1.3.2-1 基本不等式的概念 课件（共16张PPT）

(共16张PPT)
北师大版同步教材精品课件
1.3.2-1 基本不等式的概念
导入新课
上一节课，教材第26页练习第2题，如图.
得到一个不等式：，当时，取“=”.
导入新课
思考讨论：
如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，由四个直角三角形拼合而成，正方形的边长为直角三角形的斜边长.
导入新课
直角三角形两条直角边为a,b，由面积得到不等式，当时，取“=”.
试证明不等式：，当时，取“=”.
提示：用作差法证明.
学生完成证明过程，教师引入本节课的课题.
导入新课
问题1：你能用完整的数学符号语言表述上面的数量关系吗？
（，有，当且仅当时，等号成立）
问题2：该不等关系成立的条件是否可以扩展？在实数集上是否成立？
（在实数集上也成立，即，有，当且仅当时，
等号成立）
设计意图：借助图形得到不等式，给学生以直观感受，然后
通过利用上节学习的作差法证明，提升学生思维的严谨性.
分析结构，获得新知
问题3：，有，当且仅当时，等号成立.
设，取，，能得到什么样的不等式？
（得到，当时，取“=”）
基本不等式：若实数，则，当且仅当时，
等号成立.
其中，称为的算术平均值，称为的几何平均值上述
基本不等式又称为“均值不等式”.
探究新知
问题4：你能用文字语言表述基本不等式吗？
（两个非负实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值）
探究新知
探究新知
注意：
①务必注意基本不等式“”中的字母为非负数，等号成立的条件为.
②与基本不等式有关的各种形式：，，，特别还有，等等.
设计意图：利用不等式，得到，在两个不等式间建立联系，通过分析基本不等式的代数结构特征，得到基本不等式的代数解释，加深对基本不等式的认识.
探究新知
几何解释，直观感知
问题5：我们得到的这个基本不等式有没有几何解释？
阅读教材第27页.
如图，AB是半圆O的直径，点C在AB上，且.
过点C作AB的垂线，交于点D，连接AD,OD,BD.
探究新知
问题6：观察图形并思考：它是如何对基本不等式作出解释的？
（提示：由初中几何知识，得，即）
设计意图：让学生自己寻找基本不等式的几何解释是非常困难的，因此这里给出了几何图形，引导学生将和与图形中的几何元素建立起联系，再观察这些几何元素在变化中表现的大小关系，从而获得基本不等式的几何解释.
探究新知
独立探究，反思深化
阅读教材第28页“思考交流”.
留时间让学生思考、交流、讨论、展示分享.
典例剖析
例1、已知，求证：.
证明
分析
要证，可以先在不等式两边都乘2化为，即 ，利用基本不等式和不等式的基本性质即可证得结论.
因为，所以由基本不等式，得
，当且仅当时，等号成立，
，当且仅当时，等号成立，
，当且仅当时，等号成立.
上面三式相加，得，即，当且仅当时，等号成立.
典例剖析
跟踪训练：
已知，求证：.
证明
因为，所以由基本不等式，得，当且仅当时，等号成立.所以.
设计意图：
例题及跟踪训练题是基本不等式在不等式证明中的简单应用，应熟练掌握.
教材第28页练习第1~4题.
让学生先独立完成，然后相互讨论交流，教师点评后给出答案.
巩固练习
课堂小结
引导学生共同小结：
（1）基本不等式、算术平均值、几何平均值；
（2）教师和学生一起完善知识结构框图，如下图.
设计意图：通过教师和学生一起梳理知识框图，回应教学目标，使学生深刻体会新知识的形成过程，不但梳理了本节的知识，而且优化了学生的认知结构，完善了学生的知识体系.
谢谢您的聆听
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