质，掌握分式的变号法则，能熟练地进行约分。
3、重要数学思想
通过本讲中分式性质及分式约分进一步理解转化思想；
对本章中数、式通性的理解，进一步掌握类比归纳的思维方法。