1.4.2 一元二次不等式及其解法 课件（共31张PPT）

(共31张PPT)
北师大版同步教材精品课件
1.4.2
一元二次不等式及其解法
导入新课
汽车在行驶过程中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，一般称这段距离为“刹车距”刹车距s（单位：m）与车速x（单位：km/h）之间具有确定的函数关系，不同车型的刹车距函数不同它是分析交通事故的一个重要依据.
甲、乙两辆汽车相向而行，由于突发情况，两车相撞.交警在现场测得甲车的刹车距超过12m，但不足15m，乙车的刹车距超过11m，但不足12m已知这两辆汽车的刹车距函数分别如下：
，
，
车速超过40km/h属违法.
导入新课
问题1：你会分析哪一辆车违法超速行驶吗？
这就是我们这节课要研究的问题.
设计意图：通过生活中的实际问题情境，抽象出函数模型，进而提出新问题，激发学生的探究热情，引入本节课要学习的内容.
抽象概括，形成概念
追问1：你能用不等式表示“甲车的刹车距超过12m但不足15m”吗？
生：.
追问2：你能用不等式表示“乙车的刹车距超过11m，但不足12m”吗？
生：.
解决这个问题转化为求解不等式和的问题.
探究新知
问题2：你能从未知量的个数和次数分析所写出的不等式的形式吗？你能写出这类不等式的一般形式吗？
特征：所写出的不等式都含有一个未知量，未知量的最高次数是2.
一般形式：或 ，其中a，b，c均为常数，且.
探究新知
探究新知
一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式叫作一元二次不等式.通常，一般表达式是或，或，或，其中a，b，c均为常数，且.使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集.
设计意图：通过设置问题，引导学生思考，激发学生的学习热情，抽象概括出一元二次不等式与一元二次不等式的解集的概念.
探究新知
借助类比，探究一般解法
问题3：在初中用一次函数的图象求解一次不等式，那么一元二次不等式能否借助函数图象求解呢？
探究新知
以不等式为例，画出一元二次函数的图象（如图所示）并观察，可知它与x轴交点的横坐标分别是和3，即当时.进而，当时，一元二次函数的图象在x轴的下方，满足.也就是说，一元二次不等式的解集是.
探究新知
抽象概括：当时，解形如或的一元二次不等式，其基本思路是确定时的自变量x的取值，借助图象，写出原不等式的解集.
探究新知
问题4：请同学们完成下面的表格，并阐述的图象与方程的实数根、不等式和的解集之间的关系（也称三个“二次”之间的关系）
探究新知
教师提出问题后，可以让学生以组为单位进行讨论，教师巡视指导；然后全班展示各组结果，交流讨论，师生共同完成下表.
探究新知
（1）三个“二次”之间的图形关系.
①函数的图象与x轴交点横坐标，就是方程的实数根.
②函数的图象在x轴上方的部分对应的自变量x的取值，就是不等式的解集；函数图象在x轴下方的部分对应的自变量x的取值，就是不等式的解集.
③方程的实数根就是不等式和的解集的有限端点
探究新知
（2）三个“二次”之间的数量关系.
设，
,
三者之间的关系可以表示为：①；
②.
探究新知
归纳总结：一元二次不等式的求解方法，
如下图所示:
探究新知
请学生仿照以上方法，画出当时，的求解思路.
设计意图：将具体一元二次方程、一元二次不等式和一元二次函数之间的关系推广至一般，能结合函数图象，判断一元二次方程的根的情况和解一元二次不等式，在推广的过程中，体会数形结合和函数思想的应用，以及从具体到抽象、从特殊到一般的研究问题的基本方法.
典例剖析
例1、求不等式的解集.
分析
利用一元二次不等式的求解方法的流程图进行求解，先用判别式判断一元二次不等式对应的一元二次方程的根的情况，然后根据根的情况，画出对应一元二次函数图象的示意图，根据示意图写出解集.
典例剖析
解析
因为方程的，
所以该方程有两个相等的实数根，解得.
画出一元二次函数的图象，如图所示，
可知该函数的图象是开口向上的抛物线，且与x轴仅有一个交点.
观察图象可得原不等式的解集为.
典例剖析
例2、 求不等式的解集.
分析
可以利用一元二次不等式的求解方法的流程图进行求解；还可以对一元二次多项式分解因式，把原不等式转化为不等式组进行求解.
典例剖析
解析
解法1：因为方程的
，所以该方程有两个
不相等的实数根，解得.
画出一元二次函数的图象（如图），可知该函数的图象是开口向上的抛物线，且与x轴有两个交点和
观察图象可得原不等式的解集为.
典例剖析
例2、 求不等式的解集.
分析
可以利用一元二次不等式的求解方法的流程图进行求解；还可以对一元二次多项式分解因式，把原不等式转化为不等式组进行求解.
典例剖析
解析
解法2：因为方程的，所以该方程有两个不相等的实数根，解得，因此.所以原不等式可以转化为，
即或
所以原不等式的解集为
典例剖析
问题5：根据不等式的解集，你能得出不等式的解集吗？
能，这两个不等式的解集的有限端点都是对应方程的实数根，所以不等式的解集为.
典例剖析
例3、求关于x的不等式的解集，其中a是常数.
分析
这是含参数a的一元二次不等式，需要分类讨论，关键是如何分类.由于一元二次不等式对应的一元二次方程比较容易求出根，所以只需要按照两个根的大小分三种情况讨论即可.
典例剖析
解析
依题意知方程的实数根为，且一元二次函数的图象是开口向上的抛物线.
（1）当时，如图（1），一元二次函数的图象与x轴从左至右有两个交点与所以原不等式的解集为
典例剖析
例3、求关于x的不等式的解集，其中a是常数.
解析
分析
这是含参数a的一元二次不等式，需要分类讨论，关键是如何分类.由于一元二次不等式对应的一元二次方程比较容易求出根，所以只需要按照两个根的大小分三种情况讨论即可.
（2）当时，如图（2），一元二次函数的图象与x轴只有一个交点，所以原不等式的解集为.
典例剖析
例3、求关于x的不等式的解集，其中a是常数.
解析
分析
这是含参数a的一元二次不等式，需要分类讨论，关键是如何分类.由于一元二次不等式对应的一元二次方程比较容易求出根，所以只需要按照两个根的大小分三种情况讨论即可.
（3）当时，如图（3），一元二次函数的图象与x轴从左至右有两个交点与，所以原不等式的解集为.
典例剖析
解析
综上所述，当时，原不等式的解集为 ；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
设计意图：求含有参数的一元二次不等式的解集，随着参数的变化，函数.的图象发生变化，不等式的解集也随之发生变化这道例题综合地体现了多种情况，是理清函数图象、方程的解、不等式的解集三者之间关系的好素材.
典例剖析
跟踪训练：
求关于x的不等式的解集，其中a是常数.
学生先独立完成，然后在小组内交流、讨论教师找两名学生板演，根据学生的完成情况进行点评.
教材第37页练习第1，2题.
让学生先独立完成，然后相互讨论交流，教师点评后给出答案.
巩固练习
课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些新的收获？与同伴交流，说给你的同伴听一听吧！
谢谢您的聆听
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THANKS