2022~2023学年度第一学期和田地区第二中学期中考试
高二数学试题
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将答题卡交回.
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.
3．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.
一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 在长方体中，等于（ ）
A. B. C. D.
2. 已知点在双曲线的渐近线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3. 若双曲线离心率为，则斜率为正的渐近线的斜率为
A. B. C. D. 2
4. 已知圆，直线，设圆上到直线的距离等于1的点的个数为，则（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 设抛物线yx2的焦点为F，点P在抛物线上，若|PF|＝3，则点P到x轴的距离为（ ）
A B. 2 C. D. 1
6. 已知圆C：，设为直线上一点，若C上存在一点，使得，则实数值不可能的是（ ）
A. B. 0 C. 2 D. 4
7. 已知椭圆右焦点、右顶点、上顶点分别为，则（ ）
A. B. C. D.
8. 如图所示，在三棱锥P–ABC中，PA⊥平面ABC，D是棱PB的中点，已知PA=BC=2，AB=4，CB⊥AB，则异面直线PC，AD所成角的余弦值为
A. B. C. D.
二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 若构成空间一个基底，则下列向量不共面的是（ ）.
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
10. 已知圆的方程为，圆的方程为，其中a，．那么这两个圆的位置关系可能为（ ）
A. 外离 B. 外切 C. 内含 D. 内切
11. 已知O为坐标原点，椭圆C：的左 右焦点分别为，，两点都在上，且，则（ ）
A. 的最小值为4 B. 为定值
C. 存在点，使得 D. C的焦距是短轴长的倍
12. 棱长为的正方体的展开图如图所示.已知为线段的中点，动点在正方体的表面上运动.则关于该正方体，下列说法正确的有（ ）
A. 与是异面直线 B. 与所成角为
C. 平面平面 D. 若，则点的运动轨迹长度为
三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分
13. 已知直线和互相平行，则实数的值为___________.
14. 如图，点F为椭圆的左焦点，直线分别与椭圆C交于A，B两点，且满足，O为坐标原点，若，则椭圆C的离心率________．
15. 在菱形中，，将沿对角线折起，若二面角为直二面角，则二面角的余弦值为___________.
16. 已知是椭圆与双曲线的一个公共焦点,分别是在第二、四象限的公共点.若，则的离心率为______．
四、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 已知直线l过点.
（1）若直线l与直线垂直，求直线l的方程；
（2）若直线l与直线平行，且两条平行线间的距离为2，求b.
18. 求满足下列条件的双曲线的标准方程：
（1）焦点在轴上，离心率为，两顶点间的距离为6；
（2）以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点.
19. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，M是棱PB中点.
（1）求证：平面PCD；
（2）设点N是线段CD上一动点，且DN＝λDC，当直线MN与平面PAB所成的角最大时，求λ的值.
20. 已知椭圆：，其左、右焦点分别为，上顶点为，为坐标原点，过的直线交椭圆于两点，.
（1）若直线垂直于轴，求的值；
（2）若，直线的斜率为，则椭圆上是否存在一点，使得关于直线成轴对称？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）设直线:上总存在点满足，当的取值最小时，求直线的倾斜角.
21. 在平面直角坐标系内，已知点及线段，在线段上任取一点，线段长度的最小值称为“点到线段的距离”，记为.
（1）设点，线段，求；
（2）设，，，，线段，线段，若点满足，求关于的函数解析式，并写出该函数的值域.
22. 已知椭圆的左、右焦点分别是，，点在椭圆上，且．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点且不过点的直线交椭圆于，两点，求证：直线与的斜率之和为定值．2022~2023学年度第一学期和田地区第二中学期中考试
高二数学试题
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将答题卡交回.
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.
3．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.
一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 在长方体中，等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据长方体，得到相等的向量，再利用空间向量的加法法则进行计算.
【详解】如图，可得，，所以.
故选：B
2. 已知点在双曲线的渐近线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】由条件可得，然后由即可算出
【详解】双曲线的渐近线方程为
所以由点在双曲线的渐近线上可得
所以
故选：A
【点睛】在椭圆中有，在双曲线中有.
3. 若双曲线的离心率为，则斜率为正的渐近线的斜率为
A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】由双曲线的离心率为，得，又由的值，进而求解双曲线的渐近线方程，得到答案.
【详解】由题可知，双曲线的离心率为，即，
又由，所以双曲线的渐近线方程为，故选D.
【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的标准方程及其几何性质，合理准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
4. 已知圆，直线，设圆上到直线的距离等于1的点的个数为，则（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】求出圆心到直线的距离，数形结合判断出圆上到直线的距离等于1的点的个数.
【详解】圆心到直线的距离为，
所以直线与圆相交，设交点分别为，则劣弧上的点到直线的最大距离为，
故在劣弧上只有一个点到直线的距离等于1，优弧上到直线的距离就一定有2个，
所以..
故选：C
5. 设抛物线yx2焦点为F，点P在抛物线上，若|PF|＝3，则点P到x轴的距离为（ ）
A. B. 2 C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】写出抛物线的准线方程，根据抛物线的定义可以求出点P到x轴的距离.
【详解】抛物线yx2的准线为：，又因为|PF|＝3，所以根据抛物线的定义可以知道点P到准线的距离也为3，因此点P到x轴的距离为2.
故选：B
【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了抛物线焦点的位置及准线方程.
6. 已知圆C：，设为直线上一点，若C上存在一点，使得，则实数的值不可能的是（ ）
A. B. 0 C. 2 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由题可知圆心在直线上，然后利用圆的性质可知，再利用弦长公式可得，即得.
【详解】由圆C：，可得，圆心，半径为，
∴圆心在直线上，
∵为直线上一点，若C上存在一点，使得，
∴，又，
∴，即，
∴实数的值可能是，0，4；实数的值不可能是2.
故选：C.
7. 已知椭圆的右焦点、右顶点、上顶点分别为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据椭圆方程求出点的坐标，即可求出三角形的面积.
【详解】解：
，，
，，
故选：
【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，属于基础题.
8. 如图所示，在三棱锥P–ABC中，PA⊥平面ABC，D是棱PB的中点，已知PA=BC=2，AB=4，CB⊥AB，则异面直线PC，AD所成角的余弦值为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥BC．过点A作AE∥CB，又CB⊥AB，则AP，AB，AE两两垂直．如图，以A为坐标原点，分别以AB，AE，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，P(0，0，2)，B(4，0，0)，C(4， 2，0)．因为D为PB的中点，所以D(2，0，1)．
故=( 4，2，2)，=(2，0，1)．所以cos〈，〉=== .
设异面直线PC，AD所成的角为θ，则cos θ=|cos〈，〉|=.
二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）.
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
【答案】BC
【解析】
【分析】根据空间向量共面定理的知识确定正确答案.
【详解】依题意构成空间的一个基底，
A选项，由于，所以，，共面.
B选项，由于不存在实数使，所以，，不共面，B选项正确.
C选项，，由于不存在实数使，所以，，不共面，C选项正确.
D选项，由于，所以，，共面.
故选：BC
10. 已知圆的方程为，圆的方程为，其中a，．那么这两个圆的位置关系可能为（ ）
A. 外离 B. 外切 C. 内含 D. 内切
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据圆心距与半径的关系，二次函数的性质即可解出．
【详解】由题意可得圆心，半径，圆心，半径，则，所以两圆不可能内含．
故选：ABD．
11. 已知O为坐标原点，椭圆C：的左 右焦点分别为，，两点都在上，且，则（ ）
A. 的最小值为4 B. 为定值
C. 存在点，使得 D. C的焦距是短轴长的倍
【答案】BCD
【解析】
【分析】由题知关于原点对称，，，，进而判断AD；再根据椭圆的对称性可判断B正确；根据当在轴上时，为钝角判断C正确.
【详解】解：因为，，，所以，，，
所以,C的焦距是短轴长的倍，D正确.
因为，故关于原点对称，
所以，最小值为，故A错误；
所以，由椭圆的对称性知，，所以B正确.
当在轴上时，，则为钝角，所以存在点A，使得，故C正确.
故选：BCD
12. 棱长为的正方体的展开图如图所示.已知为线段的中点，动点在正方体的表面上运动.则关于该正方体，下列说法正确的有（ ）
A. 与是异面直线 B. 与所成角为
C. 平面平面 D. 若，则点的运动轨迹长度为
【答案】BCD
【解析】
【分析】由展开图还原正方体，根据可知A错误；由可知异面直线与所成角为，由此可求得B正确；由线面垂直的判定可证得平面，由面面垂直的判定可知C正确；根据平面，平面平面可得点轨迹，进而求得D正确.
【详解】由展开图还原正方体如下图所示，
对于A，，四边形为平行四边形，，
与是共面直线，A错误；
对于B，，与所成角即为，
，为等边三角形，
，即与所成角为，B正确；
对于C，平面，平面，；
又，，平面，平面，
又平面，平面平面，C正确；
对于D，由正方体性质可知平面，
取中点，连接，
则平面平面，点的轨迹为正六边形的边，
点的轨迹长度为，D正确.
故选：BCD.
三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分
13. 已知直线和互相平行，则实数的值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据直线平行的充要条件即可求出实数的值.
【详解】由直线和互相平行，
得 ，即.
故答案为：.
14. 如图，点F为椭圆的左焦点，直线分别与椭圆C交于A，B两点，且满足，O为坐标原点，若，则椭圆C的离心率________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，利用图中几何关系，再几何椭圆的定义，即可得解.
【详解】
由题知：
令
连接，所以，
且，
从而．
故答案为：．
15. 在菱形中，，将沿对角线折起，若二面角为直二面角，则二面角的余弦值为___________.
【答案】##
【解析】
【分析】取的中点，连接、，依题意、、两两互相垂直，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值；
【详解】解：取的中点，连接、，依题意可得、、两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系，令，则，，，所以，，设平面的法向量为，则，令，则，所以，显然平面的法向量可以为，
设二面角为，则，故二面角的余弦值为；
故答案为：
16. 已知是椭圆与双曲线的一个公共焦点,分别是在第二、四象限的公共点.若，则的离心率为______．
【答案】##
【解析】
【分析】设左焦点为，右焦点为，再设，，利用椭圆的定义，四边形为矩形，可求出，的值，进而可得双曲线的几何量，即可求出双曲线的离心率．
【详解】如图，设左焦点为，右焦点为，
设，，，
点为椭圆上的点，，，；
，即；
由，所以，则四边形为矩形，
，则，
联立，解得或（舍去），
设双曲线的实轴长为，焦距为，
则，，
的离心率是．
故答案为：．
四、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 已知直线l过点.
（1）若直线l与直线垂直，求直线l的方程；
（2）若直线l与直线平行，且两条平行线间距离为2，求b.
【答案】（1）（2）或21
【解析】
【分析】
（1）根据直线的垂直关系，得出斜率，即可得解；
（2）根据平行关系设直线方程，利用平行线之间的距离公式求解参数.
【详解】（1）直线l与直线垂直，所以直线l斜率为，
设所求直线上的方程为，
∵直线l过点，
∴，即.
∴
（2）设所求的直线l的方程为.
则有，得.
∵l与直线间的距离为2，
∴，解得或21.
【点睛】此题考查根据两条直线的位置关系求解参数的取值，关键在于熟练掌握两条直线垂直或平行关系的表示方式，准确计算得解.
18. 求满足下列条件的双曲线的标准方程：
（1）焦点在轴上，离心率为，两顶点间的距离为6；
（2）以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得双曲线的标准方程.
（2）根据椭圆的焦点和顶点，求得双曲线的，从而求得双曲线的标准方程.
【小问1详解】
设双曲线的方程为.
由，，得，，，
所以双曲线的方程为.
【小问2详解】
由题意可知，双曲线的焦点在轴上.
设双曲线的方程为，则，，，
所以双曲线的方程为.
19. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，M是棱PB中点.
（1）求证：平面PCD；
（2）设点N是线段CD上一动点，且DN＝λDC，当直线MN与平面PAB所成的角最大时，求λ的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，求得平面的法向量，根据可得；
（2）表示出，求得平面的一个法向量，由即可求得最大值.
【详解】（1） PA⊥底面ABCD，∠ABC＝90°，则可以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，
则，
，
设平面的法向量为，
则，即，令，则，即，
，，且平面PCD ，平面PCD；
（2）可得，
，
，
易得平面的一个法向量，
设直线MN与平面PAB所成的角为，
则，
则当时，即时，最大，
所以当直线MN与平面PAB所成的角最大时.
【点睛】思路点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.
20. 已知椭圆：，其左、右焦点分别为，上顶点为，为坐标原点，过的直线交椭圆于两点，.
（1）若直线垂直于轴，求的值；
（2）若，直线的斜率为，则椭圆上是否存在一点，使得关于直线成轴对称？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）设直线:上总存在点满足，当的取值最小时，求直线的倾斜角.
【答案】(1)5；(2)不存在；(3).
【解析】
【详解】试题分析：
（1）由题意可得，则，结合勾股定理可得，，则
（2）由题意可得椭圆方程为，且，的坐标分别为，由对称性可求得点坐标为，该点不在椭圆上，则椭圆上不存在满足题意的点.
（3）由题意可得椭圆方程为，且，的坐标为，设直线的y轴截距式方程，与椭圆方程联立有，由题意可知点是线段的中点，据此计算可得，
当且仅当时取等号.则直线的倾斜角.
试题解析：
（1）因为，则，
即，设椭圆的半焦距为，则，在直角中，，即
解得，，所以.
（2）由，，得，因此椭圆方程为，且，
的坐标分别为，直线的方程为，设点坐标为，
则由已知可得：，解得，而，
即点 不在椭圆上，
所以，椭圆上不存在这样的点，使得关于直线成轴对称.
（3）由，得椭圆方程为，且，的坐标为，所以可设直线的方程为，代入得：，
因为点满足，所以点是线段的中点，
设的坐标为，则 ，
因为直线上总存在点满足，
所以，且，所以，
当且仅当，即时取等号.所以当时，，此时直线的倾斜角.
点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
21. 在平面直角坐标系内，已知点及线段，在线段上任取一点，线段长度的最小值称为“点到线段的距离”，记为.
（1）设点，线段，求；
（2）设，，，，线段，线段，若点满足，求关于的函数解析式，并写出该函数的值域.
【答案】（1）（2），其值域为
【解析】
【详解】试题分析：
(1)由题意结合的定义有；
(2)由题意分类讨论可得：当时，；当时，；当时，；结合分段函数的解析式可得函数的值域为.
试题解析：
（1）在线段任取一点
则（当且仅当时取等号）
所以
（2）数形结合可知：
当时，；
当时，点Ｐ的轨迹是以点B为焦点，直线为准线开口向上的抛物线的一段，从而；
当时，点Ｐ的轨迹是线段BD的中垂线的一部分射线，从而；
综上： ，其值域为
点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解．对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求．但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝．
22. 已知椭圆左、右焦点分别是，，点在椭圆上，且．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点且不过点的直线交椭圆于，两点，求证：直线与的斜率之和为定值．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由点坐标得，由可得，再求得后可得椭圆方程；
（2）确定直线斜率存在，设点，，直线，由点在直线上，得．
把代入，整理后应用韦达定理得，由，知，，则，均不为0，计算，代入，可得结论．
【详解】解；（1）根据点在椭圆上，得．
由，得．
因为，所以，
所以椭圆的标准方程为．
（2）若直线的斜率不存在，则直线的方程为，与椭圆只有一个交点，不符合题意．
若直线的斜率存在，设点，，直线，
根据点在直线上，得．
把代入，得，
则，．
由，知，，则，均不为0，
则直线的斜率，直线的斜率，
，
因为，所以，
即直线与斜率之和为定值．
【点睛】方法点睛：求解圆锥曲线中定值问题常用的方法
（1）引出变量法，解题流程为
选择适当的量作为变量，把要证明为定值的量用上述变量表示，把得到的式子化简，得到定值、
（2）特例法，从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
